2023年江蘇省常州市前黃國(guó)際高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng):

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是

2

(1)對(duì)于命題P：eR使得-1<0,則:HreR都有x-1>0;

(2)已知X?N(2,/),則P(X>2)=0.5

(3)已知回歸直線(xiàn)的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為（4,5）,則回歸直線(xiàn)方程為》=2%-3；

(4)“x21”是“x+->2”的充分不必要條件.

X

A.1B.2C.3D.4

2.44BC中,如果/gcos4=IgsinC?/gsinB=-也2,則zUBC的形狀是()

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

3.關(guān)于函數(shù)/（幻=411|幻+|85%］有下述四個(gè)結(jié)論：（）

②/（X）在區(qū)間（go）

①/（x）是偶函數(shù);上是單調(diào)遞增函數(shù);

③/（x）在R上的最大值為2；④〃力在區(qū)間［-24,2句上有4個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（)

A.①②④B.①③C.①④D.②④

x+y<\Q

4.設(shè)實(shí)數(shù)X、y滿(mǎn)足約束條件x-y<2,貝!］2=2%+3曠的最小值為（）

x>4

A.2B.24C.16D.14

5.已知尸是雙曲線(xiàn)C:丘2+V=4伙|（A為常數(shù)）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)的距離為（）

A.2kC.4D.2

6.在正方體A5CO—4百￡。中，點(diǎn)E,F,G分別為棱4A，DXD,4g的中點(diǎn)，給出下列命題：①AQ，EG；

TT

?GC//ED-,③男尸，平面8GC；④所和成角為一.正確命題的個(gè)數(shù)是（）

4

A.0B.1C.2D.3

7.已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)g(x)=/(2x)+屈工7的定義域?yàn)?)

A.[0,1]B.[0,2]

C.[1,2]D.[1,3]

8.四人并排坐在連號(hào)的四個(gè)座位上，其中A與3不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是()

A.12B.16C.20D.8

9.已知一*—=a+2i(aeR),i為虛數(shù)單位，則。=()

l-2i

A.73B.3C.1D.5

10.設(shè)百,々為/(x)=Gsin0x-cosa)x?>O)的兩個(gè)零點(diǎn)，且|看一引的最小值為1,則()

n兀n

A.乃B.—C.—D.—

234

11.已知向量萬(wàn)=(/"/)，b=(3,m-2),則根=3是a//B的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

12.對(duì)于定義在R上的函數(shù)y=/(x),若下列說(shuō)法中有且僅有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的一個(gè)是()

A./(力在(-8,0]上是減函數(shù)B./(%)在(0,+紇)上是增函數(shù)

C.7(x)不是函數(shù)的最小值D.對(duì)于xeR,都有"x+l)=/(l-x)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

TT

13.已知向量d與5的夾角為芋，修1=151=1，且ML(af6)，則實(shí)數(shù)2=.

14.的展開(kāi)式中，的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

15.若(V一2x-3)"的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為256,則及=,含Y項(xiàng)的系數(shù)是(用數(shù)字作答).

x-l<0

16.變量x，)’滿(mǎn)足約束條件卜+>+120,則目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y的最大值是一.

x-y+3>0

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=|x-2|+|2x-a|.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式“X)23的解集;

(2)當(dāng)/(x)=|x—。+2|時(shí)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

18.(12分)已知ae(0,都加仁，兀)，cos/7=-；,sin(a+〃)得.

(1)求sina的值；

(2)求tan(a+f)的值.

1

x=a-\--t

2

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)/的參數(shù)方程為《

ra為參數(shù)，aeR).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為

y-y/3a——^-t

極點(diǎn)、x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為302cos2e+4"sin2e=3.

(1)若點(diǎn)A(2,0)在直線(xiàn)/上，求直線(xiàn)/的極坐標(biāo)方程；

(2)己知a＞0,若點(diǎn)P在直線(xiàn)/上，點(diǎn)Q在曲線(xiàn)C上，且IPQI的最小值為且，求。的值.

