無錫市江陰市高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省無錫市江陰市高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分)1。的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若,,，則（）A. B。 C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)正弦定理即可求出．詳解】，由正弦定理可得，則，故選C．【點(diǎn)睛】三角形中共有七個(gè)幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道其中的三個(gè)量（除三個(gè)角外）,可以求得其余的四個(gè)量.（1）如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；(2)如果知道兩邊即一邊所對(duì)的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三條邊）；（3）如果知道兩角及一邊,用正弦定理。2.為了解某高中學(xué)生的身高情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，其中高一年級(jí)抽取24人,高二年級(jí)抽取26人．若高三年級(jí)共有學(xué)生600人,則該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為(）A.900 B.1200 C.1500 D.1800【答案】B【解析】【分析】先求出高三年級(jí)出去的人數(shù)和所占比例，再用高三年級(jí)學(xué)生數(shù)除以其所占比例即為總?cè)藬?shù).【詳解】解：由題意知,高三年級(jí)抽取了：人，高三年級(jí)抽取的人數(shù)占總抽取人數(shù)的比例數(shù)為：所以該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為：人故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題。3。某人在打靶中連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的對(duì)立事件是A.至少有一次中靶 B.只有一次中靶C.兩次都中靶 D.兩次都不中靶【答案】C【解析】【分析】至多有一次的反面是至少有兩次.【詳解】射擊兩次中靶的次數(shù)可能是0，1，2.至多1次中靶，即中靶次數(shù)為0或1，故它的對(duì)立事件為中靶兩次。選C?！军c(diǎn)睛】本題考查對(duì)立事件的概念，解題關(guān)鍵是掌握至少、至多等詞語(yǔ)的否定。4.已知兩個(gè)變量x、y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，4次試驗(yàn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下:經(jīng)計(jì)算得回歸方程的系數(shù)，則（）A。0.45 B.-0.45 C.—0。35 D.0.35【答案】D【解析】【分析】利用平均數(shù)求出樣本的中心點(diǎn)坐標(biāo),將其代入回歸直線方程即可?！驹斀狻坑深}意，,，所以，樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)，因回歸直線方程為，樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，所以，，即。故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程系數(shù)的求法,在線性回歸分析中，樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，屬于基礎(chǔ)題.5.直線與直線平行，則兩直線間的距離為（)A。 B.或 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據(jù)平行得到,排除重合的情況得到，再利用平行直線距離得到答案.【詳解】直線與直線平行，則，解得或,當(dāng)時(shí)，兩直線均為，兩直線重合，舍去；當(dāng)時(shí),直線和，即的距離為。故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線平行求參數(shù)，平行直線距離，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力。6。已知某樣本的容量為50,平均數(shù)為70，方差為75．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中的兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤,一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60，另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90．在對(duì)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為,則A。 B。 C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】分別根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，求得的值，即可得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，可得，設(shè)收集的48個(gè)準(zhǔn)確數(shù)據(jù)分別記為,則，，故．選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式的應(yīng)用，其中解答中熟記數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的公式，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，數(shù)基礎(chǔ)題．7.P是直線x+y—2=0上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（）A. B. C。2 D.【答案】C【解析】【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，要使切線長(zhǎng)最小，則必須點(diǎn)到圓的距離最小，求出圓心到直線的距離，利用切線的性質(zhì)及勾股定理求出切線長(zhǎng)的最小值即可.【詳解】解：∵圓，

∴圓心，半徑.

由題意可知，

點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)最小時(shí)，

直線.

