高等代數(shù)教案

PAGEPAGE113高等代數(shù)教案秦文釗一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱第二章§1引言授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解行列式的背景教學(xué)要求要求學(xué)生熟練掌握二、三級(jí)行列式的對(duì)角線計(jì)算法則教學(xué)重點(diǎn)二、三元線性方程組的計(jì)算公式，二、三級(jí)行列式的對(duì)角線計(jì)算法則教學(xué)難點(diǎn)二、三元線性方程組的計(jì)算公式教學(xué)方法與手段啟發(fā)式講練相結(jié)合作業(yè)與思考題無閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié).當(dāng)三級(jí)行列式時(shí)，上述三元線性方程組有唯一解，解為其中.三、元線性方程組是否也有類似的結(jié)論呢？為此，首先給出EBEDEquation.3錯(cuò)誤!未定義書簽。級(jí)行列式的定義并討論它的性質(zhì)，最后來解決這一問題，這是本章的主要內(nèi)容.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§2排列授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握有關(guān)排列的相關(guān)知識(shí)教學(xué)要求要求學(xué)生掌握有關(guān)排列的基本概念、并能熟練掌握排列逆序數(shù)的計(jì)算與奇偶性的確定。教學(xué)重點(diǎn)有關(guān)排列的基本概念、排列的奇偶性。教學(xué)難點(diǎn)排列逆序數(shù)的計(jì)算與奇偶性的確定教學(xué)方法與手段講授法作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)一、排列的定義定義1由組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)級(jí)排列.級(jí)排列的總數(shù)是.顯然也是一個(gè)級(jí)排列，這個(gè)排列具有自然順序，就是按遞增的順序排起來的；其它的排列或多或少地破壞自然順序.定義2在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).排列的逆序數(shù)記為例：排列53214的逆序數(shù)7定義3逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列；逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。應(yīng)該指出，我們同樣可以考慮由任意個(gè)不同的自然數(shù)所組成的排列，一般也稱為級(jí)排列。對(duì)這樣一般的級(jí)排列，同樣可以定義上面這些概念。二、排列的奇偶性把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換，而其余的數(shù)不動(dòng)，就得到另一個(gè)排列.這樣一個(gè)變換稱為一個(gè)對(duì)換。顯然，如果連續(xù)施行再次相同的對(duì)換，那么排列就還原了。由此得知，一個(gè)對(duì)換把全部級(jí)排列兩兩配對(duì)，使每?jī)蓚€(gè)配成對(duì)的級(jí)排列在這個(gè)對(duì)換下互變。定理1對(duì)換改變排列的奇偶性.這就是說，經(jīng)過一次對(duì)換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列.推論在全部級(jí)排列排列中，奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等，各有個(gè).定理2任意一個(gè)級(jí)排列與排列都可以經(jīng)過一系列對(duì)換互變，并且所作對(duì)換的個(gè)數(shù)與這個(gè)排列有相同的奇偶性.結(jié)論：任意兩個(gè)排列都可以經(jīng)過一系列對(duì)換互變.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§3n級(jí)行列式授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的使學(xué)生掌握行列式的定義教學(xué)要求要求學(xué)生真正的理解行列式的定義以及行與列地位的對(duì)稱教學(xué)重點(diǎn)一般行列式的定義、行與列的地位是對(duì)稱的教學(xué)難點(diǎn)行列式的定義教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)一、級(jí)行列式的概念在給出級(jí)行列式的定義之前，先來看一下二級(jí)和三級(jí)行列式的定義。我們有(1)(2)從二級(jí)和三級(jí)行列式的定義中可以看出，它們都是一些乘積的代數(shù)和，而每一項(xiàng)乘積都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素構(gòu)成的，并且展開式恰恰就是由所有這種可能的乘積組成.另一方面，每一項(xiàng)乘積都帶有符號(hào).這符號(hào)是按什么原則決定的呢？在三級(jí)行列式的展開式(2)中，項(xiàng)的一般形式可以寫成(3)其中是1，2，3的一個(gè)排列.可以看出，當(dāng)是偶排列時(shí).對(duì)應(yīng)的項(xiàng)在(2)中帶有正號(hào)，當(dāng)是奇排列時(shí)帶有負(fù)號(hào).定義4級(jí)行列式(4)等于所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積(5)的代數(shù)和，這里是的一個(gè)排列，每一項(xiàng)(5)都按下面規(guī)則帶有符號(hào)；當(dāng)是偶排列時(shí)，(5)帶有正號(hào)，當(dāng)是奇排列時(shí)，(5)帶有負(fù)號(hào).這一定義可寫成二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)(6)這里表示對(duì)所有級(jí)排列求和.定義表明，為了計(jì)算級(jí)行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素構(gòu)成的乘積.把構(gòu)成這些乘積的元素按行指標(biāo)排成自然順序，然后由列指標(biāo)所成的排列的奇偶性來決定這一項(xiàng)的符號(hào).由定義看出，級(jí)行列式是由項(xiàng)組成的.例1計(jì)算行列式.例2計(jì)算上三角形行列式.(7).(8)這個(gè)行列式就等于主對(duì)角線（從左上角到右下角這條對(duì)角線）上元素的乘積.特別主對(duì)角線以外的元素全為零的行列式稱為對(duì)角形行列式.對(duì)角形行列式的值等于主對(duì)角線上元素的乘積.容易看出，當(dāng)行列式的元素全是數(shù)域中的數(shù)時(shí)，它的值也是數(shù)域中的一個(gè)數(shù).二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)二、行列式的性質(zhì)在行列式的定義中，為了決定每一項(xiàng)的正負(fù)號(hào)，把元素按行指標(biāo)排起來.事實(shí)上，數(shù)的乘法是交換的，因而這些元素的次序是可以任意寫的，一般地，級(jí)行列式中的項(xiàng)可以寫成,（11）其中是兩個(gè)級(jí)排列.利用排列的性質(zhì)，不難證明，(11)的符號(hào)等于(12)按(12)來決定行列式中每一項(xiàng)的符號(hào)的好處在于，行指標(biāo)與列指標(biāo)的地位是對(duì)稱的，因而為了決定每一項(xiàng)的符號(hào)，同樣可以把每一項(xiàng)按列指標(biāo)排起來，于是定義又可以寫成.(15)由此即得行列式的下列性質(zhì)：性質(zhì)1行列互換，行列式不變.即.(16)性質(zhì)1表明，在行列式中行與列的地位是對(duì)稱的，因之凡是有關(guān)行的性質(zhì)，對(duì)列也同樣成立.例如由(8)即得下三角形的行列式一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§4n級(jí)行列式的性質(zhì)授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能熟練掌握行列式性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)要求要求學(xué)生能熟練掌握行列式性質(zhì)及其應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)行列式的性質(zhì)及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)行列式性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)行列式的計(jì)算是一個(gè)重要的問題，也是一個(gè)很復(fù)雜的問題.因此有必要進(jìn)一步討論行列式的性質(zhì).利用這些性質(zhì)來簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.在行列式的定義中，雖然每一項(xiàng)是個(gè)元素的乘積，但是由于這個(gè)元素是取自不同的行與列，所以對(duì)于某一確定的行中個(gè)元素(譬如)來說，每一項(xiàng)都含有其中的一個(gè)且只含有其中的一個(gè)元素.