因式分解地常用方法(方法最全最詳細)

因式分解的常用方法第一部分：方法介紹因式分解：因式分解是指將一個多項式化成幾個整式的積的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法，換元法等因式分解的一般步驟是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；（2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項（添項）等方法；。注意：將一個多項式進行因式分解應(yīng)分解到不能再分解為止。一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運用公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1)(a+b)(a-b)=a2-b2-----------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2---------a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3--------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再補充兩個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三邊，且，則的形狀是（）A.直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形解：三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有a，后兩項都含有b，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式==每組之間還有公因式！=例2、分解因式：解法一：第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。第二、三項為一組。解：原式=原式=====練習(xí)：分解因式1、2、（二）分組后能直接運用公式例3、分解因式：分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。解：原式===例4、分解因式：解：原式===練習(xí)：分解因式3、4、綜合練習(xí)：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式——進行分解。特點：（1）二次項系數(shù)是1；（2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例.已知0＜≤5，且為整數(shù)，若能用十字相乘法分解因式，求符合條件的.解析：凡是能十字相乘的二次三項式ax2+bx+c，都要求>0而且是一個完全平方數(shù)。于是為完全平方數(shù)，例5、分解因式：分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合，即2+3=5。12解：=13=1×2+1×3=5用此方法進行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例6、分解因式：解：原式=1-1=1-6（-1）+（-6）=-7練習(xí)5、分解因式(1)(2)(3)練習(xí)6、分解因式(1)(2)(3)（二）二次項系數(shù)不為1的二次三項式——條件：（1）（2）（3）分解結(jié)果：=例7、分解因式：分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：=練習(xí)7、分解因式：（1）（2）（3）（4）（三）二次項系數(shù)為1的齊次多項式例8、分解因式：分析：將看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：==練習(xí)8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次項系數(shù)不為1的齊次多項式例9、例10、1-2y把看作一個整體1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=解：原式=練習(xí)9、分解因式：（1）（2）綜合練習(xí)10、（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、換元法。(1)、換單項式例1分解因式x6+14x3y+49y2.分析：注意到x6=（x3）2，若把單項式x3換元，設(shè)x3=m，則x6=m2，原式變形為m2+14my+49y2=(m+7y)2=(x3+7y)2.(2)、換多項式例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2.分析：本題前面的兩個多項式有相同的部分，我們可以只把相同部分換元，設(shè)x2+6=m，則x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式變形為(m+4x)(m+6x)+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2=(m+5x)2=(x2+6+5x)2=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.以上這種換元法，只換了多項式的一部分，所以稱為“局部換元法”.當(dāng)然，我們還可以把前兩個多項式中的任何一個全部換元，就成了“整體換元法”.比如，設(shè)x2+4x+6=m，則x2+6x+6=m+2x，原式變形為m(m+2x)+x2=m2+2mx+x2=(m+x)2=(x2+4x+6+x)2=(x2+5x+6)2=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.另外，還可以取前兩個多項式的平均數(shù)進行換元，這種換元的方法被稱為“均值換元法”，可以借用平方差公式簡化運算.對于本例，設(shè)m=eq\f(1,2)[(x2+4x+6)+(x2+6x+6)]=x2+5x+6，則x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，(m+x)(m-x)+x2=m2-x2+x2=m2=(x2+5x+6)2=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.例3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：這道題的前面是四個多項式的乘積，可以把它們分成兩組相乘，使之轉(zhuǎn)化成為兩個多項式的乘積.無論如何分組，最高項都是x2，常數(shù)項不相等，所以只能設(shè)法使一次項相同.因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分組為[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]=(x2+x-2)(x2+x-12)，從而轉(zhuǎn)化成例2形式加以解決.