矢量分析和場(chǎng)論基礎(chǔ)

矢量分析和場(chǎng)論基礎(chǔ)第1頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.1標(biāo)量和矢量1.2矢量的運(yùn)算1.3標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)1.4特殊正交曲線坐標(biāo)系1.5場(chǎng)論1.6拉普拉斯算子1.7電磁場(chǎng)的分類(lèi)和亥姆霍茲定理第2頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.1標(biāo)量和矢量矢量分析和場(chǎng)論是學(xué)習(xí)電磁場(chǎng)理論必備的數(shù)學(xué)工具，本章簡(jiǎn)要介紹矢量分析和場(chǎng)論的基本概念和定理。

標(biāo)量是指用單一數(shù)量就可以完整描述的物理量，比如質(zhì)量、時(shí)間、溫度和功等。在本教材中用粗正體字母表示矢量，比如矢量A可以寫(xiě)成(1-1)

矢量是指既有大小又有方向的物理量，比如力、電場(chǎng)和磁場(chǎng)等。單位矢量作業(yè)要求寫(xiě)成：第3頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.2.1直角坐標(biāo)系中矢量的表示1.2矢量的運(yùn)算圖1-2直角坐標(biāo)系中矢量的描述圖1-1矢量表示在直角坐標(biāo)系中，矢量A可寫(xiě)為(1-6)其中矢量常用帶箭頭的線段表示(1-3)第4頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.2.2矢量的運(yùn)算1.矢量加法(1-7)(1-8)式中矢量滿足結(jié)合律和交換律，即(1-9)(1-10)第5頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.矢量的標(biāo)積(1-11)圖1-3矢量的標(biāo)積和矢積

矢量的標(biāo)積是一個(gè)數(shù)量，并滿足交換律、分配律和數(shù)乘，即(1-12)(1-13)(1-14)坐標(biāo)表示為(1-15)矢量投影為：第6頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.矢量的矢積(1-17)式中n是一垂直于由矢量A和B構(gòu)成的平面的單位矢量，并遵循右手螺旋法則，見(jiàn)圖1-3。矢量的矢積不滿足交換律：(1-18)矢積滿足分配律和數(shù)乘，即圖1-3矢量的標(biāo)積和矢積(1-20)(1-19)第7頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一矢量矢積的坐標(biāo)表示為(1-23)或簡(jiǎn)記為利用ex×ey=ez，ey×ez=ex，ez×ex=eyex×ex=ey×ey=ez×ez=0

可直接證明。矢量恒等式(1-24)(1-25)第8頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1.1

計(jì)算由矢量A、B和C構(gòu)成的平行六面體的體積，矢量A=2ex+ey-2ez，B=-ex+3ey+5ez，C=5ex-2ey-2ez。解平行六面體的體積可表示為三重積的行列式形式第9頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1.2

給定三個(gè)矢量A=ex+2ey-3ez,B=-4ey+ez,

C=5ex-2ey，試求

和。解第10頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.3標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)

從數(shù)學(xué)上講，場(chǎng)是物理量隨空間坐標(biāo)變化的函數(shù)。物理量可以是標(biāo)量或矢量，因而，場(chǎng)可以是標(biāo)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)。圖1-4溫度場(chǎng)分布示意圖圖1-5電場(chǎng)分布示意圖

如果物理量?jī)H隨空間點(diǎn)而變化，不隨時(shí)間變化，這種場(chǎng)稱之為靜態(tài)場(chǎng)，否則，稱之為動(dòng)態(tài)場(chǎng)或時(shí)變場(chǎng)。第11頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.4.1直角坐標(biāo)系1.4特殊正交曲線坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系由三個(gè)相互垂直的有向線段構(gòu)成，三直線稱為X、Y和Z軸，三個(gè)單位矢量ex、ey和ez相互垂直，分別表示X、Y和Z軸的方向。1.位置矢量如圖1-6所示。圖1-6位置矢量第12頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.距離矢量如圖1-7所示。距離大小圖1-7距離矢量第13頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一體微分元面微分元線微分元圖1-8面微分元和體微分元圖1-9線微分元3.體、面和線微分元第14頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.4.2圓柱坐標(biāo)系圖1-10圓柱坐標(biāo)與坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的單位矢量為()三者相互垂直，服從右手法則。