因之，級(jí)行列式的項(xiàng)可以分成組，第一組的項(xiàng)都含有，第二組的項(xiàng)都含有等等.再分別把行的元素提出來，就有(1)其中代表那些含有的項(xiàng)在提出公因子之后的代數(shù)和(至于究竟是哪一些項(xiàng)的和暫且不管，到§6再來討論).從以上討論可以知道，中不再含有第行的元素，也就是全與行列式中第行的元素?zé)o關(guān).由此即得.性質(zhì)2這就是說，一行的公因子可以提出去，或者說以一數(shù)乘行列式的一行相當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘此行列式.令，就有如果行列式中一行為零，那么行列式為零.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)性質(zhì)3.這就是說，如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行以外全與原來行列式的對(duì)應(yīng)的行一樣.性質(zhì)3顯然可以推廣到某一行為多組數(shù)的和的情形.性質(zhì)4如果行列式中有兩行相同，那么行列式為零.所謂兩行相同就是說兩行的對(duì)應(yīng)元素都相等.性質(zhì)5如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零.性質(zhì)6把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變.性質(zhì)7對(duì)換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào).例1計(jì)算級(jí)行列式例2計(jì)算行列式.由于上(下)三角形行列式容易計(jì)算，因此計(jì)算行列式的一個(gè)基本方法是利用行列式的性質(zhì)，把行列式化成上(下)三角形行列式進(jìn)行計(jì)算.例3一個(gè)級(jí)行列式，假設(shè)它的元素滿足,(4)證明，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，此行列式為零.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§5行列式的計(jì)算授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能熟練掌握矩陣的初等變換在行列式的計(jì)算中的應(yīng)用教學(xué)要求通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能熟練掌握矩陣的初等變換在行列式的計(jì)算中的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)矩陣的初等變換、行列式計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)行列式的計(jì)算教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)在§3我們看到，一個(gè)上三角形行列式就等于它主對(duì)角線上元素的乘積這個(gè)計(jì)算是很簡(jiǎn)單的.下面我們想辦法把任意的級(jí)行列式化為上三角形行列式來計(jì)算.定義5由個(gè)數(shù)排成的行(橫的)列(縱的)的表(1)稱為一個(gè)矩陣.數(shù),稱為矩陣(1)的元素，稱為元素的行指標(biāo)，稱為列指標(biāo).當(dāng)一個(gè)矩陣的元素全是某一數(shù)域中的數(shù)時(shí)，它就稱為這一數(shù)域上的矩陣.矩陣也稱為級(jí)方陣.一個(gè)級(jí)方陣定義一個(gè)級(jí)行列式稱為矩陣的行列式，記作.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)定義6所謂數(shù)域上矩陣的初等行變換是指下列三種變換：1）以中一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一行；2）把矩陣的某一行的倍加到另一行，這里是中任意一個(gè)數(shù)；3)互換矩陣中兩行的位置.一般說來，一個(gè)矩陣經(jīng)過初等行變換后，就變成了另一個(gè)矩陣.當(dāng)矩陣經(jīng)過初等行變換變成矩陣時(shí)，我們寫成若一個(gè)矩陣的任一行從第一個(gè)元素起至該行的第一個(gè)非零元素所在的下方全為零，則稱這樣的矩陣為階梯形矩陣.可以證明，任意一個(gè)矩陣經(jīng)過一系列初等行變換總能變成階梯形矩陣.現(xiàn)在回過來討論行列式的計(jì)算問題.一個(gè)級(jí)行列式可看成是由一個(gè)級(jí)方陣決定的，對(duì)于矩陣可以作初等行變換，而行列式的性質(zhì)2，6，7正是說明了方陣的初等行變換對(duì)于行列式的值的影響.每個(gè)方陣總可以經(jīng)過一系列的初等行變換變成階梯形方陣.由行列式性質(zhì)2，6，7，對(duì)方陣每作一次初等行變換，相應(yīng)地，行列式或者不變，或者差一非零的倍數(shù)，也就是顯然，階梯形方陣的行列式都是上三角形的，因此是容易計(jì)算的.例計(jì)算不難算出，用這個(gè)方法計(jì)算一個(gè)級(jí)的數(shù)字行列式只需要做次乘法和除法.特別當(dāng)比較大的時(shí)候，這個(gè)方法的優(yōu)越性就二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)更加明顯了.同時(shí)還應(yīng)該看到，這個(gè)方法完全是機(jī)械的，因而可以用電子計(jì)算機(jī)按這個(gè)方法來進(jìn)行行列式的計(jì)算.對(duì)于矩陣同樣可以定義初等列變換，即1）以中一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一列；2）把矩陣的某一列的倍加到另一列，這里是中任意一個(gè)數(shù)；3)互換矩陣中兩列的位置.為了計(jì)算行列式，也可以對(duì)矩陣進(jìn)行初等列變換.有時(shí)候，同時(shí)用初等行變換和列變換，行列式的計(jì)算可以更簡(jiǎn)單些.矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§6行列式按一行(列)展開授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí),可以以使行列式的計(jì)算更簡(jiǎn)化教學(xué)要求要求學(xué)生會(huì)應(yīng)用行列式展開性質(zhì)來計(jì)算行列式教學(xué)重點(diǎn)行列式按一行展開的性質(zhì)、展開性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)展開性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)在§4看到，對(duì)于級(jí)行列式，有.(1)現(xiàn)在來研究這些,究竟是什么.三級(jí)行列式可以通過二級(jí)行列式表示：.(2)定義7在行列式中劃去元素所在的第行與第列，剩下的個(gè)元素按原來的排法構(gòu)成一個(gè)級(jí)行列式(3)稱為元素的余子式，記作下面證明.(4)為此先證明級(jí)行列式與級(jí)行列式的下面這個(gè)關(guān)系，二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié).(5)其次,在(1)中令即可得證定義8上面所談到的稱為元素的代數(shù)余子式.這樣，公式(1)就是說，行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和.在(1)中，如果令第行的元素等于另外一行，譬如說，第行的元素，也就是于是右端的行列式含有兩個(gè)相同的行，應(yīng)該為零，這就是說，在行列式中，一行的元素與另一行相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零.定理3設(shè)表示元素的代數(shù)余子式，則下列公式成立：二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)(6)(7)用連加號(hào)簡(jiǎn)寫為在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí)，直接應(yīng)用展開式(6)或(7)不一定能簡(jiǎn)化計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)級(jí)行列式的計(jì)算換成個(gè)()級(jí)行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用公式(6)或(7)才有意義.但這兩個(gè)公式在理論上是重要的.例1計(jì)算行列式例2行列式(8)稱為級(jí)的范德蒙德(Vandermonde)行列式.證明對(duì)任意的，級(jí)范德蒙德行列式等于這個(gè)數(shù)的所有可能的差的乘積.用連乘號(hào)，這個(gè)結(jié)果可以簡(jiǎn)寫為.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié).由這個(gè)結(jié)果立即得出，范德蒙德行列式為零的充要條件是這個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)相等.例3證明.