高三導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)之常見(jiàn)不等式的變形與應(yīng)用

高三導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)之常見(jiàn)不等式的變形與應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)一、課標(biāo)分析導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用內(nèi)容的基本定位：1、本節(jié)內(nèi)容為普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)，在有了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，單調(diào)性，極值最值的概念后，對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題綜合應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，不僅作為一種規(guī)則，更作為一種重要的思想、方法來(lái)學(xué)習(xí)。2、全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值，包括應(yīng)用價(jià)值：了解導(dǎo)數(shù)是研究事物變化快慢、研究函數(shù)單調(diào)性、極大（?。┲怠⒆畲螅ㄐ。┲岛徒鉀Q生活中優(yōu)化問(wèn)題的有力工具——導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用性；體會(huì)微積分的科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值。二、教材分析：導(dǎo)數(shù)知識(shí)是“高中數(shù)學(xué)”中的極其重要的部分，它的內(nèi)容、思想和應(yīng)用貫穿于整個(gè)“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)之中。它不僅為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程和解決實(shí)際問(wèn)題提供了必不可少的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，而且也為培養(yǎng)學(xué)生思維能力、分析解決問(wèn)題的能力及使學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)方法提供了不可多得的素材，從而為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)搭建平臺(tái)、拓展空間。而導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是導(dǎo)數(shù)知識(shí)中的重要內(nèi)容。本課程結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)中的這些內(nèi)容，通過(guò)具體的一類(lèi)不等式及其變式來(lái)闡述它們?cè)诓坏仁阶C明中的廣泛應(yīng)用，幫助初學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的學(xué)生拓展解題思路，進(jìn)行發(fā)散性思維，提高他們解決實(shí)際問(wèn)題的能力。三、教學(xué)目標(biāo)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型之一就是證明不等式成立。此類(lèi)型題常常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求最值。解答此題所涉及到的主要的數(shù)學(xué)能力有運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力。主要考查學(xué)生的函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想等?；谝陨戏治?，確立本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：知識(shí)與技能：通過(guò)典例的演繹與探究，體會(huì)常見(jiàn)不等式及其變形在解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的重要作用；過(guò)程與方法：通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力和概括能力，培養(yǎng)分析、抽象、概括等思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。情感態(tài)度價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知識(shí)的精神，鉆研精神和科學(xué)態(tài)度。運(yùn)用合作學(xué)習(xí)的方式，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神。教學(xué)重點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)證明該類(lèi)不等式，利用數(shù)形結(jié)合掌握其幾何意義教學(xué)難點(diǎn):該類(lèi)不等式的變形應(yīng)用。四、學(xué)情分析全國(guó)卷對(duì)于導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的考察靈活多變，是解答題中的重點(diǎn)難點(diǎn)，對(duì)于進(jìn)行二輪復(fù)習(xí)即將高考的學(xué)生而言更是急需攻克的難關(guān)，在諸多導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中，把常見(jiàn)不等式嵌入題目里，很多學(xué)生無(wú)從下手。所以導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用不能只停留在表面，要通過(guò)一題多變、一題多解、多題一解等，把知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)落到實(shí)處，真正達(dá)到有效備考。構(gòu)造我們常見(jiàn)的函數(shù)，通過(guò)求該函數(shù)的最值，可知不等式成立，再利用放縮，從而證明不等式。若能靈活應(yīng)用不等式求解，則學(xué)生思路會(huì)明確許多，難度也大大降低，所以教師有必要講透該不等式的變形及應(yīng)用。