2023年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)真題演練(2021-22年真題)專題17三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式

專題17三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)一：三角函數(shù)基本概念

1.角的概念

(1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；

②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

(2)所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S={/?|/?=h360o+a,kez}.

(3)象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說

這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

(4)象限角的集合表示方法：

第一象限角：{al2A7r<a<2AF+W?，左ez}

象

限第二象限角：{al2A-n-+j<a<2feTT+-ir,AGZ}

角

的

集T第三象限角：{al2AF+F<a<2Ab+^?eZ}]

合

:{al2ATT+等<a?<:2*Tr+2TT?GZ}]

2.弧度制

(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度.正角的弧度

數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180P=/rrad,1°=—rad,lrad=幽

180n

(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：/=,扇形的面積公式：S=g同./.

3.任意角的三角函數(shù)

(1)定義：任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)時(shí)，則sina=y,cosa=x,tana=—(x^O).

x

(2)推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)PP(x,y)是角a終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸到原點(diǎn)。的距

離為r,貝Usina=),cosa=—,tana=—(x^O)

rrx

三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：

第一象第二象限第三象第四象

三角函數(shù)定義域

限符號(hào)符號(hào)限符號(hào)限符號(hào)

sinaR++一一

cosaR+一—+

JI

tana{a|awATT+耳,ZcZ}+—+—

.記憶口訣:三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.

4.三角函數(shù)線

如下圖，設(shè)角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過P作PMLx軸，垂足為M,過A(1,O)作單位圓的切線與a的

終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T.

41」。)W

需XH私0)

\0\力(1,0)爛)、、、/x\T7pJx\(yT\Ux

三角函數(shù)線

(I)D)(ni)(iv)

有向線段MP為正弦線；彳亍向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線

知識(shí)點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1.

(2)商數(shù)關(guān)系：即。=tana(ax2■+力r)；

cosa2

知識(shí)點(diǎn)三：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

公式一二三四五

71萬(wàn)

角2k/r4-a(kGZ)"+a-a7r-a---a——+a

22

正弦sina-sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana-tana-tana

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號(hào)看象限，說明：(1)先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作〃?二土a；

2

(2)無論有多大，一律視為銳角，判斷〃?至±a所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；(3)

2

當(dāng)w為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可.

【方法技巧與總結(jié)】

1.利用sin2a+cos2a=1可以實(shí)現(xiàn)角a的正弦、余弦的互化，利用網(wǎng)q=tana可以實(shí)現(xiàn)角a的弦切互化.

cosa

2.“sina+cosc,sincrcosez,sinor-coscr”方程思想知一求二.

(sina+cosa)2=sin2?+cos2a+2sinacosa=1+sin2a

(sina-cosa)2=sin2a+cos2a-2sinacosa=1-sin2a(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2【題型歸納目錄】

題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別

題型二：等分角的象限問題

題型三：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算

題型四：三角函數(shù)定義題

題型五：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值

題型六：同角求值一條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的

題型七：誘導(dǎo)求值與變形

【典例例題】

題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別

例1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）與角”的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（）

4

,—9九

A.2我4+45°,kE.ZB.-360H----,kE.Z

4

57r

C.A:-360—315°>kE：ZD.k/r——,kwZ

4

【答案】c

【解析】

【分析】

要寫出與今的終邊相同的角，只要在該角上加的整數(shù)倍即可.

【詳解】

首先角度制與弧度制不能混用，所以選項(xiàng)AB錯(cuò)誤；

又與哼97r的終邊相同的角可以寫成2"+Q9（keZ）,

44

所以C正確.

故選：C.

例2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若角。的終邊在直線了=-*上，則角a的取值集合為（)

A.{aa=2%%一2,%ez}B.{aa=2左乃+弓，后ez}

C.{ca=ez}D.|aa=k^-^,Aez}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)若a，尸終邊相同，則/7=24乃+。水€2求解.