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§7Cramer法則授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生會(huì)運(yùn)用Gramer法則求線性方程組的解教學(xué)要求通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生會(huì)運(yùn)用Gramer法則求線性方程組的解教學(xué)重點(diǎn)Gramer法則的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)Gramer法則的應(yīng)用教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)現(xiàn)在應(yīng)用行列式解決線性方程組的問題.在這里只考慮方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的情形.定理4如果線性方程組(1)的系數(shù)矩陣(2)的行列式那么線性方程組(1)有解，并且解是唯一的，解可以通過系數(shù)表為,(3)其中是把矩陣中第列換成常數(shù)項(xiàng)所成的矩陣的行列式，即(4)定理中包含著三個(gè)結(jié)論：1）方程組有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)給出.這三個(gè)結(jié)論是有聯(lián)系的，因此證明的步驟是：1.把代入方程組，驗(yàn)證它確是解.2.假如方程組有解，證明它的解必由公式(3)給出.定理4通常稱為克拉默法則.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)例1解方程組應(yīng)該注意，定理4所討論的只是系數(shù)矩陣的行列式不為零的方程組，它只能應(yīng)用于這種方程組；至于方程組的系數(shù)行列式為零的情形，將在下一章的一般情形中一并討論.常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組.顯然齊次方程組總是有解的，因?yàn)榫褪且粋€(gè)解，它稱為零解.對(duì)于齊次線性方程組，我們關(guān)心的問題常常是，它除了零解以外，還有沒有其它解，或者說，它有沒有非零解.對(duì)于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同的齊次線性方程組，應(yīng)用克拉默法則就有定理5如果齊次線性方程組(10)的系數(shù)矩陣的行列式，那么它只有零解.換句話說，如果方程組(10)有非零解，那么必有.例2求在什么條件下，方程組有非零解.克拉默法則的意義主要在于它給出了解與系數(shù)的明顯關(guān)系，這一點(diǎn)在以后許多問題的討論中是重要的.但是用克拉默法則進(jìn)行計(jì)算是不方便的，因?yàn)榘催@一法則解一個(gè)個(gè)未知量個(gè)方程的線性方程組就要計(jì)算個(gè)級(jí)行列式，這個(gè)計(jì)算量是很大的.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§8Laplace定理·行列式的乘法規(guī)則授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解Laplace定理·行列式的乘法規(guī)則教學(xué)要求通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生了解Laplace定理·行列式的乘法規(guī)則教學(xué)重點(diǎn)Laplace定理教學(xué)難點(diǎn)Laplace定理教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)一、拉普拉斯定理定義9在一個(gè)級(jí)行列式中任意選定行列()，位于這些行和列的交點(diǎn)上的個(gè)元素按照原來的次序組成一個(gè)級(jí)行列式，稱為行列式的一個(gè)級(jí)子式.在中劃去這行列后余下的元素按照原來的次序組成的級(jí)行列式稱為級(jí)子式的余子式.從定義立刻看出，也是的余子式.所以和可以稱為的一對(duì)互余的子式.例1在四級(jí)行列式中選定第一、三行，第二、四列得到一個(gè)二級(jí)子式：,的余子式為.例2在五級(jí)行列式中和是一對(duì)互余的子式.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)定義10設(shè)的級(jí)子式在中所在的行、列指標(biāo)分別是，則的余子式前面加上符號(hào)后稱做的代數(shù)余子式.因?yàn)榕c位于行列式中不同的行和不同的列，所以有下述引理行列式的任一個(gè)子式與它的代數(shù)余子式的乘積中的每一項(xiàng)都是行列式的展開式中的一項(xiàng)，而且符號(hào)也一致.定理6(拉普拉斯定理)設(shè)在行列式中任意取定了()個(gè)行.由這行元素所組成的一切級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式.例3利用拉普拉斯定理計(jì)算行列式從這個(gè)例子來看，利用拉普拉斯定理來計(jì)算行列式一般是不方便的.這個(gè)定理主要是理論方面的應(yīng)用.二、行列式的乘積法則定理7兩個(gè)級(jí)行列式和二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)的乘積等于一個(gè)級(jí)行列式,其中是的第行元素分別與的第列的對(duì)應(yīng)元素乘積之和：.這個(gè)定理也稱為行列式的乘法定理.它的意義到第四章§3中就完全清楚了.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱第三章線性方程組§1消元法授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握方程組的有解判別教學(xué)要求通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握方程組的有解判別教學(xué)重點(diǎn)方程組的初等變換、方程組的有解判別教學(xué)難點(diǎn)方程組的有解判別教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)一、線性方程組的初等變換現(xiàn)在討論一般線性方程組.所謂一般線性方程組是指形式為(1)的方程組，其中代表個(gè)未知量，是方程的個(gè)數(shù)，稱為線性方程組的系數(shù)，稱為常數(shù)項(xiàng).方程組中未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)不一定相等.系數(shù)的第一個(gè)指標(biāo)表示它在第個(gè)方程，第二個(gè)指標(biāo)表示它是的系數(shù).所謂方程組(1)的一個(gè)解就是指由個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組，當(dāng)分別用代入后，(1)中每個(gè)等式都變成恒等式.方程組(1)的解的全體稱為它的解集合.解方程組實(shí)際上就是找出它全部的解，或者說，求出它的解集合.如果兩個(gè)方程組有相同的解集合，它們就稱為同解的.顯然，如果知道了一個(gè)線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，那么這個(gè)線性方程組就基本上確定了.確切地說，線性方程組(1)可以用下面的矩陣(2)來表示.實(shí)際上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外線性方程組(1)就確定了，而采用什么文字來代表未知量當(dāng)然不是實(shí)質(zhì)性的.在中學(xué)所學(xué)代數(shù)里學(xué)過用加減消元法和代入消元法解二元、三元線性方程組.實(shí)際上，這個(gè)方法比用行列式解線性方程組更有普遍性.下面就來介紹如何用一般消元法解一般線性方程組.例如，解方程組二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)第二個(gè)方程組減去第一個(gè)方程的2倍，第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程，就變成第二個(gè)方程減去第三個(gè)方程的2倍，把第二第三兩個(gè)方程的次序互換，即得這樣，就容易求出方程組的解為（9，-1，-6）.分析一下消元法，不難看出，它實(shí)際上是反復(fù)地對(duì)方程組進(jìn)行變換，而所用的變換也只是由以下三種基本的變換所構(gòu)成：1.用一非零數(shù)乘某一方程；2.把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程；3.互換兩個(gè)方程的位置.定義1變換1，2，3稱為線性方程組的初等變換.二、線性方程組的解的情形消元的過程就是反復(fù)施行初等變換的過程.下面證明，初等變換總是把方程組變成同解的方程組.下面我們來說明，如何利用初等變換來解一般的線性方程組.對(duì)于方程組(1)，首先檢查的系數(shù).如果的系數(shù)全為零，那么方程組(1)對(duì)沒有任何限制，就可以取任何值，而方程組(1)可以看作的方程組來解.如果的系數(shù)不全為零，那么利用初等二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)變換3，可以設(shè).利用初等變換2，分別把第一個(gè)方程的倍加到第個(gè)方程().