2

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1+與=1(。＞匕＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F,,且點(diǎn)耳、

a~h~

居與橢圓C的上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

(1)求橢圓C的方程;

幽

(2)已知直線(xiàn)/與橢圓。相切于點(diǎn)P,且分別與直線(xiàn)x=-4和直線(xiàn)x=-l相交于點(diǎn)/、N.試判斷四用是否為定

值,并說(shuō)明理由.

1-r2

"=2"

21.（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為j1；；。為參數(shù)）.點(diǎn)〃（%,為）在曲線(xiàn)。上，點(diǎn)。?！?，〃）

（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡G的極坐標(biāo)方程；

7rli

（2）點(diǎn)A,5分別是曲線(xiàn)G上第一象限，第二象限上兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足求77G+77^3的值.

2\OA\~\OBI

22.（10分）已知?jiǎng)訄A。經(jīng)過(guò)定點(diǎn)產(chǎn)（0,a）,且與定直線(xiàn)/：>=一。相切（其中。為常數(shù)，且a>0）.記動(dòng)圓圓心。的

軌跡為曲線(xiàn)C.

（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線(xiàn)？

（2）設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,-a）,過(guò)點(diǎn)尸作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A,若過(guò)點(diǎn)尸的直線(xiàn)機(jī)與曲線(xiàn)C交于M,N兩點(diǎn)，

則是否存在直線(xiàn)機(jī)，使得NAFM=NAEN?若存在，求出直線(xiàn)，〃斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題的關(guān)系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的性質(zhì)，即可

判定是正確的；（3）中，由回歸直線(xiàn)方程的性質(zhì)和直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要

條件的判定方法，即可判定.

【詳解】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題的關(guān)系，可知命題pH/eR使得*-140,則「〃：VxeR都有

x2-l>0>是錯(cuò)誤的；

（2）中，已知X?N（2,cr2）,正態(tài)分布曲線(xiàn)的性質(zhì)，可知其對(duì)稱(chēng)軸的方程為x=2,所以P（X>2）=0.5是正確的;

(3)中，回歸直線(xiàn)的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),由回歸直線(xiàn)方程的性質(zhì)和直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，可得

回歸直線(xiàn)方程為y=2x-3是正確;

(4)中，當(dāng)xNl時(shí)，可得尤+成立，當(dāng)時(shí)，只需滿(mǎn)足了>0,所以“xNl”是“x+^N2”

xVxXX

成立的充分不必要條件.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線(xiàn)的性質(zhì)、回歸直線(xiàn)方程的性

質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于

基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

八fsinC…sinC1人一?兀工2兀,,、、1，,一

化簡(jiǎn)得，gcosA=/g-----=Tg2,即cos4=------=-，結(jié)合0<4<兀，可求/=-，得⑶+C=:^入s加。=-s加6,從而

sinBsinB2332

可求C,B,進(jìn)而可判斷.

【詳解】

sinC.sinC1

由/gcos/1=/gsinC-IgsinB--lg2,可得IgcosA—Io———-lg2,/?cosA—~—=一，

sinBsinB2

71

...2TI1.1.(2冗\(yùn)J31A/3Tt

9=—,

?0<A<兀，??4=-,B+C=-??sinC=-sin3=_sin|-C|—cosC+sinC??tanC=—,C=—,B=—?

3322\3)44362

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(x)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的編號(hào).

【詳解】

/(X)的定義域?yàn)镽.

由于/(—x)=/(x)，所以為偶函數(shù)，故①正確.

由于H=si哈+cos(與j\￡|=si吟+cos^^|^,小5</卜"所以/⑴在

區(qū)間（-§0）上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以②錯(cuò)誤.

當(dāng)xNO時(shí)，/（X）=sinx+|cosx|=sinx±cosx=V^sinx+—<V2,

且存在x=X,使/—|=sin—+cos—=yf2.

414；44

所以當(dāng)x20時(shí)，/(x)<V2；

由于/(x)為偶函數(shù)，所以xeR時(shí)/(x)wJL

所以〃x)的最大值為夜，所以③錯(cuò)誤.