【詳解】

解：

5

演…，由圖知，

角?的取值集合為：

a=2k兀+,kez|u|aa=2k兀-%kez|

={aa=（2上+1）萬(wàn)一（,kez}u]aa=2k兀-?,keZ卜牧選：D.

=\aa=-kn~~,k&z\

I4J

【點(diǎn)睛】

本題主要考查終邊相同的角，還考查了集合的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

例3.（2022.上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合

A={a|a=45°+女48（）°/eZ}u{a|a=135°+公18（）°,ZeZ},集合3={用廣=45。+女-夕）。,女wZ},則（）

A.4("|3=0B.ABC.BAD.A^B

【答案】D

【解析】

【分析】

考慮A中角的終邊的位置，再考慮8中角的終邊的位置，從而可得兩個(gè)集合的關(guān)系.

【詳解】

.a=45°+^-l800^GZ表示終邊在直線y=x上的角，

￡=135。+h180。/wZ表示終邊在直線丁=一》上的角，

而/?=45。+h90。/wZ表示終邊在四條射線上的角，

四條射線分別是射線y=x,x*O;y=-x,xMO;y=x,xMO;y=-x,xWO,

它們構(gòu)成直線y=x、直線y=-x,故A=8.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查終邊相同的角，注意公180。+。的終邊與a的終邊的關(guān)系是重合或互為反向延長(zhǎng)線，而上90。+。

的終邊與a的終邊的關(guān)系是重合或互為反向延長(zhǎng)線或相互垂直，本題屬于中檔題.

（多選題）例4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如果角a與角7+45。的終邊相同，角夕與7-45。的終邊相同，

那么a-尸的可能值為（）

A.90°B.360°C.450°D.2330°

【答案】AC

【解析】

根據(jù)終邊相同可得角與角之間的關(guān)系，從而可得a-￡的代數(shù)形式，故可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)榻莂與角y+45。的終邊相同，故a=7+45?k?360。，其中上eZ,

同理夕=7-45。+%「360。，其中匕eZ,

故。一￡=90。+〃―360。，其中”eZ,

當(dāng)〃=0或”=1時(shí)，a-￡=90?；騛-6=450。，故AC正確，

令360。=90。+〃?360。，此方程無整數(shù)解〃；

令2330。=90。+〃?360。即56=9〃，此方程無整數(shù)解〃；

故BD錯(cuò)誤.

故選：AC.

（多選題）例5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下列條件中，能使a和夕的終邊關(guān)于V軸對(duì)稱的是（）

A.a+/?=90°B.a+/?=180°

C.a+/?=A:-360o+90o（^eZ）D.a+/=（2%+180。仕eZ）

【答案】BD

【解析】

【分析】

根據(jù)a和夕的終邊關(guān)于>軸對(duì)稱時(shí)a+4=180。+360。4（左eZ）,逐一判斷正誤即可.

【詳解】

根據(jù)a和p的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)a+尸=180。+360。%（左eZ）可知，

選項(xiàng)B中，。+￡=180。符合題意；選項(xiàng)D中，a+〃=（2&+l）J80o（ZeZ）符合題意；

選項(xiàng)AC中，可取。=0°,￡=90。時(shí)顯然可見a和4的終邊不關(guān)于y軸對(duì)稱.

故選：BD.

例6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）寫出兩個(gè)與-，乃終邊相同的角.

【答案】9，-,（其他正確答案也可）

【解析】

【分析】

利用終邊相同的角的定義求解.

【詳解】設(shè)a是與-日萬(wàn)終邊相同的角，

則。=2%乃———GZ,

令k=1,得。=---,

令2=2,得a=q,

故答案為：J,其他正確答案也可）

【方法技巧與總結(jié)】

（1）終邊相同的角的集合的表示與識(shí)別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決.

（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳角是正

角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角.

題型二：等分角的象限問題

例7.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）若。=上180+45/eZ,則a的終邊在（）

A.第一、三象限B.第一、二象限

C.第二、四象限D(zhuǎn).第三、四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

分k=2〃+l,〃eZ和左=2〃,〃eZ討論可得角的終邊所在的象限.