于是方程組(1)就變成(3)其中這樣，解方程組(1)的問題就歸結(jié)為解方程組(4)的問題.顯然(4)的一個(gè)解，代入(3)的第一個(gè)方程就定出的值，這就得出(3)的一個(gè)解；(3)的解顯然都是(4)的解.這就是說，方程組(3)有解的充要條件為方程組(4)有解，而(3)與(1)是同解的，因之，方程組(1)有解的充要條件為方程組(4)有解.對(duì)(4)再按上面的考慮進(jìn)行變換，并且這樣一步步作下去，最后就得到一個(gè)階梯形方程組.為了討論起來方便，不妨設(shè)所得的方程組為(5)二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)其中.方程組(5)中的“0=0”這樣一些恒等式可能不出現(xiàn)，也可能出現(xiàn)，這時(shí)去掉它們也不影響(5)的解.而且(1)與(5)是同解的.現(xiàn)在考慮(5)的解的情況.如(5)中有方程，而.這時(shí)不管取什么值都不能使它成為等式.故(5)無解，因而(1)無解.當(dāng)是零或(5)中根本沒有“0=0”的方程時(shí)，分兩種情況：1）.這時(shí)階梯形方程組為(6)其中.由最后一個(gè)方程開始，的值就可以逐個(gè)地唯一決定了.在這個(gè)情形，方程組(6)也就是方程組(1)有唯一的解.例1解線性方程組2）.這時(shí)階梯形方程組為其中.把它改寫成(7)二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)由此可見，任給一組值，就唯一地定出的值，也就是定出方程組(7)的一個(gè)解.一般地，由(7)我們可以把通過表示出來，這樣一組表達(dá)式稱為方程組(1)的一般解，而稱為一組自由未知量.例2解線性方程組從這個(gè)例子看出，一般線性方程組化成階梯形，不一定就是(5)的樣子，但是只要把方程組中的某些項(xiàng)調(diào)動(dòng)一下，總可以化成(5)的樣子.以上就是用消元法解線性方程組的整個(gè)過程.總起來說就是，首先用初等變換化線性方程組為階梯形方程組，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出現(xiàn)的話)去掉.如果剩下的方程當(dāng)中最后的一個(gè)等式是零等于一非零的數(shù)，那么方程組無解，否則有解.在有解的情況下，如果階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程組有唯一的解；如果階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程組就有無窮多個(gè)解.定理1在齊次線性方程組中，如果，那么它必有非零解.矩陣(10)二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)稱為線性方程組(1)的增廣矩陣.顯然，用初等變換化方程組(1)成階梯形就相當(dāng)于用初等行變換化增廣矩陣(10)成階梯形矩陣.因此，解線性方程組的第一步工作可以通過矩陣來進(jìn)行，而從化成的階梯形矩陣就可以判別方程組有解還是無解，在有解的情形，回到階梯形方程組去解.例3解線性方程組解：（略）一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§2n維向量空間授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解n維向量概念、熟練掌握n維向量的運(yùn)算。教學(xué)要求通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生理解n維向量概念、熟練掌握n維向量的運(yùn)算。教學(xué)重點(diǎn)n維向量概念、n維向量的運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)n維向量的運(yùn)算教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)定義2所謂數(shù)域上一個(gè)維向量就是由數(shù)域中個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組(1)稱為向量(1)的分量.用小寫希臘字母來代表向量.定義3如果維向量的對(duì)應(yīng)分量都相等，即.就稱這兩個(gè)向量是相等的，記作.維向量之間的基本關(guān)系是用向量的加法和數(shù)量乘法表達(dá)的.定義4向量稱為向量的和，記為由定義立即推出：交換律：.(2)結(jié)合律：.(3)定義5分量全為零的向量稱為零向量，記為0;向量稱為向量的負(fù)向量，記為.顯然對(duì)于所有的，都有.(4)二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié).(5)(2)—(5)是向量加法的四條基本運(yùn)算規(guī)律.定義6定義7設(shè)為數(shù)域中的數(shù)，向量稱為向量與數(shù)的數(shù)量乘積，記為由定義立即推出：,(6),(7),(8).(9)(6)—(9)是關(guān)于數(shù)量乘法的四條基本運(yùn)算規(guī)則.由(6)—(9)或由定義不難推出：,(10),(11).(12)如果，那么.(13)定義8以數(shù)域中的數(shù)作為分量的維向量的全體，同時(shí)考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法，稱為數(shù)域上的維向量空間.在時(shí)，3維實(shí)向量空間可以認(rèn)為就是幾何空間中全體向量所成的空間.以上已把數(shù)域上全體維向量的集合組成一個(gè)有加法和數(shù)量乘法的代數(shù)結(jié)構(gòu)，即數(shù)域上維向量空間.向量通常是寫成一行：.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)有時(shí)也可以寫成一列：.為了區(qū)別，前者稱為行向量，后者稱為列向量。它們的區(qū)別只是寫法上的不同.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§3線性相關(guān)性授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能熟練掌握線性相關(guān)性的判定、極大線性無關(guān)組及向量組的秩。教學(xué)要求通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能熟練掌握線性相關(guān)性的判定、極大線性無關(guān)組及向量組的秩。教學(xué)重點(diǎn)線性組合、向量組等價(jià)、線性相關(guān)(無關(guān))等一些基本概念、線性相關(guān)性的判定、極大線性無關(guān)組及向量組的秩。教學(xué)難點(diǎn)求極大線性無關(guān)組及向量組的秩、論證向量組的等價(jià)。教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)一般向量空間除只有一個(gè)零向量構(gòu)成的零空間外，都含有無窮多個(gè)向量，這些向量之間有怎樣的關(guān)系，對(duì)于弄清向量空間的結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。一、線性相關(guān)與線性無關(guān)兩個(gè)向量之間最簡(jiǎn)單的關(guān)系是成比例.所謂向量與成比例就是說有一數(shù)使.定義9向量稱為向量組的一個(gè)線性組合，如果有數(shù)域中的數(shù)，使,其中叫做這個(gè)線性組合的系數(shù).例如，任一個(gè)維向量都是向量組（1）的一個(gè)線性組合.向量稱為維單位向量.零向量是任意向量組的線性組合.當(dāng)向量是向量組的一個(gè)線性組合時(shí)，也說可以經(jīng)向量組線性表出.定義10如果向量組中每一個(gè)向量都可以經(jīng)向量組線性表出，那么向量組就稱為可以經(jīng)向量組線性表出.如果兩個(gè)向量組互相可以線性表出，它們就稱為等價(jià).二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)由定義有，每一個(gè)向量組都可以經(jīng)它自身線性表出.同時(shí)，如果向量組可以經(jīng)向量組線性表出，向量組可以經(jīng)向量組線性表出，那么向量組可以經(jīng)向量組線性表出.向量組之間等價(jià)具有以下性質(zhì)：1）反身性：每一個(gè)向量組都與它自身等價(jià).2）對(duì)稱性：如果向量組與等價(jià)，那么向量組與等價(jià).3）傳遞性：如果向量組與等價(jià)，與等價(jià)，那么向量組與等價(jià).定義11如果向量組中有一個(gè)向量是可以由其余的向量的線性表出，那么向量組線性相關(guān).從定義可以看出，任意一個(gè)包含零向量的向量組一定是線性相關(guān)的.向量組線性相關(guān)就表示或者(這兩個(gè)式子不一定能同時(shí)成立).在為實(shí)數(shù)域，并且是三維時(shí)，就表示向量與共線.三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義就是它們共面.定義11′向量組稱為線性相關(guān)的，如果有數(shù)域中不全為零的數(shù)，使這兩個(gè)定義在的時(shí)候是一致的.定義12一向量組不線性相關(guān)，即沒有不全為零的數(shù)，使就稱為線性無關(guān)；二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)或者說，一向量組稱為線性無關(guān)，如果由可以推出由定義有，如果一向量組的一部分線性相關(guān)，那么這個(gè)向量組就線性相關(guān).