∵圓心到直線的距離，

∴切線長(zhǎng)的最小值為：。

故選：C?！军c(diǎn)睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及勾股定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵.8。在中,分別是角的對(duì)邊，若，則的最小值等于（）A. B. C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由正弦定理可得,代入到中,再利用均值定理求解即可【詳解】由正弦定理可得,所以,由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以,故的最小值等于，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理化角為邊，考查余弦定理應(yīng)用，考查利用均值定理求最值二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分,選錯(cuò)或漏選不得分）9.下列說法正確的是()A。直線必過定點(diǎn)B.直線在軸上的截距為C.直線的傾斜角為60°D。過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為【答案】ABD【解析】【分析】將方程化為點(diǎn)斜式，即可判斷A；令,得出在軸上的截距，進(jìn)而判斷B;將一般式方程化為斜截式，得出斜率，進(jìn)而得出傾斜角，從而判斷C；由兩直線垂直得出斜率，最后由點(diǎn)斜式得出方程，進(jìn)而判斷D.【詳解】可化為，則直線必過定點(diǎn)，故A正確；令，則,即直線在軸上的截距為，故B正確；可化為,則該直線的斜率為，即傾斜角為，故C錯(cuò)誤；設(shè)過點(diǎn)且垂直于直線的直線的斜率為因?yàn)橹本€的斜率為,所以，解得則過點(diǎn)且垂直于直線的直線的方程為，即，故D正確；故選:ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查了求直線過定點(diǎn)，求直線的傾斜角，由兩直線垂直求直線方程，屬于中檔題.10.在△ABC中，給出下列4個(gè)命題,其中正確的命題是A。若，則 B.若，則C.若,則 D。,則【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理和同角關(guān)系對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)分析判斷得解.【詳解】A。若，則所以，所以該選項(xiàng)是正確的;B.若,則，所以該選項(xiàng)是正確的；C。若，設(shè)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.D。,則所以，故該選項(xiàng)正確.故選A,B,D?！军c(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，考查同角三角函數(shù)關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.11。以下對(duì)各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（）A。甲、乙兩人玩剪刀、石頭、布的游戲,則玩一局甲不輸?shù)母怕适荁。從1名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中一男一女同學(xué)的概率為C。將一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子（每個(gè)面上分別寫有數(shù)字1,2，3,4,5，6）先后拋擲2次,觀察向上的點(diǎn)數(shù),則點(diǎn)數(shù)之和是6的概率是D.從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是【答案】BCD【解析】【分析】結(jié)合選項(xiàng)，利用樹狀圖和列舉法，求得基本事件的總數(shù),利用古典概型的概率計(jì)算公式，逐項(xiàng)求解，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，甲、乙兩人玩剪刀、石頭、布的游戲,共有種情形，結(jié)合樹狀圖，可得玩一局甲不輸?shù)那闆r，共有種情形，所以玩一局甲不輸?shù)母怕适?，所以A不正確；對(duì)于B中，設(shè)1名男生為，兩名女生分別為，則從這3人中選取2人包含：,共3種選法,其中選中一男一女同學(xué)包含：，所以選中一男一女同學(xué)的概率為，所以B正確；對(duì)于C中，將一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子，先后拋擲2次，共有36種不同的結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)和為6的有：，共有5種，所以點(diǎn)數(shù)之和是6的概率是,所以C正確;對(duì)于D中，從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是,所以D是正確的.故選：BCD?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用樹狀圖和列舉法求得基本事件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題與解答問題的能力,以及計(jì)算能力。12.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，,點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論正確的是（)A。的方程為B。在上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為C.在上存在點(diǎn)，使得D。在上存在點(diǎn)，使得【答案】BD【解析】【分析】通過設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),利用,即可求出曲線的軌跡方程，然后假設(shè)曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)BCD選項(xiàng)逐一列出所滿足條件，然后與的軌跡方程聯(lián)立,判斷是否有解,即可得出答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由，得，化簡(jiǎn)得，即，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，由到點(diǎn)的距離為，得，又，聯(lián)立方程可知有解，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，由，得，又，聯(lián)立方程可知無解，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，由，得，又,聯(lián)立方程可知有解,故D選項(xiàng)正確。故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡方程的求解，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬中檔題.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分)13。某產(chǎn)品分一、二、三級(jí)，其中只有一級(jí)品是正品．若生產(chǎn)中出現(xiàn)二級(jí)品的概率0。02,出現(xiàn)三級(jí)品的概率為0。01,則出現(xiàn)正品的概率為______．【答案】0。97【解析】【分析】直接利用概率和為1計(jì)算得到答案.【詳解】出現(xiàn)正品的概率為.故答案為：0。97。【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.14。已知為正實(shí)數(shù)且，則的最小值為______．【答案】9【解析】【分析】所求的式子中

