2023年高考數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺演練專題05 圓錐曲線大題壓軸練（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺演練【一專三練】專題05圓錐曲線大題壓軸練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）1．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知點，點和點為橢圓上不同的三個點.當(dāng)點，點B和點C為橢圓的頂點時，△ABC恰好是邊長為2的等邊三角形.(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為原點，且滿足，求的面積.2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切.(1)求C的方程；(2)直線：與C相交于A，B兩點，過C上的點P作x軸的平行線交線段AB于點Q，直線OP的斜率為（O為坐標(biāo)原點），△APQ的面積為.的面積為，若，判斷是否為定值？并說明理由.3．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知分別為橢圓的左、右焦點，橢圓E的離心率為，過且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓E交于A，B兩點，的周長為8．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過且與垂直的直線與橢圓E交于C，D兩點，求四邊形ACBD面積的最小值．4．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C以為漸近線，其上焦點F坐標(biāo)為.(1)求雙曲線C的方程；(2)不平行于坐標(biāo)軸的直線l過F與雙曲線C交于兩點，的中垂線交y軸于點T，問是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.5．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過橢圓E的左焦點作直線l與橢圓E相交于A，B兩點（點A在x軸上方），過點A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點M，求的最大值．6．（2023·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知A，B是橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱的兩點，點，連結(jié)DA并延長交C于點M，連結(jié)DB交C于點N．(1)若A為線段DM的中點，求點A的坐標(biāo)；(2)設(shè)，的面積分別為，若，求線段OA的長．7．（2023·遼寧·哈爾濱三中校聯(lián)考一模）已知雙曲線C：過點，且漸近線方程為.(1)求雙曲線C的方程；(2)如圖，過點的直線l交雙曲線C于點M、N.直線MA、NA分別交直線于點P、Q，求的值.8．（2023·江蘇·二模）如圖，過軸左側(cè)的一點作兩條直線分別與拋物線交于和四點，并且滿足，．(1)設(shè)的中點為，證明垂直于軸(2)若是雙曲線左支上的一點，求面積的最小值．9．（2023·河北邢臺·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線過點，且與的兩個頂點連線的斜率之和為4．(1)求的方程；(2)過點的直線與雙曲線交于，兩點（異于點）．設(shè)直線與軸垂直且交直線于點，若線段的中點為，證明：直線的斜率為定值，并求該定值．10．（2023·山東·日照一中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，斜率為的直線l與雙曲線C交于兩點，點在雙曲線C上，且.(1)求的面積；(2)若（O為坐標(biāo)原點），點，記直線的斜率分別為，問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.11．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的焦距為，離心率為，直線與交于不同的兩點.(1)求的方程；(2)設(shè)點，直線與分別交于點.①判段直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點.請說明理由：②記直線的傾斜角分別為，當(dāng)取得最大值時，求直線的方程.12．（2023·山東·河北衡水中學(xué)統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點到點的距離與到直線的距離之比為．(1)求點的軌跡的方程；(2)過點且斜率為的直線與交于A，B兩點，與軸交于點，線段AB的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．13．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的右頂點為A，左焦點為F，過點F作斜率不為零的直線l交橢圓于兩點，連接，分別交直線于兩點，過點F且垂直于的直線交直線于點R．(1)求證：點R為線段的中點；(2)記，，的面積分別為，，，試探究：是否存在實數(shù)使得？若存在，請求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．14．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知雙曲線：的離心率為，直線：與雙曲線C僅有一個公共點.(1)求雙曲線的方程(2)設(shè)雙曲線的左頂點為，直線平行于，且交雙曲線C于M，N兩點，求證：的垂心在雙曲線C上.15．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知橢圓，的上、下頂點是，，左，右頂點是，，點在橢圓內(nèi)，點在橢圓上，在四邊形中，若，，且四邊形面積的最大值為．(1)求的值．(2)已知直線交橢圓于，兩點，直線與交于點，證明：當(dāng)變化時，存在不同于的定點，使得．16．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，橢圓上的點與點的距離的最大值為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點在直線上，點關(guān)于軸的對稱點為，直線分別交橢圓于兩點（不同于點）.求證：直線過定點.17．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知橢圓方程為，過橢圓的的焦點分別做軸的垂線與橢圓交于四點，依次連接這四個點所得的四邊形恰好為正方形.