第四節(jié)空間的曲面與曲線

第四節(jié)空間的曲面與曲線2023/4/161第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:1:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,2:不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動點為軌跡方程.

2023/4/162第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點的坐標都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題

:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).定義12023/4/163第3頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二故所求方程為方程.特別,當M0在原點時,球面方程為解:

設(shè)軌跡上動點為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)半球面.例1

求動點到定點二、一些常見的曲面1.球面2023/4/164第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二解:

配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.的曲面.（課本例1）

表示怎樣半徑為的球面.球心為例2研究方程2023/4/165第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二定義2

一條平面曲線2.旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸

,旋轉(zhuǎn)曲線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線.例如:2023/4/166第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當繞

z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點轉(zhuǎn)到建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:2023/4/167第7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二求旋轉(zhuǎn)曲面方程時,平面曲線繞某坐標軸旋轉(zhuǎn),則該坐標軸對應(yīng)的變量不變,而曲線方程中另一變量寫成該變量與第三變量平方和的正負平方根.思考：當曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？2023/4/168第8頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二的圓錐面方程.解:

在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方例3試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為2023/4/169第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為例4

求坐標面xoz

上的雙曲線(旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面）(旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面）（習題6-43（2））2023/4/1610第10頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二3.柱面引例分析方程表示怎樣的坐標也滿足方程解:在xoy面上表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,的曲面?2023/4/1611第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二平行定直線并沿定曲線C

移動的直線l

形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準線為xoy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準線,l

叫做母線.定義32023/4/1612第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準線xoz

面上的曲線l3:H(z,x)=0.母線柱面,準線xoy

面上的曲線l1

:F(x,y)=0.母線準線yoz面上的曲線l2

:G(y,z)=0.母線一般地,在三維空間2023/4/1613第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二三、二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)2023/4/1614第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二方法一是用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相交，考察其交線的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的形狀．這種方法叫做截痕法．怎樣了解三元方程所表示的曲面的形狀呢?

研究二次曲面特性的基本方法:截痕法和伸縮變形

方法二是所謂的伸縮變形的方法，即通過把空間圖形伸縮變形形成新的曲面的方法．2023/4/1615第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.①橢圓錐面(EllipticCone)橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x

或y方向的伸縮變換得到.2023/4/1616第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓1.橢球面(Ellipsoid)2023/4/1617第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二與的交線為橢圓：(4)當a＝b

時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a＝b＝c

時為球面.(3)截痕:為正數(shù))2023/4/1618第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二2.單葉雙曲面(HyperboloidofOneSheet)橢圓.時,截痕為(實軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:2023/4/1619第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:2023/4/1620第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二2.單葉雙曲面

把xOz面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面.把此旋轉(zhuǎn)曲面沿y軸方向伸縮倍，即得單葉雙曲面.2023/4/1621第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面:系數(shù)二項正,一項為負.雙葉雙曲面:系數(shù)一項正,二項負.圖形3.雙葉雙曲面(HyperboloidofTwoSheets)（a、b、c是正數(shù)）2023/4/1622第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二4.橢圓拋物面

xyz把xOz面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)，所得曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋物面.此旋轉(zhuǎn)曲面沿y軸方向伸縮倍，即得橢圓拋物面.2023/4/1623第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二5.雙曲拋物面所表示的曲面稱為雙曲拋物面或馬鞍面.2023/4/1624第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二四、空間曲線的方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例5方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C1.空間曲線的一般方程2023/4/1625第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二表示上半球面與圓柱面的交線C.例6方程組2023/4/1626第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二會畫草圖2023/4/1627第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二2.空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點坐標x,y,z表示成參數(shù)t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.2023/4/1628第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二

動點從A點出發(fā)，經(jīng)過t時間，運動到M點螺旋線的參數(shù)方程取時間t為參數(shù)，解2023/4/1629第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比．即上升的高度螺距2023/4/1630第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為練習將下列曲線化為參數(shù)方程表示:2023/4/1631第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二五、曲面的參數(shù)方程(TheParametricEquationofSurface)一般曲面的參數(shù)方程含兩個參數(shù),形如2023/4/1632第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二繞z軸旋轉(zhuǎn)時的旋轉(zhuǎn)曲面方程.略解:點M1繞z軸旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)過角度后到點則這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程.例8求空間曲線:2023/4/1633第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二定義：以曲線為準線、母線平行于軸的柱面叫做關(guān)于面的投影柱面，投影柱面與面的交線叫做空間曲線在或簡稱投影（類似地可以定義曲線在其他坐標面上的投影）．面上的投影曲線，六、空間曲線在坐標面上的投影(ProjectingCurveonaCoordinatePlaneofSpaceCurve)曲線2023/4/1634第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影曲線投影柱面2023/4/1635第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二消去變量z后得：曲線關(guān)于的投影柱面設(shè)空間曲線C的一般方程：以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面.投影柱面的特征：空間曲線C在面上的投影曲線C′2023/4/1636第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xoy面上的投影曲線C′為消去

x

得C在yoz

面上的投影曲線方程消去y得C在zox面上的投影曲線方程2023/4/1637第37頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二例9求曲線在xoy面上的投影曲線方程.2023/4/1638第38頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二補充:空間立體或曲面在坐標面上的投影.空間立體曲面2023/4/1639第39頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二所圍的立體在xoy

面上的投影區(qū)域.和錐面在xoy面上的投影曲線二者交線所求的投影區(qū)域是圓域:解:半球面和錐面的交線在xoy面上的投影曲線所圍之域

.例10求上半球面為所求的投影區(qū)域.2023/4/1640第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程

球面

旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z

軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.2023/4/1641第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二三元二次方程

橢球面

拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面

雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面

橢圓錐面:2.二次曲面2023/4/1642第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二3.空間曲線一般方程（三元方程組）或參數(shù)方程(如,圓柱螺線)4.

曲面的參數(shù)方程5.空間曲線在坐標面上的投影2023/4/1643第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二作業(yè)習題6-3P43-45

4(1)(2);9;162023/4/1644第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y

軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