第四章協(xié)方差分析

第四章協(xié)方差分析第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二方差分析中，所接觸到的各種處理多數(shù)都是人為控制的。有時一些變量很難或者不可能人為控制，對于這種情況則不能用第三章所述的方差分析方法，推斷處理之間的差異而應(yīng)用協(xié)方差分析的方法做推斷。

例如，在研究不同飼養(yǎng)條件下，動物的增重情況時，由于動物的原體重不同，如果只考慮飼料對增重的作用而不考慮原體重時增重的影響，顯然是不全面的。動物的增重不僅與飼料有關(guān)，而且還與原體重有關(guān)。一般來講，原體重高的增童較多，原體重低的增重較少，增重與原體重之間有回歸關(guān)系，為了得到正確的結(jié)論，就要在排除原體重對增重的影響之后，推斷處理的效應(yīng)。這就是本章所要討論的協(xié)方差分析。第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二在協(xié)方差分析中，通常將動物增重稱為反應(yīng)變量(responsevariable)Y，而與Y

有線性回歸關(guān)系的另一變量(原始體重)稱為伴隨變量(concomitantvariable)或協(xié)變量(covariate)X。協(xié)方差分析就是通過反應(yīng)變量與協(xié)變量之間的線性關(guān)系，調(diào)整觀察的反應(yīng)變量。假若不做這種調(diào)整，由于協(xié)變量的存在會使誤差平方和加大，其結(jié)果有可能檢驗不出反應(yīng)變量在不同處理之間所存在的真正差異。因此，協(xié)方差分析是一種調(diào)整無法控制又影響效應(yīng)的變量的方差分析方法，是方差分析與回歸分析的結(jié)合。在上述動物重實驗中，很難將全部實驗動物都選為具有相同體重的個體，動物的原體重是無法控制的變量，而原體重對增重又有明顯的影響，使用協(xié)方差分析，便可排除原體重X對增重Y

的影響，使結(jié)果更為可靠

。

第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二第一節(jié)具一個協(xié)變量的一種方式分組的協(xié)方差分析（one-wayclassificationwithasinglecovariate）

本節(jié)討論協(xié)方差分析中最簡單的一種情況，即以只有一個協(xié)變量的單因素實驗設(shè)計的協(xié)方差分析為例，說明協(xié)方差分析的基本原理和計算方法。單因素協(xié)方差分析的統(tǒng)計模型是：第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二其中yij是第i次處理所得到的反應(yīng)變量的第j次觀察值。cij是相當于yij的協(xié)變量值。c··是cij的平均數(shù)，m是總平均數(shù)，ai是第i次處理效應(yīng)，b是yij在cij上的線性回歸系數(shù)，eij是隨機誤差成份。做協(xié)方差分析，需要滿足以下幾個條件：eij是服從正態(tài)分布的獨立隨機變量；b≠0，即yij與cij之間存在線性關(guān)系；各處理的回歸系數(shù)都相同；處理效應(yīng)之和等于零（∑ai＝0）以及協(xié)變量不受處理效應(yīng)的影響等。

第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二

從（4·1）式中可以看出：協(xié)方差分析的模型是方差分析和回歸分析線性模型的結(jié)合。ai是單因素方差分析中的處理效應(yīng)，b是回歸分析中的回歸系數(shù)。在（4·1）式中的協(xié)變量是以（cij－c··）的形式而不是以cij的形式表示的，因此參量m是總的平均值。統(tǒng)計模型的另一種形式是：

其中m’

并不等于總平均值。在這個模型中，總平均值為m－bc

··。經(jīng)常使用的模型是（4·1）式。第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二

協(xié)方差分析需要計算以下一些量：

第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二以上各式的符號：S、T和E分別表示總的、處理的誤差的平方和及交叉乘積和。它們之間的關(guān)系可用通式S＝T＋E表示。仔細閱讀并分析以上各式，弄清楚各式的意義，對下面的學習是有益的。第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二

協(xié)方差分析的核心，就是通過協(xié)變量調(diào)整反應(yīng)變量。下面討論如何做這種調(diào)整。在統(tǒng)計模型（4·1）中，m的估計值為c··，b的估計值為b*，處理效應(yīng)ai的估計值為ci·－c··－b*（ci·－c··）。其中，

在這個模型中，誤差平方和SSe為：具a(n－1)－1自由度。第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二實驗誤差均方由下式估計，