為位置矢量r在X-Y平面上投影的大小；為XOZ平面與POZ平面之間的夾角，逆時(shí)針?lè)较蛘?z是r在Z軸上的投影。注意和是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)1.位置矢量式中，對(duì)于任意的r，第15頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)之間的關(guān)系取值范圍圖1-10圓柱坐標(biāo)圖1-11柱坐標(biāo)系的三個(gè)正交面

柱坐標(biāo)的三個(gè)正交面如圖1-11所示第16頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一圖1-12面微分元和體微分元圖1-13線微分元3.體、面和線微分元面微分元線微分元體微分元第17頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4.單位矢量的變換圖1-14單位矢量之間的變換矩陣形式逆變換任意矢量的變換(1-47)

同理，已知直角坐標(biāo)系的分量表達(dá)式，利用其逆變換可得柱坐標(biāo)下的分量表達(dá)式。第18頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.4.3球坐標(biāo)系r為位置矢量r的大小，圖1-15球坐標(biāo)1.位置矢量

與坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的單位矢量為()，三者相互垂直，并服從右手法則。在球坐標(biāo)系下，都是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。θ是位矢r與正Z軸之間的夾角，

是X軸正向與位矢r在XY平面上的投影之間的夾角。對(duì)于任意的r，第19頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的關(guān)系（見(jiàn)圖1-15~16）。圖1-15球坐標(biāo)圖1-16球坐標(biāo)系的三個(gè)正交面第20頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一體微分元面微分元線微分元圖1-17面微分元和體微分元圖1-18線微分元3.體、面和線微分元第21頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4.單位矢量的變換5.任意矢量的變換(c)的投影。圖1-19球坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系單位矢量間的變換(b)的投影(a)的投影第22頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1.3

在圓柱坐標(biāo)系中一點(diǎn)的坐標(biāo)為{}={4,2/3,3}，試求該點(diǎn)分別在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。解利用圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系可得利用圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系可得第23頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1.4

在柱坐標(biāo)系中點(diǎn)P(3,/6,5)有一矢量A=3+2+5，在另一點(diǎn)Q(4,/3,3)有一矢量B=

，在點(diǎn)S(2,/4,4)處有矢量C=A+B，試求C矢量。解顯然A和B兩矢量不在同一=常數(shù)的平面上，在柱坐標(biāo)系下不能直接按分量形式求和，首先必須把在柱坐標(biāo)系下的矢量變換到直角坐標(biāo)系。P點(diǎn)矢量A的直角坐標(biāo)表示為第24頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一同理，

Q點(diǎn)矢量B的直角坐標(biāo)表示為于是得再將C變換到柱坐標(biāo)系中點(diǎn)S(2,/4,4)處的矢量第25頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.5場(chǎng)論1.5.1數(shù)量場(chǎng)的等值面和矢量場(chǎng)的矢量線1.數(shù)量場(chǎng)的等值面場(chǎng)的整體性描述：標(biāo)量場(chǎng)u的等值面方程場(chǎng)的局部特性描述：等值面、等值線和矢量線標(biāo)量場(chǎng)，方向?qū)?shù)和梯度；矢量場(chǎng)，散度和旋度。第26頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一圖1-20標(biāo)量場(chǎng)的等值面同理，如果標(biāo)量場(chǎng)是二維函數(shù)，令u(x,

y)=c得到等值線。比如地形圖上的等高線，地面氣象圖上的等溫線、等壓線等，都是平面標(biāo)量場(chǎng)等值線的例子。常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。

等值面的特點(diǎn)：第27頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.矢量場(chǎng)的矢量線直角坐標(biāo)表示:概念：矢量線是這樣的曲線，在曲線上每一點(diǎn)處矢量場(chǎng)的方向都在該點(diǎn)的切線方向上。圖1-21矢量場(chǎng)的矢量線

靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線、磁場(chǎng)的磁場(chǎng)線和流速場(chǎng)的流線等都是矢量線的例子。意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。第28頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一共線矢量dr與A(x,y,z)滿足或(1-64)

