華中科技大學《數(shù)值計算方法》考試試卷

華中科技大學《數(shù)值計算方法》考試試卷2006?2007學年第一學期

《計算方法》課程考試試卷（A卷）（開卷）院（系）專業(yè)班級學號姓名題號—一—二四五六七八九十總分得分考試時間:下午2:30~5:00考試日期:院（系）專業(yè)班級學號姓名題號—一—二四五六七八九十總分得分考試時間:下午2:30~5:00考試日期:2007年1月30日解答內(nèi)容不得超過裝訂線得分評卷人A二1．已知矩陣一.填空題（每小題4分，共28份）~1-「01」，則2.若用正n邊形的面積作為其外接圓面積的近似值，則該近似值的相對誤差是3.三次方程x3-x2-x+1=0的牛頓迭代格式是 。4.若求解某線性方程組有迭代公式X5+1）二BX（n）+F，其中—-j~a-3」，則該迭代公式收斂的充要條件 。p— —f—5.設/（x）二xex，則滿足條件I2） {2丿P（x）二 。（i0,1,2）的二次插值公式I1f（x）dx6.已知求積公式0代數(shù)精度，則Q二—。沁(1—Q)f(0)+Qf(1/2)+(1+a)f(1)至少具0次7.改進的Euler方法hy二y+-[f(t,y)+f(t ,y+hf)]n+1 n2 nn n+1n n應用于初值問題y'(t)=y(t)，y(0)=1的數(shù)值解兒二 。得分評卷人（10分）為數(shù)值求得方程x2—x—2二0的正根，可建立如下迭代格式x= 2+x,n=0,1,2,n' n-1試利用迭代法的收斂理論證明該迭代序列收斂，且滿足n：xn=2得分評卷人(20分)給定線性方程組得分評卷人2x+x+2x=101 2 3<—4x—x—5x=—191 2 34x+8x+2x=26123（1）試用Gauss消去法求解其方程組；得分評卷人四.（12分）已知y=sinx的函數(shù)表X1.51.61.7sinx0.997490.999570.99166解答內(nèi)容不得超過裝訂線得分評卷人四.（12分）已知y=sinx的函數(shù)表X1.51.61.7sinx0.997490.999570.99166解答內(nèi)容不得超過裝訂線試造出差商表，利用二次Newton插值公式計算sin（1.609）（保留5位有效數(shù)字），并給出其誤差估計。得分評卷人J1cos(x2)dx0五. （14分）用Romberg算法計算積分精確到10—4）。得分評卷人六.(16分)給出線性0-方法y=y+h[0f+(1—0)f]n+1 n n n+1(1)計算其方法的截斷誤差；(0<0<1)，2） 當0=？時，其方法為2階相容3） 當該方法應用于初值問題y'(t)y'(t)=九y(t),<T],y(t0)=y0時（其中九為實常數(shù)），其在t=tn處的數(shù)值解yn=?2006?2007學年第一學期《計算方法》課程考試試卷（B卷）（開卷）院（系） 專業(yè)班級 學號 姓名 考試日期:2007年1月30日 考試時間:下午2:30~5:00題號—一二三四五六七八九十總分得分得分評卷人2得分評卷人2．A二1．已知矩陣七.填空題(每小題4分，共28份)

忑-42一

忑-，則若用正n邊形的面積作為其內(nèi)接圓面積的近似值，則該近似值的相對誤差是3．方程x二ln(l+x2)的牛頓迭代格式是4．4．則該迭代公式收斂的充要條件是1 、；'av'aaB=若求解某線性方程組有迭代公式X(n+1)二BX(n)+F，其中解答內(nèi)容不得超過裝訂線5?設f(x)=盲±7，則滿足條件pP(x)二的二次插值公式6．a(chǎn)7．已知求積公式'隱式中點方法0f(x)dx?8[f(0)+6f(a)+f(1)]至少具i次代數(shù)精度，則y=y+hf(t+h/2,n+n+i)n+1 n n 2應用于初值問題y'(t)=y(t)，y(°)=1的數(shù)值解yn得分評卷人八. (10分)證明：對任何初值x0得分評卷人x=cosx,n=1,2,TOC\o"1-5"\h\zn n-1所生成的序列4“'均收斂于方程X=C0SX的根。得分評卷人九. (20分)給定線性方程組8x+x-x=81 2 3<x—7x+2x=—41232x+x+9x=121 2 31)試用Gauss消去法求解其方程組；(2)給出求解其方程組的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式，并說明其二種迭代格式的收斂性。