依題意，,f(0)=sin|0|+|cos0|=l,當(dāng)0<xW2》時(shí),

式、37r

sinx+cosx,0<x<——<X<2TI

〃x)=兀22,

sinx-cosx,—<x<—

22

7TT5

所以令sinx+cosx=0,解得％=彳，令sinx-cosx=0,解得x=7.所以在區(qū)間（0,2司，.f（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

由于為偶函數(shù)，所以/（X）在區(qū)間［-2肛0）有兩個(gè)零點(diǎn).故“X）在區(qū)間［-2萬(wàn),2句上有4個(gè)零點(diǎn).所以④正確.

綜上所述，正確的結(jié)論序號(hào)為①④.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

4.D

【解析】

做出滿(mǎn)足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.

【詳解】

x+y<10

做出滿(mǎn)足<x-y?2的可行域，如下圖陰影部分，

x>4

根據(jù)圖象，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最小值，

x=4x=4

由，C，解得,即44,2),

x-y=2b=2

所以z=2x+3y的最小值為14.

本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

分析可得k<0,再去絕對(duì)值化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

2丫2

當(dāng)左20時(shí),等式履2+y2=4|Z|不是雙曲線(xiàn)的方程；當(dāng)k<0時(shí)，丘2+y2=4|Z|=-43可化為二v一一二=1,可得虛

-4k4

半軸長(zhǎng)6=2,所以點(diǎn)尸到雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)的距離為2.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線(xiàn)的方程與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法對(duì)四個(gè)命題逐一分析，由此得出正確命題的個(gè)數(shù).

【詳解】

設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，A(2,0,0),C,(0,2,2),G(2,l,2),

C(0,2,0)倒1,0,2),。(0,0,0),4(222),*0,0,1),5(2,2,0).

①，福=(一2,2,2),由=(1,1,0),延?西=—2+2+0=0,所以AGLEG,故①正確.

②，GC=(-2,1,-2),ED=(-1,0,-2),不存在實(shí)數(shù)2使沅=2喬,故GC〃即不成立，故②錯(cuò)誤.

③，B^F=(-2,-2,-1),=(0,-1,2),Bq=(-2,0,2),B^FBG=0,B^FBQ=2^0,故用口，平面BGQ不

成立，故③錯(cuò)誤.

EFBB,—2V2

④，市=(-1,0,-1),嗨=(0,0,2),設(shè)族和Bg成角為凡貝!jcos6=由于

HHV2x2—2

TT

’所以6="故④正確.

綜上所述,正確的命題有2個(gè).

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面位置關(guān)系的向量判斷方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

7.A

【解析】

042x42

試題分析：由題意，得｛。c，解得OWxWl,故選A.

8-2>0

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域.

8.A

【解析】

先將除A,3以外的兩人先排，再將A,〃在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空，再相乘得答案.

【詳解】

先將除A,8以外的兩人先排，有&=2種；再將A,8在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空，有&=3x2=6種，所以共有

2x6=12種.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查排列中不相鄰問(wèn)題，常用插空法，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【詳解】

由一---a+2i,得1+2i=a+2i,解得a=l.

l-2i

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

TT

先化簡(jiǎn)已知得/Xx)=2sin(wx-上),再根據(jù)題意得出f(x)的最小值正周期T為1x2,再求出3的值.

6

【詳解】

7T

由題得/(x)=2sin(wx-m),

6

設(shè)xi,X2為f(x)=2sin(a)x-￡)(co＞0)的兩個(gè)零點(diǎn)，且上一目的最小值為L(zhǎng)

6

T

/.-=L解得T=2；

2

?紅

??一〃,

(0

解得＜O=rt.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

向量a=(/n,l),8=(3,加一2)，a11b＞貝！|3=加加—2),即疝—2〃z-3=O,機(jī)=3或者-1,判斷出即可.

【詳解】

解：向量a=(根,1)，。=(3,m一2)，

al1b?則3=加(加—2)，即〃，-?2〃z-3=0，

m=3或者-1,

所以m=3是〃z=3或者加=-1的充分不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

由f(x+1)=/(I-x)得/(X)關(guān)于X=1對(duì)稱(chēng)，

若關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)fM在(0,+/)上不可能是單調(diào)的，

故錯(cuò)誤的可能是8或者是。，

若。錯(cuò)誤，

則f(x)在(-8,01上是減函數(shù)，在Ax)在(0,+8)上是增函數(shù)，則/(0)為函數(shù)的最小值，與C矛盾，此時(shí)C也錯(cuò)誤,

不滿(mǎn)足條件.