“1"用代入，用基本不等式，即可求解。【詳解】解：，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)最小值為。故答案為：9.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值。合理運(yùn)用條件等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。15。在平面直角坐標(biāo)系中，已知過點(diǎn)的圓和直線相切，且圓心在直線上,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥吭O(shè)出圓心和半徑，根據(jù)點(diǎn)在圓上且直線與圓相切列方程組，解方程組求得圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】根據(jù)題意，圓心在直線上，則設(shè)圓心為，半徑為，又由圓過點(diǎn)且與直線相切,則有，解可得：，則圓的方程為.故答案:【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的計(jì)算，關(guān)鍵是求出圓的圓心以及半徑，屬于基礎(chǔ)題。16。在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(3，0）在圓C：(x－m）2＋（y－2）2＝40內(nèi)，動(dòng)直線AB過點(diǎn)P且交圓C于A，B兩點(diǎn)，若△ABC的面積的最大值為20，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】（－3,－1］∪[7，9）【解析】由圓的方程知，圓心C（m，2）,半徑r＝2,所以S△ABC＝r2sin∠ACB＝20sin∠ACB，所以當(dāng)∠ACB＝時(shí)，S△ABC取得最大值20，此時(shí)△ABC為等腰直角三角形,｜AB|＝r＝4，則點(diǎn)C到直線AB的距離為2，所以2≤|PC｜〈2，即2≤<2，解得－3〈m≤－1或7≤m〈9。點(diǎn)睛：與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長(zhǎng)度、面積的最值,求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化．四、解答題（本題共6小題，共70分）17。已知直線l：x＋2y－2＝0。(1）求直線l1:y＝x－2關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2的方程；（2)求直線l關(guān)于點(diǎn)A（1,1）對(duì)稱的直線方程．【答案】(1）7x－y－14＝0；(2)x＋2y－4＝0.【解析】【分析】（1)先求出兩直線的交點(diǎn)P(2，0),再求出，即得直線l2的方程；(2）直線l關(guān)于點(diǎn)A(1，1）對(duì)稱的直線和直線l平行，所以設(shè)所求的直線方程為x＋2y＋m＝0，求出m的值即得解。【詳解】（1）由解得交點(diǎn)P(2，0）．在l1上取點(diǎn)M(0,－2),M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為N(a,b），則，解得,所以，又直線l2過點(diǎn)P（2，0)，所以直線l2的方程為7x－y－14＝0。（2)直線l關(guān)于點(diǎn)A(1,1）對(duì)稱的直線和直線l平行，所以設(shè)所求的直線方程為x＋2y＋m＝0.在l上取點(diǎn)B(0,1)，則點(diǎn)B(0，1)關(guān)于點(diǎn)A（1，1）的對(duì)稱點(diǎn)C（2,1）必在所求的直線上，所以，所以m＝－4,即所求的直線方程為x＋2y－4＝0.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)和直線的對(duì)稱問題，考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平。18。在中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求的大??；(2）若，,求的面積．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角得到，再由三角形內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式有，代入上式化簡(jiǎn)得到求解。（2）根據(jù)，，，利用余弦定理求得,然后代入公式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，，由三角形?nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式可得，，代入上式可得，，所以．因?yàn)?所以，即．由于，所以．(2）因?yàn)?，，所以由余弦定理，?解得或（舍).所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題。19.高三年級(jí)某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，成績(jī)分組區(qū)間為:．其中成等差數(shù)列且．物理成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表．(說明：數(shù)學(xué)滿分150分，物理滿分100分)分組頻數(shù)6920105(1）根據(jù)頻率分布直方圖，請(qǐng)估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分；（2）若數(shù)學(xué)成績(jī)不低于140分的為“優(yōu)",物理成績(jī)不低于90分的為“優(yōu)”，已知本班中至少有一個(gè)“優(yōu)”的同學(xué)總數(shù)為6人，從數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人,求兩人恰好均為物理成績(jī)“優(yōu)"的概率．