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本文格式為Word版，下載可任意編輯——分部積分練習(xí)題2

高數(shù)積分

1、

e

設(shè)連續(xù)函數(shù)

1e

f(x)

滿足

f(x)lnx－f(x)dx

1

e

，證明：

f(x)dx

1

證明：設(shè)f(x)dxA，則

1

e

f(x)lnxA……2分

從而A

e

1

(lnxA)dx[xlnxx]1A(e1)1AeA……4分

e

所以f(x)dx

1

e

1e

……6分

2、計(jì)算積分1lnxdx．

e

e

解：解：原式=lnxdx1lnxdx……4分

1

e

e1

[xlnxx]1[xlnxx]1……6分

e

e1

2(1

1e

)

x

3、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(2x1)xe,證明：f(t)dt2e2.

3

5

證：設(shè)2x1t，得x

t12

，于是f(t)

t-12

t-1

e

2

……2分

53

f(t)dt

2

53

t-12

t12

e

dt……4分

2rredr

1

22

|=2e2(rer-re1)……6分

4、求定積分xarctanxdx

1

解：原式＝

1

2

1

arctanxdx

2

……2分

高數(shù)積分

＝(xarctanx

2

1

2

1

x

22

1x

dx)……4分

=

4

1……8

a

分

5、設(shè)f(x)是[a,a]上連續(xù)奇函數(shù)，證明：

a

f(x)dx0.

證明：a

a

f(x)dx

0a

f(x)dxf(x)dx

a

……2分

令xt，則a因此a

a

f(x)dx

0a

f(t)d(t)

a

a

0a

f(t)dt

a

f(x)dx

……4分

f(x)dx

a

f(x)dxf(x)dx

[f(x)f(x)]dx

f(x)0

……6分

因f(x)是[a,a]上連續(xù)奇函數(shù)，故f(x)因此af(x)dx

a

0

lnx－f(x)dx

1

e1

6、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)

解：由題意f(x)dx

1e

e

，求f(x)

e

1

lnxdx(e1)f(x)dx……4分

e

e1

故ef(x)dx

1

e

e

1

lnxdxxlnx1dx1……6分

所以f(x)dx

1

e

1e

所以f(x)lnx

4

1e

……8分

7、計(jì)算

e

x

dx．

t，則xt2,dx2tdt……2分

4

2

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