最小割模型在信息學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用

最小割模型

在信息學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用

精選ppt最小割定義網(wǎng)絡(luò)的割[S,T]——將點(diǎn)集V劃分為S和T兩部分，(其中源s屬于S且匯t屬于T)，而從S指向T的邊組成割割容量——割中所有邊的容量和最小割——容量最小的割1234ts精選ppt最小割解法最大流最小割定理

網(wǎng)絡(luò)的最大流流值＝該網(wǎng)絡(luò)的最小割容量求解最小割的有力武器記 表示在點(diǎn)數(shù)為n，邊數(shù)為m的網(wǎng)絡(luò)中求最大流精選ppt兩個(gè)部分最大權(quán)閉合圖

標(biāo)準(zhǔn)解答的一個(gè)更一般化的擴(kuò)展模型改進(jìn)算法

達(dá)到用最大流解決該問題的理論下界

引入NOI2006最大獲利最小割是最大流的對(duì)偶問題。

不直觀，模型隱蔽。展示最小割模型應(yīng)用的巧妙構(gòu)圖方法和獨(dú)特思維方式網(wǎng)絡(luò)流首次進(jìn)入NOI精選pptNOI2006最大獲利(Profit)

問題描述簡要描述有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，m條無向邊可供建設(shè)。建立一個(gè)結(jié)點(diǎn)u有一定的花費(fèi)pu。建立一條無向邊有一定的非負(fù)收益we。建立一條無向邊(u,v)的必要條件是要先建立點(diǎn)u，點(diǎn)v。求最大獲利。精選pptNOI2006最大獲利(Profit)

分析目的：選出一個(gè)邊集E’,點(diǎn)集V’。且最大化：限制條件：對(duì)于在E’中每條邊(u,v)，它的端點(diǎn)u，v一定要在V’中。 提出解決事件依賴關(guān)系的有力圖論工具：閉合圖。必要條件邊依賴點(diǎn)精選ppt最大權(quán)閉合圖

定義有向圖的閉合圖（closure）：

閉合圖內(nèi)任意點(diǎn)的任意后繼也一定還在閉合圖中。物理意義

事物間依賴關(guān)系：一個(gè)事件要發(fā)生，它需要的所有前提也都一定要發(fā)生。最大權(quán)閉合圖是點(diǎn)權(quán)之和最大的閉合圖。其中{3,4,5}是一個(gè)閉合圖。3的后繼4，4的后繼5，都在閉合圖中。123455-670-3而{1,4,5}不是一個(gè)閉合圖，因?yàn)辄c(diǎn)2是點(diǎn)1的后繼，但不在閉合圖中。精選ppt最大權(quán)閉合圖

解決復(fù)雜度為解法略去精選ppt最大權(quán)閉合圖

構(gòu)圖增加源s匯t

源s連接原圖的正權(quán)點(diǎn)，容量為相應(yīng)點(diǎn)權(quán)原圖的負(fù)權(quán)點(diǎn)連接匯t，容量為相應(yīng)點(diǎn)權(quán)的相反數(shù)原圖邊的容量為正無限.123455-670-3st63精選ppt最大權(quán)閉合圖

解決復(fù)雜度為閉合圖方案V’與不含正無限容量的割[S,T]一一對(duì)應(yīng)閉合圖V’的權(quán)為正權(quán)點(diǎn)總和減去對(duì)應(yīng)割的容量割[S,T]取最小時(shí)，閉合圖權(quán)取最大。精選pptNOI2006最大獲利(Profit)

標(biāo)準(zhǔn)算法將原題中的邊和點(diǎn)都看成事件。邊事件依賴邊的兩個(gè)端點(diǎn)事件的發(fā)生。這與閉合圖的性質(zhì)相似。構(gòu)造性地，將邊轉(zhuǎn)化為點(diǎn)事件。e21e精選pptNOI2006最大獲利(Profit)

標(biāo)準(zhǔn)算法將所有邊都轉(zhuǎn)化為事件點(diǎn)，原圖便轉(zhuǎn)化為一個(gè)二分圖。這樣新構(gòu)造的二分圖的閉合圖就對(duì)應(yīng)了原問題的一個(gè)解。解決該二分圖的最大權(quán)閉合圖即可4132e1e2e3e41234e1e2e3e4轉(zhuǎn)二分圖復(fù)雜度為精選ppt最大權(quán)閉合圖