(1)求該橢圓的離心率.(2)若橢圓的頂點恰好是雙曲線焦點，橢圓的焦點恰好是雙曲線頂點，設(shè)橢圓的焦點，雙曲線的焦點為與的一個公共點，記，，求的值.18．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）已知點，點分別為橢圓的左?右頂點，直線交于點是等腰直角三角形，且.(1)過橢圓的上頂點引兩條互相垂直的直線，記上任一點到兩直線的距離分別為，求的最大值；(2)過點且斜率不為零的直線與橢圓相交于兩點試問：是否存在軸上的定點，使得.若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.19．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線的右焦點為，F(xiàn)到其中一條漸近線的距離為2.(1)求雙曲線C的方程；(2)過F的直線交曲線C于A，B兩點（其中A在第一象限），交直線于點M，（i）求的值；（ii）過M平行于OA的直線分別交直線OB、x軸于P，Q，證明：.20．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）設(shè)雙曲線的右焦點為，右焦點到雙曲線的漸近線的距離為．(1)求雙曲線的方程；(2)若，點在線段上（不含端點），過點分別作雙曲線兩支的切線，切點分別為．連接，并過的中點分別作雙曲線兩支的切線，切點分別為，求面積的最小值．21．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的短軸長為2，離心率為．點，直線：．(1)證明：直線與橢圓相交于兩點，且每一點與的連線都是橢圓的切線；(2)若過點的直線與橢圓交于兩點，與直線交于點，求證：．22．（2023·江蘇南通·二模）已知橢圓的離心率為，焦距為，過的左焦點的直線與相交于、兩點，與直線相交于點．(1)若，求證：；(2)過點作直線的垂線與相交于、兩點，與直線相交于點．求的最大值．23．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線，點為拋物線焦點.過點作一條斜率為正的直線l從下至上依次交拋物線于點與點，過點作與l斜率互為相反數(shù)的直線分別交x軸和拋物線于、.(1)若直線斜率為k，證明拋物線在點處切線斜率為；(2)過點作直線分別交x軸和拋物線于、，過點作直線分別交x軸和拋物線于、，且，直線斜率與直線斜率互為相反數(shù).證明數(shù)列為等差數(shù)列.24．（2023·河北·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）橢圓的上、下頂點分別為A，B.在橢圓上任取兩點C，D，直線斜率存在且不過A，B.交于，交于，直線交y軸于R，直線交x軸于，直線交x軸于.(1)若a，b為已知量，求；(2)分別作，于E，F(xiàn)，求.25．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為軸、軸，且點和點在橢圓上，橢圓的左頂點與拋物線的焦點的距離為.(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)直線與拋物線變于兩點，與橢圓交于兩點.（?。┤?，拋物線在點處的切線交于點，求證：；（ⅱ）若，是否存在定點，使得直線的傾斜角互補?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.26．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知曲線，直線與曲線交于軸右側(cè)不同的兩點．(1)求的取值范圍；(2)已知點的坐標(biāo)為，試問：的內(nèi)心是否恒在一條定直線上？若是，請求出該直線方程；若不是，請說明理由．27．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)點A為雙曲線的左頂點,直線l經(jīng)過點,與C交于不與點A重合的兩點P,Q．(1)求直線的斜率之和;(2)設(shè)在射線上的點R滿足,求直線的斜率的最大值．28．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知橢圓C：的上頂點為B，O為坐標(biāo)原點，為橢圓C的長軸上的一點，若，且△OPB的面積為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓C與x軸負半軸交于點A，過點A的直線AM，AN分別與橢圓C交于M，N兩點，直線AM，AN的斜率分別為，，且，求證：直線MN過定點，并求出該定點坐標(biāo)，求出△AMN面積的最大值．29．（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？家荒＃┮阎p曲線的一個焦點為為坐標(biāo)原點，過點作直線與一條漸近線垂直，垂足為，與另一條漸近線相交于點，且都在軸右側(cè)，(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的右支相切，切點為與直線交于點，試探究以線段為直徑的圓是否過軸上的定點.30．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知點分別是雙曲線的左右焦點，過的直線交雙曲線右支于兩點，點在第一象限．(1)求點橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)線段交圓于點，記的面積分別為，求的最小值．2023年高考數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺演練【一專三練】專題05圓錐曲線大題壓軸練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）1．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知點，點和點為橢圓上不同的三個點.當(dāng)點，點B和點C為橢圓的頂點時，△ABC恰好是邊長為2的等邊三角形.(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為原點，且滿足，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）分點，點和點中有兩個點為上頂點和下頂點和點，點和點中有兩個點為左頂點和右頂點兩種情況，求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)出，考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，求出弦長，進而利用點到直線距離求出面積.