此即矢量線所滿足的微分方程組。求解該方程組可得一矢量線族；矢量線通?；ゲ幌嘟弧＜僭O(shè)P(x,y,z)為矢量線上任一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P沿矢量線的位移元dr與矢量A(x,y,z)共線。矢量線方程：圖1-21矢量場(chǎng)的矢量線第29頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求解該微分方程，得到矢量線方程為可見(jiàn)，該矢量場(chǎng)的矢量線為同心圓，見(jiàn)圖1-22。圖1-22二維場(chǎng)的矢量線例1.5

有一二維矢量場(chǎng)F(r)=-yex+xey，求矢量線方程，并定性畫(huà)出該矢量場(chǎng)的圖形。解由場(chǎng)的表達(dá)式可知，F(xiàn)x=-y，F(xiàn)y=x，則根據(jù)式（1-64）可得到矢量線的微分方程為第30頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.5.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度和方向?qū)?shù)標(biāo)量場(chǎng)u(x,y,z)的兩個(gè)等值面u和u+du如圖1-23所示，圖1-23方向?qū)?shù)和梯度P點(diǎn)到Q點(diǎn)的位移元為(1-65)兩邊同除以dl，得到標(biāo)量場(chǎng)u(x,y,z)在P點(diǎn)沿dl方向的方向?qū)?shù)1.梯度的定義及其方向?qū)?shù)根據(jù)全微分定義(1-65)第31頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)位移元dl的方向余弦為{}，即所以方向?qū)?shù)表示為其中——u的梯度——dl的單位矢量第32頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一引入梯度算子由u的梯度表示為可知當(dāng)al與G平行時(shí)，方向?qū)?shù)取得最大值|G|。梯度的方向是標(biāo)量u隨空間坐標(biāo)變化最快的方向；梯度的大小表示標(biāo)量u的空間變化率的最大值。梯度矢量的的物理意義所以第33頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一梯度在柱坐標(biāo)系下的表達(dá)式梯度在球坐標(biāo)系下的表達(dá)式2.梯度在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的表達(dá)式梯度在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式第34頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一梯度運(yùn)算的基本公式：第35頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1.6

求標(biāo)量函數(shù)u(x,y,z)=x2yz的梯度，并求在空間坐標(biāo)點(diǎn)P(2,3,1)處，沿方向的方向?qū)?shù)。解代入P點(diǎn)的空間坐標(biāo)

(2,3,1)，得方向?qū)?shù)值為第36頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一補(bǔ)充例題：其中，2）求：1）解：第37頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.5.3矢量場(chǎng)的通量和散度1.通量的定義圖1-24通量定義如圖，矢量場(chǎng)A=A(x,y,z)在有向曲面S上的通量定義為面元dS的法向n與張著S的環(huán)線L滿足右手螺旋關(guān)系。在直角坐標(biāo)系中第38頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)閉合曲面n取外法向?yàn)檎偼勘硎緸?/p>

矢量線的通量概念是對(duì)矢量場(chǎng)在空間分布的宏觀描述，要描述每一點(diǎn)的情況，需引入散度的概念。通量計(jì)算存在三種情況1)Φ>0，表明閉合曲面內(nèi)部有產(chǎn)生矢量線的源，正源2)Φ<0，表明閉合曲面內(nèi)部有吸收矢量線的源，負(fù)源3)Φ=0，表明閉合曲面內(nèi)部可能無(wú)源，或正源負(fù)源相等第39頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.散度的定義散度是單位空間體積中的的通量源，有時(shí)也簡(jiǎn)稱為源通量密度，記為divA或，即圖1-25散度的定義如果divA>0，表明M點(diǎn)有發(fā)出矢量線的正源；如果divA<0，表明M點(diǎn)有吸收矢量線的負(fù)源；如果divA=0，表明M點(diǎn)無(wú)源，矢量線在該點(diǎn)連續(xù)。第40頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4.散度在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的表達(dá)式球坐標(biāo)系下的表達(dá)式3.散度在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式柱坐標(biāo)系下的表達(dá)式第41頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一散度的有關(guān)公式：第42頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5.高斯散度定理如圖，矢量場(chǎng)場(chǎng)A(x,y,z)的散度在體積V上的三重積分等于矢量場(chǎng)A(x,y,z)穿過(guò)包圍V

