空間點線面之間的關(guān)系

空間點線面之間的關(guān)系第1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一[歸納·知識整合]1．四個公理公理1：如果一條直線上的

在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．作用：可用來證明點、直線在平面內(nèi)．公理2：過

的三點，有且只有一個平面．作用：①可用來確定一個平面；②證明點線共面．公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們

過該點的公共直線．作用：①可用來確定兩個平面的交線；②判斷或證明多點共線；③判斷或證明多線共點．兩點不在一條直線上有且只有一條第2頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一

公理4：平行于同一條直線的兩條直線

．作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)．

[探究]1.平面幾何中成立的有關(guān)結(jié)論在空間立體幾何中是否一定成立？提示：不一定．例如，“經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線垂直”在平面幾何中成立，但在立體幾何中就不成立．而公理4的傳遞性在平面幾何和立體幾何中均成立．互相平行第3頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一2．直線與直線的位置關(guān)系平行相交任何(2)異面直線所成的角①定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的_____________

叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．銳角(或直角)第4頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一(3)定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角

．

[探究]2.不相交的兩條直線是異面直線嗎？

提示：不一定，不相交的兩條直線可能平行，也可能異面．

3．不在同一平面內(nèi)的直線是異面直線嗎？提示：不一定，不在同一平面內(nèi)的直線可能異面，也可能平行．相等或互補第5頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一3．空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交a∩α＝A

個平行a∥α

個

在平面內(nèi)a?α

個平面與平面平行α∥β

個相交α∩β＝l

個10無數(shù)0無數(shù)第6頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一[自測·牛刀小試]1．(教材習題改編)下列命題：①經(jīng)過三點確定一個平面；②梯形可以確定一個平面；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．其中正確命題的個數(shù)是 ()A．0B．1C．2 D．3第7頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一解析：對于①，未強調(diào)三點不共線，故①錯誤；②正確；對于③，三條直線兩兩相交，如空間直角坐標系，能確定三個平面，故③正確；對于④，未強調(diào)三點共線，則兩平面也可能相交，故④錯誤．答案：C第8頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一答案：D2．(教材習題改編)分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是 ()A．異面

B．平行C．相交

D．以上都有可能解析：由直線、平面的位置關(guān)系分析可知兩條直線相交、平行或異面都有可能．第9頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一3．如果a?α，b?α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列關(guān)系成立的是 ()A．l?α B．l?αC．l∩α＝A D．l∩α＝B解析：∵a?α，l∩a＝A，∴A∈α，A∈l，同理B∈α，B∈l，∴l(xiāng)?α.答案：A第10頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一4．若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成________個部分．解析：三個平面α，β，γ兩兩相交，交線分別是a，b，c，且a∥b∥c，則α，β，γ把空間分成7部分．答案：7第11頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一5．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為___．解析：連接B1D1，易證B1D1∥EF，從而∠D1B1C即為異面直線B1C與EF所成的角，連接D1C，則△B1D1C為正三角形，故∠D1B1C＝60°.答案：60°第12頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一平面的基本性質(zhì)及應用[例1]以下四個命題：①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．其中正確命題的個數(shù)是 ()A．0B．1C．2 D．3第13頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一[自主解答]①正確，可以用反證法證明；②不正確，從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C，但是若A、B、C共線．則結(jié)論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，空間四邊形的四條邊不在一個平面內(nèi)．

[答案]B第14頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一由所給元素確定平面的關(guān)鍵點判斷由所給元素(點或直線)確定平面時，關(guān)鍵是分析所給元素是否具有確定唯一平面的條件，如不具備，則一定不能確定一個平面．

第15頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一1．下列如圖所示是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是________．第16頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一解析：①中可證四邊形PQRS為梯形；②中，如圖所示取A1A與BC的中點為M、N，可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形．③中可證四邊形PQRS為平行四邊形；④中，可證Q點所在棱與面PRS平行，因此，P、Q、R、S四點不共面．答案：①②③第17頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？第18頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一第19頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一本例條件不變，如何證明“FE、AB、DC共點”？第20頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一證明共面問題的常用方法①納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)．②輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α、β重合．第21頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一2．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E、C、D1、F四點共面；(2)CE、D1F、DA三線共點．證明：(1)連接EF，CD1，A1B.∵E、F分別是AB、AA1的中點，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1，F(xiàn)四點共面．第22頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE與D1F必相交，設交點為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA.∴CE、D1F、DA三線共點．

