圓的垂徑定理試題（附答案）匯總

本文格式為Word版，下載可任意編輯——圓的垂徑定理試題（附答案）匯總2023中考全國100份試卷分類匯編圓的垂徑定理

1、（2023年濰坊市）如圖，⊙O的直徑AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為P，且BP：AP=1:5,則CD的長為（）.

A.42B.82C.25D.45

2、(2023年黃石)如右圖，在RtABC中，?ACB?90，AC?3，BC?4，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點D，則AD的長為（）

A.9B.24C.18D.5

55523、(2023河南省)如圖，CD是O的直徑，弦AB?CD于點G，直線EF與O相切與點D，則以下結論中不一定正確的是（）

A.AG＝BGB.AB∥BFC.AD∥BCD.∠ABC＝ADC

4、（2023?瀘州）已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長為（）A.cmB.cmC.cm或cmD.cm或cm5、（2023?廣安）如圖，已知半徑OD與弦AB相互垂直，垂足為點C，若AB=8cm，CD=3cm，則圓O的半徑為（）

A.cmB.5cmC.4cmD.cm

6、（2023?紹興）紹興市著名的橋鄉(xiāng)，如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半徑OC為5m，則水面寬AB為（）

A.4mB.5mC.6mD.8m

7、（2023?溫州）如圖，在⊙O中，OC⊥弦AB于點C，AB=4，OC=1，則OB的長是（）

B.C.D.8、（2023?嘉興）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結AO并延長交⊙O于點E，連結EC．若AB=8，CD=2，則EC的長為（）

A.

A.2

B.C.D.

9、（2023?萊蕪）將半徑為3cm的圓形紙片沿AB折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心O，用圖中陰影部分的扇形圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的高為（）

A.

B.C.

D.2

310、（2023?徐州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P．若CD=8，OP=3，則⊙O的半徑為（）

A.10B.8C.5D.3

11、(2023浙江麗水)一條排水管的截面如下圖，已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16，則截

面圓心O到水面的距離OC是

A.4B.5C.6D.8

12、（2023?宜昌）如圖，DC是⊙O直徑，弦AB⊥CD于F，連接BC，DB，則以下結論錯誤的是（）

A.

B.AF=BFC.OF=CFD.∠DBC=90°

13、（2023?畢節(jié)地區(qū)）如圖在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足為C，且OC=3，則⊙O的半徑（）

A.5B.10C.8D.6

14、（2023?南寧）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，則⊙O的半徑為（）

B.5C.4D.315、（2023年佛山）半徑為3的圓中，一條弦長為4，則圓心到這條弦的距離是（）A.3B.4C.5D.7

16、（2023甘肅蘭州4分、12）如圖是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，假使水面AB寬為8cm，水面最深地方的高度為2cm，則該輸水管的半徑為（）

A.4

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm17、（2023?內(nèi)江）在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），直線y=kx﹣3k+4與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為．

18、（13年安徽省4分、10）如圖，點P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點，在以下判斷中，不．正確的是（）．．

19、（2023?寧波）如圖，AE是半圓O的直徑，弦AB=BC=4兩個陰影部分的面積和為．

，弦CD=DE=4，連結OB，OD，則圖中

圖20圖21圖2220、（2023?寧夏）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為cm．

21、（2023?包頭）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，則∠ADB=度．

22、（2023?株洲）如圖AB是⊙O的直徑，∠BAC=42°，點D是弦AC的中點，則∠DOC的度數(shù)是度．

圖23圖24圖25圖26圖27圖2823、（2023?黃岡）如圖，M是CD的中點，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，則

所在圓的半徑為．

24、（2023?綏化）如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長為．

25、（2023哈爾濱）如圖，直線AB與⊙O相切于點A，AC、CD是⊙O的兩條弦，且CD∥AB，若⊙O

5的半徑為，CD=4，則弦AC的長為．

2

26、（2023?張家界）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD垂直，且∠BAC=40°，則∠BOD=．

27、（2023?遵義）如圖，OC是⊙O的半徑，AB是弦，且OC⊥AB，點P在⊙O上，∠APC=26°，則∠BOC=度．

28、（2023陜西）如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，且∠ACB=30°，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與⊙O交于G、H兩點，若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為．29、（2023年廣州市）如圖7，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P在第一象限，?P與

x軸交于O,A兩點，點A的坐標為（6,0），?P的半徑為13，則點P的坐標為____________.

