《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法教學(xué)》數(shù)值計(jì)算方法緒論

空天工程中的數(shù)值計(jì)算方法任課教員：雷勇軍李潔羅振兵聯(lián)系電話/p>

76452（軍線）

Email:lijie＠gfkd.mtn辦公室：航天學(xué)院C-215編輯ppt基本內(nèi)容

針對(duì)航空航天領(lǐng)域涉及的多種數(shù)值計(jì)算方法，參考MIT課程《ComputationalMethodsinAerospaceEngineering》內(nèi)容設(shè)置。課程內(nèi)容非常豐富。包括線性方程組數(shù)值解法、常微分方程數(shù)值解法、偏微分方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)、有限差分法、有限元法、概率仿真技術(shù)等。編輯ppt授課內(nèi)容安排第一章線性代數(shù)方程組數(shù)值解法第二章常微分方程數(shù)值解法第三章偏微分方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)第四章有限差分法的基本概念第五章線性偏微分方程的有限差分法第六章流體力學(xué)控制方程的有限差分法編輯ppt教材I《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》.施吉林,劉淑珍,陳桂芝編.高等教育出版社,第三版,2009.編輯ppt教材II《計(jì)算流體力學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用》JohnD.Anderson著，吳頌平劉趙淼譯.機(jī)械工業(yè)出版社，2007.編輯ppt與教材對(duì)應(yīng)的內(nèi)容安排第一章線性代數(shù)方程組數(shù)值解法（教材I第2、6章）第二章常微分方程數(shù)值解法（教材I第5章）第三章偏微分方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)（教材II第3章）第四章有限差分法的基本概念（教材II第4章）第五章線性偏微分方程的有限差分法（教材II第6章）第六章流體力學(xué)控制方程的有限差分法（教材II第2、5、9章）編輯ppt教材I的參考書目1《計(jì)算方法引論》,徐萃薇.高等教育出版社,1985.2《數(shù)值分析》,李慶揚(yáng),王能超,易大義.華中理工大學(xué)出版社,19863《NumericalAnalysis》,RichardL.Burden,J.DouglasFaires.高等教育出版社，第七版.編輯ppt教材I的參考書目4《計(jì)算方法典型例題與解法》.高培旺,雷勇軍.國(guó)防科技大學(xué)出版社,2003.5《計(jì)算方法典型題分析解集》.封建湖,車剛明.西北工業(yè)大學(xué)出版社,1998.編輯ppt預(yù)修課程：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、空氣動(dòng)力學(xué)、 計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)。要求：前6次上課帶計(jì)算器。作業(yè)：每章作業(yè)交一次。考試成績(jī)：考試筆試70分＋編程大作業(yè)30分。學(xué)習(xí)要求編輯ppt緒論1概述2數(shù)值計(jì)算的誤差3誤差定性分析2.1誤差的來源與分類2.2誤差基本概念3.1病態(tài)問題與條件數(shù)3.2計(jì)算方法的數(shù)值穩(wěn)定性3.3避免誤差危害的若干原則10編輯ppt1概述計(jì)算方法是研究適合于在計(jì)算機(jī)上使用的實(shí)際可行、理論可靠、計(jì)算復(fù)雜性好的數(shù)值方法。具體說就是： 第一，面向計(jì)算機(jī); 第二，要有可靠的理論分析; 第三，要有良好的復(fù)雜性及數(shù)值試驗(yàn)。編輯ppt時(shí)間復(fù)雜性秦九韶算法，1247年（Horner算法，1819）令：……編輯ppt一個(gè)n維的對(duì)角線矩陣，其元素為4字節(jié)整型數(shù)據(jù)：空間復(fù)雜性按行列順序存放，需要n2×4字節(jié)的存儲(chǔ)空間；如果只存儲(chǔ)對(duì)角線，需要n×4字節(jié)。編輯ppt研究對(duì)象測(cè)量數(shù)據(jù)結(jié)果數(shù)學(xué)模型的建立計(jì)算方法的構(gòu)成現(xiàn)實(shí)世界數(shù)值運(yùn)算的執(zhí)行模型誤差測(cè)量誤差方法誤差舍入誤差2數(shù)值計(jì)算的誤差編輯ppt2.1誤差的來源與分類(1)模型誤差(ModelError)

用數(shù)學(xué)模型描述實(shí)際問題時(shí)，往往只抓住本質(zhì)的、起主導(dǎo)作用的方面，而忽略非本質(zhì)的次要因素，將問題理想化（簡(jiǎn)化與近似）之后才進(jìn)行數(shù)學(xué)概括。

這種概括一方面能很好地反映客觀規(guī)律，另一方面也存在誤差。我們把數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問題之間的誤差稱為模型誤差。編輯ppt若自由落體在時(shí)間t的實(shí)際下落距離為：則就是模型誤差。例1：自由落體問題。我們用來描述自由落體下落時(shí)，距離與時(shí)間的關(guān)系。t0t1編輯ppt(2)觀測(cè)誤差(ObservationError)

由于儀器的精度、試驗(yàn)手段、環(huán)境變化，以及人的工作狀態(tài)和能力等因素的影響，而使測(cè)量數(shù)據(jù)帶有誤差。把這種因測(cè)量因素而引起的原始數(shù)據(jù)的不準(zhǔn)確稱為