若實驗不存在處理效應(yīng)，模型（4·1）將變?yōu)椋壕遖n－2自由度，其中S2XY／SXX是由于Y和X的回歸所產(chǎn)生的平方和。第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二如果實驗本身存在處理效應(yīng)，但卻按不存在處理效應(yīng)對待，這時所計算出來的誤差平方和SS’e要大于按存在處理效應(yīng)計算所得到的誤差平方和SSe。兩者的差（SS’e－SSe）是由于處理效應(yīng)ai所產(chǎn)生的平方回歸系數(shù)，具a－1自由度。可用F檢驗不存在處理效應(yīng)的假設(shè)。若F＜Fa－1,a(n－1),a，則接受H0：ai＝0；若F＞Fa－1,a(n－1),a，則拒絕H0：ai＝0。第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二將以上結(jié)果列在表4－1中。

表4－1協(xié)方差分析－調(diào)整的方差分析變差來源平方和自由度均方F回歸處理

誤差S2XY／SXXSS’e－SSe＝(SYY－S2XY／SXX)－(EYY－E2XY／EXX)SSe＝EYY－E2XY／EXX

1a－１

a(n－1)－1(SS’e－SSe)／(a－1)

MSe＝SSe／[a(n－1)－1](SS’e－SSe)／(a-1)／MSe

總和

SYYan－1第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二表4－1與方差分析表基本上是一致的。所不同的是沒一項平方和都是經(jīng)過調(diào)整的。因此，協(xié)方差分析又稱為調(diào)整的方差分析。在變差來源一列中，總的變差是由具an－1自由度的SYY度量的；回歸的變差由具1自由度的平方和S2XY／SXX度量。假若不存在協(xié)變量，則SXY＝SXX＝EXY＝EXX＝0。誤差平方和將簡化為EYY，處理平方和為SYY－EYY＝TYY，成為一種方式分組的方差分析。然而由于存在協(xié)變量，我們必須通過Y在X上的回歸，調(diào)整SYY和EYY（見表4－1）。因為在調(diào)整平方和時，用了另一個參量b，所以調(diào)整的誤差平方和具a(n―1)―1自由度，而不是a(n－1)自由度。第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二

通常將協(xié)方差分析結(jié)果納成協(xié)方差分析表。

表4－2具一個協(xié)變量的一種方式分組實驗的協(xié)方差分析表變差來源自由度平方和與交叉乘積和因回歸所做的調(diào)整XXYYY自由度均方處理誤差總和a－1a(n－1)an－1TXXEXXSXXTXYEXYSXYTYYEYYSYYSSe＝EYY－E2XY／EXXSS’e＝SYY－S2XY／SXX

a(n－1)－1an－2MSe＝SSe／[a(n－1)－1]調(diào)整的處理響SS’e－SSe

a－1(SS’e－SSe)／(a－1)第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二在協(xié)方差分析表中，除列入檢驗假設(shè)所需要的處理效應(yīng)平方和之外，還列入了全部平方和及交叉乘積和。協(xié)方差分析的結(jié)果，不論零假設(shè)是否可以接受，都需對處理平方數(shù)ci·給予解釋。由于ci·包括處理效應(yīng)和在協(xié)變量上的回歸效應(yīng)，因此對平方數(shù)也要做相應(yīng)的調(diào)整。調(diào)整的方法如下：

第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二根據(jù)模型（4·2），協(xié)方差分析需滿足以下要求：即：各處理的方差應(yīng)具備齊性，它們都是從具有同一方差的正態(tài)總體中的來的；個處理的回歸系數(shù)bi均等于b以及反應(yīng)變量與協(xié)變量之間的回歸系數(shù)b≠0。因此，在對一組數(shù)據(jù)做協(xié)方差分析時，首先要對以上各個條件做檢驗。只有以上條件得到滿足時，才能做協(xié)方差分析。第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二第二節(jié)

協(xié)方差分析的計算方法

例4·1比較三種豬飼料A1，A2，A3對豬增重的影響，測得每頭豬的增重（Y）和出生重（X），數(shù)據(jù)列在表4－3中。問三種飼料對豬增重是否有顯著不同的效果？

表4－3不同飼料對豬增重的影響A1XY16851383116512761280169114841790X1＝13.750Y1＝81.750A2XY17971690181001895211032210619991894X2＝18.625Y2＝98.000A3XY228924912083239525100271023010532110X3＝25.375Y3＝96.875第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二在這個問題中，若不考慮出生重，則是一個單因素方差分析的問題；若不同飼料的增重效果沒有顯著差異，則成為增重對出生重的一元回歸問題。實際上，在研究動物增重問題時，不同飼料和出生重對增重的影響都要考慮。因此，在推斷不同飼料的增重效應(yīng)時，為了排除出生重的影響，應(yīng)使用方差分析與回歸分析相結(jié)合的方法，即以協(xié)方差分析的方法做推斷。

