線性二次型最優(yōu)控制器設計

線性二次型最優(yōu)控制器設計第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二線性二次型最優(yōu)控制器設計本節(jié)主要內(nèi)容：線性二次型最優(yōu)控制器概述連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制線性二次型Gauss最優(yōu)控制第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二

應用經(jīng)典控制理論設計控制系統(tǒng)，能夠解決很多簡單、確定系統(tǒng)的實際設計問題。但是對于諸多新型而復雜的控制系統(tǒng)，例如多輸入多輸出系統(tǒng)與階次較高的系統(tǒng)，往往得不到滿意的結(jié)果。這時就需要有在狀態(tài)空間模型下建立的最優(yōu)控制策略。

最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。所謂最優(yōu)控制，就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務時，使系統(tǒng)的某種性能指標具有最優(yōu)值。根據(jù)系統(tǒng)不同的用途，可提出各種不用的性能指標。最優(yōu)控制的設計，就是選擇最優(yōu)控制，以使某一種性能指標為最小。第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二一、線性二次型最優(yōu)控制概述

線性二次型最優(yōu)控制設計是基于狀態(tài)空間技術(shù)來設計一個優(yōu)化的動態(tài)控制器。系統(tǒng)模型是用狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，其目標函數(shù)是狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。二次型問題就是在線性系統(tǒng)約束條件下選擇控制輸入使二次型目標函數(shù)達到最小。線性二次型最優(yōu)控制一般包括兩個方面：線性二次型最優(yōu)控制問題（LQ問題），具有狀態(tài)反饋的線性最優(yōu)控制系統(tǒng)；線性二次型Gauss最優(yōu)控制問題，一般是針對具體系統(tǒng)噪聲和量測噪聲的系統(tǒng)，用卡爾曼濾波器觀測系統(tǒng)狀態(tài)。第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二二、連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制1.連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制原理

假設線性連續(xù)定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：要尋求控制向量使得二次型目標函數(shù)為最小。式中，Q為半正定是對稱常數(shù)矩陣，R為正定實對稱常數(shù)矩陣，Q、R分別為X和U的加權(quán)矩陣。

第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二根據(jù)極值原理，我們可以導出最優(yōu)控制律：式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須滿足黎卡夫（Riccati）代數(shù)方程

因此，系統(tǒng)設計歸結(jié)于求解黎卡夫（Riccati）方程的問題，并求出反饋增益矩陣K。

第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二2.連續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的MATLAB函數(shù)

在MATLAB工具箱中，提供了求解連續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的函數(shù)：lqr()、lqr2()、lqry()。其調(diào)用格式為：第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二其中，A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的輸出矩陣；Q為給定的半正定實對稱常數(shù)矩陣；R為給定的正定實對稱常數(shù)矩陣；N代表更一般化性能指標中交叉乘積項的加權(quán)矩陣；K為最優(yōu)反饋增益矩陣；S為對應Riccati方程的唯一正定解P（若矩陣A-BK是穩(wěn)定矩陣，則總有正定解P存在）；E為矩陣A-BK的特征值。第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二

其中，lqry()函數(shù)用于求解二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)器的特例，是用輸出反饋代替狀態(tài)反饋，即其性能指標為：這種二次型輸出反饋控制叫做次優(yōu)控制。此外，上述問題要有解，必須滿足三個條件：（1）（A，B）是穩(wěn)定的；（2）R＞0且Q-NR-1NT≥0;

（3）（Q-NR-1NT，A-BR-1NT）在虛軸上不是非能觀模式。當上述條件不滿足時，則二次型最優(yōu)控制無解，函數(shù)會顯示警告信號。第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二3.連續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制設計實例【例8.7】設系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為：(1)采用輸入反饋，系統(tǒng)的性能指標為：

取，R=1第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二(2)采用輸出反饋，系統(tǒng)的性能指標為：，取Q=1,R=1

試設計LQ最優(yōu)控制器，計算最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣，并對閉環(huán)系統(tǒng)進行單位階躍的仿真。

【解】

（1）我們可以用MATLAB函數(shù)lqr()來求解LQ最優(yōu)控制器，程序清單如下：第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二A=[0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6];B=[0,0,1]';C=[1,0,0];D=0;Q=diag([1,1,1]);R=1;K=lqr(A,B,Q,R)k1=K(1);Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D;Step(Ac,Bc,Cc,Dc)程序運行結(jié)果如下：

K=0.41420.74860.2046第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二同時得到閉環(huán)階躍響應曲線，如圖1-1所示。圖1-1閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二

由圖1-1可知，閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應曲線略微超調(diào)后立即單調(diào)衰減，仿真曲線是很理想的，反映了最優(yōu)控制的結(jié)果。（2）我們可以用MATLAB函數(shù)lqry()來求解LQ最優(yōu)控制器，給出程序清單如下：

A=[0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6];B=[0,0,1]';C=[1,0,0];D=0;Q=1;R=1;K=lqry(A,B,C,D,Q,R)k1=K(1);Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D;Step(Ac,Bc,Cc,Dc)第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二程序運行結(jié)果如下：

K=0.41420.61040.1009同時得到閉環(huán)階躍響應曲線，如圖1-2所示。圖1-2閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線由圖1-1和圖1-2知，經(jīng)最優(yōu)輸出反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線與經(jīng)最優(yōu)狀態(tài)反饋后的階躍響應曲線很接近。第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二三、離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制下面對離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制進行詳細介紹。1、離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制原理假設完全可控離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：要尋求控制向量使得二次型目標函數(shù)為最小。第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二式中，Q為半正定實對稱常數(shù)矩陣；R為正定實對稱常數(shù)矩陣；Q、R分別為X和U的加權(quán)矩陣。根據(jù)極值原理，我們可以導出最優(yōu)控制律：

