第3章經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型(多元)

第3章經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型(多元)第一頁，共44頁?！?.1多元線性回歸模型

一、多元線性回歸模型

二、多元線性回歸模型的基本假定

第二頁，共44頁。

一、多元線性回歸模型一般表現(xiàn)形式(總體回歸模型）：i=1,2…,n其中:k為解釋變量的數(shù)目，參數(shù)個(gè)數(shù)為k+1,n為觀察次數(shù)。j(j=1,2,…k)稱為回歸系數(shù)(regressionefficient）。

j也被稱為偏回歸系數(shù)，表示在其他解釋變量保持不變的情況下，Xj每變化1個(gè)單位時(shí)，Y的均值E(Y)的變化;第三頁，共44頁。

或者說j給出了Xj的單位變化對Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響?？傮w回歸模型n個(gè)隨機(jī)方程的矩陣表達(dá)式為:

………….第四頁，共44頁。其中:第五頁，共44頁。樣本回歸函數(shù)：用來估計(jì)總體回歸模型其隨機(jī)表示式:

ei稱為殘差或剩余項(xiàng)(residuals)，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)i的估計(jì)值。

樣本回歸函數(shù)的矩陣表達(dá):

或第六頁，共44頁。其中：二、多元線性回歸模型的基本假定

假設(shè)1,回歸模型是正確設(shè)定的假設(shè)2，解釋變量是非隨機(jī)的或固定的，且各X之間互不相關(guān)（無多重共線性）。假設(shè)3，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有零均值、同方差及不序列相關(guān)性第七頁，共44頁。

假設(shè)4，解釋變量與隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)

假設(shè)5，隨機(jī)項(xiàng)滿足正態(tài)分布

上述假設(shè)為多元線性回歸模型的經(jīng)典假設(shè)第八頁，共44頁?！?.2多元線性回歸模型的估計(jì)

一、普通最小二乘估計(jì)二、參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì)三、樣本容量問題第九頁，共44頁。一、普通最小二乘估計(jì)根據(jù)最小二乘原理，參數(shù)估計(jì)值應(yīng)該是下列方程組的解:其中i=1,2…,n第十頁，共44頁。于是得到關(guān)于待估參數(shù)估計(jì)值的正規(guī)方程組：

第十一頁，共44頁。正規(guī)方程組的矩陣形式即由于X’X滿秩，故有

第十二頁，共44頁。將上述過程用矩陣表示如下：

即求解方程組：于是：第十三頁，共44頁。例3.1

求下列模型的參數(shù)估計(jì)量，

觀察值：

211112321222第十四頁，共44頁。第十五頁，共44頁。隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差的無偏估計(jì)量為

二、參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì)

在滿足基本假設(shè)的情況下，其結(jié)構(gòu)參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)仍具有：

線性性、無偏性、有效性第十六頁，共44頁。三、樣本容量問題

所謂“最小樣本容量”，即從最小二乘原理出發(fā)，欲得到參數(shù)估計(jì)量，不管其質(zhì)量如何，所要求的樣本容量的下限。

⒈最小樣本容量

樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項(xiàng)）,即

n

k+1因?yàn)?，無多重共線性要求：秩(X)=k+1第十七頁，共44頁。

2、滿足基本要求的樣本容量

從統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的角度：n30時(shí)，Z檢驗(yàn)才能應(yīng)用；n-k8時(shí),t分布較為穩(wěn)定

一般經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為:

當(dāng)n30或者至少n3(k+1)時(shí)，才能說滿足模型估計(jì)的基本要求。

模型的良好性質(zhì)只有在大樣本下才能得到理論上的證明第十八頁，共44頁。§3.3多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)二、方程的顯著性檢驗(yàn)(F檢驗(yàn))

三、變量的顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）

第十九頁，共44頁。一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

1、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù)TSS=ESS+RSS

可決系數(shù):該統(tǒng)計(jì)量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。

第二十頁，共44頁。

問題：

在應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個(gè)解釋變量，R2往往增大。

這就給人一個(gè)錯(cuò)覺：要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可。但是，在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少。而且若濫用解釋變量還會(huì)引起其它嚴(yán)重的問題，影響模型質(zhì)量。第二十一頁，共44頁。調(diào)整的可決系數(shù)調(diào)整的思路是：將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個(gè)數(shù)對擬合優(yōu)度的影響:第二十二頁，共44頁。①當(dāng)K=0，②當(dāng)K>0，③第二十三頁，共44頁。

二、方程的顯著性檢驗(yàn)(F檢驗(yàn))

方程的顯著性檢驗(yàn)，旨在對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立作出推斷。

1、方程顯著性的F檢驗(yàn)

