分開變量法習題課

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MathematicalMethodsinPhysics武漢大學物理科學與技術學院

WuhanUniversity

第三章分開變量法TheMethodofSeparationofVariables

習題課*本章內(nèi)容小結*典型例題分析一、正交曲線坐標系中的分開變量二、齊次方程、齊次邊界條件的定解問題三、非齊次邊界條件的定解問題

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1

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2

Z′′+Z=0(=k2)′′+n2Φ=0一、正交曲線坐標系中的分開變量→Φρ2R′′+ρR′+(k2ρ2n2)R=0√1、求圓環(huán)的狄氏問題

u=0,(r2rr)1u(r,θ)=sinθ1u(r,θ)=02

1234563*

①令：u(r,θ)=R(r)Θ(θ)13

Θ′′(θ)+m2Θ=0222rR′′+rRmR=0R(r2)=03

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一、正交曲線坐標系中的分開變量

Θ′′(θ)+m2Θ=0②解Θ(θ+2π)=Θ(θ)得：Θ(θ)=Amcosmθ+Bmsinmθ:C0lnr+D0③解6:Rm(r)=:mmCmr+Dmr

m=0,2,1...,m=0

m≠0

Rm(r)=C0(lnrlnr2)+Cm(rr2r)mWuhanUniversity

3*

2mm

4

Rm(r)=C0(lnrlnr2)一、正交曲線坐標系中的分開變量mr2mrm)Θ(θ)=Amcosmθ+Bmsinmθ+C(r④

u=∑um(r,θ)=∑Rm(r)Θm(θ)=α0(lnrlnr2)+∑m=1∞

∞

∞

m

2

m=0

m=0

r

2m

r2mr

2m

[αmcosmθ+βmsinmθ]

#由u(r1,θ)=sinθ有：αn=0;βm=0,m≠122rβ1=212u(r,θ)=r1rr2sinθ22rr21rrr21WuhanUniversity

5

Z′′+Z=0(=k2)′′+n2Φ=0一、正交曲線坐標系中的分開變量Φρ2R′′+ρR′+(k2ρ2n2)R=02、求解扇形區(qū)域中的狄氏問題：:

u=0,(ρa,αβ)u|=α=0,u|=β=0u|ρ=a=f()①令

123

u=R(ρ)Φ()

則由式1,得：

Φ′′+n2Φ=02ρR′′+ρR′n2R=0WuhanUniversity

n=?n≠0,1,L2

45

6

nπ2X′′X=0=(),n=1,2,...lX(0)=0一、正交曲線坐標系中的分開變量nπX(l)=04xXn(x)=Cnsin則由式1,得：Φ′′+Φ=0l25ρR′′+ρR′R=0

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Φ(α)=02*由2式，得：Φ(β)=0Φ′′()+Φ=0②解：令：=αθΦ(α)=0,Φ(β)=0nπ2Φ′′(θ)+Φ=0=[],n=1,2,L→βαΦ|θ=0=0,Φ|θ=βα=0nπnπΦ()=Φ(θ)=ansinθ=ansin(α)βαβα7

nπ2=[]③求解5ρR′′+ρR′R=0βαnπ由于ρaR(ρ)=bρ=bρβα2

C0+D0lnρρR′′+ρR′nR=0→nn一、正交曲線坐標系中

的分開變量Cnρ+Dnρ22

n

n

nπ④u(ρ,)=∑Cnρsin(α)βαn=1nπ∞nπβαsin(α)由式3,得：f()=∑Cnaβαn=1nπ2βnπβa∴Cn=a∫αf()sinβα(α)dβα∞WuhanUniversity

nπβα

#

8

二、齊次問題定解問題

utt=a2uxx,0xlux=0=0,ux=l=0u=(x),ut=0tt=0=ψ(x)∞

(1)(2)(3)

nπanπanπu(x,t)=∑(Ancost+Bnsint)sinx(11)llln=12lnπ2lnπAn=∫(α)sinαdα,Bn=∫0ψ(α)sinlαdα(12)0llnπaWuhanUniversity