式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須滿足黎卡夫（Riccati）代數(shù)方程因此，系統(tǒng)設計歸結(jié)于求解黎卡夫（Riccati）方程的問題，并求出反饋增益矩陣K。第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二2.離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的MATLAB函數(shù)

在MATLAB工具箱中，提供了求解離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的函數(shù)dlqr()與dlqry()。其調(diào)用格式為：其中，A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的輸出矩陣；Q為給定的半正定實對稱常數(shù)矩陣；R為給定的正定實對稱常數(shù)矩陣；N代表更一般化性能指標中交叉乘積項的加權(quán)矩陣；K為最優(yōu)反饋增益矩陣；S為對應Riccati方程的唯一正定解P（若矩陣A-BK是穩(wěn)定矩陣，則總有正定解P存在）；E為矩陣A-BK的特征值。第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二

其中，dlqr()函數(shù)用于求解二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)器的特例，是用輸出反饋代替狀態(tài)反饋，即，則其性能指標為：

3.離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制設計實例

【例2】設離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程

試計算穩(wěn)態(tài)最優(yōu)反饋增益矩陣，并給出閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應曲線。

第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二【解】設定性能指標為，取,R=1。用MATLAB函數(shù)dlqr()來求解最優(yōu)控制器，給出程序清單如下：

%求解最優(yōu)控制器

a=2;b=1;c=1;d=0;Q=[1000,0;0,1];R=1;A=[a,0;-c*a,1];B=[b;-c*b];Kx=dlqr(A,B,Q,R)k1=-Kx(2);k2=Kx(1);axc=[(a-b*k2),b*k1;(-c*a+c*b*k2),(1-c*b*k1)];bxc=[0;1];cxc=[1,0];dxc=0;dstep(axc,bxc,cxc,dxc,1,100)第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二程序運行后得到系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣KX為：Kx=1.9981-0.0310以及閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應曲線，如圖1-3所示。圖1-3閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二四、線性二次型Gauss最優(yōu)控制

考慮系統(tǒng)隨機輸入噪聲與隨機量測噪聲的線性二次型的最優(yōu)控制叫做線性二次Gauss(LQG)最優(yōu)控制。這是一種輸出反饋控制，對解決線性二次型最優(yōu)控制問題更具有實用性。

1.LQG最優(yōu)控制原理

假設對象模型的狀態(tài)方程表示為：式中，ω(t)和ν(t)為白噪聲信號，ω(t)為系統(tǒng)干擾噪聲，ν(t)為傳感器帶來的量測噪聲。假設這些信號為零均值的Gauss過程，它們的協(xié)方差矩陣為：式中，E〔x〕為向量x的均值。E〔xxT〕為零均值的Gauss信號x的協(xié)方差。進一步假設ω(t)和ν(t)為相互獨立的隨機變量，使得E〔ω(t)νT(t)〕=0。定義最優(yōu)控制的目標函數(shù)為：式中，Q為給定的半正定實對稱常數(shù)矩陣，R為給定的正定實對稱常數(shù)矩陣。第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二

根據(jù)LQG問題的分離原理，典型的線性二次型Gauss最優(yōu)控制的解可以分解為下面兩個問題：LQ最優(yōu)狀態(tài)反饋控制問題；帶有擾動的狀態(tài)估計問題。設計LQG控制器的一般步驟如下。（1）根據(jù)二次型的性能指標J，尋求最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣K。（2）設計一個卡爾曼濾波器來估計系統(tǒng)狀態(tài)。（3）構(gòu)建LQG控制器。下面介紹Kalman濾波器和LQG控制器設計的MATLAB實現(xiàn)。2.Kalman濾波器在實際應用中，若系統(tǒng)存在隨機擾動，通常系統(tǒng)的狀態(tài)需要由狀態(tài)方程Kalman濾波器的形式給出。Kalman濾波器就是最優(yōu)觀測器，能夠抑制或濾掉噪聲對系統(tǒng)的干擾和影響。利用Kalman濾波器對系統(tǒng)進行最優(yōu)控制是非常有效的。第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二

在MATLAB的工具箱中提供了Kalman()函數(shù)來求解系統(tǒng)的Kalman濾波器。其調(diào)用格式為：對于一個給定系統(tǒng)sys，噪聲協(xié)方差Q，R，N函數(shù)返回一個Kalman濾波器的狀態(tài)空間模型kest,濾波器反饋增益為L，狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差為P。用MATLAB構(gòu)建的Kalman狀態(tài)觀測器模型為：【例3】已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：已知，試設計系統(tǒng)Kalman濾波器?！窘狻繛橛嬎阆到y(tǒng)Kalman濾波器的增益矩陣與估計誤差的協(xié)方差，給出一下程序：第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二%Kalman濾波器

A=[-1,0,1;1,0,0;-4,9,-2];B=[6,1,1]';C=[0,0,1];D=0;S=ss(A,B,C,D);Q=0.001;R=0.1;[kest,L,P]=kalman(S,Q,R);L,P

運行程序，得到系統(tǒng)Kalman濾波器的增益矩陣L與估計誤差的協(xié)方差P為：

L=1.06411.1566