F檢驗(yàn)是對全部自變量進(jìn)行總的檢驗(yàn)，檢驗(yàn)這些自變量是否對因變量確有影響。即：檢驗(yàn)真實(shí)參數(shù)是否在一定置信水平下全部為零。第二十四頁，共44頁。H0：1=2==k=0H1：j不全為0j=1，2，…，k服從自由度為(k,n-k-1)的F分布

給定顯著性水平，可得到臨界值F(k,n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計(jì)量F的數(shù)值，通過

F

F(k,n-k-1)或FF(k,n-k-1)來拒絕或接受原假設(shè)H0，以判定原方程總體上的線性關(guān)系是否顯著成立。第二十五頁，共44頁。

2、關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與方程顯著性檢驗(yàn)關(guān)系的討論

第二十六頁，共44頁。

三、變量的顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）

方程的總體線性關(guān)系顯著每個(gè)解釋變量對被解釋變量的影響都是顯著的

因此，必須對每個(gè)解釋變量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。

這一檢驗(yàn)是由對變量的t檢驗(yàn)完成的。

1、t統(tǒng)計(jì)量

第二十七頁，共44頁。

以cii表示矩陣(X’X)-1

主對角線上的第i個(gè)元素，于是參數(shù)估計(jì)量的方差為：

其中2為隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，用它的估計(jì)量代替:

因此，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計(jì)量：第二十八頁，共44頁。

2、t檢驗(yàn)H1：i0

給定顯著性水平，可得到臨界值t/2(n-k-1)，|t|

t/2(n-k-1)拒絕原假設(shè)H0

|t|t/2(n-k-1)接受原假設(shè)H0H0：i=0

（i=1,2…k）

當(dāng)H0成立，~t（n-k-1)第二十九頁，共44頁。例3.2設(shè)某商品需求函數(shù)的估計(jì)結(jié)果為（n=18）：

（0.35）（0.50）要求：（1）計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量和調(diào)整的可決系數(shù)；（2）對參數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；（3）解釋回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義。括號中的數(shù)字為對應(yīng)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。第三十頁，共44頁。解：（1）第三十一頁，共44頁。（2）給定α=0.05，∴參數(shù)顯著不為零第三十二頁，共44頁。注意：

◎一元線性回歸中，t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)一致

◎多元線性回歸中，兩者是不同的

*檢驗(yàn)對象不同*當(dāng)對參數(shù)β1，β2，…，βk檢驗(yàn)均顯著時(shí)，F(xiàn)檢驗(yàn)一定是顯著的

*但當(dāng)F檢驗(yàn)顯著時(shí)，并不意味著對每一個(gè)回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)一定都是顯著的

第三十三頁，共44頁?！?.4非線性回歸模型

一、模型的類型二、幾種常見的非線性回歸模型第三十四頁，共44頁。一、非線性回歸模型的兩種基本類型1、Yi與β1是線性關(guān)系，與Xi為非線性關(guān)系

2、Yi與β1是非線性關(guān)系第一類經(jīng)適當(dāng)變換可轉(zhuǎn)化為線性模型，第二類需用非線性最小二乘法第三十五頁，共44頁。二、幾種常見的非線性回歸模型1、多項(xiàng)式模型設(shè)X1=X，X2=X2，則二次曲線變換為Y=β0+β1X1+β2X2+μ第三十六頁，共44頁。2、倒數(shù)模型

①雙曲線第三十七頁，共44頁。②β0β1<0β1>0β03、對數(shù)模型

①半對數(shù)(增長模型)

Y=β0+β1lnX+μ(對數(shù)線性模型)第三十八頁，共44頁。β0

lnY=β0+β1X+μ若X為年份,則β1為年均增長速度。②雙對數(shù)模型

lnY=β0+β1lnX+μ第三十九頁，共44頁。

4、冪函數(shù)模型

Y=aXbeμ例：Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)

Q=AKLeμQ：產(chǎn)出量，K：投入的資本；L：投入的勞動(dòng)

方程兩邊取對數(shù)，即為雙對數(shù)模型：lnQ=lnA+lnK+lnL+μ5、指數(shù)函數(shù)模型

①b>0b<0第四十頁，共44頁。②b>0b<0作業(yè)：表中所列數(shù)據(jù)是關(guān)于某種商品的市場供給量Y和價(jià)格水平X的觀察值：供給量Y（件）40455065757580價(jià)格X（元/件）10203040506070①用OLS法擬合回歸直線；②計(jì)算擬合優(yōu)度R2；③確定β1是否與零有區(qū)別。第四十一頁，共44頁。分析題:現(xiàn)有某地近期10個(gè)年份的某種商品銷售量Y、居民可支配收入X1、該種商品的價(jià)格指數(shù)X2、社會(huì)擁有量X3和其它商品價(jià)格指數(shù)X4的資