大一學(xué)習(xí)物理第十章振動(dòng)與波動(dòng)

第十章振動(dòng)和波動(dòng)10-1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律10-2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述10-3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1、振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)基本要求

一、理解簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本特征,了解研究諧振子模型的意義.*二、能建立一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程,能根據(jù)給定的初始條件寫(xiě)出一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程,并理解其物理意義.

三、理解描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的各物理量的物理意義和決定因素.

四、理解旋轉(zhuǎn)矢量法和相位差的意義,會(huì)用旋轉(zhuǎn)矢量法分析和解決簡(jiǎn)諧振動(dòng)問(wèn)題,會(huì)做振動(dòng)曲線.

五、理解兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成規(guī)律.*六、了解相互垂直的兩個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成.10-1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律預(yù)習(xí)要點(diǎn)注意簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律和特點(diǎn).如何判斷一個(gè)振動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧振動(dòng)？簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量有什么特點(diǎn)?簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期由什么因素決定？如何計(jì)算一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期？研究諧振子模型的意義何在？一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義1.彈簧振子

一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧的一端固定，另一端固結(jié)一個(gè)可以自由運(yùn)動(dòng)的物體，就構(gòu)成一個(gè)彈簧振子.2.彈簧振子振動(dòng)的微分方程

彈簧振子偏離平衡位置O后，僅因回復(fù)力(彈性力)和慣性而自由往返運(yùn)動(dòng).有彈簧振子的振動(dòng)微分方程(動(dòng)力學(xué)方程)解微分方程得令位移時(shí)間關(guān)系(振動(dòng)方程)2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義3.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判據(jù)(1)運(yùn)動(dòng)的微分方程(定義式).(2)機(jī)械振動(dòng)也可用其受力特征或運(yùn)動(dòng)特征判斷.任一物理量x隨時(shí)間t的變化關(guān)系如果滿足微分方程

其中是系統(tǒng)固有性質(zhì)決定的常數(shù),則此物理量作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).方程解：令：以上4式都是判斷諧振的依據(jù)。固有圓頻率二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的固有周期周期頻率振動(dòng)往復(fù)一次所需時(shí)間.圓頻率都表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性，反映振動(dòng)的快慢.彈簧振子固有周期由例1:質(zhì)量為m長(zhǎng)度為l的均勻細(xì)棒，繞O點(diǎn)作小角度擺動(dòng).求振動(dòng)周期.重力矩“

–

”表示力矩與逆時(shí)針張角方向相反.解:當(dāng)時(shí),O令得到振動(dòng)微分方程由表明棒作角簡(jiǎn)諧振動(dòng)例2：?jiǎn)螖[小球質(zhì)量m，擺長(zhǎng)l,求單擺周期T。例3：判斷下列運(yùn)動(dòng)是否簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)？不計(jì)阻力（1）小球在半徑很大的凹球面底部作短距離滾動(dòng)時(shí)球心的運(yùn)動(dòng)？（2）小球在地面上作完全彈性的上下跳動(dòng)。3、質(zhì)點(diǎn)作勻加速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在直徑上的投影運(yùn)動(dòng)。

設(shè)質(zhì)點(diǎn)作逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，t=0時(shí)刻，位于圓心角，初始角速度為，角加速度為則t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在位置對(duì)應(yīng)圓心角為質(zhì)點(diǎn)在直徑上的投影為（4）浮在水里、密度小于水的正三菱錐體，錐頂向上，在水中上下浮動(dòng)。例4：如圖，一塊質(zhì)量為m的均勻木塊對(duì)稱地平放在中心軸線相距2l的兩個(gè)相同的轉(zhuǎn)輪上，兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，木板與輪面間的摩擦系數(shù)為u,使木板沿水平方向移動(dòng)一小段距離后釋放，之后木板作簡(jiǎn)諧振動(dòng)么？周期為多少?三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量1、彈簧振子簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程A—振幅—質(zhì)點(diǎn)到平衡位置的最大位移。w—圓頻率—2秒內(nèi)的振動(dòng)數(shù)?！跸辔弧猼=0時(shí)的位相。wt+—相位—反映質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(x,v)。x—位移—質(zhì)點(diǎn)對(duì)于平衡位置的位移。(2)速度時(shí)間關(guān)系(4)能量特征(3)加速度時(shí)間關(guān)系彈簧振子的總的機(jī)械能由