的閉合曲面S的通量，即圖1-26高斯定理物理意義

V內(nèi)的通量源總和與穿過(guò)S的總通量相等?；虻?3頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1.7

設(shè)有一矢量場(chǎng)，（1）求該矢量場(chǎng)的散度；（2）取中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體，求散度的體積分和矢量場(chǎng)對(duì)此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。解（1）（2）▽·A對(duì)中心在原點(diǎn)的單位立方體的積分為第44頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一矢量A對(duì)單位立方體表面的積分為可見(jiàn)，散度定理成立。第45頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一補(bǔ)充例題：其中，2）求：1）解：第46頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如圖，式中L是空間有向閉合曲線，dl是曲線L上的線微分元，是在空間點(diǎn)P處矢量A與dl的夾角。1.5.4矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度環(huán)量的定義A(x,y,z)沿閉合曲線L的曲線積分稱為沿L的環(huán)量，即環(huán)量描述了L內(nèi)的總渦旋源。圖1-27矢量場(chǎng)的環(huán)量第47頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一旋度的定義為了定義旋度，首先考察環(huán)量密度，即單位面積的環(huán)量顯然，對(duì)于給定矢量場(chǎng)A，環(huán)量密度的大小與所取面元ΔS的方向n有關(guān)，如圖1-29所示。圖1-29(a)矢量線構(gòu)成的渦旋面與所取微分面元ΔS的方向垂直；(b)矢量線構(gòu)成的渦旋面與所取微分面元ΔS的方向夾角為θ；(c)矢量線構(gòu)成的渦旋面與所取微分面元ΔS的方向同方向。第48頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一可以看出，當(dāng)面元ΔS沿某特定方向n時(shí)，環(huán)量密度將取得最大值；定義該最大值與n之積構(gòu)成的矢量稱為矢量場(chǎng)A的旋度，記作rotA或，即物理意義矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流量面密度的最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向。第49頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一柱坐標(biāo)系下的表達(dá)式球坐標(biāo)系下的表達(dá)式旋度在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式第50頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一斯托克斯定理旋度不為零的場(chǎng)是有旋場(chǎng)，如磁場(chǎng)、流速場(chǎng)等。物理意義斯托克斯定理將矢量旋度的面積分變換成該矢量的線積分，或?qū)⑹噶緼的線積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分。式中dS的方向與dl的方向成右手螺旋關(guān)系。第51頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1.8

設(shè)有一平面流速場(chǎng)其流線的分布如圖1-32所示，圖中有些流線是閉合曲線。如果取閉合積分回路L與閉合流線重合，計(jì)算流速環(huán)量圖1-32平面流速場(chǎng)顯然，積分結(jié)果不等于零，表明對(duì)于這樣的流速場(chǎng)，流體的運(yùn)動(dòng)具有渦旋性。第52頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零第53頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一課堂作業(yè)（1）標(biāo)量場(chǎng)的梯度構(gòu)成的矢量場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)；（2）矢量場(chǎng)的旋度構(gòu)成的矢量場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)。證明：即證明數(shù)學(xué)恒等式（參見(jiàn)例1.11和例1.12）（95）（93）第54頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一補(bǔ)充例題：其中，2）求：1）解：第55頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算——拉普拉斯算子直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系概念：1.6拉普拉斯算子第56頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、矢量拉普拉斯運(yùn)算概念：直角坐標(biāo)系拉普拉斯方程如果矢量場(chǎng)A的拉普拉斯為零，即必然有每個(gè)分量的拉普拉斯為零，調(diào)和函數(shù)第57頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.7電磁場(chǎng)的分類(lèi)和亥姆霍茲定理根據(jù)矢量場(chǎng)滿足散度運(yùn)算關(guān)系和旋度運(yùn)算關(guān)系的不同組合，可將場(chǎng)分為四種類(lèi)型，不同類(lèi)型的電磁場(chǎng)問(wèn)題，求解的方法也各有差異。第一類(lèi)場(chǎng)滿足該矢量場(chǎng)A可通過(guò)令，進(jìn)而求解u的拉普拉斯方程而得解。第二類(lèi)場(chǎng)滿足該矢量場(chǎng)A可通過(guò)令和，進(jìn)而求解u的泊松方程而得