【詳解】（1）當(dāng)點，點和點為橢圓的頂點時，恰好構(gòu)成邊長為2的等邊三角形，①當(dāng)點，點和點中有兩個點為上頂點和下頂點，一個點為左頂點或右頂點時，不妨設(shè)點，點為上頂點和下頂點，點為右頂點，此時，，②當(dāng)點，點和點中有一個點為上頂點或下頂點，兩個點為左頂點和右頂點，不妨設(shè)點，點為左頂點和右頂點，點為上頂點，此時，（舍去），所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，因為，所以，①當(dāng)直線斜率不存在時，即，則，因為點在橢圓上，所以，則有，所以，點到的距離為，此時.②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得消去整理得，滿足，由韋達定理得，所以，所以，又因為點在橢圓上，所以，化簡得，所以，所以點到直線的距離，所以綜上所述，的面積為.【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線相交，設(shè)交點為，則弦長公式為：或.2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切.(1)求C的方程；(2)直線：與C相交于A，B兩點，過C上的點P作x軸的平行線交線段AB于點Q，直線OP的斜率為（O為坐標(biāo)原點），△APQ的面積為.的面積為，若，判斷是否為定值？并說明理由.【答案】(1)；(2)是定值，.【分析】（1）利用橢圓離心率及圓的切線性質(zhì)，建立關(guān)于的方程組，解方程組作答.（2）由給定的面積關(guān)系可得直線PQ平分，進而可得直線的斜率互為相反數(shù)，再聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計算判斷作答.【詳解】（1）由橢圓的離心率為得：，即有，由以C的短軸為直徑的圓與直線相切得：，聯(lián)立解得，所以C的方程是.（2）為定值，且，因為，則，因此，而，有，于是平分，直線的斜率互為相反數(shù)，即，設(shè)，由得，，即有，而，則，即于是，化簡得：，且又因為在橢圓上，即，即，，從而，，又因為不在直線上，則有，即，所以為定值，且.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．3．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知分別為橢圓的左、右焦點，橢圓E的離心率為，過且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓E交于A，B兩點，的周長為8．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過且與垂直的直線與橢圓E交于C，D兩點，求四邊形ACBD面積的最小值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)題意得到，結(jié)合橢圓的定義求得，再由，求得，即可求得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，，利用弦長公式求得，再由由直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，，求得，進而得出四邊形的面積，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，橢圓的離心率為，可得，又由橢圓的定義，可知，所以，所以，又因為，所以，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：設(shè)，直線的方程為，由，整理得，則有，，故，又由直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，則有，，則，所以四邊形的面積：，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，綜上，四邊形ACBD面積的最小值為．【點睛】方法技巧：求解圓錐曲線的最值問題的解答策略與技巧：1、幾何方法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；2、代數(shù)方法：當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.4．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C以為漸近線，其上焦點F坐標(biāo)為.(1)求雙曲線C的方程；(2)不平行于坐標(biāo)軸的直線l過F與雙曲線C交于兩點，的中垂線交y軸于點T，問是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)為定值【分析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線可設(shè)雙曲線方程為，利用焦點坐標(biāo)，求得，即得答案.（2）設(shè)直線方程并聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，求得，以及的中點坐標(biāo)，求出的中垂線方程可得T點坐標(biāo)，繼而求得，化簡即可得結(jié)論.【詳解】（1）因為雙曲線C以為漸近線，設(shè)雙曲線方程為，即,∵，∴，即：，∴，∴，即.,所以雙曲線C的方程為：.（2）由題意可知直線l一定有斜率存在，設(shè)直線l：，，，，化簡得：，，此方程的兩根為，則，∴.，中點M坐標(biāo)為，即，∴PQ中垂線方程為：，令，∴，∴，則，∴，即為定值，定值為.【點睛】難點點睛：解答此類直線和雙曲線的位置關(guān)系類題目，涉及到定值問題，要設(shè)出直線方程并聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式進行化簡，解答的難點是計算比較復(fù)雜，計算量較大，比如計算弦長或者其他線段長度，計算要十分細心.5．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過橢圓E的左焦點作直線l與橢圓E相交于A，B兩點（點A在x軸上方），過點A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點M，求的最大值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)出直線方程，由韋達定理法及導(dǎo)數(shù)法求得兩切線方程，即可聯(lián)立兩切線方程解得交點M，再由弦長公式及兩點距離公式表示出，進而討論最值.【詳解】（1）由題意得，所以，即橢圓方程為；（2）當(dāng)直線l斜率為0時，A，B分別為橢圓的左右頂點，此時切線平行無交點．故設(shè)直線l：，由，得．，，.不妨設(shè)在x軸上方，則在x軸下方．