小結(jié)在任意帶權(quán)有向圖中，只要有依賴關(guān)系需要解決，最大權(quán)閉合圖都普遍適用。（普適性）在最大獲利的解決方法1中，最大權(quán)閉合圖來解決二分圖模型。（特殊性）牛刀宰雞對(duì)癥下藥精選ppt改進(jìn)算法

提出必要條件邊依賴點(diǎn)充分條件邊創(chuàng)建點(diǎn)正向思維（被動(dòng)）逆向思維（主動(dòng)）重定義

兩個(gè)端點(diǎn)都在點(diǎn)集V’里的所有邊組成了邊集E’即V’的導(dǎo)出子圖。精選pptV’間的邊E’＝與V’關(guān)聯(lián)的所有邊－V’與V’補(bǔ)集之間的邊改進(jìn)算法

分析先選點(diǎn)集V’再找V’之間的邊集E’13428765圈內(nèi)的點(diǎn)組成V’藍(lán)邊組成E’紅邊組成V’與V’補(bǔ)集之間的邊?補(bǔ)集轉(zhuǎn)化再次逆向思維V’E’割最小割最大化精選ppt改進(jìn)算法

嘗試構(gòu)圖選出點(diǎn)集V’對(duì)于每個(gè)點(diǎn)：選或不選構(gòu)圖從源向每個(gè)點(diǎn)連邊從每個(gè)點(diǎn)向匯連邊12stV’對(duì)于每個(gè)點(diǎn)，割必會(huì)割斷它到源或它到匯的兩條邊中的一條不妨設(shè)，到匯的邊被割斷的點(diǎn)組成V’則V’中每個(gè)點(diǎn)連接匯的邊都在割內(nèi)選入V'的點(diǎn)的一些代價(jià)信息，可以加載到這條被割掉的邊上。精選pptV’間的邊E’＝與V’關(guān)聯(lián)的所有邊－V’與V’補(bǔ)集之間的邊V’間的邊E’＝－(V’與V’補(bǔ)集之間的邊－V’關(guān)聯(lián)的所有邊)改進(jìn)算法

分析v32V’45湊入最小割微觀地，考察單獨(dú)的在V’中點(diǎn)v與v關(guān)聯(lián)所有E’內(nèi)的邊=－（與v關(guān)聯(lián)所有割邊－與v關(guān)聯(lián)所有邊）令表示與點(diǎn)v關(guān)聯(lián)的總邊權(quán)和vst每個(gè)點(diǎn)到匯的邊容量為精選pptV’間的邊E’＋

V’的點(diǎn)權(quán)＝－(V’與V’補(bǔ)集之間的邊－與V’關(guān)聯(lián)的所有邊－V’的點(diǎn)權(quán))V’間的邊E’

＝－(V’與V’補(bǔ)集之間的邊－與V’關(guān)聯(lián)的所有邊)由于最小割算法只能處理非負(fù)邊權(quán)，故在每條邊的容量加上一個(gè)足夠大的數(shù)U即可。改進(jìn)算法

構(gòu)圖12st每個(gè)點(diǎn)向匯連的邊的容量為考慮點(diǎn)權(quán)：每個(gè)點(diǎn)到匯的邊容量增加該點(diǎn)點(diǎn)權(quán)的兩倍最后，保留原圖的邊，容量即為原邊權(quán)。湊入最小割精選ppt改進(jìn)算法

解決通過以上公式變形，可知答案為其中c[S,T]為最小割，證明從略復(fù)雜度為精選ppt改進(jìn)算法

對(duì)比最大權(quán)閉合圖改進(jìn)算法點(diǎn)數(shù)n邊數(shù)0.71s40.41sn+mn+mn+m實(shí)際效果精選ppt改進(jìn)算法