彈簧振子在振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能都隨時(shí)間發(fā)生周期性變化，但動(dòng)能和勢(shì)能的總和保持為一個(gè)常量，即系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.4T2T43TE(5)振動(dòng)曲線

單擺擺動(dòng)方程10-2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述預(yù)習(xí)要點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅和初相位由哪些因素決定?如何確定它們的數(shù)值？注意相位在描述振動(dòng)中的特殊而重要的作用.注意領(lǐng)會(huì)旋轉(zhuǎn)矢量表示及研究諧振動(dòng)的方法.一、振幅和初相位1.振幅質(zhì)點(diǎn)在振動(dòng)過(guò)程中離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值.表征了系統(tǒng)的能量，由初始條件決定.

由時(shí),有得2.相位在中，稱為振動(dòng)的相位.（1），存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；即其決定質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的t的位置和速度(即時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)).（2）初相位描述質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(初位置和初速度.已知初始條件

也可確定初相.

上式可求得在區(qū)間內(nèi)兩個(gè)解，應(yīng)進(jìn)一步由的符號(hào)判定和的符號(hào)后選定其中的一個(gè)解.二、相位差

表示兩個(gè)相位之差.對(duì)于兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們間步調(diào)上的差異.

兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相位差都等于其初相差而與時(shí)間無(wú)關(guān).1.相位差2.超前和落后

若，則x2比x1較早達(dá)到正最大，稱x2比x1超前(或x1比x2落后).3.同相和反相

當(dāng)

=2k，

(k=0,1,2,…)，兩振動(dòng)步調(diào)相同，稱同相.

當(dāng)=(2k+1)，

(k=0,1,2,…)，兩振動(dòng)步調(diào)相反，稱反相.

OA1-A1A2-

A2x1x2Tt同相兩同相振動(dòng)的振動(dòng)曲線

x2TxOA1-A1A2-

A2x1t反相兩反相振動(dòng)的振動(dòng)曲線三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法MP

可見(jiàn)，旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度A、角速度和t=0時(shí)與x軸的夾角分別代表投影點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量：振幅、角頻率和初相位.

如圖，一長(zhǎng)度為A的矢量繞其始端O以恒角速度沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，其矢端M在Ox軸上的投影點(diǎn)P將以O(shè)為平衡位置做簡(jiǎn)諧振動(dòng).

任一時(shí)刻旋轉(zhuǎn)矢量與x軸的夾角為投影點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位.規(guī)定沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，則相位便唯一確定了投影點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).1.旋轉(zhuǎn)矢量投影到Y(jié),描述Y方向的諧振投影到X軸,描述X方向的諧振動(dòng)注意影子xAY投影到任意軸？RotationalvectorandphasexA對(duì)應(yīng)量Awjwt+jx旋轉(zhuǎn)矢量長(zhǎng)度角速度初角夾角投影簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅圓頻率位移初位相位相2.旋轉(zhuǎn)矢量與振動(dòng)的對(duì)應(yīng)量思考:在旋轉(zhuǎn)矢量圖上怎樣表現(xiàn)位相超前或落后、同相、反相？12xo12xo12xo例1.按圖寫(xiě)振動(dòng)方程。x(m)t(s)10-5t(s)1021x(m)2已知:旋轉(zhuǎn)矢量A=0.04m,=4(rad/s)例2.由旋轉(zhuǎn)矢量畫(huà)振動(dòng)曲線，寫(xiě)振動(dòng)方程。/4xot(s)x(m)0.04-0.04方法一：用t=0時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量畫(huà)x(m)0.02t(s)0.02x(m)例3.由方程畫(huà)振動(dòng)曲線。已知方程：t(s)x(m)方法二：先參考標(biāo)準(zhǔn)式再根據(jù)初相平移例4