橢圓在x軸上方對應(yīng)方程為，，則A處切線斜率為，得切線方程為，整理得.同理可得B處的切線方程為．由得，代入①得，所以．因為，所以設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最大值是2．另解：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：，由得，所以，，，橢圓在x軸上方的部分方程為，，則過的切線方程為，即，同理可得過的切線方程為.由得設(shè)，則，所以直線l的方程為，所以.，令，則，所以，當(dāng)時，即時，取得最大值，為2．【點睛】直線與圓錐曲線問題，一般設(shè)出直線，聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，結(jié)合韋達定理表示出所求的內(nèi)容，進而進行進一步討論.6．（2023·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知A，B是橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱的兩點，點，連結(jié)DA并延長交C于點M，連結(jié)DB交C于點N．(1)若A為線段DM的中點，求點A的坐標(biāo)；(2)設(shè)，的面積分別為，若，求線段OA的長．【答案】(1)(2)【分析】(1)由于A是M，D的中點，設(shè)，由此推出M的坐標(biāo)，再根據(jù)A，M都在橢圓上，代入橢圓方程即可求解；(2)設(shè)直線DA的方程，再根據(jù)A，B的對稱性設(shè)DB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出M，N點的坐標(biāo)與A，B點坐標(biāo)的關(guān)系，將面積之比問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比問題.【詳解】（1）設(shè)，∴由A，M均在橢圓C上，∴，解得，，∴；（2）設(shè)DA方程為，，，，得，，∴，∴．同理∴，∴，∴；而，∴【點睛】本題的難點在于要將面積之比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比，這個思路是在解題的開始時就應(yīng)該產(chǎn)生的，后面的步驟只是這個思路的具體執(zhí)行.7．（2023·遼寧·哈爾濱三中校聯(lián)考一模）已知雙曲線C：過點，且漸近線方程為.(1)求雙曲線C的方程；(2)如圖，過點的直線l交雙曲線C于點M、N.直線MA、NA分別交直線于點P、Q，求的值.【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)漸近線方程設(shè)雙曲線C的方程為，代入點，運算求解即可得結(jié)果；（2）設(shè)，根據(jù)題意求點的坐標(biāo)，結(jié)合韋達定理證明，即可得結(jié)果，注意分類討論直線是否與軸垂直.【詳解】（1）∵雙曲線C的漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線C的方程為，代入點，即，故雙曲線C的方程為.（2）由雙曲線C的方程為的方程可得，由題意可得點，則有：當(dāng)直線l與軸垂直時，則，可得直線，令，則，即點，同理可得：點，故，即；當(dāng)直線l不與軸垂直時，設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得直線，令，則，即點，同理可得：點，∵，即點關(guān)于x軸對稱，故，即；綜上所述：的值為1.【點睛】方法定睛：求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．8．（2023·江蘇·二模）如圖，過軸左側(cè)的一點作兩條直線分別與拋物線交于和四點，并且滿足，．(1)設(shè)的中點為，證明垂直于軸(2)若是雙曲線左支上的一點，求面積的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）設(shè)出相關(guān)點坐標(biāo)，結(jié)合向量關(guān)系，證得點、縱坐標(biāo)相等，從而得證；（2）根據(jù)向量關(guān)系得，又結(jié)合點在雙曲線上表示出面積表達式，根據(jù)函數(shù)思想求出最小值．【詳解】（1）設(shè)，，，，則由，，，，可得，．由點都在拋物線上可得化簡可得，同理可得，故，可視為二次方程的兩根，由韋達定理可得，故，由此可得垂直于軸.（2）由（1）可得，；由，知，又是雙曲線左支上的一點，可得且，則，又當(dāng)時，，因此，當(dāng)時取最小值為．9．（2023·河北邢臺·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線過點，且與的兩個頂點連線的斜率之和為4．(1)求的方程；(2)過點的直線與雙曲線交于，兩點（異于點）．設(shè)直線與軸垂直且交直線于點，若線段的中點為，證明：直線的斜率為定值，并求該定值．【答案】(1)(2)證明見解析，定值為2【分析】（1）由與的兩個頂點連線的斜率之和為4得出，再將代入的方程得出的方程；（2）聯(lián)立直線和雙曲線方程結(jié)合韋達定理得出，再由點坐標(biāo)得出，最后由結(jié)合證明直線的斜率為定值.【詳解】（1）雙曲線的兩頂點為，所以，，即，將代入的方程可得，，故的方程為．（2）依題意，可設(shè)直線，，．與聯(lián)立，整理得，所以，，解得，且，，，所以．（*）又，所以的坐標(biāo)為，由可得，，從而可得的縱坐標(biāo)，將（*）式代入上式，得，即．所以，，將（*）式代入上式，得．【點睛】關(guān)鍵點睛：在解決問題二時，關(guān)鍵在于利用韋達定理得出，建立的關(guān)系，從而得出點的坐標(biāo)，由此得出.10．（2023·山東·日照一中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，斜率為的直線l與雙曲線C交于兩點，點在雙曲線C上，且.(1)求的面積；(2)若（O為坐標(biāo)原點），點，記直線的斜率分別為，問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)為定值.·【分析】（1）設(shè)，根據(jù)兩點間長度得出與，即可根據(jù)已知列式解出，即可得出答案；（2）根據(jù)第一問得出雙曲線的方程，設(shè)，直線l的方程為，根據(jù)韋達定理得出，即可根據(jù)直線方程得出與，則根基兩點斜率公式得出，化簡代入即可得出答案.【詳解】（1）依題意可知，，則，，又，所以，解得（舍去），又，所以，則，所以的面積.