五、教學(xué)方法本節(jié)課教法上本著“以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，以問(wèn)題解決為主線，能力發(fā)展為目標(biāo)”的指導(dǎo)思想，結(jié)合我校學(xué)生實(shí)際，主要采用“教師導(dǎo)引，自主探究”式教學(xué)方法。通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)，設(shè)置一類(lèi)題目，引導(dǎo)學(xué)生在自主學(xué)習(xí)與合作交流中經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程；引發(fā)學(xué)生積極思考，靈活掌握知識(shí)，使學(xué)生從“懂”到“會(huì)”到“悟”，提高思維品質(zhì)，力求把傳授知識(shí)與培養(yǎng)能力融為一體。教與學(xué)矛盾的主要方面是學(xué)生的學(xué)，學(xué)是中心，會(huì)學(xué)是目的．《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》就學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)強(qiáng)調(diào)：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的‘再創(chuàng)造’過(guò)程”。因此在本節(jié)課的教學(xué)中，不斷地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)治學(xué)之道，求學(xué)之法。六、教學(xué)方法與教學(xué)手段問(wèn)題教學(xué)法、合作學(xué)習(xí)法，結(jié)合多媒體課件及實(shí)物投影七、課堂設(shè)計(jì)遵循數(shù)學(xué)教學(xué)的“過(guò)程性”和“發(fā)展性”的原則，設(shè)計(jì)如下教學(xué)環(huán)節(jié)：1、復(fù)習(xí)回顧：請(qǐng)大家回顧我們前面做過(guò)的這三個(gè)大題，它們有什么共同特征？學(xué)生活動(dòng)1：這三個(gè)題目是在近期做過(guò)的導(dǎo)數(shù)解答題中抽出的三個(gè)典型題目，幫助學(xué)生發(fā)它們的共同特點(diǎn)規(guī)律，都是以常見(jiàn)不等式為切入點(diǎn)，對(duì)其中的進(jìn)行賦值變形，從而證明其不等式成立。（問(wèn)題設(shè)在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，可引發(fā)學(xué)生的積極思維，使學(xué)生根據(jù)新的學(xué)習(xí)任務(wù)主動(dòng)提取已有知識(shí)．）2、兩個(gè)常用的切線不等式請(qǐng)證明這兩個(gè)不等式，你能找出它的幾何意義嗎？學(xué)生活動(dòng)2：不等式的證明學(xué)生作答,教師板書(shū)證明過(guò)程，得到結(jié)論，提示學(xué)生能否解釋其幾何意義，在平面直角坐標(biāo)系下，發(fā)現(xiàn)直線與曲線相切，所以我們不妨又把這種不等式叫做切線不等式，并注意互為反函數(shù)。師生活動(dòng)1：師生共同總結(jié)證明過(guò)程，構(gòu)造差函數(shù)，不等式的證明化歸為函數(shù)的最值問(wèn)題,即學(xué)生活動(dòng)3：你能得到該不等式的那些變式？說(shuō)明理由。學(xué)生活動(dòng)4：學(xué)生小組討論，個(gè)別回答，其他學(xué)生補(bǔ)充，教師適當(dāng)引導(dǎo)總結(jié)。3、簡(jiǎn)單應(yīng)用——小題我們可以這么做學(xué)生活動(dòng)5：學(xué)生講解解題過(guò)程。（1）引導(dǎo)學(xué)生直接對(duì)應(yīng)常見(jiàn)不等式的變形：，右側(cè)即證明，實(shí)質(zhì)上就是變形2，所以這個(gè)高考題就變成一個(gè)口算題，只需證明常見(jiàn)不等式即可。（2）數(shù)形結(jié)合，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即是切線不等式（3）解析：f′(x)＝lnx－2ax＋1，依題意知f′(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2.即曲線y1＝lnx與y2＝2ax－1有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖．由直線y＝x－1是曲線y1＝lnx的切線，可知：0<2a<1，且0<x1<1<x2.∴a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，∴f(x1)<f(1)＝－a<0，f(x2)>f(1)＝－a>－eq\f(1,2).師生活動(dòng)2：學(xué)生可能有不同方法，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到常見(jiàn)不等式靈活應(yīng)用的便捷。（目的：把探求新知的權(quán)利交給學(xué)生,為學(xué)生提供寬松、廣闊的思維空間，讓學(xué)生主動(dòng)參與到問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、討論和解決等活動(dòng)上來(lái)．而且在探究交流過(guò)程中學(xué)會(huì)合作，學(xué)會(huì)欣賞別人.）4、綜合應(yīng)用——來(lái)看看高考大題怎么出1.（2013新課標(biāo)=2\*ROMANII）已知函數(shù)f(x)＝ex－ln(x＋m)．當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.學(xué)生活動(dòng)6：學(xué)生借助實(shí)物投影儀來(lái)講解證明過(guò)程。證明：（方法一）當(dāng)m≤2，x∈(－m，＋∞)時(shí)，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需證明當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)>0.當(dāng)m＝2時(shí)，函數(shù)f′(x)＝ex－eq\f(1,x＋2)在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一實(shí)根x0，且x0∈(－1,0)．當(dāng)x∈(－2，x0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，從而當(dāng)x＝x0時(shí)，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得ex0＝eq\f(1,x0＋2)，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝eq\f(1,x0＋2)＋x0＝eq\f(1,x0＋2)＋(x0＋2)－2>2－2=0.綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f(x)>0.教師適當(dāng)講解補(bǔ)充（方法二）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而，而且不能同時(shí)取“=”故當(dāng)時(shí)，，從而師生活動(dòng)3：師生共同評(píng)價(jià)，總結(jié)兩種方法，先將m看做變量，化歸到只須證明當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)>0.第一種設(shè)而不求是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常規(guī)方法，在求不出導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，利用零點(diǎn)存在性定理，找到導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)所在范圍，從而進(jìn)行代換證明不等式；而第二種辦法學(xué)生觀察思考更加深入，發(fā)現(xiàn)題根，直接利用常見(jiàn)不等式及其變形證明。（思維升華：方法一，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的思想，并沒(méi)有求出極小值點(diǎn)x0，而是巧妙的“轉(zhuǎn)移”，將f(x)的最小值f(x0)轉(zhuǎn)化為了熟悉的求最值的情形。方法二，將不等式ex≥－(x＋1)和x－1≥lnx的變式結(jié)合在一起，用不等式取等的條件完成證明，非常簡(jiǎn)練，值得回味）2.(2010全國(guó)I理)已知函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）證明：.師生活動(dòng)4：回顧這個(gè)題，我們看看它如何解決，那么題目又是怎么編出來(lái)的呢？ppt演示講解證明過(guò)程解：（1）,題設(shè).由不等式可得，所以，綜上，的取值范圍是.（2）由（1）知，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以師生活動(dòng)5：教師引導(dǎo)學(xué)生反思解法，這是一個(gè)曾經(jīng)做過(guò)的題目，對(duì)比全國(guó)卷13年的上一道題，引導(dǎo)學(xué)生思考出題人的思路，高考題中一類(lèi)不等式問(wèn)題的切入點(diǎn)是由常見(jiàn)不等式變形來(lái)的。3.[2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)函數(shù)f(x)＝aexlnx＋eq\f(bex－1,x)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2.求a，b；(2)證明：f(x)>1.學(xué)生活動(dòng)7：投影解題過(guò)程（在前面師生一起總結(jié)了幾道小題和全國(guó)卷兩道大題的基礎(chǔ)上，此題完全放給學(xué)生，由學(xué)生總結(jié)本題不等式的解法。）方法一：要證明的不等式直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)不好證，考慮變形后分成兩個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問(wèn)題，注意幫助學(xué)生區(qū)分并不是所有的不等式都能轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)，因?yàn)榇祟}可以構(gòu)造常見(jiàn)函數(shù)，所以考慮用這個(gè)方法。方法二：提取公因式，變形成兩個(gè)大于1的因式相乘的形式，用切線不等式的變形解決此題。（思維提升：讓學(xué)生學(xué)會(huì)類(lèi)比，在前兩個(gè)題目切線不等式的加減移項(xiàng)變形的基礎(chǔ)上，本題升級(jí)成為乘除提取公因式變形，幫助學(xué)生更好的理解變形方法，教師引導(dǎo)學(xué)生探索此類(lèi)不等式問(wèn)題的源頭，體會(huì)命題人思路。）4.（2012山東理）已知函數(shù)，設(shè)g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意x>0，g(x)<1＋e－2.師生活動(dòng)6：回顧前面做過(guò)的導(dǎo)數(shù)大題，幫助學(xué)生深化思維，總結(jié)歸納出這一類(lèi)問(wèn)題的解題策略分析：f′(x)＝eq\f(1,xex)(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，g(x)＝(x2＋x)f′(x)，所以g(x)＝eq\f(x＋1,ex)(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)． 對(duì)任意x>0，g(x)<1＋e－21－x－xlnx<eq\f(ex,x＋1)(1＋e－2)．設(shè)h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，求得h(x)max=h(e－2)＝1＋e－2，所以只須證eq\f(ex,x＋1)>1，轉(zhuǎn)化為ex>x＋1(x>0)的證明.（思維升華：本題直接求g(x)的最大值會(huì)有很大難度，因而將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，當(dāng)x>0時(shí)，eq\f(x＋1,ex)(1－x－xlnx)<1＋e－2等價(jià)于1－x－xlnx<eq\f(ex,x＋1)(1＋e－2)，最終歸結(jié)到證明熟悉的重要不等式ex>x＋1(x>0)上來(lái)，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。）八、課后反思學(xué)完本節(jié)，你有什么收獲？學(xué)生活動(dòng)8：學(xué)生先獨(dú)立思考，個(gè)別回答，師生共同補(bǔ)充完善。高考對(duì)函數(shù)不等式ex≥x＋1的考查靈活多樣，但萬(wàn)變不離其宗，只要記住幾種典型的變形，再對(duì)x進(jìn)行合理賦值、放縮，就能解決很多類(lèi)似的題目。學(xué)生自己從所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法兩方面進(jìn)行總結(jié)，在回顧、總結(jié)、反思的過(guò)程中，將所學(xué)知識(shí)條理化、系統(tǒng)化，使自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更趨合理．注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的提煉，可使學(xué)生逐漸把經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為能力，從而走向一個(gè)新的至高點(diǎn)．九、布置作業(yè)1