換句話說，如果一向量組線性無關(guān)，那么它的任何一個(gè)非空的部分組也線性無關(guān).特別地，由于兩個(gè)成比例的向量是線性相關(guān)的，所以，線性無關(guān)的向量組中一定不能包含兩個(gè)成比例的向量.定義11′包含了由一個(gè)向量組構(gòu)成的向量組的情形.單獨(dú)一個(gè)零向量線性相關(guān)，單獨(dú)一個(gè)非零向量線性無關(guān).不難看出，由維單位向量組成的向量組是線性無關(guān)的.具體判斷一個(gè)向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)的問題可以歸結(jié)為解方程組的問題.要判斷一個(gè)向量組(2)是否線性相關(guān)，根據(jù)定義11，就是看方程(3)有無非零解.(3)式按分量寫出來就是(4)因之，向量組線性無關(guān)的充要條件是齊次線性方程組(4)只有零解.例1判斷的向量是否線性相關(guān)。二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)例2在向量空間里，對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)線性無關(guān).例3若向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān).從而，如果向量組(2)線性無關(guān)，那么在每一個(gè)向量上添一個(gè)分量所得到的維的向量組(5)也線性無關(guān).定理2設(shè)與是兩個(gè)向量組.如果1）向量組可以經(jīng)線性表出，2），那么向量組必線性相關(guān).推論1如果向量組可以經(jīng)向量組線性表出，且線性無關(guān)，那么.推論2任意個(gè)維向量必線性相關(guān).推論3兩個(gè)線性無關(guān)的等價(jià)的向量組，必含有相同個(gè)數(shù)的向量.定理2的幾何意義是清楚的：在三維向量的情形，如果，那么可以由向量線性表出的向量當(dāng)然都在所在的平面上，因而這些向量是共面的，也就是說，當(dāng)時(shí)，這些向量線性相關(guān).兩個(gè)向量組與等價(jià)，就意味著它們?cè)谕黄矫嫔?二、極大線性無關(guān)組定義13一向量組的一個(gè)部分組稱為一個(gè)極大線性無關(guān)組，如果這二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)個(gè)部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這個(gè)向量組中任意添一個(gè)向量(如果還有的話)，所得的部分向量組都線性相關(guān).一個(gè)線性無關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組就是這個(gè)向量組本身.極大線性無關(guān)組的一個(gè)基本性質(zhì)是，任意一個(gè)極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià).例4看的向量組在這里｛｝線性無關(guān)，而，所以｛｝是一個(gè)極大線性無關(guān)組.另一方面，｛｝，｛｝也都是向量組｛｝的極大線性無關(guān)組.由上面的例子可以看出，向量組的極大線性無關(guān)組不是唯一的.但是每一個(gè)極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià)，因而，一向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組都是等價(jià)的.定理3一向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個(gè)數(shù)的向量.定理3表明，極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)與極大線性無關(guān)組的選擇無關(guān)，它直接反映了向量組本身的性質(zhì).因此有定義14向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩.一向量組線性無關(guān)的充要條件是它的秩與它所含向量的個(gè)數(shù)相同.每一向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價(jià).由等價(jià)的傳遞性可知，任意兩個(gè)等價(jià)向量組的極大線性無關(guān)組也等價(jià).所以，等價(jià)的向量組必有相同的秩.含有非零向量的向量組一定有極大線性無關(guān)組，且任一個(gè)線性無關(guān)的部分向量都能擴(kuò)充成一極大線性無關(guān)組.全部由零向量組成的向量組沒有極大線性無關(guān)組.規(guī)定這樣的向量組的秩為零.現(xiàn)在把上面的概念與方程組的解的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)系，給定一個(gè)方程組二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)各個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的向量分別是.設(shè)有另一個(gè)方程它對(duì)應(yīng)的向量為.則是的線性組合，當(dāng)且僅當(dāng)，即方程(B)是方程的線性組合.容易驗(yàn)證，方程組的解一定滿足(B).進(jìn)一步設(shè)方程組它的方程所對(duì)應(yīng)的向量為.若可經(jīng)線性表出，則方程組的解是方程組的解.再進(jìn)一步，當(dāng)與等價(jià)時(shí)，兩個(gè)方程組同解.例5（1）設(shè)線性無關(guān)，證明也線性無關(guān)；對(duì)個(gè)線性無關(guān)向量組，以上命題是否成立？（2）當(dāng)線性無關(guān)，證明也線性無關(guān)，當(dāng)線性無關(guān)時(shí)，是否也線性無關(guān)？.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)例6設(shè)在向量組中，且每個(gè)都不能表成它的前個(gè)向量的線性組合，證明線性無關(guān).一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§4矩陣的秩授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生會(huì)求矩陣的秩、能理解有關(guān)矩陣秩的相關(guān)理論。教學(xué)要求要求學(xué)生會(huì)求矩陣的秩、能理解有關(guān)矩陣秩的相關(guān)理論。教學(xué)重點(diǎn)矩陣的秩、矩陣秩的求法教學(xué)難點(diǎn)矩陣秩的求法教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)一、矩陣的秩如果把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，那么矩陣就可以認(rèn)為是由這些向量組成的.同樣，如果把每一列看成一個(gè)向量，那么矩陣也可以認(rèn)為是由列向量組成的.定義15所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩；矩陣的列秩就是矩陣的列向量組的秩.例如，矩陣的行向量組是它的秩是3.它的列向量組是它的秩也是3.矩陣的行秩等于列秩，這點(diǎn)不是偶然的.引理如果齊次線性方程組（1）的系數(shù)矩陣的行秩，那么它有非零解.定理4矩陣的行秩與列秩相等.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)因?yàn)樾兄鹊扔诹兄?，所以下面就統(tǒng)稱為矩陣的秩.二、矩陣的秩與行列式的聯(lián)系定理5矩陣的行列式為零的充要條件是的秩小于.推論齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式等于零.定義16在一個(gè)矩陣中任意選定行和列，位于這些選定的行和列的交點(diǎn)上的個(gè)元素按原來的次序所組成的級(jí)行列式，稱為的一個(gè)級(jí)子式.在定義中，當(dāng)然有，這里表示中較小的一個(gè).定理6一矩陣的秩是的充要條件為矩陣中有一個(gè)級(jí)子式不為零，同時(shí)所有級(jí)子式全為零.從定理的證明可以看出，這個(gè)定理實(shí)際上包含兩部分，一部分是，矩陣的秩的充要條件為有一個(gè)級(jí)子式不為零；另一部分是，矩陣的秩的充要條件為的所有級(jí)子式全為零.從定理的證明還可以看.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)出，在秩為的矩陣中，不為零的級(jí)子式所在的行正是它行向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，所在的列正是它列向量的一個(gè)極大線性無關(guān)組三、矩陣的秩的計(jì)算在前面，作為解線性方程組的一個(gè)方法，對(duì)矩陣作行的初等變換，把矩陣化成階梯形.實(shí)際上，這也是計(jì)算矩陣的秩的一個(gè)方法.首先，矩陣的初等行變換是把行向量組變成一個(gè)與之等價(jià)的向量組.等價(jià)的向量組有相同的秩，因此，初等行變換不改變矩陣的秩.同樣初等列變換也不改變矩陣的秩.其次，階梯形矩陣的秩就等于其中非零的行的數(shù)目.