（2）由（1）可，解得，所以雙曲線C的方程為，設(shè)，則，則，，設(shè)直線l的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立，消去y得：，由，得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，所以，，則，故為定值.·11．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的焦距為，離心率為，直線與交于不同的兩點.(1)求的方程；(2)設(shè)點，直線與分別交于點.①判段直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點.請說明理由：②記直線的傾斜角分別為，當(dāng)取得最大值時，求直線的方程.【答案】(1)(2)①過定點，定點，②【分析】（1）由題意得，解方程即可得出答案.（2）①設(shè)，，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到韋達定理結(jié)合直線的方程表示出點的坐標(biāo)，即可求出直線的方程，即可證明直線定點；②由分析知，當(dāng)取得最大值時，取得最大值，由兩角差的正切公式結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】（1）由題意得，解得，所以，所以的方程為.（2）①由題意得整理得，設(shè)，，直線的方程為，代入整理得，，設(shè)，則，所以，，即，同理.，所以直線的方程為，即，所以直線過定點.②因為，所以與正負相同，且，所以，當(dāng)取得最大值時，取得最大值.由時，；所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，取得最大值，取得最大值，此時直線的方程為.12．（2023·山東·河北衡水中學(xué)統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點到點的距離與到直線的距離之比為．(1)求點的軌跡的方程；(2)過點且斜率為的直線與交于A，B兩點，與軸交于點，線段AB的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合已知進行求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合橢圓弦長公式、對勾函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】（1）設(shè)，由題意，因為，所以，即，兩邊平方并整理得．故點的軌跡的方程為；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消并整理得，，顯然，設(shè)，，則，，又，可得線段中點坐標(biāo)為，所以線段中垂線的方程為，令，可得，對于直線，令，可得，所以又，所以，令，則，因為在上單調(diào)遞增，所以，故．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.13．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的右頂點為A，左焦點為F，過點F作斜率不為零的直線l交橢圓于兩點，連接，分別交直線于兩點，過點F且垂直于的直線交直線于點R．(1)求證：點R為線段的中點；(2)記，，的面積分別為，，，試探究：是否存在實數(shù)使得？若存在，請求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析.(2)存在，.【分析】（1）設(shè)設(shè)，，，聯(lián)立橢圓方程，可得根于系數(shù)的關(guān)系式，表示出的坐標(biāo)，計算；繼而求出直線的方程，求得點坐標(biāo)，即可證明結(jié)論；（2）利用（1）的分析，求得，進而表示出，，計算的結(jié)果，再求得的表達式，即可求得與之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：由題意知，，設(shè)，，，聯(lián)立，得，，則，，直線的方程為，令，得，所以，同理，．所以,直線，令得，所以，則，故點R為線段的中點．（2）由（1）知，，又，所以．由（1）知點R為線段的中點，故，所以．故存在，使得．【點睛】難點點睛：解答直線和圓錐曲線的位置關(guān)系類的題目時，解決問題的思路想法不是很困難，一般利用直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題設(shè)進行化簡求值等，但難點在于計算的復(fù)雜性，以及計算量較大，并且大多為字母參數(shù)的運算，因此要十分細心.14．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知雙曲線：的離心率為，直線：與雙曲線C僅有一個公共點.(1)求雙曲線的方程(2)設(shè)雙曲線的左頂點為，直線平行于，且交雙曲線C于M，N兩點，求證：的垂心在雙曲線C上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由離心率為可得，再聯(lián)立直線與雙曲線利用判別式可得的方程；（2）設(shè)方程，及的坐標(biāo)，由過A引的垂線交C于另一點H，可得點H為.再證即可.【詳解】（1）因為雙曲線的離心率為，所以，即，所以雙曲線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去得，即，因為與雙曲線C僅有一個公共點，所以，解得,故雙曲線的方程為.（2）設(shè)，，則滿足消去得，所以，，如圖所示，過A引的垂線交C于另一點H，則AH的方程為.代入得，即（舍去）或.所以點H為.所以，所以，故為的垂心，得證.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考察直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于壓軸題.先求一條垂線與雙曲線的交點，再證另兩條過交點的直線互相垂直，由此得證，其中化簡斜率關(guān)系是關(guān)鍵，用到了轉(zhuǎn)化及整體消元的思想.15．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知橢圓，的上、下頂點是，，左，右頂點是，，點在橢圓內(nèi)，點在橢圓上，在四邊形中，若，，且四邊形面積的最大值為．(1)求的值．(2)已知直線交橢圓于，兩點，直線與交于點，證明：當(dāng)變化時，存在不同于的定點，使得．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，通過運算得，，從而求出，利用最大值為即可求出的值；（2）先對直線取的特殊情況，通過特殊情況猜測點S在同一直線上，且的方程為，再證明，然后利用對稱性得出定點的坐標(biāo)．