故錯(cuò)誤的是B,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

根據(jù)條件即可得出無(wú)5=g，a2=l,由1，k一/19即可得出必(萬(wàn)一/lB)=0,進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出入.

【詳解】

???向量d與日的夾角為g,\a\=\bl=b且—")；

a-(a-Ab}=a2-Aa-b=1--=0；

/.X=l.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量垂直的充要條件.

14.60

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng)，即可求得的系數(shù).

【詳解】

因?yàn)?

所以l=4,

則所求項(xiàng)的系數(shù)為C：(-V2)4=60.

故答案為：60

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用，指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

15.4108

【解析】

???(/一2%一3)”的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為256,，4"=256，...〃二4，

(x2-2x-3)"=(x2-2x—3/=(x-3)4(x+l)4,.--x2項(xiàng)的系數(shù)是C；(-3)2+C>(-3)4+C；x(-3)3xC；=108,

故答案為(1)4,(2)108.

16.5

【解析】

分析：畫(huà)出可行域，平移直線(xiàn)y=2x+z,當(dāng)直線(xiàn)y=2x+z經(jīng)過(guò)A(-2,1)時(shí)，可得z=-2x+y有最大值4+1=5.

x+y+1=0x=-2

由,可得＜

x—y+3=0y=i

可得A（-2,l）,

目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y變形為y=2x+z,

平移直線(xiàn)y=2x+z,

當(dāng)直線(xiàn)y=2x+z經(jīng)過(guò)A(-2,l)時(shí)，

可得z=-2x+y有最大值4+1=5,

故答案為5.

點(diǎn)睛：本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、

三求”：(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線(xiàn)還是虛線(xiàn))；(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變

形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的定點(diǎn)就是最優(yōu)解)；(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)(-OO,0]U[2,4W)(2)當(dāng)aW4時(shí)，x的取值范圍為]W2；當(dāng)a>4時(shí)，x的取值范圍為

【解析】

(1)當(dāng)。=1時(shí)，分類(lèi)討論把不等式/(%)23化為等價(jià)不等式組，即可求解.

(2)由絕對(duì)值的三角不等式，PJ^/(X)>|2X-?-(X-2)|=|X-?+2|,當(dāng)且僅當(dāng)(2x—a)(x-2)<0時(shí)，取

分類(lèi)討論，即可求解.

【詳解】

—3x+3,xW-

2

,I

(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=<x+1,一<九<2,

2

3%-3,x>2

—3x+323x+123

/、3x—3oN3o

不等式/(x"3可化為1或11°或c，

x<--<x<2x>2

I2121

解得不等式的解集為(F,()[32,M).

⑵由絕對(duì)值的三角不等式，-SJ^/(-^)=|X-2|+|2X-?|>|2X-6!-(X-2)|=|X-6Z+2|,

當(dāng)且僅當(dāng)(2%—。)(％—2)40時(shí)，取“=”，

所以當(dāng)時(shí)，》的取值范圍為@<xW2；當(dāng)。>4時(shí)，x的取值范圍為

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了含絕對(duì)值的不等式的求解，以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記含絕對(duì)值不等式的解法，

以及合理應(yīng)用絕對(duì)值的三角不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)-(2)述

32

【解析】

(1)先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系解得sin尸和cos(。+⑶,再由sin。=sin[(&+尸)一川，利用正弦的差角公式求解

即可；

(2)由(1)可得tana和tanS,利用余弦的二倍角公式求得tan2,再由正切的和角公式求解即可.