我們采用“均值換元法”，設(shè)m=eq\f(1,2)[(x2+x-2)+(x2+x-12)]=x2+x-7，則x2+x-2=m+5，x2+x-2=m-5，原式變形為(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=(x2+x-7+1)(x2+x-7-1)=(x2+x-6)(x2+x-8)=(x-2)(x+3)(x2+x-8).(3)、換常數(shù)例1分解因式x2(x+1)-2003×2004x.分析：此題若按照一般思路解答，很難奏效.注意到2003、2004兩個數(shù)字之間的關(guān)系，把其中一個常數(shù)換元.比如，設(shè)m=2003，則2004=m+1.于是，原式變形為x2(x+1)–m(m+1)x=x[x(x+1)-m(m+1)]=x(x2+x-m2-m)=x[(x2-m2)+(x-m)]=x[(x+m)(x-m)+(x-m)]=x(x-m)(x+m+1)=x(x-2003)(x+2003+1)=x(x-2003)(x+2004).例13、分解因式（1）（2）解：（1）設(shè)2005=，則原式===（2）型如的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式=設(shè)，則∴原式====練習(xí)13、分解因式（1）（2）（3）例14、分解因式（1）觀察：此多項式的特點——是關(guān)于的降冪排列，每一項的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對稱”。這種多項式屬于“等距離多項式”。方法：提中間項的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式==設(shè)，則∴原式=======（2）解：原式==設(shè)，則∴原式====練習(xí)14、（1）（2）六、添項、拆項、配方法。例15、分解因式（1）解法1——拆項。解法2——添項。原式=原式=========（2）解：原式====練習(xí)15、分解因式（1）（2）（3）（4）（5）（6）七、待定系數(shù)法。例16、分解因式分析：原式的前3項可以分為，則原多項式必定可分為解：設(shè)=∵=∴=對比左右兩邊相同項的系數(shù)可得，解得∴原式=例17、（1）當(dāng)為何值時，多項式能分解因式，并分解此多項式。（2）如果有兩個因式為和，求的值。（1）分析：前兩項可以分解為，故此多項式分解的形式必為解：設(shè)=則=比較對應(yīng)的系數(shù)可得：，解得：或∴當(dāng)時，原多項式可以分解；當(dāng)時，原式=；當(dāng)時，原式=（2）分析：是一個三次式，所以它應(yīng)該分成三個一次式相乘，因此第三個因式必為形如的一次二項式。解：設(shè)=則=∴解得，∴=21練習(xí)17、（1）分解因式（2）分解因式（3）已知：能分解成兩個一次因式之積，求常數(shù)并且分解因式。（4）為何值時，能分解成兩個一次因式的乘積，并分解此多項式。第二部分：習(xí)題大全經(jīng)典一：一、填空題1.把一個多項式化成幾個整式的_______的形式，叫做把這個多項式分解因式。2分解因式：m3-4m=.3.分解因式：x2-4y2=_______.4、分解因式：=_________________。5.將xn-yn分解因式的結(jié)果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，則n的值為.6、若，則=_________，=__________。二、選擇題7、多項式的公因式是()A、B、C、D、8、下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是()A、B、C、D、10.下列多項式能分解因式的是（）(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+411．把（x－y）2－（y－x）分解因式為（）A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）12．下列各個分解因式中正確的是（）A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）13.若k-12xy+9x2是一個完全平方式，那么k應(yīng)為（）A.2B.4C.2y2D.4y2三、把下列各式分解因式：14、15、16、17、18、19、；五、解答題20、如圖，在一塊邊長=6.67cm的正方形紙片中，挖去一個邊長=3.33cm的正方形。求紙片剩余部分的面積。dD21、如圖，某環(huán)保工程需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是內(nèi)徑，外徑長。利用分解因式計算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，結(jié)果保留2位有效數(shù)字)dD22、觀察下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫出第(5)個等式。經(jīng)典二：1.通過基本思路達到分解多項式的目的例1.分解因式分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解；也可把，，分別看成一組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。解一：原式解二：原式=2.通過變形達到分解的目的例1.分解因式解一：將拆成，則有解二：將常數(shù)拆成，則有3.在證明題中的應(yīng)用例：求證：多項式的值一定是非負數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個非負數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項式是非負數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。證明：設(shè)，則4.因式分解中的轉(zhuǎn)化思想例：分解因式：分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。解：設(shè)a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B說明：在分解因式時，靈活運用公式，對原式進行“代換”是很重要的。中考點撥例1.在中，三邊a,b,c滿足求證：證明：說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不能丟分。例2.已知：__________解：說明：利用等式化繁為易。題型展示1.若x為任意整數(shù)，求證：的值不大于100。解：說明：代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。一個多項式的值不大于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。2.將解：說明：利用因式分解簡化有理數(shù)的計算。實戰(zhàn)模擬1.分解因式：2.已知：的值。3.矩形的周長是28cm，兩邊x,y使，求矩形的面積。4.求證：是6的倍數(shù)。（其中n為整數(shù)）5.已知：a、b、c是非零實數(shù)，且，求a+b+c的值。6.