【詳解】（1）由已知，，設(shè)，，則因為，，所以，，兩式相減得，代回原式得，因為，所以，又，，因為S的最大值為，所以，得或(舍去)，所以的值為2．（2）由已知有，取，可得，，則直線的方程為，直線的方程為聯(lián)立方程組，可得交點為，若，，由對稱性可知交點，若點S在同一直線上，則直線的方程為，以下證明：對任意的，直線與直線的交點S均在直線：上．由整理得設(shè)，，則，，設(shè)與交于點，由可得，設(shè)與交于點，由，可得，因為，所以，即與重合，所以當(dāng)變化時，點S均在直線上，因為，，所以要使，只需為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性可得點，故存在定點滿足條件．16．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，橢圓上的點與點的距離的最大值為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點在直線上，點關(guān)于軸的對稱點為，直線分別交橢圓于兩點（不同于點）.求證：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率可得，設(shè)點結(jié)合橢圓方程整理得，根據(jù)題意分類討論求得，即可得結(jié)果；（2）設(shè)直線及的坐標(biāo)，根據(jù)題意結(jié)合韋達定理分析運算，注意討論直線的斜率是否存在.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為，得，設(shè)點為橢圓上一點，則，則，因為，所以，①當(dāng)時，，解得（舍去）；②當(dāng)時，，解得；綜上所述：，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①當(dāng)斜率不存在時，設(shè)且，則，則直線為，令，得，即，同理可得.∵與關(guān)于軸對稱，則，解得，矛盾；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，設(shè)，其中且，聯(lián)立方程組，消去化簡可得，，則，所以，由，可得，所以直線的方程為，令，得，即，直線的方程為，令，得，即，因為和關(guān)于軸對稱，則，把代入上式，則，整理可得，則，∵，則，可得，化簡可得，則直線的方程為，即，所以直線過定點；綜上所述：直線過定點.【點睛】方法定睛：過定點問題的兩大類型及解法（1）動直線l過定點問題．解法：設(shè)動直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動直線過定點(－m,0)．（2）動曲線C過定點問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．17．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知橢圓方程為，過橢圓的的焦點分別做軸的垂線與橢圓交于四點，依次連接這四個點所得的四邊形恰好為正方形.(1)求該橢圓的離心率.(2)若橢圓的頂點恰好是雙曲線焦點，橢圓的焦點恰好是雙曲線頂點，設(shè)橢圓的焦點，雙曲線的焦點為與的一個公共點，記，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意列式，構(gòu)造齊次式得，求解即可.（2）聯(lián)立的方程點，再求三邊應(yīng)用余弦定理可得，同理得到，計算可得.【詳解】（1）由題意，，又因為，故，即，解得（舍負）（2）設(shè)橢圓的方程為.由題意知雙曲線的方程為.聯(lián)立的方程，解之得.不失一般性，可設(shè)在第一象限，所以點..同理，.....同理，因為的離心率為，則.的離心率為，則.又，所以.18．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）已知點，點分別為橢圓的左?右頂點，直線交于點是等腰直角三角形，且.(1)過橢圓的上頂點引兩條互相垂直的直線，記上任一點到兩直線的距離分別為，求的最大值；(2)過點且斜率不為零的直線與橢圓相交于兩點試問：是否存在軸上的定點，使得.若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在定點滿足條件，理由見解析.【分析】（1）由條件先求，再求的坐標(biāo)，代入橢圓方程求，可得橢圓方程，由矩形性質(zhì)可得，結(jié)合兩點距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)求的最大值即可；（2）假設(shè)存在軸上的定點滿足條件，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)合條件關(guān)系列方程求即可.【詳解】（1）由是等腰直角三角形，得，.設(shè)，則由，得，代入橢圓方程得，所以橢圓的方程為.由幾何關(guān)系可知：，設(shè)，則且于是當(dāng)時，，的最大值是；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為.假設(shè)存在軸上的定點，使得，即由題意可知直線的斜率不為0，所以可設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程消去得，，且直線的斜率為，直線的斜率為由得：，，即恒成立.解得即存在軸上的定點使得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．19．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線的右焦點為，F(xiàn)到其中一條漸近線的距離為2.(1)求雙曲線C的方程；(2)過F的直線交曲線C于A，B兩點（其中A在第一象限），交直線于點M，（i）求的值；（ii）過M平行于OA的直線分別交直線OB、x軸于P，Q，證明：.【答案】(1)(2)（i）1；（ii）證明見解析【分析】（1）結(jié)合點F到其中一條漸近線的距離為2和，即可求得本題答案；（2）（i）設(shè)AB直線方程為，，得，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消，然后由韋達定理得，，把逐步化簡，即可求得本題答案；（ii）把和的直線方程分別求出，聯(lián)立可得到點的坐標(biāo)，由此即可得到本題答案.【詳解】（1）因為雙曲線其中一條漸近線方程為，又點到它的距離為2，所以，又，得，又因為，所以，所以雙曲線C的方程為.（2）（2）設(shè)AB直線方程為，則，代入雙曲線方程整理得：，設(shè)，則，，（i）而，所以，，則，所以；（ii）過M平行于OA的直線方程為，直線OB方程為與聯(lián)立，得，即，則，所以，由，兩式相除得，，則，所以，因為，所以，故P為線段MQ的中點，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二小題第一問考了如何用表示出來，進而利用韋達定理進行化簡求值，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力以及對復(fù)雜運算的求解能力20．