2

【詳解】

解：(1)因?yàn)槟?,cos￡=-g,

所以sin/?=yjl-cos2p2>/2

所以sina=sin[(a+/)-/?]=sin(a+0)cosp-cos(a+0)sin0

7f1W4a)2V21

=—x--------------------x---------=—

9(3乂9J33

(2)由(1)得,sina=g,a

所以tana=包里=立,

cosa4

a6cos2,_sin2g1-tan2g]

因?yàn)閏os/=cos?f-sin2g=-l-----飛=-------看且COS尸=一；,

2cos24+sin241+tan噗3

222

l-tan-g

即-------飛=T，解得tan24=2,

l+tan2132

因?yàn)楣?,所以，所以,嗎

>0,

所以tan?=尤，

/n\tanct+tan笆+A/2Crz

所以tana+2=------------。=工_^=也

I2)1-tanatan1--2

22

【點(diǎn)睛】

本題考查已知三角函數(shù)值求值，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查和角公式,二倍角公式，同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算

能力.

19.(1)x/3pcos^+psin/9-2V3=0

⑵a=e

【解析】

(1)利用消參法以及點(diǎn)A(2,0)求解出/的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求解出直線(xiàn)/的極坐標(biāo)方程：

(2)將。的坐標(biāo)設(shè)為(cosa,百sina),利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的有界性，求解出|PQ|取最小值時(shí)

對(duì)應(yīng)。的值.

【詳解】

(1)消去參數(shù)/得/普通方程為Kx+y-26。=0,

將A(2,0)代入，可得“=1,即Gx+y-2百=0

所以/的極坐標(biāo)方程為cos0+psmO-2y/3=0

2

(2)。的直角坐標(biāo)方程為/+匕=]

3

直線(xiàn)/的直角坐標(biāo)方程y/3x+y-2百。=()(a>0)

設(shè)。的直角坐標(biāo)為(cosa,Gsina)

VP在直線(xiàn)上，.??IPQI的最小值為Q到直線(xiàn)l的距離d(a)的最小值

V6sin+--2\[3a

d(a)=--------------------

???a>0,...當(dāng)a=工，由/&+￡1=1時(shí)|「。|取得最小值如

4I4；2

即|"-264|=邁,:…叵

22

【點(diǎn)睛】

本題考查直線(xiàn)的參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化以及根據(jù)曲線(xiàn)上一點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最值求參數(shù)，難度一般.

(1)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式：夕cose=x,QsinO=y；(2)求解曲線(xiàn)上一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最值，可優(yōu)先考

慮將點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式，然后再去求解.

Vv21

20.(1)—+^-=1(2)￡皆為定值二.

43阿娟2

【解析】

(1)根據(jù)題意，得出c,從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）根據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)方程/：y=^+〃z,因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓相切，這有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程得

（4父+3）*+8k加+4（加2-3）=（）,則4=（）,解得4r+3一〃22=（）①

把x=T和x=-l代入.丫=米+〃？,得A/（T,-4k+/〃）和N（-\,-k+m）,

|片的表達(dá)式，比即可得出就=5為定值.

【詳解】

解：（1）依題意,2c=a=2,；.c=1,。=6.

2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)Y+Lv=i.

43

⑵瑞為定值相

①因?yàn)橹本€(xiàn)/分別與直線(xiàn)x=T和直線(xiàn)X=—1相交，

所以，直線(xiàn)/一定存在斜率.

②設(shè)直線(xiàn)/：y=kx+m,

由<j21建']2得（4代+3*+8knr+4（療-3）=0,

由△=（8而I一4x（4左2+3）X4（W2-3）=0,

得4左？+3—加2=0.①

把x=Y?代入、=丘+機(jī),得M（y-4Z+/〃），

把％=一1代入,="+機(jī)，得N（_1,_4+機(jī)）,

又因?yàn)?（-1,0）,鳥(niǎo)。,0）

所以W4|=|一人+詞，

阿用=^（-4+1）2+（^+/H）2=M（-4k+,n『，②

由①式，得3=/-4左2,③

把③式代入②式，得可制="（k-mf=2卜攵+同,

.Rl_\k~m\_1即加附1

.?麗一行[一5,即畫(huà)為定值引

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的定義、方程、和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運(yùn)用，考查橢圓的定值問(wèn)題，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，是中檔

題.

7

21.(1)3P2cos2。+4P2sin?。=12(-.<><%)；(2)—

【解析】

(1)由已知，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程消去，后，要注意x的范圍，再利用普通方程與極坐標(biāo)方程的互化公式運(yùn)算即可；

13cos2,+升4磯4+￡|,

、…