專訓2三角形的三種重要線段的應用

./專訓2三角形的三種重要線段的應用名師點金：三角形的高、中線和角平分線是三角形中三種重要的線段,它們提供了重要的線段或角的關系,為我們以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的幫助作用,因此,我們需要從不同的角度認識這三種線段．三角形的高的應用eq\a\vs4\al<類型1：>找三角形的高1．如圖,已知AB⊥BD于點B,AC⊥CD于點C,AC與BD交于點E,則△ADE的邊DE上的高為________,邊AE上的高為________．<第1題>eq\a\vs4\al<類型2：>作三角形的高2．<動手操作題]畫出圖中△ABC的三條高．<要標明字母,不寫畫法><第2題>eq\a\vs4\al<類型3：>求與高相關線段的問題3．如圖,在△ABC中,BC＝4,AC＝5,若BC邊上的高AD＝4.求：<1>△ABC的面積及AC邊上的高BE的長；<2>AD∶BE的值．<第3題>eq\a\vs4\al<類型4：>證與高相關線段和的問題4．如圖,在△ABC中,AB＝AC,DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC,垂足分別為點E,F,G.求證：DE＋DF＝BG.<第4題>eq\a\vs4\al<類型5：>求與高有關的面積5．[2016·XX]如圖,△ABC的面積為16,點D是BC邊上一點,且BD＝eq\f<1,4>BC,點G是AB邊上一點,點H在△ABC內(nèi)部,且四邊形BDHG是平行四邊形．則圖中陰影部分的面積是<>A．3B．4C．5D．6<第5題><第6題><第7題>三角形的中線的應用eq\a\vs4\al<類型1：>求與中線相關線段的問題6．如圖,AE是△ABC的中線,已知EC＝4,DE＝2,則BD的長為<>A．2B．3C．4D．67．如圖,已知BE＝CE,ED為△EBC的中線,BD＝8,△AEC的周長為24,則△ABC的周長為<>A．40B．46C．50D．568．在等腰三角形ABC中,AB＝AC,一腰上的中線BD將這個三角形的周長分成15cm和6cm兩部分,求這個等腰三角形的三邊長．eq\a\vs4\al<類型2：>求與中線相關的面積問題9．操作與探索：在圖①～③中,△ABC的面積為a.<第9題><1>如圖①,延長△ABC的邊BC到點D,使CD＝BC,連接DA,若△ACD的面積為S1,則S1＝________<用含a的式子表示>；<2>如圖②,延長△ABC的邊BC到點D,延長邊CA到點E,使CD＝BC,AE＝CA,連接DE,若△DEC的面積為S2,則S2＝________<用含a的式子表示>,請說明理由；<3>如圖③,在圖②的基礎上延長AB到點F,使BF＝AB,連接FD,FE,得到△DEF,若陰影部分的面積為S3,則S3＝________<用含a的式子表示>．三角形的角平分線的應用eq\a\vs4\al<類型1：>三角形角平分線定義的直接應用10．<1>如圖,在△ABC中,D,E,F是邊BC上的三點,且∠1＝∠2＝∠3＝∠4,以AE為角平分線的三角形有______________________；<2>如圖,已知AE平分∠BAC,且∠1＝∠2＝∠4＝15°,計算∠3的度數(shù),并說明AE是△DAF的角平分線．<第10題>eq\a\vs4\al<類型2：>三角形的角平分線與高相結(jié)合求角的度數(shù)11．如圖,在△ABC中,AD是高,AE是∠BAC的平分線,∠B＝20°,∠C＝60°,求∠DAE的度數(shù)．<第11題>eq\a\vs4\al<類型3：>求三角形兩內(nèi)角平分線的夾角度數(shù)12．如圖,在△ABC中,BE,CD分別為其角平分線且交于點O.<1>當∠A＝60°時,求∠BOC的度數(shù)；<2>當∠A＝100°時,求∠BOC的度數(shù)；<3>當∠A＝α時,求∠BOC的度數(shù)．<第12題>答案1．AB；DC2．解：如圖．<第2題>3．解：<1>S△ABC＝eq\f<1,2>BC·AD＝eq\f<1,2>×4×4＝8.因為S△ABC＝eq\f<1,2>AC·BE＝eq\f<1,2>×5×BE＝8,所以BE＝eq\f<16,5>.<2>AD∶BE＝4∶eq\f<16,5>＝eq\f<5,4>.4．證明：連接AD,因為S△ABC＝S△ABD＋S△ADC,所以eq\f<1,2>AC·BG＝eq\f<1,2>AB·DE＋eq\f<1,2>AC·DF.又因為AB＝AC,所以DE＋DF＝BG.點撥："等面積法"是數(shù)學中很重要的方法,而在涉及垂直的線段的關系時,常將線段的關系轉(zhuǎn)化為面積的關系來解決．