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）設(shè)雙曲線的右焦點為，右焦點到雙曲線的漸近線的距離為．(1)求雙曲線的方程；(2)若，點在線段上（不含端點），過點分別作雙曲線兩支的切線，切點分別為．連接，并過的中點分別作雙曲線兩支的切線，切點分別為，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由焦點坐標(biāo)、右焦點到漸近線的距離和雙曲線關(guān)系可直接求得雙曲線方程；（2）設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立，由可求得；由，可整理得到，同理可得，進而確定方程，利用點差法可證得，結(jié)合弦長公式和點到直線距離公式可表示出，設(shè)，可將表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得最小值.【詳解】（1）雙曲線的右焦點為，；右焦點到雙曲線的漸近線的距離為，雙曲線的漸近線方程為，，解得：，，雙曲線的方程為：.（2）設(shè)，切線，由得：，，解得：，，，，，，即，同理可得：直線；直線與直線交于點，，，點滿足方程，即直線，同理可得：直線，即，點在直線上，，即點在直線上，，，，，，即，直線，由得：，，點到直線的距離為，，令，，，則，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.【點睛】思路點睛：求解直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的三角形面積最值（取值范圍）問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理和點到直線距離表示出所求三角形的面積；④將所求三角形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解出最值（范圍）.21．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的短軸長為2，離心率為．點，直線：．(1)證明：直線與橢圓相交于兩點，且每一點與的連線都是橢圓的切線；(2)若過點的直線與橢圓交于兩點，與直線交于點，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由已知求得橢圓方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，即可證得線與橢圓相交于兩點，設(shè)交點，得直線的方程為，代入橢圓方程，整理成關(guān)于的一元二次方程，即可證明的連線都是橢圓的切線；（2）根據(jù)四點共線，要證即證，設(shè)，不妨設(shè)，則證明轉(zhuǎn)化為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與直線，直線與橢圓，利用坐標(biāo)關(guān)系即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，因此，則橢圓方程為：因為由消去可得，，則該方程有兩個不相等的實根，所以直線與橢圓相交于兩點；設(shè)為直線與橢圓的交點，則，，直線的方程為，即，代入橢圓方程得，所以，整理得，即，所以，故是橢圓的切線.（2）因為四點共線，由（1）可知在線段外，在線段內(nèi)，所以與的方向相同，與的方向相同，要證，只需要，即證，設(shè)，不妨設(shè)，因為四點共線，所以等價于，即，顯然，設(shè)直線的方程為，即，由，可得；由可得，從而可知，因此，所以結(jié)論成立.22．（2023·江蘇南通·二模）已知橢圓的離心率為，焦距為，過的左焦點的直線與相交于、兩點，與直線相交于點．(1)若，求證：；(2)過點作直線的垂線與相交于、兩點，與直線相交于點．求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點、的橫坐標(biāo)，再利用弦長公式可證得成立；（2）分析可知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，則直線方程為，其中，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，結(jié)合弦長公式可得出的表達式，同理可得出的表達式，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】（1）證明：設(shè)、，因為橢圓的焦距為，所以，解得．又因為橢圓的離心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.因為直線經(jīng)過、，，所以，直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，由，得，.

所以，，因此，.（2）證明：若直線、中兩條直線分別與兩條坐標(biāo)軸垂直，則其中有一條必與直線平行，不合乎題意，所以，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，則直線方程為，其中．聯(lián)立可得，設(shè)、，則，由韋達定理可得，，易知且，將代入直線的方程可得，即點，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最大值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．23．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線，點為拋物線焦點.過點作一條斜率為正的直線l從下至上依次交拋物線于點與點，過點作與l斜率互為相反數(shù)的直線分別交x軸和拋物線于、.(1)若直線斜率為k，證明拋物線在點處切線斜率為；(2)過點作直線分別交x軸和拋物線于、，過點作直線分別交x軸和拋物線于、，且，直線斜率與直線斜率互為相反數(shù).證明數(shù)列為等差數(shù)列.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】(1)設(shè)，可用點的坐標(biāo)表示，根據(jù)斜率關(guān)系可得的關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出點處切線斜率，從而可證拋物線在點處切線斜率為；.(2)設(shè)，根據(jù)題設(shè)的共點的直線的斜率關(guān)系可得，從而可證、為等差數(shù)列，故可證為等差數(shù)列.