觀測(cè)誤差（測(cè)量誤差）。例如在測(cè)量物體長(zhǎng)度和溫度等物理量時(shí)，均會(huì)存在觀測(cè)誤差（測(cè)量誤差）。在例1公式中，包含有觀測(cè)誤差。g,t

都編輯ppt例2：用帶毫米刻度的直尺測(cè)量某正方形的邊長(zhǎng)。0123如圖示，則該正方形的邊長(zhǎng)為

cm。誤差小于

cm.2.740.05編輯ppt(3)方法誤差（TruncationError）在解決實(shí)際問題時(shí)，數(shù)學(xué)模型往往很復(fù)雜，因而不易獲得解析解。這就需要建一套行之有效的近似方法或數(shù)值方法。模型準(zhǔn)確解與數(shù)值方法的準(zhǔn)確解之間的誤差稱為

“方法誤差”。很多時(shí)候是用有限過程代替數(shù)學(xué)模型無限過程時(shí)所產(chǎn)生的誤差，所以也叫“截?cái)嗾`差”。編輯ppt例3：利用收斂無窮級(jí)數(shù)的部分和作為無窮級(jí)數(shù)sin(x)的逼近，這樣就會(huì)產(chǎn)生截?cái)嗾`差。

具體計(jì)算時(shí)，只能取有限項(xiàng)計(jì)算，如取前10項(xiàng)，則有方法（截?cái)啵┱`差為：編輯ppt(4)舍入誤差（Round-offError）

由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算時(shí)只能用有限位數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算引起的誤差稱為“舍入誤差”；例4:

設(shè)一臺(tái)計(jì)算機(jī)僅能表示6位十進(jìn)制,則在該計(jì)算機(jī)上的表示為3.14159，從而產(chǎn)生誤差：本課程主要討論方法誤差和舍入誤差。編輯ppt2.2誤差基本概念定義2.1

設(shè)x為準(zhǔn)確值,x*為x的一個(gè)近似值,稱E(x*)=x*-x為近似值x*

的絕對(duì)誤差(absoluteerror)，簡(jiǎn)稱誤差(error)，且可簡(jiǎn)記為E。(x*)

就叫做近似值x*的絕對(duì)誤差限（absoluteErrorBound），簡(jiǎn)稱誤差限（ErrorBound）若誤差滿足：?jiǎn)栴}：誤差限唯一么？編輯ppt定義2.2

近似值x*的誤差與準(zhǔn)確值x的比值，稱為相對(duì)誤差(relativeerror),記為Er(x*)，即

相對(duì)誤差絕對(duì)值的任一上界r(x*)，稱為相對(duì)誤差限（RelativeErrorBound

），簡(jiǎn)記為r，即真值往往是未知數(shù)，可以用x*近似編輯ppt定義2.3

如果近似值x*的誤差的絕對(duì)值不超過其一位上的半個(gè)單位，該位到x*的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱用x*近似x時(shí)具有n位有效數(shù)字，簡(jiǎn)稱x*有n位有效數(shù)字。特別提示：如果x*是用四舍五入法取準(zhǔn)確值x的近似值，且x*從左邊第一個(gè)不為零起共有n位數(shù)字，則x*有n位有效數(shù)字。編輯ppt3誤差定性分析3.1病態(tài)問題與條件數(shù)對(duì)一個(gè)數(shù)值問題，往往由于問題本身的某些性質(zhì)使得當(dāng)輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)時(shí)，引起計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差很大，這種問題就是病態(tài)問題。注意：一個(gè)問題是否病態(tài)，可用它的條件數(shù)大小來判斷，條件數(shù)越大病態(tài)越嚴(yán)重。一個(gè)問題是否病態(tài)是由問題的性質(zhì)決定的，與算法無關(guān)。編輯ppt函數(shù)f(x)的條件數(shù)從而定義當(dāng)x有微小擾動(dòng)x時(shí)，條件數(shù)cond(f(x))為f(x)的相對(duì)誤差和x的相對(duì)誤差之比：編輯ppt病態(tài)方程組a=1，系數(shù)矩陣奇異，無解。a1，病態(tài)方程組。例5：求解方程組如：當(dāng)a=0.99時(shí)，x=50.25;當(dāng)a=0.991時(shí)，x=55.81;編輯pptx的條件數(shù)是:當(dāng)時(shí)，編輯ppt在計(jì)算中初始數(shù)據(jù)的誤差將會(huì)傳播，有時(shí)會(huì)影響結(jié)果可靠性。定義3.1一個(gè)算法如果原始數(shù)據(jù)有擾動(dòng)(即誤差)，而計(jì)算過程舍入誤差不增長(zhǎng)，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的。否則，若誤差增長(zhǎng)則稱算法不穩(wěn)定。3.2計(jì)算方法的數(shù)值穩(wěn)定性編輯ppt(1)避免用絕對(duì)值很小的數(shù)作除數(shù)和絕對(duì)值大的數(shù)作乘數(shù)。(2)避免兩個(gè)相近數(shù)相減，以免有效數(shù)字損失。(3)注意運(yùn)算次序，防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)，如多個(gè)數(shù)相加減，應(yīng)按絕對(duì)值由小到大的次序運(yùn)算。(4)簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，盡量減少運(yùn)算次數(shù)。