首先檢驗eij：NID(0,s2)，bi＝b及b≠0是否可以得到滿足。檢驗的方法如下：⑴

分別計算三種飼料飼養(yǎng)豬的出生重與增重間的回歸系數(shù)bi，并列出回歸方程

第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二將三組數(shù)據(jù)合并（只需將三組數(shù)據(jù)的平方和與交叉乘積合并即可），計算公共的回歸系數(shù)b*。用公共的回歸系數(shù)代替bi，可以得到三條平行的回歸線：第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二⑵

用每一處理的各自回歸系數(shù)bi，計算剩余平方和：將三組剩余平方和相加，得到組內(nèi)剩余平方和。相應(yīng)的自由度為a(n－2)＝18。用公共回歸系數(shù)b*計算三條平行回歸線的剩余平方和，它們的和就是誤差平方和[見公式(4·9)－(4·13)]，相應(yīng)的自由度為a(n－1)－1＝20。第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二⑶檢驗方差齊性：⑵中已計算出各處理的剩余平方和，各具8－1－1＝6自由度。各處理的均方分別為：檢驗方差齊性的一個簡便方法是用兩個差異最大的均方做F檢驗。F6,6,0.05＝4.82，F(xiàn)＜F0.05，可以認為各組方差具備齊性。第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二⑷檢驗回歸線是否平行(bi＝b)：在⑵中已經(jīng)計算出組內(nèi)剩余平方和SSeG和用公共回歸系數(shù)b*計算得到的誤差平方和SSe。SSeG完全是由隨機因素造成的：三條回歸線用同一b*計算出的誤差平方和SSe，包括由于隨機誤差及回歸系數(shù)兩種變差所產(chǎn)生的平方和，因而回歸系數(shù)平方和，回歸系數(shù)自由度為誤差自由度與組內(nèi)誤差自由度之差，第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二然后用MSeG對MS回歸系數(shù)最檢驗。若兩者差異不顯著，說明由回歸系數(shù)所產(chǎn)生的方差與由于隨機因素所引起的方差差別不大，即可證明原來的三條回歸線是平行的。用F檢驗，代入數(shù)值，F(xiàn)2,18,0.05＝3.55，F(xiàn)＜F0.05，因此三條回歸線是平行的。第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二

也可以將三條回歸線做圖。從圖上觀察它們是否近于平行。若接近平行的話，也可以不做以上的檢驗。

⑸

檢驗回歸是否顯著：利用方差分析做檢驗。方差分析表如下：

表4－4檢驗回歸顯著性的方差分析表變差來源

平方和自由度均方F回歸剩余SSR=E2XY/EXX=1010.76SSe=EYY－E2XY/EXX=227.6151a(n－1)－1=20MSR=SSR=1010.76MSe=SSe/[a(n-1)-1]=11.38F=MSR/MSe=88.8總和EYY=1238.375a(n-1)=21F1,20,0.01=8.1，F(xiàn)＞F0.01，回歸是極顯著的。這一步檢驗的許多計算，是在協(xié)方差分析過程中得出來的。所以這一步檢驗也可放在協(xié)方差分析的最后進行。第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二在大多數(shù)生物學問題中，以上幾點要求基本上都可以滿足。在實際應(yīng)用時，只要根據(jù)bi所做出的回歸線是否平行。若近于平行，則可不必做繁瑣的檢驗，直接進行以下的分析。將表4－3中的數(shù)據(jù)編碼，每一個Y都減去90，每一個X都減去20，列成表4－5。第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二表4－5協(xié)方差分析計算表X’1X’2X’3Y’1Y’2Y’3X’1Y’1X’2Y’2X’3Y’3-5-7-9-8-8-4-6-3-3-4-2-212-1-22403571012-5-7-25-14-101-6070105131694-11-7510121520254922511280-4360-210-20-101332-9-8-240155084150240和和和和和的平方Xij平方的和-502500344-1112143431849347-184470734和和的平方Y(jié)ij平方的和

-6643561032

64409669655302594553114772673和523-235411041第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二計算下列各值：

第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二由公式（4·15）求出