第23頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一空間兩條直線的位置關(guān)系[例3]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是()A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行第24頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一[自主解答]由于MN與平面DCC1D1相交于N點，D1C1?平面DCC1D1，且C1D1與MN沒有公共點，所以MN與C1D1是異面直線．又因為C1D1∥A1B1，且A1B1與MN沒有公共點，所以A1B1與MN是異面直線，故選項D錯誤．[答案]D第25頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一—————————————————異面直線的判定方法

(1)定義法：依據(jù)定義判斷(較為困難)；

(2)定理法：過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線為異面直線(此結(jié)論可作為定理使用)．

(3)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴密的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面.第26頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一3．已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD的中點．(1)求證：BC與AD是異面直線；(2)求證：EG與FH相交．證明：(1)假設BC與AD共面，不妨設它們所共平面為α，則B、C、A、D∈α.所以四邊形ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾．所以BC與AD是異面直線．(2)如圖，連接AC，BD，則EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，則EFGH為平行四邊形．又EG、FH是?EFGH的對角線，所以EG與HF相交.第27頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一異面直線所成的角

[例4](2012·銀川模擬)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，

(1)求A1C1與B1C所成角的大小；

(2)若E、F分別為AB、AD的中點，求A1C1與EF所成角的大?。?8頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一[自主解答](1)如圖，連接AC、AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成角為60°.(2)如圖，連接BD，由AA1∥CC1，且AA1＝CC1可知A1ACC1是平行四邊形，所以AC∥A1C1.即AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角．因為EF是△ABD的中位線，所以EF∥BD.又因為AC⊥BD，所以EF⊥AC，即所求角為90°.第29頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一求異面直線所成角的步驟平移法求異面直線所成角的一般步驟：第30頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一4．已知三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD成60°角，點M、N分別是BC、AD的中點，求直線AB和MN所成的角．第31頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一∴∠MEN為異面直線AB與CD所成的角(或補角)，且△MEN為等腰三角形．當∠MEN＝60°時，∠EMN＝60°，即異面直線AB和MN所成的角為60°.當∠MEN＝120°時，∠EMN＝30°，即異面直線AB和MN所成的角為30°.∴直線AB和MN所成的角為60°或30°.第32頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一(1)“不同在任何一個平面內(nèi)”指這兩條直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交．

(2)不能把異面直線誤解為：分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線．

(3)異面直線的公垂線有且僅有一條．(1)平移法：即選點平移其中一條或兩條直線使其轉(zhuǎn)化為平面角問題，這是求異面直線所成角的常用方法．

(2)補形法：即采用補形法作出平面角．第33頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一(1)證明共面問題一般有兩種途徑：①首先由條件中的部分線(或點)確定一個平面，再證其他線(或點)在此平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證明這兩個平面重合．

(2)證明共線問題一般有兩種途徑：①先由兩點確定一條直線，再證其他點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上．

(3)證明共點問題常用方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.第34頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一易誤警示——求解線線角中忽視隱含條件而致錯

[典例](2013·臨沂模擬)過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作 ()A．1條B．2條

C．3條

D．4條第35頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一[答案]D第36頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一1．易忽視異面直線所成的角，且沒有充分認識正方體中的平行關(guān)系而錯選A.2．求解空間直線所成的角時，還常犯以下錯誤：

(1)缺乏空間想象力，感覺無從下手；

(2)忽視異面直線所成角的范圍．第37頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一第38頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一答案：90°“演練知能檢測”見“限時集訓（四十四）”第39頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一1．平面α、β的公共點多于兩個，則①α、β垂直②α、β至少有三個公共點③α、β至少有一條公共直線④α、β至多有一條公共直線以上四個判斷中不成立的個數(shù)是 ()A．0 B．1C．2 D．3解析：由條件知，平面α與β重合或相交，重合時，公共直線多于一條，故④錯誤；相交時不一定垂直，故①錯誤．答案：C第40頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一2．如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯誤的為 ()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．