15

二、齊次問題√

1、求解

u(x,t)=∑(Ancosnat+Bnsinnat)sinnx

∞

utt=a2uxx,0xπ,t0u(x,0)=3sinx,0≤x≤πut(x,0)=0u(0,t)=u(π,t)=0;∞

u(x,0)=3sinx→∑Ansinnx=3sinxn=1∞

n=1

ut(x,0)=0WuhanUniversity

→A=3,An=0(n≠1)1→∑Bnnasinnx=0→Bn=0n=1

u(x,t)=3cosatsinx16

二、齊次問題√2、求以下高維波動問題的解：解

utt=a2u,0x1,0y1,0z1u(x,y,z;0)=sinπxsinπysinπzut(x,y,z;0)=0u(0,y,z;t)=u(1,y,z;t)=0u(x,0,z;t)=u(x,1,z;t)=0u(x,y,0;t)=u(x,y,1;t)=0

123456

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17

二、齊次問題①令u(x,y,z;t)=X(x)Y(y)Z(z);T(t)utt=a2u,1T′′aT=07u(x,y,z;0)=sinπxsinπysinπz8X′′αX=0#1→ut(x,y,z;0)=039u(0,y,z;t)=u(1,y,z;t)=04Y′′βY=0Z′′γZ=010u(x,0,z;t)=u(x,1,z;t)=05u(x,y,0;t)=u(x,y,1;t)=06其中=α+β+γ)(2

Y(0)=0X(0)=05→5′4′;4→Y(1)=0X(1)=0Z(0)=06′6→Z(1)=018WuhanUniversity

二、齊次問題②X′′αX=0解X(0)=0X(1)=0→Xm(x)=amsinmπx,

α=m2π2,m=1,2,...Yn(y)=bnsinnπy,

Y′′βY=0解Y(0)=0→Y(1)=0Z′′γZ=0解Z(0)=0→Z(1)=0WuhanUniversity

β=n2π2,n=1,2,...Zl(y)=clsinlπz,

γ=l2π2,l=1,2,...19

二、齊次問題③T′′+a2(n2+m2+l2)π2T=0′′Tm,n,l(t)=Amnlcosωt+Bmnlsinω④u(x,y,z;t)=∞

ω=a∞n+m+l)π(22222m,n,l=1

2

∑(A

mnl

cosωt+Bmnlsinωt)

m,n,l=1

∑A

sinmπxsinnπysinlπz

mnl

sinmπxsinnπysinlπz=sinπxsinπysinπz

∑=Byzsin=cos3πatsinπx0→ysinπzu(lx,mnl,ω;t)mπxsinnπysinlπz=sinπBmnl=0m,n,1WuhanUniversity

∞

→A=1,Amnl=0(m≠1,n≠1,l≠1)11120

nπ2X′′X=0

=(),n=1,2,...l二、齊次問題(0)=0XnπxX(l)=0Xn(x)=Cn3、求處于一維無限深勢阱中的粒子狀態(tài)。sinlEitdfih=Ef→f(t)=bnehdtψ(x,t)h22ih=ψ(x,t)#→22t2x2hd=Eψ2dx2(a,t)=ψ(a,t)=02E1π(a)=(a)=0記2=λ(x,0)=sin(x+a)ψhn

令ψ(x,t)=(x)f(t)

n2π2h2nπ2′′(x)+λ=0#→λn=()→En=2n(x)=Cnsinnπ(x+a)解8a2a2a

a

a

(a)=(a)=0#

1ih2tπψ(x,t)=esin(x+a)aaE

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21

h(t)g(t)∫P(x)dxw(x,t)=x+g(t)∫P(x)dxdx+c)Y(x)=e三、非齊次邊界條件的定解問題(∫Q(x)elut=Duxx令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)x√ux=0=ct,ux=l=0#w(x,t)=ct(1)l∞ut=0=0nπx令v(x,t)=∑Tn(t)sinxl2n=12vtDx=c(l1)Tn′(t)+DnπTn(t)=fn(t)→l2→vx=0=0,vx=l=0Tn(0)=0v=02lαnπα2ct=0dα=fn(t)=∫c(1)sinl0llnπ→Tn(t)=eDn2π2l2

Y′(x)+P(x)Y(x)=Q(x)→

t