【詳解】

解：因?yàn)閍=&480+45MeZ,所以

當(dāng)上=2〃+1,”eZ時(shí)，a=2n-180+180+45=?-360°+225°,”eZ,其終邊在第三象限；

當(dāng)左=2〃,”eZ時(shí)，a=2〃J80'+45=〃?360+45',”eZ,其終邊在第一象限.

綜上，a的終邊在第一、三象限.

故選：A.

a

例8.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））角a的終邊屬于第一象限，那么y的終邊不可能屬于的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

rra

【分析】由題意知，2々不＜。＜萬(wàn)+2々不，ksZ,即可得§的范圍，討論％=3〃、=3n+l＞k=3〃+2（〃wZ）

對(duì)應(yīng)年的終邊位置即可.

【詳解】

?.?角a的終邊在第一象限，

,7i7,rmi2kna7i2k冗.—

??215<oc<—H2k孔,&wZ,貝！]---<~—H--------，kGZ、

23363

當(dāng)A=3〃(〃wZ)時(shí)，此時(shí)/的終邊落在第一象限，

Cf

當(dāng)左=3〃+1(〃eZ)時(shí)，此時(shí)y的終邊落在第二象限，

/y

當(dāng)k=3〃+2("eZ)時(shí)，此時(shí)女的終邊落在第三象限，

綜上，角a的終邊不可能落在第四象限，

故選：D.

例9.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))。是第二象限角，則下列選項(xiàng)中一定為負(fù)值的是()

0e

A.sin—B.cos—C.sin23D.cos10

22

【答案】C

【解析】

n

表示出第二象限角的范圍，求出2。和券所在象限，確定函數(shù)值的符號(hào).

【詳解】

因?yàn)?，是第二象限角?/p>

7T

所以2k兀+—<0<2k/r+肛A￡Z,

2

則4攵萬(wàn)-\-7v<26<4k7r+2肛keZ,

所以20為第三或第四象限角或終邊在y軸負(fù)半軸上，，所以sin26ko.

jr07TQ

而乃+],無eZ,■!■是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是負(fù)數(shù).

故選：C.

acta

例10.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知角a第二象限角，且COS]=-COS],則角掾是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【解析】

aaaa

【分析】由a是第二象限角，知春在第一象限或在第三象限，再由cosq=-cos,,知cos}0,由此能

判斷出1所在象限.

【詳解】

因?yàn)榻莂第二象限角，所以90+h360<a<180,+2?360(ZwZ),

所以45+-180<￡<90+hl80（keZ）,

當(dāng)A是偶數(shù)時(shí)，設(shè)々=2〃（〃eZ）,則45+〃?360<§<9（r+〃-360（〃wZ）,

此時(shí)今a為第一象限角；

當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，設(shè)％=2〃+1（/?GZ）,則225+H-360<|<270+小360（〃eZ）,

此時(shí)券a為第三象限角.：

綜上所述：5為第一象限角或第三象限角，

aacict

因?yàn)閏os：=-cos7,所以cos；40,所以；7為第三象限角.

2222

故選：C.

【方法技巧與總結(jié)】

a

先從a的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）上的象限分布圖示.

n

題型三：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算

例H.（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》章給出了弧田面

積的計(jì)算公式.如圖所示，弧田是由圓弧A3及其所對(duì)弦AB圍成的圖形.若弧田的弦A8長(zhǎng)是2,弧所在圓

心角的弧度數(shù)也是2,則弧田的弧A8長(zhǎng)為,弧田的面積為.

【分析】

（1）利用弧長(zhǎng)公式解決，那么需要算出半徑和圓心角；（2）用扇形的面積減去三角形的面積即可.

