大學線性代數(shù)課件第四章第五節(jié) 齊次線性方程組有非零解的條件及解的結(jié)構(gòu)

第四章第五節(jié)齊次線性方程組有非零解的條件及解的結(jié)構(gòu)線性方程組有解的判定條件問題：證必要性.(),,nDnAnAr階非零子式中應(yīng)有一個則在設(shè)=(),根據(jù)克萊默定理個方程只有零解所對應(yīng)的nDn從而定理8這與原方程組有非零解相矛盾，().nAr<即充分性.(),nrAr<=設(shè).個自由未知量從而知其有rn-任取一個自由未知量為１，其余自由未知量為０，即可得方程組的一個非零解

.于是方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)，所以方程一定有非零解。齊次線性方程組的解的性質(zhì)（可推廣至有限多個解的線性組合）解向量：每一組解都是一個n維向量性質(zhì)1：若是（1）的解，則仍然是（1）的解。解空間:的所有解向量的集合，對加法和數(shù)乘都封閉，所以構(gòu)成一個向量空間，稱為這個齊次線性方程組的解空間。記為V例1

求下列線性方程組的解：x1–x2+5x3–x4=0,x1+x2–2x3+3x4=0,3x1–x2+8x3+x4=0,

x1+3x2–9x3+7x4=0.解最后一個矩陣所對應(yīng)的線性方程組為取x3=C1,x4=C2得方程組的解為：C1,C2R.我們要尋找V中的一組解向量，它們的線性組合構(gòu)成（1）的所有解。這就是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。設(shè)是的解，滿足線性無關(guān)；的任一解都可以由線性表示。則稱是的一個基礎(chǔ)解系。定理9：設(shè)是矩陣，如果則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系存在，且每個基礎(chǔ)解系中含有個解向量。證明分三步:1.以某種方法找個解。2.證明這個解線性無關(guān)。3.證明任一解都可由這個解線性表示。證明：因為r(A)=r<n.所以A至少有一個r階子式不為零，而所有r+1階子式全為零.

不妨設(shè)A的左上角

的一個r階子式不為零，此時用初等行變換將A化為階梯形形如:進一步，可以用初等行變換將A化為Jordan階梯形矩陣0現(xiàn)對取下列組數(shù)：依次得從而求得原方程組的個解：下面證明是齊次線性方程組解空間的一個基．由于個維向量線性無關(guān)，所以個維向量亦線性無關(guān).線性無關(guān)，加長無關(guān)由于是的解故也是的解.？？？課后思考

所以是齊次線性方程組解空間的一個基.由此得AX=0的同解方程組如下：c11x1+c12x2+…+c1rxr+c1,r+1xr+1+…+c1nxn=0,

c22x2+…+c2rxr+c2,r+1xr+1+…+c2nxn=0,crrxr+cr,r+1xr+1+…+crnxn=0.………………逐步回代可得方程組的一般解為x1=d11xr+1+d12xr+2+…+d1,nrxn,x2=d21xr+1+d22xr+2+…+d2,nrxn,………………xr=dr1xr+1+dr2xr+2+…+dr,nrxn,其中xr+1,…,xn為任意實數(shù).將xr+1,xr+2,…,xn取下列nr

組值則可得nr個解向量：X1=[d11,…,dr1,1,0,…,0]TX2=[d12,…,dr2,0,1,…,0]T…………Xnr=[d1,

nr,…,dr,nr,0,…,1]T易知解向量X1,X2,…,Xnr線性無關(guān).下證AX=0的每一解均可由X1,X2,…,Xnr線性表示.將一般解中的自由未知量xr+1,xr+2,…,xn任取一組數(shù)：k1,k2,…,knr,得相應(yīng)解為x1=k1d11+k2d12+…+knrd1,

nrx2=k1d21+k2d22+…+knrd2,

nr………………xr=k1dr1+k2dr2+…+knrdr,

nrxr+1=k1xr+2=k2

xn=knr………………寫成向量形式：X=[x1,…,xn]T=k1X1+k2X2+…+knrXnr所以X1,X2,…,Xnr是AX=0的解空間的一組基，從而AX=0的解空間是nr

維的.注：的基礎(chǔ)解系實際上就是解空間的一個基。(1)(2)證明過程提供了一種求解空間基（基礎(chǔ)解系）的方法。(3)基（基礎(chǔ)解系）不是唯一的。(4)當時，解空間是當時，求得基礎(chǔ)解系是則是的解，稱為通解。齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的通解是推論齊次線性方程組As×nX=0滿足：r(A)=r<n，則方程組的1）每個基礎(chǔ)解系含有

n-r個解向量.2）任意

n-r+1個解向量線性相關(guān).3）任意

n-r個線性無關(guān)解向量構(gòu)成一個基礎(chǔ)解系.是此齊次方程組的兩個線性無關(guān)的解．

因為Ax=

0

的基礎(chǔ)解系含有兩個解，因此它的兩個線性無關(guān)

證根據(jù)齊次方程組解的性質(zhì)可知，組Ax=0的兩個解．也是這個方程組的一個基礎(chǔ)解系,其中數(shù)k≠0.也線性無關(guān)，所以向量組例2：例

3:

求下列齊次方程組的通解。解：初等行變換

上頁最后一行最簡形式矩陣對應(yīng)的方程組為法1：先求通解，再求基礎(chǔ)解系即是自由未知量。令則即為任意常數(shù)。法2：先求