30、(2023年深圳市)如圖5所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上，于是他們開展了測算小橋所在圖的半徑的活動。小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時測得EG的長為3米，HF的長為1米，測得拱高（弧GH的中點到弦GH的距離，即MN的長）為2米，求小橋所在圓的半徑。

31、（2023?白銀）如圖，在⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為點E．（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；

（2）若∠DAC=∠BAC，且點D在⊙O的外部，判斷直線AD與⊙O的位置關系，并加以證明．

32、（2023?黔西南州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB與點E，點P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求證：CB∥PD；

3（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直徑．

5

33、（2023?恩施州）如下圖，AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點，過C作CD⊥AB于點D，CD交AE于點F，過C作CG∥AE交BA的延長線于點G．（1）求證：CG是⊙O的切線．（2）求證：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的長．

34、（2023?資陽）在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D，連結CD．

（1）如圖1，若點D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r；

（2）如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC=25°，請直接寫出∠DCA的度數(shù)．

參考答案

1、D．

垂徑定理與勾股定理.

連接圓的半徑，構造直角三角形，再利用勾股定理與垂徑定理解決.2、C

4由勾股定理得AB＝5，則sinA＝，作CE⊥AD于E，則AE＝DE，在Rt△AEC中，

5CE4CE12918sinA＝，即?，所以，CE＝，AE＝，所以，AD＝

AC535553、C

由垂徑定理可知:A一定正確。由題可知：EF⊥CD,又由于AB⊥CD,所以AB∥EF,即B一定正確。由于∠ABC和∠ADC所對的弧是劣弧，AC根據(jù)同弧所對的圓周角相等可知D一定正確。4、C

垂徑定理；勾股定理．分類探討

先根據(jù)題意畫出圖形，由于點C的位置不能確定，故應分兩種狀況進行探討解：連接AC，AO，

∵⊙O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，當C點位置如圖1所示時，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=

=

=4

cm；

當C點位置如圖2所示時，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．

此題考察的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵5、A

垂徑定理；勾股定理．

連接AO，根據(jù)垂徑定理可知AC=AB=4cm，設半徑為x，則OC=x﹣3，根據(jù)勾股定理即可求得x的值

解：連接AO，∵半徑OD與弦AB相互垂直，∴AC=AB=4cm，設半徑為x，則OC=x﹣3，在Rt△ACO中，AO=AC+OC，即x2=42+（x﹣3）2，解得：x=

，故半徑為

cm．

2

2

2

此題考察了垂徑定理及勾股定理的知識，解答此題的關鍵是熟練把握垂徑定理、勾股定理的內(nèi)容，難度一般

6、D

垂徑定理的應用；勾股定理．連接OA，根據(jù)橋拱半徑OC為5m，求出OA=5m，根據(jù)CD=8m，求出OD=3m，根據(jù)AD=求出AD，最終根據(jù)AB=2AD即可得出答案．

此題考察了垂徑定理的應用，關鍵是根據(jù)題意做出輔助線，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理．7、B

垂徑定理；勾股定理．

根據(jù)垂徑定理可得AC=BC=AB，在Rt△OBC中可求出OB．解：∵OC⊥弦AB于點C，∴AC=BC=AB，在Rt△OBC中，OB=

=

．

此題考察了垂徑定理及勾股定理的知識，解答此題的關鍵是熟練把握垂徑定理的內(nèi)容8、D

垂徑定理；勾股定理；圓周角定理

先根據(jù)垂徑定理求出AC的長，設⊙O的半徑為r，則OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的長，連接BE，由圓周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理即可求出CE的長．

此題考察的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵9、A

圓錐的計算．

過O點作OC⊥AB，垂足為D，交⊙O于點C，由折疊的性質可知OD為半徑的一半，而OA為半徑，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由內(nèi)角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的長，利用弧長公式求得圍成的圓錐的底面半徑，最終利用勾股定理求得其高即可．