【詳解】由題意可知：BC=AC=1,AO=*■=」；,OC=WJ=—1,

sin1sm1tan1tan1

]2

所以弧A3長(zhǎng)=2乂士=三，弧用的面枳=S用揚(yáng)皿_,瘀=；x2x-1X2X-L.2

sin1sm1sinl2tanlsin-ltanl

211

故答案為：商

sirr1tan1

例12.（2022?全國(guó)?高考真題（理））沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧

長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，AB是以。為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，。在4B上，“會(huì)

CD2

圓術(shù)”給出A8的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：s=A8+24-.當(dāng)OA=2,NAO8=60°時(shí)，s=()

【答案】B

【解析】

【分析】

連接OC,分別求出A8,oc,CD,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】

解：如圖，連接0C,

因?yàn)镃是48的中點(diǎn)，

所以O(shè)CLAB,

又CDLAB,所以O(shè),C,￡＞三點(diǎn)共線，

即OD=OA=OB=2,

又ZAO3=60°,

所以AB=OA=OB=2,

則。。=6，故CD=2-B

所以i+壽2+?=小.故選:

B.

例13.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚

的底蘊(yùn).按如下方法剪裁，扇面形狀較為美觀.從半徑為，?的圓面中剪下扇形CM3,使剪下扇形0A5后所剩扇

形的弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)的比值為叵型，再?gòu)纳刃?。鉆中剪下扇環(huán)形ABOC制作扇面，使扇環(huán)形ABDC的面積

2

與扇形。鉆的面積比值為避二L則一個(gè)按上述方法制作的扇環(huán)形裝飾品（如圖）的面積與圓面積的比值為

2

【答案】D

【解析】

【分析】

記扇形04B的圓心角為a,扇形。4B的面積為扇環(huán)形的面積為邑，圓的面積為S,根據(jù)扇形面

積公式，弧長(zhǎng)公式，以及題中條件，即可計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

記扇形Q4B的圓心角為a,扇形。鉆的面積為耳，扇環(huán)形ABZX?的面積為邑，圓的面積為S,

由題意可得，S小卜％冬=至1，s=+,

2SI2

所以S2_V~^（石-l）a,因?yàn)榧粝律刃蜵4B后所剩扇形的弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)的比值為苴二1,

S兀14%

所以生W=旦，則”（3-司匹

21rit''

所以星_（石Ta（右T）（3-小卜3亞-5-3+亞=后?

S444〃4

故選：D.

例14.（2022?浙江?赫威斯育才高中模擬預(yù)測(cè)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問

題，現(xiàn)有一個(gè)“圓材埋壁”的模型，其截面如圖所示，若圓柱形材料的底面半徑為1,截面圓圓心為O,墻壁

截面A6C￡＞為矩形，且40=1,則扇形Q4。的面積是.

o

【答案】例n不1

A'D

BC

【解析】

【分析】

計(jì)算N48,再利用扇形的面積公式求解.

【詳解】

由題意可知，圓。的半徑為1,即。4=OD=1,

TV

又AO=1,所以△OAD為正三角形，，NAO￡>=§,

所以扇形QW的面積是5='/*440。=_1乂12*1=3

2236

故答案為：

O

例15.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）炎炎夏日，在古代人們乘涼時(shí)習(xí)慣用的紙疊扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的

扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，扇形A8C的面積S為225/cn?,若BD=2DA,則當(dāng)該

紙疊扇的周長(zhǎng)C最小時(shí)，BD的長(zhǎng)度為cm.

【解析】

【分析】

設(shè)扇形ABC的半徑為rem,弧長(zhǎng)為/cm,根據(jù)扇形A8C的面積S為225/52,由g”=225/得到〃，然

后由紙疊扇的周長(zhǎng)C=2〃+/,利用基本不等式求解.

【詳解】

解：設(shè)扇形A8c的半徑為?n,弧長(zhǎng)為/cm,則扇形面積S=g〃.

由題意得g〃=225/,所以a=450后.

所以紙疊扇的周長(zhǎng)C=2r+/22"7=2&6壽=60萬(wàn)，

當(dāng)且僅當(dāng)］,2：］'2即r=15］，/=30/時(shí)，等號(hào)成立，

［〃=450萬(wàn)、

所以8。+D4=15萬(wàn)（cm）.又BD=2DA，

所以8D+g80=15萬(wàn)（。〃），

3

所以萬(wàn)8。=15乃（c〃?）,

故5￡>=10萬(wàn)（加）.