上面的討論說明，為了計(jì)算一個(gè)矩陣的秩，只要用初等行變換把它變成階梯形，這個(gè)階梯形矩陣中非零的行的個(gè)數(shù)就是原來矩陣的秩.以上的討論還說明，用初等變換化一個(gè)線性方程組成階梯形，最后留下來的方程的個(gè)數(shù)與變換的過程無關(guān)，因?yàn)樗偷扔谠鰪V矩陣的秩.例利用初等變換求下面矩陣的秩：.解：（略）一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§5線性方程組有解判別定理授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能熟練掌握線性方程組解的求法教學(xué)要求通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能很熟練的掌握線性方程組解的求法教學(xué)重點(diǎn)有解判定定理、線性方程組解的求法。教學(xué)難點(diǎn)求解線性方程組。教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)設(shè)線性方程組為(1)引入向量.(2)于是線性方程組(1)可以改寫成向量方程.(3)顯然，線性方程組(1)有解的充要條件為向量可以表成向量組的線性組合.用秩的概念，線性方程組(1)有解的條件可以敘述如下：定理7(線性方程組有解判別定理)線性方程組(1)有解的充要條件為它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩.應(yīng)該指出，這個(gè)判別條件與以前的消元法是一致的.用消元法解線性方程組(1)的第一步就是用初等行變換把增廣矩陣化成階梯形.這個(gè)階梯形矩陣在適當(dāng)調(diào)動(dòng)前列的順序之后可能有兩種情形：二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)或者其中.在前一種情形，原方程組無解，而在后一種情形方程組有解.實(shí)際上，把這個(gè)階梯形矩陣最后一列去掉，那就是線性方程組(1)的系數(shù)矩陣經(jīng)過初等行變換所化成的階梯形.這就是說，當(dāng)系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等時(shí)，方程組有解；當(dāng)增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩加1時(shí)，方程組無解.以上的說明可以認(rèn)為是判別定理的另一個(gè)證明.根據(jù)克拉默法則，也可以給出一般線性方程組的一個(gè)解法.設(shè)線性方程組(1)有解，矩陣與的秩都等于，而是矩陣的一個(gè)不為零的級(jí)子式(當(dāng)然它也是的一個(gè)不為零的子式)，為了方便起見，不妨設(shè)位于的左上角.顯然，在這種情況下，的前行就是一個(gè)極大線性無關(guān)組，第二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)行都可以經(jīng)它們線性表出.因此，線性方程組(1)與(4)同解.當(dāng)時(shí)，由克拉默法則，線性方程組(4)有唯一解，也就是線性方程組(1)有唯一解.當(dāng)時(shí)，將線性方程組(4)改寫為(5)(5)作為的一個(gè)方程組，它的系數(shù)行列式.由克拉默法則，對(duì)于的任意一組值，線性方程組(5)，也就是線性方程組(1)，都有唯一的解.就是線性方程組(1)的一組自由未知量.對(duì)(5)用克拉默法則，可以解出：(6)(6)就是線性方程組(1)的一般解.例取怎樣的數(shù)值時(shí)，線性方程組有唯一解，沒有解，有無窮多解？解：（略）一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§6線性方程組解的結(jié)構(gòu)授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握這兩類方程組解的結(jié)構(gòu)。教學(xué)要求通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握這兩類方程組解的結(jié)構(gòu)。教學(xué)重點(diǎn)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。教學(xué)難點(diǎn)線性方程組解結(jié)構(gòu)的理解教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)在解決線性方程組有解的判別條件之后，進(jìn)一步來討論線性方程組解的結(jié)構(gòu).所謂解的結(jié)構(gòu)問題就是解與解之間的關(guān)系問題.一、齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)設(shè)(1)是一齊次線性方程組，它的解所成的集合具有下面兩個(gè)重要性質(zhì)：1.兩個(gè)解的和還是方程組的解.2.一個(gè)解的倍數(shù)還是方程組的解.從幾何上看，這兩個(gè)性質(zhì)是清楚的.在時(shí)，每個(gè)齊次方程表示一個(gè)過得點(diǎn)的平面.于是方程組的解，也就是這些平面的交點(diǎn)，如果不只是原點(diǎn)的話，就是一條過原點(diǎn)的直線或一個(gè)過原點(diǎn)的平面.以原點(diǎn)為起點(diǎn)，而端點(diǎn)在這樣的直線或平面上的向量顯然具有上述的性質(zhì).對(duì)于齊次線性方程組，綜合以上兩點(diǎn)即得，解的線性組合還是方程組的解.這個(gè)性質(zhì)說明了，如果方程組有幾個(gè)解，那么這些解的所有可能的線性組合就給出了很多的解.基于這個(gè)事實(shí)，我們要問：齊次線性方程組的全部解是否能夠通過它的有限的幾個(gè)解的線性組合給出？定義17齊次線性方程組(1)的一組解稱為(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系，如果1）(1)的任一個(gè)解都能表成的線性組合；2）線性無關(guān).應(yīng)該注意，定義中的條件2)是為了保證基礎(chǔ)解系中沒有多余的解.定理8在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)等于，這里表示系數(shù)矩陣的秩(以下將看到，也就是自由未知量的個(gè)數(shù)).定理的證明事實(shí)上就是一個(gè)具體找基礎(chǔ)解系的方法.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)由定義容易看出，任何一個(gè)線性無關(guān)的與某一個(gè)基礎(chǔ)解系等價(jià)的向量組都是基礎(chǔ)解系.二、一般線性方程組的解的結(jié)構(gòu)如果把一般線性方程組(9)的常數(shù)項(xiàng)換成0，就得到齊次線性方程組(1).齊次線性方程組(1)稱為方程組(9)的導(dǎo)出組.方程組(9)的解與它的導(dǎo)出組(1)的之間有密切的關(guān)系：1.線性方程組(9)的兩個(gè)解的差是它的導(dǎo)出組(1)的解.2.線性方程組(9)的一個(gè)解與它的導(dǎo)出組(1)的一個(gè)解之和還是這個(gè)線性方程組的一個(gè)解.定理9如果是線性方程組(9)的一個(gè)特解，那么線性方程組(9)的任一個(gè)解都可以表成其中是導(dǎo)出組(1)的一個(gè)解.因此，對(duì)于線性方程組(9)的任一個(gè)特解，當(dāng)取遍它的導(dǎo)出組的全部解時(shí)，(10)就給出(9)的全部解.定理9說明了，為了找出一線性方程組的全部解，只要找出它的一個(gè)特殊的解以及它的導(dǎo)出組的全部解就行了.導(dǎo)出組是一個(gè)齊次線性方程組，在上面已經(jīng)看到，一個(gè)齊次線性方程組的解的全體可以用基礎(chǔ)解系來表示.因此，根據(jù)定理我們可以用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系來表出一般線性方程組的一般解；如果是線性方程組(9)的一個(gè)特解，是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，那么(9)的任一個(gè)解都可以表成二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)推論在線性方程組(9)有解的條件下，解是唯一的充要條件是它的導(dǎo)出組(1)只有零解.線性方程組的理論與解析幾何中關(guān)于平面與直線的討論有密切的關(guān)系.來看線性方程組(11)(11)中每一個(gè)方程表示一個(gè)平面，線性方程組(11)有沒有解的問題就相當(dāng)于這兩個(gè)平面有沒有交點(diǎn)的問題.我們知道，兩個(gè)平面只有在平行而不重合的情形沒有交點(diǎn).(11)的系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別是與,它們的秩可能是1或者2.有三個(gè)可能的情形：1.秩=秩=1.這就是的兩行成比例，因而這兩個(gè)平面平行.又因?yàn)榈膬尚幸渤杀壤?，所以這兩個(gè)平面重合.方程組有解.2.秩=1，秩=2.這就是說，這兩個(gè)平面平行而不重合.方程組無解.3.秩=2.這時(shí)的秩一定也是2.在幾何上就是這兩個(gè)平面不平行，因而一定相交.方程組有解.下面再來看看線性方程組的解的幾何意義.設(shè)矩陣的秩為2，這時(shí)一般解中有一個(gè)自由未知量，譬如說是，一般解的形式為(12)從幾何上看，兩個(gè)不平行的平面相交在一條直線.