已知：a、b、c為三角形的三邊，比較的大小。經(jīng)典三：因式分解練習(xí)題精選一、填空：（30分）1、若是完全平方式，則的值等于_____。2、則=____=____3、與的公因式是＿4、若=，則m=_______，n=_________。5、在多項式中，可以用平方差公式分解因式的有________________________，其結(jié)果是_____________________。6、若是完全平方式，則m=_______。7、8、已知則9、若是完全平方式M=________。10、，11、若是完全平方式，則k=_______。12、若的值為0，則的值是________。13、若則=_____。14、若則___。15、方程，的解是________。二、選擇題：（10分）1、多項式的公因式是（）A、－a、B、C、D、2、若，則m，k的值分別是（）A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（）A、1個，B、2個，C、3個，D、4個4、計算的值是（）A、B、三、分解因式：（30分）1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、四、代數(shù)式求值（15分）已知，，求的值。若x、y互為相反數(shù)，且，求x、y的值已知，求的值五、計算：（15）（1）0.75（2）（3）六、試說明：（8分）1、對于任意自然數(shù)n，都能被動24整除。2、兩個連續(xù)奇數(shù)的積加上其中較大的數(shù)，所得的數(shù)就是夾在這兩個連續(xù)奇數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。七、利用分解因式計算（8分）1、一種光盤的外D=11.9厘米，內(nèi)徑的d=3.7厘米，求光盤的面積。（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）2、正方形1的周長比正方形2的周長長96厘米，其面積相差960平方厘米求這兩個正方形的邊長。八、老師給了一個多項式，甲、乙、丙、丁四個同學(xué)分別對這個多項式進行了描述：甲：這是一個三次四項式乙：三次項系數(shù)為1，常數(shù)項為1。丙：這個多項式前三項有公因式?。哼@個多項式分解因式時要用到公式法若這四個同學(xué)描述都正確請你構(gòu)造一個同時滿足這個描述的多項式，并將它分解因式。（4分）經(jīng)典四：因式分解選擇題1、代數(shù)式a3b2－a2b3,a3b4＋a4b3,a4b2－a2b4的公因式是（）A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b32、用提提公因式法分解因式5a(x－y)－10b·(x－y)，提出的公因式應(yīng)當(dāng)為（）A、5a－10bB、5a＋10bC、5(x－y)D、y－x3、把－8m3＋12m2＋4m分解因式，結(jié)果是（）A、－4m(2m2－3m)B、－4m(2m2＋3m－1)C、－4m(2m2－3m－1)D、－2m(4m2－6m＋2)4、把多項式－2x4－4x2分解因式，其結(jié)果是（）A、2(－x4－2x2)B、－2(x4＋2x2)C、－x2(2x2＋4)D、－2x2(x2＋2)5、（－2）1998＋（－2）1999等于（）A、－21998B、21998C、－21999D、219996、把16－x4分解因式，其結(jié)果是（）A、(2－x)4B、(4＋x2)(4－x2)C、(4＋x2)(2＋x)(2－x)D、(2＋x)3(2－x)7、把a4－2a2b2＋b4分解因式，結(jié)果是（）A、a2(a2－2b2)＋b4B、(a2－b2)2C、(a－b)4D、(a＋b)2(a－b)28、把多項式2x2－2x＋分解因式，其結(jié)果是（）A、(2x－)2B、2(x－)2C、(x－)2D、(x－1)29、若9a2＋6(k－3)a＋1是完全平方式，則k的值是（）A、±4B、±2C、3D、4或210、－（2x－y）(2x＋y)是下列哪個多項式分解因式的結(jié)果（）A、4x2－y2B、4x2＋y2C、－4x2－y2D、－4x2＋y211、多項式x2＋3x－54分解因式為（）A、(x＋6)(x－9)B、(x－6)(x＋9)C、(x＋6)(x＋9)D、(x－6)(x－9)二、填空題1、2x2－4xy－2x=_______(x－2y－1)2、4a3b2－10a2b3=2a2b2(________)3、(1－a)mn＋a－1=(________)(mn－1)4、m(m－n)2－(n－m)2=(__________)(__________)5、x2－(_______)＋16y2=()26、x2－(_______)2=(x＋5y)(x－5y)7、a2－4(a－b)2=(__________)·(__________)8、a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)=(x＋y－z)·(________)9、16(x－y)2－9(x＋y)2=(_________)·(___________)10、(a＋b)3－(a＋b)=(a＋b)·(___________)·(__________)11、x2＋3x＋2=(___________)(__________)12、已知x2＋px＋12=(x－2)(x－6)，則p=_______.三、解答題1、把下列各式因式分解。(1)x2－2x3(2)3y3－6y2＋3y(3)a2(x－2a)2－a(x－2a)2(4)(x－2)2－x＋2(5)25m2－10mn＋n2(6)12a2b(x－y)－4ab(y－x)(7)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)(8)a2＋5a＋6(9)x2－11x＋24(10)y2－12y－28(11)x2＋4x－5(12)y4－3y3－28y22、用簡便方法計算。（1）9992＋999（2）2022－542＋256×352(3)3、已知：x＋y=,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3的值。四、探究創(chuàng)新樂園若a－b=2,a－c=,求(b－c)2＋3(b－c)＋的值。求證：1111－1110－119=119×109五、證明(求值)1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．2．求證：四個連續(xù)自然數(shù)的積再加上1，一定是一個完全平方數(shù)．3．證明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．6．當(dāng)a為何值時，多項式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解為兩個一次因式的乘積．7．若x，y為任意有理數(shù)，比較6xy與x2＋9y2的大?。?．兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差是4的倍數(shù)．經(jīng)典五：因式分解分類練習(xí)題因式分解—提公因式法1、下列多項式中，能用提公因式法分解因式的是()A.B.C. D.2、在把分解因式時，應(yīng)提取的公因式是()A.B.C.D.3、下列變形是因式分解的是()A.B.C.D.4、