故答案為：10萬(wàn)

例16.（2022.全國(guó).高三專題練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)為4cm,當(dāng)它的半徑為cm和圓心角為

弧度時(shí)，扇形面積最大，這個(gè)最大面積是cm2.

【答案】121

【解析】

【詳解】

/+2r=4,則S=^/r=^r（4-2/）=-r2+2r,

則r=l,/=2時(shí)，面積最大為1,此時(shí)圓心角a='=2,

r

所以答案為1:2；1.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）熟記弧長(zhǎng)公式：l=\a\r,扇形面積公式：S5B?=1/r=1|a|r（弧度制aw（0,24］）

（2）掌握簡(jiǎn)單三角形，特別是直角三角形的解法

題型四：三角函數(shù)定義題例17.（2022?廣東?深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知角。的終邊過點(diǎn)A（T,1）,

則sin（g-e）=（）

6

AV2+>/6K—V2+瓜「>/2—5/6n—5/2—A/6

4444

【答案】D

【解析】

【分析】

由任意三角形的定義求出sin，,cos，，由兩角差的正弦公式代入即可求出sin（￡-。）.

0

【詳解】

因?yàn)榻?。的終邊過點(diǎn)A（-l,l）,由任意三角形的定義知：sin。=殍,cos。=-1，

sin(----。)=sin—cos0-cos—sin夕=——-----

6664

故選：D.

例18.(2022?河北衡水?高三階段練習(xí))已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)卜1,6),則tan(a+?+sin(2a-3;r)=()

A.-B.--C.-立D.正

2466

【答案】D

【解析】

【分析】

利用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及弦化切可求得所求代數(shù)式的值.

【詳解】

依題意，由三角函數(shù)的定義可知tana=-石，

.(乃)

/、sina+—?.

(v2).、cosa2sin?cosa

tana+—+sin(2a-3/r)=--------------^-sin2a=----------------；--------------

I2J(7T\sinasina+cos-a

cosa+—

I2j

12sinacosaG2tana石2656

=-------------------------------=--------------------=—-1--------=------.

tanasin2cr+cos2a3tan2a+1346

故選：D.

例19.(2022?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))已知角a的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)P(sin3,cos3),若

0<a<2^,則a=()

A.3B.gTT-3C.597r—3D.3-f【答案】C

222

【解析】

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tanc,結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得解，注意角所在的象限.

【詳解】

解：因?yàn)榻莂的終邊上一點(diǎn)P(sin3,cos3),

cos31八

所以tana=------=-------<0,

sin3tan3

Xcos3<0,sin3>0,

所以。為第四象限角,

jr

所以￡=2%4十2—3,ZwZ,

2

乂因0<a<2?,

所以--3.

2

故選：C.

例2（）.（2022?北京?二模）己知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（一|,1）,則sin2a=（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)終邊上的點(diǎn)確定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求sin2a.

【詳解】

434324

由題設(shè)sina=-,cosa=——,而sin2a=2sinacosa=2x—x（——）=---.

555525

故選：A

【方法技巧與總結(jié)】

（1）任意角的正弦、余弦、正切的定義；

題型五：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值

例21.（2022?全國(guó)高三專題練習(xí)）如果8so<0,且tan6<0,則曲夕-cosM+cos。的化簡(jiǎn)為_____,

【答案】sin?

【解析】

【分析】由cos6<0,且tane<0,得到夕是第二象限角,由此能化簡(jiǎn)卜inl-cosq+cos，.

【詳解】

解：Vcos0<0,且tan6<0,是第二象限角，

.,.卜in0-cosq+8se=sine-8se+8se=sin，.

故答案為：sin。.

例22.（2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）若角a滿足sincrcosavO,cosa-sina<0,則a在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)sincrcosa<0可知a是第二或第四象限角；根據(jù)第二或第四象限角正余弦的符號(hào)可確定結(jié)果.