10、C

垂徑定理；勾股定理．

連接OC，先根據(jù)垂徑定理求出PC的長，再根據(jù)勾股定理即可得出OC的長

此題考察的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵11、C

垂徑定理；勾股定理．

根據(jù)垂徑定理得出AB＝2BC，再根據(jù)勾股定理求出OC的長解：∵OC⊥AB,AB＝16，∴BC等于

AB＝8。

在Rt△BOC中，OB＝10，BC＝8，6。12、C

垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理

根據(jù)垂徑定理可判斷A、B，根據(jù)圓周角定理可判斷D，繼而可得出答案．

∵DC是⊙O直徑，弦AB⊥CD于F，∴點D是優(yōu)弧AB的中點，點C是劣弧AB的中點，A、

=

，正確，故本選項錯誤；B、AF=BF，正確，故本選項錯誤；

C、OF=CF，不能得出，錯誤，故本選項錯誤；D、∠DBC=90°，正確，故本選項錯誤；此題考察了垂徑定理及圓周角定理，解答此題的關鍵是熟練把握垂徑定理、圓周角定理的內(nèi)容，難度一般13、A

垂徑定理；勾股定理．

連接OB，先根據(jù)垂徑定理求出BC的長，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的長度

此題考察的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵14、B

垂徑定理；勾股定理；圓周角定理．先根據(jù)∠BAC=∠BOD可得出再根據(jù)勾股定理即可得出結論解：∵∠BAC=∠BOD，∴

=

，∴AB⊥CD，∵AE=CD=8，∴DE=CD=4，=

，故可得出AB⊥CD，由垂徑定理即可求出DE的長，

設OD=r，則OE=AE﹣r=8﹣r，在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8﹣r，∵OD2=DE2+OE2，即r2=42+（8﹣r）2，解得r=5．

此題考察的是垂徑定理及圓周角定理，熟知平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關鍵

15、C

垂徑定理；勾股定理．

過點O作OD⊥AB于點D，由垂徑定理可求出BD的長，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的長

此題考察的是垂徑定理，根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求出OD的長是解答此題的關鍵

16、C

垂徑定理；勾股定理．

過點O作OD⊥AB于點D，連接OA，由垂徑定理可知AD=AB，設OA=r，則OD=r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．

此題考察的是垂徑定理的應用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．17、24

一次函數(shù)綜合題．

根據(jù)直線y=kx﹣3k+4必過點D（3，4），求出最短的弦CD是過點D且與該圓直徑垂直的弦，再求出OD的長，再根據(jù)以原點O為圓心的圓過點A（13，0），求出OB的長，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．

此題考察了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理、圓的有關性質，關鍵是求出BC最短時的位置．

18、C

圓和等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，垂徑定理，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理。

根據(jù)圓和等邊三角形的性質逐一作出判斷：

當弦PB最長時，PB是⊙O的直徑，所以根據(jù)等邊三角形的性質，BP垂直平分AC，從而根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等的性質得PA＝PC，即△APC是等腰三角形，判斷A正確；

當△APC是等腰三角形時，根據(jù)垂徑定理，得PO⊥AC，判斷B正確；當PO⊥AC時，若點P在優(yōu)弧AC上，則點P與點B重合，∠ACP＝60°，則∠ACP＝60°，判斷C錯誤；

當∠ACP＝30°時，∠ABP＝∠ACP＝30°，又∠ABC＝60°，從而∠PBC＝30°；又∠BAC＝60°，所以，∠BCP＝90°，即△PBC是直角三角形，判斷D正確。19、10π

扇形面積的計算；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系．

根據(jù)弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，過點O作OF⊥BC于點F，OG⊥CD于點G，在四邊形OFCG中可得∠FCD=135°，過點C作CN∥OF，交OG于點N，判斷△CNG、△OMN為等腰直角三角形，分別求出NG、ON，繼而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圓O的半徑，代入扇形面積公式求解即可．