得分評卷人字），并給出其實際誤差。十.（12分）已知f（x）=ex（3x—ex），插值節(jié)點得分評卷人字），并給出其實際誤差。x二1.00,x二1.02,x二1.04,x二1.06,0 1 2 3試構造Lagrange插值公式計算f（1.03）的近似值（保留4位有效數(shù)得分評卷人J1sin(x2)dx0得分評卷人J1sin(x2)dx0（精確到10-4）。解答內(nèi)容不得超過裝訂線得分評卷人(5)當0=?時,十二?（16分）給出單支0-方法y二y+hf[01+（1-0）t ,0y+（1-0）y]（0<0<1）n+1 n n n+1 n n+1（4）計算其方法的截斷誤差；其方法為2階相容；6）當該方法應用于初值問題y'(t)-y(t九y(t),y0時（其中九為實常數(shù)），其在t二tn處的數(shù)值解yn二?2005~2006學年《計算方法》試題班級 學號 姓名 成績 題號—一—二三四五六七八九十總分得分一.填空題（每空3分，共18分）1-2、1.已知矩陣I-3 4丿，則IIAII2.方程xex-1二0的Newton迭代格式為 a丿，且a丿，且A可分解為A二LLt，其中L為對角線上元素全等于1的下三角矩陣，則a=4.已知⑴）二yi,i二0，1，2；x0<x<x2,且xoimZ2f⑶（x）AM，則其拉格朗日插值余項R滿足估計式Rl< 。J2f（x）dx?1f（1）+Af（2）+1f⑵nr|已知求積公式i 6 3 6，則A= 。h+1,y+1)]n+1 n+1 是y+1,y+1)]n+1 n+1 是解常微分方程初值問題的梯形公式n+1 - 2丿n?丿階方法。二（10分）試導出計算Va的Newton迭代公式，并由此公式計算32，要求精確到10-5。三.（12分）給定線性方程組2x+x=112<x+3x+x=—1123x+2x=123分別寫出Jacobi和Gauss-Seidal迭代格式；并考察迭代格式的收斂性。（15分）利用余弦函數(shù)cosx在x0=0,S=:,x2=[處的值導出其二次Lagrange插值多項式，并以此近似計算cos:，且給出該近似值的相對誤差。（15分）某學生在大學一、二年級各個學期的平均成績?nèi)缦拢簩W期x1234平均成績y63.270.576.678.4試求出一條最佳的直線以反映其平均成績的上升趨勢，并估計出他在大學三四年級各個學期的平均成績。（15分）用Romberg算法計算'°血）抵（步長—從1逐步減半到8）。（15分）試導出求解初值問題y'=f（x，y），叫=yo的2步3階公式y(tǒng)=y+—（bf+bf+bf）,n+2 n+1 0n1n+12n+2并給出其絕對穩(wěn)定域。2004~2005學年《計算方法》試題（2004年11月26日）班級 學號 姓名 成績 題號—一二二四五六七八九十總分得分一-（20分）1.用簡單迭代法求方程x2-x-1二0在x0二I，5附近的具有4位有效數(shù)字的近似根,并證明收斂性。2.試導出計算去（2.試導出計算去（a>0）的Newton迭代公式，使公式中既無開方，又無除法運算。二.(10)1.給定線性方程組5x—2x—x=—1TOC\o"1-5"\h\z1 2 3<—x+10x+5x=21 2 3x—2x+10x=31 2 3-212--10_A=—40—5b=—19482，26分別寫出Jacobi和Gauss-Seidal迭代格式；并考察迭代格式的收斂性。三.（15）設有線性代數(shù)方程組Ax=b，其中用列選主元Gauss消去法求解此方程組。用LU分解法求解此方程組。四.（15）1.用二次Lagrange插值公式利用100,121,144的開方求“16；x1 23yx1 23y—202y'402.已知函數(shù)表,求其插值多項式，并寫出誤差估計式。五.（10分）已知實驗數(shù)據(jù)x01234f(x)510142126i試用最小二乘法求出擬合直線y二ax+b。-2h-101-2h-101j1 1dx 1j2hf(x)dx沁Af(—h)+Af(0)+Af(h)2.用Romberg算法求o1+x （步長h從1取到8）o|y'+y二0七.（15分）1.用改進Euler法求解初值問題1?。?）二0，取h=0.2,0<x<1.02.試導出求解y'二f（x，y），y（x0）二y0的下列公式y(tǒng)二y+h（Py'+Py'+Py'）n+1 n 1n-1 2n3n+19并求出局部截斷誤差首項。2003~2004學年《計算方法》課程考試試卷院（系院（系） 專業(yè)班級 學號 姓名 指： 方程xex-1=0的一個有根區(qū)間為: ，可構造出它的一個收斂的迭代格式為： 。解方程f（x）二0的Newton迭代公式為 ，Newton迭代法對于單根是階局部收斂的。4.解三角線性方程組的方法是 __過程。5.矩陣A的譜半徑定義為P（A）=，它與矩陣范數(shù)的關系是

線性方程組Ax二b中令A二D+L+U,其中D是A的對角部分構成的矩陣，L和U分別是A的（負）嚴格下（上）三角矩陣，則Jacobi迭代法的迭代矩陣是 。f（x）的差分形式的Newton插值多項式得分評卷人得分評卷人得分評卷人得分評卷人得分評卷人二.（10分）設f（x）=x3-3x2+4x-得分評卷人得分評卷人得分評卷人得分評卷人得分評卷人三. （10分）請用二分法計算方程f（x）二x3-3x2+4x-3二0的近似根，并進行到第3步為止。四.(20分)用緊湊格式的三角分解法求解線性方程組:2x+x+x=01 2 3<x+x+x=3123x+x+2x=11 2 3五.（15分）用余弦函數(shù)cosx在x0=0,x]=『x2=^三個節(jié)點處的值寫出二次Lagrange插值多項式函數(shù)，并近似計算cos:及其絕對誤差與相對誤差，且與誤差余項估計值比較。六.（15分）某學生在大學一二年級各個學期的平均成績?nèi)缦拢簩W期(x)1234平均成績（y）63.270.576.678.4

試求出一條最佳的直線以反映其平均成績的上升趨勢，并估計出他在大學三四年級各個學期的平均成績，將表格填完整。計算方法》上機實驗試題1.(25分)計算積分xndxn=0,l,2,???,20x+5n=0,l,2,???,20若用下列兩種算法(A)nn-(A)nn-1(B)n-1試依據(jù)積分I的性質(zhì)及數(shù)值結果說明何種算法更合理。n2.(25分)求解方程f(x)=O有如下牛頓迭代公式(1)二xn-1(1)二xn-1f(x)n— -廣(x)n-1編制上述算法的通用程序，并以心，x0—xI<en-1給定(￡為預定精度)作為終止迭代的準則。(2)利用上述算法求解方程f(x):二cosx一x=0這里給定x0=n/4,且預定精度