【詳解】（1）設(shè)則，同理.，即，，.當(dāng)時，，所以拋物線在點處切線斜率為，得證.（2）設(shè)，故直線，令，則，故，同理.當(dāng)時，故，當(dāng)時，同理有，因為，故，整理得到：，因此，由可得，故，因此，即為等差數(shù)列，設(shè)其公差為.而，故，其中.又直線，因該直線過，故，解得，故，所以，故，而，故，所以為等差數(shù)列，設(shè)其公差為.故，故當(dāng)時，，該數(shù)為常數(shù).當(dāng)時，，該數(shù)為常數(shù)，而，故，故，故對任意的，為常數(shù)，故數(shù)列為等差數(shù)列.【點睛】思路點睛：解析幾何中的數(shù)列性質(zhì)的研究，要依據(jù)已有的條件構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，再對得到的遞推關(guān)系作消元處理從而得到純粹的單數(shù)列的遞推關(guān)系，這樣便于問題的解決.24．（2023·河北·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）橢圓的上、下頂點分別為A，B.在橢圓上任取兩點C，D，直線斜率存在且不過A，B.交于，交于，直線交y軸于R，直線交x軸于，直線交x軸于.(1)若a，b為已知量，求；(2)分別作，于E，F(xiàn)，求.【答案】(1)(2)1【分析】（1）設(shè)出直線，聯(lián)立直線與拋物線，由韋達定理結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示化簡即可.（2）由（1）結(jié)論可求得，由向量數(shù)量積幾何意義可得，即，結(jié)合幾何關(guān)系可得，則有.【詳解】（1）由題意知，，直線斜率存在且不過A，B，可設(shè)為，，，則有.聯(lián)立方程得，消y得，，則，.直線為，直線為，交于，聯(lián)立得，解得.故.（2）直線為，直線為，交于，聯(lián)立得，則由（1）結(jié)論可得.則有，即，即，故.又，于E，F(xiàn)，故.則有，，則有，故.【點睛】直線與圓錐曲線問題，往往借助韋達定理去表示所求問題，一般難點在于運算.25．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為軸、軸，且點和點在橢圓上，橢圓的左頂點與拋物線的焦點的距離為.(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)直線與拋物線變于兩點，與橢圓交于兩點.（?。┤?，拋物線在點處的切線交于點，求證：；（ⅱ）若，是否存在定點，使得直線的傾斜角互補?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)橢圓；拋物線；(2)（?。┰斠娊馕?；（ⅱ）存在，.【分析】（1）設(shè)橢圓方程，代入兩點坐標(biāo)即可求得結(jié)果；根據(jù)橢圓左頂點和拋物線焦點坐標(biāo)，可構(gòu)造方程求得，進而得到拋物線方程；（2）（ⅰ）聯(lián)立直線與拋物線方程，可得韋達定理的結(jié)論；假設(shè)切線方程，并聯(lián)立求得點坐標(biāo)，再結(jié)合兩點間距離公式求得所證等式中的各個基本量，整理可得結(jié)論；（ⅱ）假設(shè)存在點，由傾斜角互補可知斜率和為，將直線與橢圓方程聯(lián)立，可得韋達定理的結(jié)論；利用兩點連線斜率公式表示出兩直線斜率，根據(jù)斜率和為可構(gòu)造等式，消元整理得到.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為：，和在橢圓上，，解得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；由橢圓方程可知：橢圓的左頂點為，又，，解得：，拋物線的方程為；（2）（?。┊?dāng)時，直線，即，令，則直線，設(shè)，，由得：，則，，，；設(shè)拋物線在點處的切線方程分別為：，，由得：，，又，則，，則；同理可得：；聯(lián)立兩切線方程，將，代入，可解得：，，，又，；同理可得：；，要證，等價于證明，，又，，同理可得：，，即；（ⅱ）當(dāng)時，直線，假設(shè)存在點，使直線的傾斜角互補，則直線的斜率之和為；設(shè)，由得：，，即恒成立，，，，，即，，即，解得：，假設(shè)成立，即存在點，使得直線的傾斜角互補.【點睛】思路點睛：本題考查直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的定點定值問題，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出所求量，將所求量轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的函數(shù)或方程的形式；④化簡所得式子，消元整理即可求得定點或定值.26．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知曲線，直線與曲線交于軸右側(cè)不同的兩點．(1)求的取值范圍；(2)已知點的坐標(biāo)為，試問：的內(nèi)心是否恒在一條定直線上？若是，請求出該直線方程；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)的內(nèi)心恒在一條定直線上，該直線為【分析】（1）聯(lián)立方程，根據(jù)題意結(jié)合韋達定理列式求解；（2）根據(jù)（1）中的韋達定理證明，即可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，由題意可得，解得，故的取值范圍為.（2）內(nèi)心恒在一條定直線上，該直線為，∵，即點在橢圓上，若直線過點，則，解得，即直線不過點，故直線的斜率存在，由（1）可得：，設(shè)直線的斜率分別為，則，∵，即，則的角平分線為，故的內(nèi)心恒在直線上.【點睛】方法定睛：存在性問題求解的思路及策略：(1)思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在；若結(jié)論不正確則不存在．(2)策略：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)法解題很難時，可先由特殊情況探究，再推廣到一般情況．27．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)點A為雙曲線的左頂點,直線l經(jīng)過點,與C交于不與點A重合的兩點P,Q．(1)求直線的斜率之和;(2)設(shè)在射線上的點R滿足,求直線的斜率的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）平移，利用齊次化的方法求解（2