【答案】（1)117。8分;（2）【解析】【分析】(1）計(jì)算，再利用平均值公式計(jì)算得到答案。（2）計(jì)算得到兩科均為“優(yōu)”的人數(shù)為3人，設(shè)兩科均為“優(yōu)”的同學(xué)為，物理成績(jī)不是“優(yōu)”的同學(xué)為B，列出所有情況，統(tǒng)計(jì)滿足條件的情況，得到概率.【詳解】（1)，解得,故數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分：。(2）數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的同學(xué)有人,物理成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)"有5人,因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)“優(yōu)"的同學(xué)總數(shù)為6名同學(xué)，故兩科均為“優(yōu)"的人數(shù)為3人.設(shè)兩科均為“優(yōu)”的同學(xué)為，物理成績(jī)不是“優(yōu)”的同學(xué)為B，則從4人中隨機(jī)抽取2人的所有情況有：，符合題意的情況有：,故兩人恰好均為物理成績(jī)“優(yōu)”的概率?！军c(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖，概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力。20。（1）已知,求最大值及取最大值時(shí)的值；（2）若對(duì)一切，均有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1)，；（2）【解析】【分析】（1)由基本不等式可得即可求出最大值及此時(shí)的值；（2)不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，參變分離得對(duì)恒成立，通過設(shè)對(duì)其進(jìn)行整理變形為，結(jié)合基本不等式，即可求出最值，從而可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1）因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以當(dāng)時(shí)，取最大值是．（2）不等式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立,設(shè),則,，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以.所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求最值，考查了不等式恒成立問題.對(duì)于第二問，關(guān)鍵是參變分離后，對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形,這個(gè)也是本題的難點(diǎn)。若恒成立，即說明小于等于函數(shù)的最小值；若恒成立，即說明大于等于函數(shù)的最大值.21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與圓O：相切．（1）直線l過點(diǎn)(2，1）且截圓O所得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程；（2）已知直線y＝3與圓O交于A,B兩點(diǎn)，P是圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，且直線AP，BP與y軸相交于M，N點(diǎn)．判斷點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)之積是否為定值?若是,求出該定值；若不是,說明理由．【答案】(1）或；(2)見解析.【解析】【分析】（1）記圓心到直線l的距離為d，利用垂徑定理求得d．當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l的方程為x=2，滿足題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y﹣1=k（x﹣2），利用圓心到直線的距離列式求得k,則直線方程可求;（2）設(shè)P（x1，y1），由直線y=3與圓O交于A、B兩點(diǎn)，不妨取A（1，3),B（﹣1，3）,分別求出直線PA、PB的方程，進(jìn)一步得到M,N的坐標(biāo)，由P在圓上，整體運(yùn)算可得為定值．【詳解】∵直線x﹣3y﹣10=0與圓O:x2+y2=r2（r＞0)相切，∴圓心O到直線x﹣3y﹣10=0的距離為r=．（1）記圓心到直線l的距離為d，∴d=．當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l的方程為x=2，滿足題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y﹣1=k(x﹣2），即kx﹣y+（1﹣2k）=0．∴,解得k=﹣,此時(shí)直線l的方程為3x+4y﹣10=0．綜上，直線l的方程為x=2或3x+4y﹣10=0;（2)點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)之積為定值10．設(shè)P（x1，y1），∵直線y=3與圓O交于A、B兩點(diǎn)，不妨取A（1，3），B（﹣1,3），∴直線PA、PB的方程分別為y﹣3=，y﹣3=．令x=0，得M（0，），N(0，)