一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，A=0.12mT=2s，x0=0.06m,此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)向x正向運(yùn)動(dòng)。求:(1)運(yùn)動(dòng)方程(2)t=T/4時(shí)x,v,a(3)第一次通過(guò)平衡位置的時(shí)刻t解：(1)x=Acos(wt+j)=0.12cos(pt-p/3)m(2)

v=Awcos(wt-p/3+p/2)m/s

a=-Aw2cos(wt-p/3)m/s2把t=T/4

代入x,v,aADf=p/3+p/2=5p/6Dt=5/6（s）(3)第一次通過(guò)平衡位置的時(shí)刻tDft=0(s)t=5/6(s)例題5一質(zhì)量為0.2kg的質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，其振動(dòng)表達(dá)式為:x=0.60cos(5t－π/2)(SI)。求:(1)質(zhì)點(diǎn)的初速度；(2)質(zhì)點(diǎn)在正向最大的位移一半處所受的力。解已知A=0.60m,ω=5s-1,

（1）由

（2）由

當(dāng)

待物體靜止后,再向下拉y0=0.1m后放手,測(cè)得T=2s。求：(1)振動(dòng)方程;OY(2)首次過(guò)平衡位置時(shí)物體的速度;(3)第二次經(jīng)過(guò)平衡位置上方0.05m處的加速度;(4)物體從平衡位置下方0.05m處向上運(yùn)動(dòng)到平衡位置上方0.05m處所需的最短時(shí)間。練.解：(1)求振動(dòng)方程;振動(dòng)方程：舍OY首次過(guò)平衡位置的時(shí)刻：t=T/4=1/2(2)首次過(guò)平衡位置時(shí)物體的速度;OY(3)第二次經(jīng)過(guò)平衡位置上方0.05m處的加速度;OY(4)物體從平衡位置下方0.05m處向上運(yùn)動(dòng)到平衡位置上方0.05m處所需的最短時(shí)間。OY=書(shū)例10.1例10.2課后習(xí)題10.110.210.510.710-3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成預(yù)習(xí)要點(diǎn)注意兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)規(guī)律.分振動(dòng)之間的相位差與合振動(dòng)振幅有什么關(guān)系？了解兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成.一、兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成后仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，角速度不變.1.當(dāng)時(shí),合振動(dòng)振幅最大.2.當(dāng)時(shí),合振動(dòng)振幅最小.3.一般情況*二、兩個(gè)互相垂直的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩式消去t，合振動(dòng)分振動(dòng)為橢圓軌跡方程，順時(shí)針運(yùn)行.為直線方程.

討論1.同相位2.為標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程，順時(shí)針運(yùn)行.3.反相位4.為標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程，逆時(shí)針運(yùn)行.為直線方程.三、一維不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成x1tOx2tOx

tO同方向兩個(gè)不同頻率諧振動(dòng)的合成一維不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成拍的現(xiàn)象

x2tOxtOx2tO設(shè)有兩個(gè)同方向的振動(dòng)，角頻率分別為，只考慮振幅相同，初相都為零的情況。拍頻振幅的頻率

條件：w1與w2都很大，而它們的差很?、?振動(dòng)方程

x=Acos(wt+j)（單位）Ⅰ.諧振特點(diǎn)小結(jié)諧振Ⅴ.同方向同頻率的諧振動(dòng)合成Ⅲ.幾何表示

旋轉(zhuǎn)矢量，

x-t曲線Ⅳ.機(jī)械能守恒briefsummary例1：已知振動(dòng)曲線，寫(xiě)振動(dòng)方程oobbccddxx初相fo=-p/3(1)相位fa=ofb=p/3fc=p/2fd=2p/3aaeefe=4p/35.02.51.02.2T/2=1.2x=5cos(5pt