小結(jié)改進(jìn)動(dòng)機(jī)利用最小割的想法不斷的完善這個(gè)想法得出極為精妙的構(gòu)造兩次逆向思維微觀的觀察分別將邊權(quán)，點(diǎn)權(quán)因素湊入最小割數(shù)學(xué)美精選ppt論文特點(diǎn)研究的重點(diǎn)是最小割模型的應(yīng)用不僅僅給出了結(jié)論，還著重闡述得出結(jié)論的分析過程。不僅授之以魚，還授之以漁。分析過程，是以Polya在數(shù)學(xué)思想方法論中的精華－－《怎樣解題表》作為貫串思維的主線。如剛才的構(gòu)造過程就充分的展示了這一特點(diǎn)。精選ppt論文研究內(nèi)容主要研究四個(gè)方面的應(yīng)用基于最小割定義的直接應(yīng)用最大權(quán)閉合圖最大密度子圖二分圖的最小點(diǎn)權(quán)覆蓋集與最大點(diǎn)權(quán)獨(dú)立集剛才所談的例題最大獲利便涉及了最大權(quán)閉合圖，最大密度子圖這兩個(gè)方面的內(nèi)容。其中改進(jìn)算法可以作為求解最大密度子圖的一個(gè)子過程。精選ppt論文研究內(nèi)容Sorryforpoortime.精選ppt感謝感謝越南的ThanhVy感謝郭華陽提供原創(chuàng)題感謝王欣上的測(cè)試實(shí)驗(yàn)感謝CCF提供給我一個(gè)展示自我的舞臺(tái)精選ppt謝謝大家ThankstoyouallAmber[ADN.cn]hupo001@精選ppt

改進(jìn)算法證明精選ppt關(guān)于實(shí)現(xiàn)效率本人實(shí)現(xiàn)的PreflowPush 40.41s0.71s王欣上提供的Dinic測(cè)試：

1.7s0.3s精選ppt總結(jié)轉(zhuǎn)化過程的模式TransformingPattern 建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系割的性質(zhì)PropertyofCut不存在任何一條s到t的路徑將點(diǎn)集分成兩類技巧用正無限的容量排除不參與決策的邊使用割的定義式來分析最優(yōu)性利用與源或匯關(guān)聯(lián)的邊容量處理點(diǎn)權(quán)精選ppt最大權(quán)閉合圖－證明該通過對(duì)以上網(wǎng)絡(luò)的最小割的求解，可以得到原問題的解。概念：若一個(gè)割不包含正無限容量的邊，稱該割為簡單割。最小割必是簡單割。閉合圖V1與簡單割[S,T]間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系因?yàn)樵诤唵胃钪?，S到T間的邊都不是正無限容量的邊，即都不是原圖的邊。故一一對(duì)應(yīng)關(guān)系成立。精選ppt最大權(quán)閉合圖－證明由最小割的定義，有：所以得到：式(1)精選ppt最大權(quán)閉合圖－證明又由閉合圖的定義，得到：式(2)將式(1)與式(2)加起來，得到：總復(fù)雜度為精選ppt最大密度子圖－定義定義一個(gè)無向圖的密度(density)為該圖的邊數(shù)與該圖的點(diǎn)數(shù)的比值最大密度子圖是一個(gè)具有最大密度的子圖由于目標(biāo)是求最大,可以直接把子圖重定義為的子圖點(diǎn)集的導(dǎo)出子圖其中在虛線內(nèi)的點(diǎn)與邊組成最大密度子圖，密度為5/4精選ppt最大密度子圖－主算法這是0-1分?jǐn)?shù)規(guī)劃的模型對(duì)答案值的二分查找，將分?jǐn)?shù)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為一般規(guī)劃對(duì)于一個(gè)答案的猜測(cè)值g，新函數(shù)形式化地重新敘述本模型精選ppt最大密度子圖－主算法性質(zhì):1.具有單調(diào)性;2.又根據(jù)Dinkelbach定理,函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn),即為目標(biāo)解.對(duì)答案進(jìn)行二分查找.設(shè)二分查找的次數(shù)為k,則總復(fù)雜度為精選ppt最大密度子圖－初步算法基本的限制條件:邊(u,v)存在于子圖中的必要條件為點(diǎn)u,v也存在于子圖中.根據(jù)這必要條件的關(guān)系,想到使用最大權(quán)閉合圖的方法解決.依然是將邊看成點(diǎn)即可.復(fù)雜度為需要改進(jìn)！??！精選ppt最大密度子圖－改進(jìn)算法×（－1）×2精選ppt最大密度子圖－改進(jìn)算法將上面的思路整理一下在原圖點(diǎn)集的基礎(chǔ)上增加源和匯；將每條原無向邊替換為兩條容量為1的有向邊；連接源s到每個(gè)點(diǎn)，容量為U；連接匯t到每個(gè)點(diǎn)，容量為U+2g-dv。U為一個(gè)足夠大的數(shù)。精選ppt最大密度子圖－