5．B點撥：設△ABC的邊BC上的高為h,△AGH的邊GH上的高為h1,△CGH的邊GH上的高為h2,則有h＝h1＋h2.S△ABC＝eq\f<1,2>BC·h＝16,S陰影＝S△AGH＋S△CGH＝eq\f<1,2>GH·h1＋eq\f<1,2>GH·h2＝eq\f<1,2>GH·<h1＋h2>＝eq\f<1,2>GH·h.∵四邊形BDHG是平行四邊形,且BD＝eq\f<1,4>BC,∴GH＝BD＝eq\f<1,4>BC.∴S陰影＝eq\f<1,4>×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>BC·h>>＝eq\f<1,4>S△ABC＝4.故選B.6．A7．A點撥：因為△AEC的周長為24,所以AE＋CE＋AC＝24.又因為BE＝CE,所以AE＋BE＋AC＝AB＋AC＝24.又因為ED為△EBC的中線,所以BC＝2BD＝2×8＝16.所以△ABC的周長為AB＋AC＋BC＝24＋16＝40.故選A.8．解：設AD＝CD＝xcm,則AB＝2xcm,BC＝<21－4x>cm.依題意,有AB＋AD＝15cm或AB＋AD＝6cm,則有2x＋x＝15或2x＋x＝6,解得x＝5或x＝2.當x＝5時,三邊長為10cm,10cm,1cm；當x＝2時,三邊長為4cm,4cm,13cm,而4＋4＜13,故不成立．所以這個等腰三角形的三邊長為10cm,10cm,1cm.9．解：<1>a<2>2a理由：連接AD,由題意可知S△ABC＝S△ACD＝S△AED＝a,所以S△DEC＝2a,即S2＝2a.<3>6a10．解：<1>△ABC和△ADF<2>因為AE平分∠BAC,所以∠BAE＝∠CAE.又因為∠1＝∠2＝15°,所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.所以∠CAE＝∠BAE＝30°,即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.又因為∠4＝15°,所以∠3＝15°.所以∠2＝∠3.所以AE是△DAF的角平分線．11．解：在△ABC中,∠B＝20°,∠C＝60°,所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－20°－60°＝100°.又因為AE是∠BAC的平分線,所以∠BAE＝eq\f<1,2>∠BAC＝eq\f<1,2>×100°＝50°.在△ABD中,∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°.又因為AD是高,所以∠BDA＝90°,所以∠BAD＝180°－∠B－∠BDA＝180°－20°－90°＝70°.所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°.點撥：靈活運用三角形內(nèi)角和為180°,結(jié)合三角形的高及角平分線是求有關角的度數(shù)的常用方法．12．解：<1>因為∠A＝60°,所以∠ABC＋∠ACB＝120°.因為BE,CD為△ABC的角平分線,所以∠EBC＝eq\f<1,2>∠ABC,∠DCB＝eq\f<1,2>∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝eq\f<1,2>∠ABC＋eq\f<1,2>∠ACB＝eq\f<1,2><∠ABC＋∠ACB>＝60°,所以∠BOC＝180°－<∠EBC＋∠DCB>＝180°－60°＝120°.<2>因為∠A＝100°,所以∠ABC＋∠ACB＝80°.因為BE,CD為△ABC的角平分線,所以∠EBC＝eq\f<1,2>∠ABC,∠DCB＝eq\f<1,2>∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝eq\f<1,2>∠ABC＋eq\f<1,2>∠ACB＝eq\f<1,2><∠ABC＋∠ACB>＝40°,所以∠BOC＝180°－<∠EBC＋∠DCB>＝180°－40°＝140°.<3>因為∠A＝α,所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.因為BE,CD為△ABC的角平分線,所以∠EBC＝eq\f<1,2>∠ABC,∠DCB＝eq\f<1,2>∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝eq\f<1,2>∠ABC＋eq\f<1,2>∠AC