【詳解】

-.?sinacosar<0,\。是第二或第四象限角；

當(dāng)a是第二象限角時(shí)，cosa<0,sintz>0,滿足coscz-sina<0；

當(dāng)a是第四象限角時(shí)，coscr>0,sin?<0.則cosa-sina>0,不合題意；

綜上所述：。是第二象限角.

故選：B.

例23.（2022.浙江.模擬預(yù)測(cè)）已知。eR,則“cos0>0”是“角61為第一或第四象限角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要

【答案】B

【解析】

【分析】

利用定義法進(jìn)行判斷.

【詳解】

充分性：當(dāng)cose>o時(shí)，不妨取8$夕=1,夕=。時(shí)軸線角不成立.故充分性不滿足；

必要性：角e為第一或第四象限角，則cos6>0,顯然成立.

故選：B.

例24.（2022?重慶?高三開學(xué)考試）若tan6>0,則下列三角函數(shù)值為正值的是（）

A.sin"B.cos。C.sin20D.8s26

【答案】C

【解析】

【分析】

結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式判斷出正確選項(xiàng).

sinf）

【詳解】tan<9=^—^->0=>sin6>cos6>>0=>sin2（9=2sin6>cos6i>0,所以C選項(xiàng)正確.

cos?

當(dāng)0=2時(shí),tan>0,sin0<0,cos0<0,cos20=cos—=cos—=0,所以ABD選項(xiàng)錯(cuò)誤.

422

故選：C

例25.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））我們知道，在直角坐標(biāo)系中，角的終邊在第幾象限，這個(gè)角就是第

幾象限角.己知點(diǎn)P（cos”,tana）在第三象限，則角a的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

本題首先可以根據(jù)題意得出cosa<（）、tana<0,然后得出sina>（）,即可得出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)P（cose,tanc）在第三象限，

所以cosc<0,tana<0,

則sintz>0,角a的終邊在笫二象限，

故選：B.

例26.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））已知sina>0,cosacO,貝（）

A.sin2a>0B.cos2a<0C.tan—>0D.sin—<0

22

【答案】C

【解析】

【分析】

n

由條件得到角a所在的象限，從而得到券所在的象限，這樣就可以得到答案.

【詳解】

ClC1

由sina>0,cosa<0知a為第二象限角，所以?為第一或第三象限角，所以tan?>0.

22

故選：C.

例27.（2022?江西南昌?三模（文））若角a的終邊不在坐標(biāo)軸上，且sina+2cosc=2,則tana=（)

A.-B.-C.-D.-

3432

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合易知條件和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求出cosa,從而求出sina,根據(jù)tana='吧即可求

cosa

得結(jié)果.

【詳解】

sin2cr+cos2a=13,、

<ncosa==或cosa=l,

sina+2cos=25

3

???。的終邊不在坐標(biāo)軸上，Jcos?=-

34sincr4

/.sina=2-2x-=—,二tana=

55cosa3

故選：A.

例28.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））若a是第二象限角，則下列不等式正確的是（

△ac

A.cos(-a)>0B.tan—>0C.sin2cr>0D.sin(-a)>0

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)a是第二象限角，分別求出四個(gè)選項(xiàng)中角所在的象限，再判斷三角函數(shù)的符號(hào)，即可求解.

【詳解】

jrjr

對(duì)于A：因?yàn)椋?2E<a<兀+2攵兀(％GZ),所以一兀一2%兀<一二<---2kn^kGZ),

所以一。是第三象限角，所以8s(-a)<0,故選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于B：因?yàn)椋?2E<ez<兀+2&兀（女eZ）,所以:+E<^<］+E（A￡Z）,當(dāng)％=2〃（〃wZ）時(shí),