此題考察了扇形的面積計算、勾股定理、垂徑定理及圓心角、弧之間的關系，綜合考察的知識點較多，解答此題的關鍵是求出圓0的半徑，此題難度較大20、2

垂徑定理；勾股定理．

通過作輔助線，過點O作OD⊥AB交AB于點D，根據(jù)折疊的性質可知OA=2OD，根據(jù)勾股定理可將AD的長求出，通過垂徑定理可求出AB的長．

此題綜合考察垂徑定理和勾股定理的運用

21、28

圓周角定理；垂徑定理．根據(jù)垂徑定理可得點B是解：∵OB⊥AC，∴

=

中點，由圓周角定理可得∠ADB=∠BOC，繼而得出答案．

，∴∠ADB=∠BOC=28°

此題考察了圓周角定理，注意把握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這

條弧所對的圓心角的一半．22、48

垂徑定理

根據(jù)點D是弦AC的中點，得到OD⊥AC，然后根據(jù)∠DOC=∠DOA即可求得答案．解：∵AB是⊙O的直徑，∴OA=OC∵∠A=42°∴∠ACO=∠A=42°

∵D為AC的中點，∴OD⊥AC，∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．此題考察了垂徑定理的知識，解題的關鍵是根的弦的中點得到弦的垂線．23、

垂徑定理；勾股定理．

首先連接OC，由M是CD的中點，EM⊥CD，可得EM過⊙O的圓心點O，然后設半徑為x，

222

由勾股定理即可求得：（8﹣x）+2=x，解此方程即可求得答案．

此題考察了垂徑定理以及勾股定理．此題難度不大，注意把握輔助線的作法，注意把握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．24、2

垂徑定理；勾股定理．

連接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的長，再利用垂徑定理得到D為AB的中點，在直角三角形AOD中，利用垂徑定理求出AD的長，即可確定出AB的長．

此題考察了垂徑定理，以及勾股定理，熟練把握垂徑定理是解此題的關鍵．25、25垂徑定理；勾股定理；切線的性質．

此題考察的是垂徑定理的應用切線的性質及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵。

連接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2，由于CD∥AB得EOA三點共線，連OC,

3在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=,從而AE=4，再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=25226、80°

圓周角定理；垂徑定理．

根據(jù)垂徑定理可得點B是中點，由圓周角定理可得∠BOD=2∠BAC，繼而得出答案．解：∵，⊙O的直徑AB與弦CD垂直，∴

=

，∴∠BOD=2∠BAC=80°．

此題考察了圓周角定理，注意把握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．27、52°

圓周角定理；垂徑定理．

由OC是⊙O的半徑，AB是弦，且OC⊥AB，根據(jù)垂徑定理的即可求得：=，又由圓周角定理，即可求得答案．

解：∵OC是⊙O的半徑，AB是弦，且OC⊥AB，∴

=

，∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°．

此題考察了垂徑定理與圓周角定理．此題比較簡單，注意把握數(shù)形結合思想的應用．28、14-3.5=10.5

此題一般考察的是與圓有關的計算，考察有垂徑定理、相交弦定理、圓心角與圓周角的關系，及扇形的面積及弧長的計算公式等知識點。

此題考察圓心角與圓周角的關系應用，中位線及最值問題。連接OA，OB，由于∠

1ACB=30°，所以∠AOB=60°，所以OA=OB=AB=7，由于E、F中AC、BC的中點，所以EF=AB=3.5，

2由于GE+FH=GH－EF，要使GE+FH最大，而EF為定值，所以GH取最大值時GE+FH有最大值，所以當GH為直徑時，GE+FH的最大值為14-3.5=10.529、（3，2）

垂徑定理；勾股定理．

過點P作PD⊥x軸于點D，連接OP，先由垂徑定理求出OD的長，再根據(jù)勾股定理求出PD的長，故可得出答案．

此題考察的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵

30、5m

垂徑定理；勾股定理．

31、切線的判定；勾股定理；垂徑定理．（1）根據(jù)垂徑定理由半徑OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根據(jù)勾股定理計算出OE=3，則EC=2，然后在Rt△AEC中根據(jù)正切的定義可得到tan∠BAC的值；

（2）根據(jù)垂徑定理得到AC弧=BC弧，再利用圓周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=9