浙江省紹興市重點中學2023屆高三下學期4月限時訓練數(shù)學試題及參考答案

年4月紹興市重點中學高三限時訓練數(shù)學試卷一?單選題（每題5分，共40分）1.若集合，則（）A.B.C.D.2.已知是關于的方程的兩個根.若，則（）A.B.1C.D.23.記等差數(shù)列的前項和為.若，則下列一定成立的是（）A.B.C.D.4.已知平面向量，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.5.在“2，3，5，7，11，13”這6個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，這兩數(shù)之和仍為素數(shù)的概率是（）A.B.C.D.6.設，則（）A.B.C.D.7.已知球的直徑為，是球的球面上的兩點，，則三棱錐的體積為（）A.B.C.D.8.已知，且，則的大小關系為（）A.B.C.D.二?多選題（每題5分，少答2分，共20分）9.已知圓臺的軸截面如圖所示，其上?下底面半徑分別為，母線長為2，點為的中點，則（）A.圓臺的體積為B.圓臺的側面積為C.圓臺母線與底面所成角為D.在圓臺的側面上，從點到點的最短路徑長為410.以下四個命題中，真命題的有（）A.在回歸分析中，可用相關指數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好.B.回歸模型中殘差是實際值與估計值的差，殘差點所在的帶狀區(qū)域寬度越窄，說明模型擬合精度越高.C.對分類變量與的統(tǒng)計量來說，值越小，判斷“與有關系”的把握程度越大.D.已知隨機變量服從二項分布，若，則.11.已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于兩點，點在上的射影為，則下列說法正確的是（）A.若，則B.以為直徑的圓與準線相交C.設，則D.過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線有3條12.已知是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，且，則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.B.若，則C.存在實數(shù)，使得成等比數(shù)列D.存在實數(shù)，使得，且成等差數(shù)列三?填空題（毎題5分，共20分）13.數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)是__________.14.設，則__________.15.從點射出兩條光線的方程分別為：和，經(jīng)軸反射后都與圓相切，則__________.16.已知橢圓是的左焦點，過的上頂點作的垂線交于點.若直線的斜率為的面積為，則的標準方程為__________.四?解答題（17題10分，18-22題每題12分，共70分）17.數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和.18.條件①，條件②，條件③.請從上述三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答.已知的內角所對的邊分別為，且滿足__________.（1）求；（2）若是的角平分線，且，求的最小值.（注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）19.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面為線段的中點，為線段上的動點.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成的角的余弦值為，求點到平面的距離.20.云計算是信息技術發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計算市場規(guī)模持續(xù)增長.從中國信息通信研究院發(fā)布的《云計算白皮書（2022年）》可知，我國2017年至2021年云計算市場規(guī)?數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼12345云計算市場規(guī)模/億元692962133420913229經(jīng)計算得：.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程，（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（2）云計算為企業(yè)降低生產成本?提升產品質量提供了強大助推力.某企業(yè)末引入云計算前，單件產品尺寸與標準品尺寸的誤差，其中為單件產品的成本（單位：元），且；引入云計算后，單件產品尺寸與標準品尺寸的誤差.若保持單件產品的成本不變，則將會變成多少？若保持產品質量不變（即誤差的概率分布不變），則單件產品的成本將會下降多少？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和倠距的最小二乘估計分別為.若，則.21.已知雙曲線的焦距為10，且經(jīng)過點為雙曲線的左?右頂點，為直線上的動點，連接交雙曲線于（不同于）.（1）求雙曲線的標準方程；（2）直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.22.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，.（1）當時，函數(shù)有極小值，求；（2）證明：恒成立；（3）證明：.2023年4月紹興一中高三限時訓練數(shù)學參考答案與解析12345678BCCBACAD1.，則，故選B2.因為，故選：3.因為為等差數(shù)列，，所以，故選C4.