：+2/M《\+2〃M〃€Z),此時(shí)多是第一象限角，

當(dāng)k=2w+l(〃eZ)時(shí)，乎2〃兀地哼+2〃M〃eZ),此時(shí)券是第三象限角,

(yci

所以［是第一或第三象限角，所以tan］>0,故選項(xiàng)B正確；

22

對(duì)于C：因?yàn)?+2航<。<兀+2E(ZeZ),所以兀+4E<2a<2兀+4E(ZeZ),所以2zz是第三或笫四象限

角或終邊落在V軸非正半軸，所以sin2a<0,故選項(xiàng)C不正確；

7T7T

對(duì)于D：因?yàn)槿f(wàn)+2也<a<7t+2E(ZeZ),所以-兀-2也<-a<-5-2版,eZ),所以-a是第三象限角,

所以sin(-a)<0,故選項(xiàng)D不正確；

故選：B.【方法技巧與總結(jié)】正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負(fù)；.

余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù)；.

正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負(fù).

題型六：同角求值一條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的

sin20

例29.(2022?安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))若tan6=—2,則的值為

cos26+1

【答案】'2

【解析】

【分析】

利用：倍角公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系可構(gòu)造正余弦齊次式，分子分母同除cos2。，代入tan6即可得到

結(jié)果.

【詳解】

sin2。_2sincos0_2tan6^_42

cos20+12cos20+sin202+tan202+43

2

故答案為：

例30.(2022.河北?滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知tana=3,則包出二"孕=____________.

cos2a-cos'a

【答案】|4

【解析】

【分析】

根據(jù)二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)齊次式關(guān)系求解即可.

【詳解】

sin2a-2sin2a2sinacosa-2sin2cr2tancr-2tan2a2x3-2x324

解:

cos2a-cos2a-sin2a-323

4

故答案為：—

3

例31.（2022?廣東惠州?一模）已知tana=2,7t<a<—7ly則cosa-sina=()

2

36

AB.--Lr?--------D.--

-T555

【答案】A

【解析】

【分析】由tana=?由'=2及sin2a+cos2a=1解出sina與cosa即可求解.

cosa

【詳解】

win(y3

因?yàn)閠ana=-------=2,且siVa+cos2a=1,7t<a<一兀,

cosa2

石

所以sinacosa=------

55

\

也（2米）加

所以cosa-sina=

55)5

故選：A.

sinA+cosA=1,el-sin2A

例32.（2022.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知0vAv九,則----(-----)

1+cos2A

1

A-擊B.—

18

【答案】C

【解析】

【分析】

結(jié)合同角的平方關(guān)系以及二倍角公式即可求出結(jié)果.

【詳解】

1434

由sinA+cosA=g&sin2A+cos2A=i,解得sinA=y,cosA=-1或cosA=不，sinA=一；.因?yàn)閟inA>0,

所以sinA=3,cosA=--,所以sin2A=2sinAcosA=-*,cos2A=cos2A-sin2A=---

552525

1-sin2A

所以

1+cos2/4

25

故選：c.

例33.(2022?海南?模擬預(yù)測(cè))已知角。為第二象限角，tancr=-3,則cosa=()

AMoVio「3Mn3M

10101010

【答案】A

【解析】

【分析】

由角所在的象限及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系求cosa即可.

【詳解】

因?yàn)閍是第二象限角，所以sina>0,cos(z<(),

,sina.,,-r,rJ10

山tana=-------=-3,sin2a+cos2a=1,口J得：cosa=--------.

cosa10

故選：A.

例34.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知。￡(-5，,)，且12sin?a-5cosa=9,則cos2a=()

7

AB.

-19

c.--D

4-I

【答案】B

【解析】

【分析】

利用同角公式化正弦為余弦，求出cosa的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.

【詳解】

依題意，原等式化為:12(l-cos2a)-5cosa=9,整理得：(4cosa+3)(3cosa-1)=0,

1

I川aw(-不—)?則cosa>0,解得:cosa=一

223

7

所以cos2a=2cos2a-1=2x

49

故選：B

例35.（2022?全國(guó)?高三階段練習(xí)（理））若sm*cos,=2,則任0產(chǎn)粵=（