把(12)改寫一下就是直線的點(diǎn)向式方程二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié).如果引入?yún)?shù)，令，(12)就成為(13)這就是直線的參數(shù)方程.(11)的導(dǎo)出方程組是(14)從幾何上看，這是兩個(gè)分別與(11)中平面平行的且過原點(diǎn)的平面，因而它們的交線過原點(diǎn)且與直線(12)平行.既然與直線(12)平行，也就是有相同的方向，所以這條直線的參數(shù)方程就是(15)(13)與(15)說明了線性方程組(11)與它的導(dǎo)出組(14)的解之間的關(guān)系.例1求線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.例2設(shè)線性方程組用它的導(dǎo)出齊次方程組的基礎(chǔ)解系表示它的全部解.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱第四章矩陣§1矩陣的概念授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的使學(xué)生了解引進(jìn)矩陣的意義，理解矩陣的概念教學(xué)要求要求學(xué)生了解引進(jìn)矩陣的意義，理解矩陣的概念教學(xué)重點(diǎn)矩陣的概念教學(xué)難點(diǎn)矩陣概念的理解教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)在線性方程組的討論中，我們看到，線性方程組的一些重要性質(zhì)反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上，并且解線性方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程.除了線性方程組之外，還有大量的各種各樣的問題也都提出矩陣的概念，并且這些問題的研究常常反映為有關(guān)矩陣的某些方面的研究，甚至于有些性質(zhì)完全不同的、表面上完全沒有聯(lián)系的問題，歸結(jié)成矩陣問題以后卻是相同的.這使矩陣成為數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的應(yīng)用廣泛的概念，因而也就使矩陣成為代數(shù)特別是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象.1.在解析幾何中考慮坐標(biāo)變換時(shí)，如果只考慮坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)軸(反時(shí)針方向轉(zhuǎn)軸)，那么平面直角坐標(biāo)變換的公式為(1)其中為軸與軸的夾角.顯然新舊坐標(biāo)之間的關(guān)系，完全通過公式中系數(shù)所排成的矩陣(2)表示出來.通常，矩陣(2)稱為坐標(biāo)變換(1)的矩陣.在空間的情形，保持原點(diǎn)不動(dòng)的仿射坐標(biāo)系的變換有公式(3)同樣，矩陣(4)就稱為坐標(biāo)變換(3)的矩陣.2.二次曲線的一般方程為.(5)二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)(5)的左端可以簡(jiǎn)單地用矩陣(6)來表示.通常，(6)稱為二次曲線(5)的矩陣.以后我們會(huì)看到，這種表示法不只是形式的.3.在討論國(guó)民經(jīng)濟(jì)的數(shù)學(xué)問題中也常常用到矩陣.例如，假設(shè)在某一地區(qū)，某一種物資，比如說煤，有個(gè)產(chǎn)地，個(gè)銷地，那么一個(gè)調(diào)動(dòng)方案就可以用一個(gè)矩陣來表示，其中表示由產(chǎn)地運(yùn)到銷地的數(shù)量.4.維向量也可以看成矩陣的特殊情形.維行向量就是矩陣，維列向量就是矩陣.以后用大寫的拉丁字母，或者來表示矩陣.有時(shí)候，為了指明所討論的矩陣的級(jí)數(shù)，可以把矩陣寫成，或者(注意矩陣符號(hào)與行列式的符號(hào)的區(qū)別).設(shè)，如果，且，對(duì)都成立，我們就說.即只有完全一樣的矩陣才叫做相等.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§2矩陣的運(yùn)算授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能熟練掌握矩陣的幾種運(yùn)算。教學(xué)要求通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能熟練掌握矩陣的幾種運(yùn)算。教學(xué)重點(diǎn)矩陣的幾種運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)矩陣的乘法運(yùn)算的定義、法則以及進(jìn)行乘法運(yùn)算的前提條件。教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)現(xiàn)在來定義矩陣的運(yùn)算，它們可以認(rèn)為是矩陣之間一些最基本的關(guān)系.下面要定義矩陣的加法、乘法、矩陣與數(shù)的乘法以及矩陣的轉(zhuǎn)置.為了確定起見，我們?nèi)《ㄒ粋€(gè)數(shù)域，以下所討論的矩陣全是由數(shù)域中的數(shù)組成的.1.加法定義1設(shè),是兩個(gè)矩陣，則矩陣稱為和的和，記為.矩陣的加法就是矩陣對(duì)應(yīng)的元素相加.當(dāng)然，相加的矩陣必須要有相同的行數(shù)和列數(shù).由于矩陣的加法歸結(jié)為它們的元素的加法，也就是數(shù)的加法，所以不難驗(yàn)證，它有結(jié)合律：;交換律：.元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為，在不致引起含混的時(shí)候，可簡(jiǎn)單地記為.顯然，對(duì)所有的，.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)矩陣稱為矩陣的負(fù)矩陣，記為.顯然有矩陣的減法定義為例如在§1我們看到，某一種物資如果有個(gè)產(chǎn)地，個(gè)銷地，那么一個(gè)調(diào)動(dòng)方案就可表示為一個(gè)矩陣.矩陣中的元素表示由產(chǎn)地要運(yùn)到銷地的這個(gè)物資的數(shù)量，比如說噸數(shù).如果從這些產(chǎn)地還有另一個(gè)物資要運(yùn)到這些銷地，那么，這種物資的調(diào)動(dòng)方案也可以表示為一個(gè)矩陣.于是從產(chǎn)地到銷地的總的運(yùn)輸量也可以表示為一個(gè)矩陣.顯然，這個(gè)矩陣就等于上面兩個(gè)矩陣的和.根據(jù)矩陣加法的定義應(yīng)用關(guān)于向量組的秩的性質(zhì)，很容易看出：秩（+）≤秩（）+秩（）2.乘法在給出乘法定義之前，先看一個(gè)引出矩陣問題.設(shè)和是兩組變量，它們之間的關(guān)系為(1)又如是第三組變量，它們與的關(guān)系為二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)(2)由(1)與(2)不難看出與的關(guān)系：.（3）如果我們用(4)來表示與的關(guān)系，比較(3),(4)，就有.(5)用矩陣的表示法，我們可以說，如果矩陣分別表示變量與以及與之間的關(guān)系，那么表示與之間的關(guān)系的矩陣就由公式(5)決定.矩陣稱為矩陣與的乘積，記為一般地，我們有：定義2設(shè),那么矩陣,其中二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)其中,(6)稱為矩陣與的乘積，記為.由矩陣乘法的定義可以看出，矩陣與的乘積的第行第列的元素等于第一個(gè)矩陣的第行與第二個(gè)矩陣的第列的對(duì)應(yīng)元素的乘積的和.當(dāng)然，在乘積的定義中，我們要求第二個(gè)矩陣的行數(shù)與第一個(gè)矩陣的列數(shù)相等.例1設(shè),那么例2如果是一線性方程組的系數(shù)矩陣，而分別是未知量和常數(shù)項(xiàng)所成的和矩陣，那么線性方程組就可以寫成矩陣的等式.例3在空間中作一坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)軸.設(shè)由坐標(biāo)系到二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)的坐標(biāo)變換的矩陣為如果令,那么坐標(biāo)變換的公式可以寫成.如果再作一次坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)軸，設(shè)由第二個(gè)坐標(biāo)系到第三個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換公式為,其中.那么不難看出，由第一個(gè)坐標(biāo)系到第三個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換的矩陣即為.矩陣的乘法適合結(jié)合律.設(shè)則.但是矩陣的乘法不適合交換律，即一般說來.例如，設(shè)二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié),而.由這個(gè)例子我們還可看出，兩個(gè)不為零的矩陣的乘積可以是零，這是矩陣乘法的一個(gè)特點(diǎn).由此還可得出矩陣消去律不成立.即當(dāng)時(shí),不一定有.定義3主對(duì)角線上的元素全是1，其余元素全是0的矩陣稱為級(jí)單位矩陣，記為，或者在不致引起含混的時(shí)候簡(jiǎn)單寫為.