解析：（投影向量計算）在上的投影向量為.故選B5.解析：由題意得，6個數(shù)中任取2個數(shù)，共有種可能，2個素數(shù)之和仍為素數(shù)，則可能為（2和3和5）?（2和11）共有3種可能，所求概率.故選A.6.解析：由，令，則，令，則，又，故選.7.解析：易知.過點作，連接，則，可得平面，故選A.8.解析：，構造函數(shù)，則，在上單調遞減，，所以在上單調遞減，所以，答案選D.9101112ACABACDABC9.解析：（立體幾何）取中點，連接，則，故，故底面，且，則，故A正確；圓臺的側面積為，故B錯誤；圓臺母線與底面所成角為，故C正確；因為下底面圓周長為，而，故側面展開圖中圓心角，從點到點的最短路徑長為，故D錯誤；故選.10.解析：對于，由相關指數(shù)的定義知：越大，模型的擬合效果越好，A正確；對于，殘差點所在的帶狀區(qū)域寬度越窄，則殘差平方和越小，模型擬合精度越高，B正確；對于，由獨立性檢驗的思想知：值越大，“與有關系”的把握程度越大，錯誤；對于D，，又，解得：，錯誤.故選：.11.解析：拋物線由題意，故A正確；拋物線的準線，則以為直徑的圓的半徑，線段的中點坐標為，則線段的中點到準線的距離為，所以以為直徑的圓與準線相切，故B錯誤；拋物線的焦點為，當且僅當三點共線時，取等號，所以，故C正確；對于D，當直線斜率不存在時，直線方程為，與拋物線只有一個交點，當直線斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立，消得，當時，方程得解為，此時直線與拋物線只有一個交點，當時，則，解得，綜上所述，過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線有3條，故D正確.故選ACD.12.解析：，當時，則，即，所以在上是增函數(shù)，又，所以是偶函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則，且，故A正確；在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，且.又，所以，又，所以，故B正確；，所以，若存在實數(shù)使得成等比數(shù)列，，令在上是增函數(shù)，，所以存在使得，故C正確；若使得，且成等差數(shù)列，則，與相互矛盾，所以D不正確.故選.13.19.514.115.-116.13.解析：，共8個數(shù)據(jù)，.第2，3個數(shù)據(jù)分別為.14.解析：由①，②①+②，得，所以，故.故答案為：115.解析：根據(jù)對稱性，兩條反射光線的方程分別為和.依題意有，且圓在軸上方，，故填：-1.16.解析：設直線交軸于點.因為，所以.因為，所以，則，故直線的方程為.解方程組得，或，即，故，則，得.又，所以，所以，故的標準方程為.故答案為：.17.解析：（1）當時，，當時，，，兩式相減得到，故，當時也符合上述通項公式，綜上，.（2）因為，所以，從而，當時，，兩式相除得到，當時，，故.當時，，當時，.18.解析：（1）選②因為，由正弦定理，所以，即，由余弦定理.因為，所以.選③因為，由正弦定理且，所以，即，而，所以，所以.因為，所以，即.選①因為，由正弦定理，所以，即，所以，而，所以，故，因為，所以.（2）解析1：如圖，過分別作.由題意可知和都是邊長為1的正三角形.由得.所以，即.同理，，所以.由得，即.因此，當且僅當時取等號，所以的最小值為.解析2：由題意可知，，由角平分線性質和三角形面積公式得，.化簡得，即，因此，當且僅當時取等號，所以的最小值為.19.（1）解析1：因為底面平面，所以.因為為正方形，所以，又因為平面平面，所以平面.因為平面，所以.因為為線段的中點，所以，又因為平面平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.解析2：因為底面平面，所以平面底面.又平面底面平面，所以平面.因為平面，所以.因為為線段的中點，所以.因為平面平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.解析3：因為底面，以為坐標原點，以的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則，所以，設為平面的法向量，則所以取，則，則，設為平面的法向量，則所以取，則，則.因為，所以，所以平面平面.（2）解析1：（基于（1）解法一?二）因為底面，以為坐標原點，以的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，易知是平面的法向量，設，則，所以，所以，即，得，所以，設為平面的法向量，則所以平面的法向量.又因為，所以點到平面的距離為，所以點到平面的距離為.解析2：（基于（1）解法一?二）由（1）可知，是直線與平面所成的角，所以，解得，故是的中點.所以，的面積為.因為的面積為.設點到平面的距離為，則有，解得，所以點到平面的距離為.解析3：（基于（1）解法三）易知是平面的法向量，所以，即，解得，所以，又因為，所以點到平面的距離為，所以點到平面的距離為.20.解析：（1）因為，所以，所以，所以，所以.（2）末引人云算力輔助前，，所以，又，所以，所以.引人云算力輔助后，，所以，若保持產品成本不變，則，所以；若產品質量不變，則，所以，所以單件產品成本可以下降元.21.（1）解析：由題左?右焦點為，，雙曲線的標準方程為.（2）解析1：設的方程為，聯(lián)立消去得，的方程為，令，得，的方程為，令，得，解得或，即或（舍去）或（舍去），的方程為，直線過定點，定點坐標為.（2）解析2：設的方程為，聯(lián)立消去得，的方程為的方程為，分別在和上，，兩式相除消去得，又將代入上式，得整理得，解得或（舍去）.的方程為直線過定點，定點坐標為.22.（1）解析：（求導數(shù)），令，得，則時，時，.則在上單調遞減，在上單調遞增，則函數(shù)的極小值點.（2）解析1：（運用熟知的不等式放縮），只需證明：.先證明，令