顯然有,.矩陣的乘法和加法還適合分配律，即,(9).(10)應(yīng)該指出，由于矩陣的適合交換律，所以(9)與(10)是兩條不同的規(guī)律.我們還可以定義矩陣的方冪.設(shè)是一矩陣，定義換句話說，就是個(gè)連乘.當(dāng)然只能對(duì)行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣來定義.由乘法的結(jié)合律，不難證明,二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié).這里是任意正整數(shù).因?yàn)榫仃嚦朔ú贿m合交換律，所以與一般不相等.3.數(shù)量乘法.定義4矩陣稱為矩陣與數(shù)的數(shù)量乘積，記為.換句話說，用數(shù)乘矩陣就是把矩陣的每個(gè)元素都乘上.數(shù)量乘積適合以下的規(guī)律：,(11),(12),(13),(14).(15)矩陣通常稱為數(shù)量矩陣.作為(15)的特殊情形，如果是一矩陣，那么有.這個(gè)式子說明，數(shù)量矩陣與所有的矩陣作乘法是可交換的.可以證明：如果一個(gè)級(jí)矩陣與所有級(jí)矩陣作乘法是可交換的，那么這個(gè)矩陣二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)一定是數(shù)量矩陣.再有,,這就是說，數(shù)量矩陣的加法與乘法完全歸結(jié)為數(shù)的加法與乘法.4.轉(zhuǎn)置把一矩陣的行列互換，所得到的矩陣稱為的轉(zhuǎn)置，記為.可確切地定義如下：定義5設(shè)，所謂的轉(zhuǎn)置就是指矩陣.顯然，矩陣的轉(zhuǎn)置是矩陣.矩陣的轉(zhuǎn)置適合以下的規(guī)律：,(16),(17),(18).(19)(16)表示兩次轉(zhuǎn)置就還原，這是顯然的.例4設(shè)求.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§3矩陣乘積的行列式與秩授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的使學(xué)習(xí)能掌握矩陣乘積的行列式與秩教學(xué)要求要求學(xué)習(xí)能掌握本節(jié)的相關(guān)理論教學(xué)重點(diǎn)矩陣乘積的行列式與秩的相關(guān)理論教學(xué)難點(diǎn)矩陣乘積秩的相關(guān)結(jié)論的論證教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)定理1設(shè)是數(shù)域上的兩個(gè)矩陣，那么,(1)即矩陣乘積的行列式等于它的因子的行列式的乘積.用數(shù)學(xué)歸納法，定理1可以推廣到多個(gè)因子的情形，即有推論1設(shè)是數(shù)域上的矩陣，于是定義6數(shù)域上的矩陣稱為非退化的，如果，否則稱為退化的.顯然一矩陣是非退化的充要條件是它的秩等于.推論2設(shè)是數(shù)域上矩陣，矩陣為退化的充要條件是中至少有一個(gè)是退化的.定理2設(shè)是數(shù)域上矩陣，是數(shù)域上矩陣，于是,(2)即乘積的秩不超過各因子的秩.用數(shù)學(xué)歸納法，定理2可以推廣到多個(gè)因子的情形，即有推論3如果，那么.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§4矩陣的逆授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的使學(xué)生會(huì)判斷矩陣的可逆性，并求其逆矩陣。教學(xué)要求要求學(xué)生會(huì)判斷一個(gè)矩陣是否可逆，并進(jìn)一步求其逆矩陣。教學(xué)重點(diǎn)可逆矩陣的性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)逆矩陣的計(jì)算教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)一、可逆矩陣的概念在§2我們看到，矩陣與復(fù)數(shù)相仿，有加、減、乘三種運(yùn)算.矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢？這就是本節(jié)所要討論的問題.這一節(jié)矩陣，如不特別聲明，都是矩陣.對(duì)于任意的級(jí)方陣都有這里是級(jí)單位矩陣.因之，從乘法的角度來看，級(jí)單位矩陣在級(jí)方陣中的地位類似于1在復(fù)數(shù)中的地位.一個(gè)復(fù)數(shù)的倒數(shù)可以用等式來刻劃，相仿地，我們引入定義7級(jí)方陣稱為可逆的，如果有級(jí)方陣，使得,(1)這里是級(jí)單位矩陣.首先我們指出，由于矩陣的乘法規(guī)則，只有方陣才能滿足(1).其次，對(duì)于任意的矩陣，適合等式(1)的矩陣是唯一的(如果有的話).定義8如果矩陣適合(1)，那么就稱為的逆矩陣，記為.二、可逆矩陣的逆矩陣的求法下面要解決的問題是：在什么條件下矩陣是可逆的？如果可逆，怎樣求？定義9設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)余子式，矩陣二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)稱為矩陣的伴隨矩陣.由行列式按一行(列)展開的公式立即得出：,(2)其中.如果，那么由(2)得.(3)定理3矩陣可逆的充要條件是非退化的，而根據(jù)定理3容易看出，對(duì)于級(jí)方陣，如果那么就都是可逆的并且它們互為逆矩陣.定理3不但給出了一矩陣可逆的條件，同時(shí)也給出了求逆矩陣的公式(4).按這個(gè)公式來求逆矩陣，計(jì)算量一般是非常大的.在以后我們將給出另一種求法.由(5)可以看出，如果，那么推論如果矩陣可逆，那么與也可逆，且二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié).利用矩陣的逆，可以給出克拉默法則的另一種推導(dǎo)法.線性方程組可以寫成.(6)如果，那么可逆.用代入(6)，得恒等式，這就是說是一個(gè)解.如果是(6)的一個(gè)解，那么由得,即.這就是說，解是唯一的.用的公式(4)代入，乘出來就是克拉默法則中給出的公式.定理4是一個(gè)矩陣，如果是可逆矩陣，是可逆矩陣，那么秩（）=秩（）=秩（）.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃第頁授課章節(jié)名稱§5矩陣的分塊授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的使學(xué)生掌握分塊矩陣的乘積與分塊矩陣的應(yīng)用教學(xué)要求要求學(xué)生掌握分塊矩陣的乘積與分塊矩陣的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)分塊矩陣的乘積、分塊矩陣的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)分塊矩陣的應(yīng)用教學(xué)方法與手段講授法啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)在這一節(jié)，我們來介紹一個(gè)處理級(jí)數(shù)較高的矩陣時(shí)常用的方法，即矩陣的分塊.有時(shí)候，我們把一個(gè)大矩陣看成是由一些小矩陣組成的，就如矩陣是由數(shù)組成的一樣.特別在運(yùn)算中，把這些小矩陣當(dāng)作數(shù)一樣來處理.這就是所謂矩陣的分塊.為了說明這個(gè)方法，下面看一個(gè)例子.在矩陣中，表示級(jí)單位矩陣，而.在矩陣中，.在計(jì)算時(shí)，把都看成是由這些小矩陣組成的，即按2級(jí)矩陣來運(yùn)算.于是,其中,.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)因之.不難驗(yàn)證，直接按4級(jí)矩陣乘積的定義來作，結(jié)果是一樣的.一般，設(shè)，把分成一些小矩陣,(1),(2)其中每個(gè)是小矩陣，每個(gè)是小矩陣，于是有,(3)其中.(4)這個(gè)結(jié)果是由矩陣乘積的定義直接驗(yàn)證即得.應(yīng)該注意，在分塊(1),(2)中矩陣的列的分法必須與矩陣的行的分法一致.以下會(huì)看到，分塊乘法有許多方便之處.常常在分塊之后，矩陣間相互的關(guān)系看得更清楚.實(shí)際上，在證明關(guān)于矩陣乘積的秩的定理時(shí)，已經(jīng)用了矩陣分塊的想法.在二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)那里，用表示的行向量，于是,這就是的一種分塊.按分塊相乘，就有.用這個(gè)式子很容易看出的行向量是的行向量的線性組合；將進(jìn)行另一種分塊乘法，從結(jié)果中可以看出的列向量是的列向量的線性組合.作為一個(gè)例子，我們來求矩陣的逆矩陣，其中分別是級(jí)和級(jí)的可逆矩陣，是矩陣，是零矩陣.首先，因?yàn)?所以當(dāng)可逆時(shí)，也可逆.設(shè),二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁教學(xué)內(nèi)容小結(jié)于是,這里分別表示級(jí)和級(jí)單位矩陣.乘出來并比較等式兩邊，得由第一、二式得,代入第四式，得,代入第三式，得.因此.特別地，當(dāng)時(shí)，有.形式為的矩陣，其中是數(shù)，通常稱為對(duì)角矩陣，而形式為二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容