中考數(shù)學(xué)圖形三角函數(shù)真題題庫（含參考答案）

中考數(shù)學(xué)圖形三角函數(shù)真題題庫（含參考答案）

學(xué)校:姓名：班級:考號：

一、解答題

1.如圖，已知銳角中，AC^BC.

（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作N4CB的平分線CD；作AABC的外接

圓。0;（不寫作法，保留作圖痕跡）

48

（2）在（1）的條件下，若AB=w，。。的半徑為5,則sinB=.（如需畫草

圖，請使用圖2）

【答案】（1）見詳解；（2）|

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的步驟，即可作4C8的平分線CE>,作出AC的中垂線交CQ

于點0,再以點。為圓心，0C為半徑，畫圓，即可；

24

（2）連接0A,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AO=8D=w，CD1AB,利用勾股定理求出

0D,BC,進而即可求解.

【詳解】

解：（1）如圖所示：

（圖1）

(2)連接04,

VAC=BCfZAC8的平分線CD,

114824

??AD—BD——AB=—x—=—,CD-\_AB?

2255

???OO的半徑為5,

/-0D=yjoA2-AD2=/2-(引=(，

732

CD=C0+0D=5+-=—,

55

BC=>JBD2+CD2=jKj+(等=8,

32

sinB=CD_5_4.

BC-T-5

4

故答案是：y.

【點睛】

本題主要考查尺規(guī)基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，理

解三角形外接圓的圓心是三角形各條邊中垂線的交點，是解題的關(guān)鍵.

2.如圖所示，四邊形ABCD為正方形，在AEC“中，NEC”=90o,CE=C”,HE的延長

線與C。的延長線交于點尸，點。、B、”在同一條直線上.

(1)求證：^CDE^CBH；

(2)當誓=；時，求詈的值；

HD5FC

(3)當H8=3,〃G=4時，求sinNC)花的值.

試卷第2頁，共105頁

【答案】(1)見解析；(2)4^=4；(3)sinZ.CFE=-.

1,0138

【解析】

【分析】

(1)已知正方形和NEC”=90。,CE=C"，用“邊角邊”證明兩三角形全等即可;

(2)方法一：過C作CM_L硝交于M點，過。作OV，尸”交于N點，則EW//CM,

……八°DN

從而求的；G=K7

FCCM

方法二：連接AC交3。于O,交FH于M,構(gòu)造相似三角形，從而求得仁FD=黑DF

FCMC

(3)/CEE不在直角三角形中，過點E作PE〃/)，交CF于尸點，過點E作EQLCF交

CF于點、Q,sinNCFE=鐺求得結(jié)果.

EF

【詳解】

(1)???四邊形ABCO為正方形

:.BC=CD

:.ZDCB=90°

?/ZECH=90°

:"DCE+/ECB=/ECB+NBCH

ZDCE=ZBCH

在△CD七和△CB”中

CD=CB

<4DCE=/BCH

CE=CH

.?.△DCE'BCH(SAS).

(2)方法一：

?/^DCE=^BCH

:"CDE=NCBH,DE=BH

Q8Q為正方形對角線

，NCDB=45。,ZDBC=45°

:.NCBH=NCDE=135。

.\ZEDH=90°

?/BH:DH=l:5

設(shè)=則?！?5。

:.DE=a

在RNHDE三角形中EH=^5a)2+a2=后a

過C作CM_LE〃交于M點，過D作DNLFH交于N點、

DNxEHx-=-ax5a

22

.d腐

..DN--------ci

26

?zCE”是等腰直角三角形

:.CM=-EH=-a

22

???DN//CM

：?"DNfFCM,

5726

,FDDN_5

"FC"CM-底一B'

------a

2

方法二：

連接AC交BO于O,交FH于M

試卷第4頁，共105頁

c

H

???正方形A3C￡>

.?.ACJL肛OA=OC=OB=>BD,ZCBD=45°

2

「.NAOB=9()。

?.△CDEQ衛(wèi)BH

:"CDE=/CBH=135。

???NCDB=45。

/.Z￡D//=90°

DE/IAC,

:?&FDE~AFCM,MOMfHDE

,FDDEOMHO

,~FC~~MC'~DE~~HD"

BH1

.~DH~~5

BH

???O為中點

HOOM3

——=——=-,

HDDE5

設(shè)=a

/.DE—a

3

:.OM=-a

5

313

CM-2a+—a=-a

55

?FDDE5

"7c~MC~13

（3）過懸E作PE//DH交CF于P點,過點E作EQ1CF交CF于點Q

-PE//DH

："BHG=/PEF,/FPE=ZFDH=135°

QAB//CD

:"HBG=/FDH=135。

??.NHBG=NEPF=135。

vZCDE=135°

.\ZEDQ=45°,NEPQ=45。

「.△阻＞為等腰直角三角形

:.DE=PE

:ABHGAPEF

，GH=EF,BH=PE

?:BH=3,GH=4

..PE=DE=3EF=4

..QE=-^-,

在Rt^FEQ中

3x/2

./eEQ372.

..sinZ.CFE==--i—=

EF48

【點睛】

本題考查了全等三角形的證明，相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理,

熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，按要求作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

試卷第6頁，共105頁

3.如圖，在AABC中，AO是BC邊上的中線，以A3為直徑的。。交BC于點。，過點

。作MNLAC于點交A8的延長線于點N,過點8作BG_LMN于點G.

(1)求證：ABGDs4DMA；

(2)求證：直線MN是。。的切線.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，通過N8Gr>=NDM4=90。，ZDBG=ZADM即可證明△8G￡>SZ\￡>MA；

(2)連接0。，通過證明。。是AABC的中位線得到DO//AC,進而根據(jù)題意可知

OD1MN,即可證得直線是。。的切線.

【詳解】

(1)證明：VMNYAC,BG1MN,

ZBGD=ZDMA=90°,

ZDBG+ZBDG=90°,

AB為。。的直徑，

ZADB=90°,

：.ZBDG+ZADM=90°,

ZDBG=ZADM,

在△5G￡>和△￡>M4中，ZDBG=ZADM,NBGD=NDMA,

ABGDSADMA；

(2)證明：連接OO,

：A。是BC邊上的中線，

BD=DC,

OB=OA,

。。是的中位線,

DO//AC,

?；MNLAC,

：.ODVMN,

直線MN是的切線.

N

【點睛】

本題主要考查了相似三角形的判定及切線的判定，熟練掌握圓及三角形的相關(guān)綜合應(yīng)用

方法是解決本題的關(guān)鍵.

4.如圖，某地政府為解決當?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷售農(nóng)特產(chǎn)品物流不暢問題，計劃打通一條東

西方向的隧道AB.無人機從點A的正上方點C,沿正東方向以8m/s的速度飛行15s到

達點￡>,測得A的俯角為60。，然后以同樣的速度沿正東方向又飛行50s到達點E,測

得點8的俯角為37。.

（1）求無人機的高度AC（結(jié)果保留根號）；

（2）求A8的長度（結(jié)果精確到加）.（參考數(shù)據(jù):sin37°?0.60,cos37°?0.80,

試卷第8頁，共105頁

tan37°*0.75，右=1.73)

【答案】(1)無人機的高度4c=1206〃?；(2)AB的長度為243，".

【解析】

【分析】

(1)在必ACDA中，利用正切函數(shù)即可求解；

(2)先證明四邊形ABFC為矩形，在RfABFE中,求得E尸土138，〃，即可求解.

【詳解】

(1)根據(jù)題意得：CD=8xl5=120("?),

在放△CZM中，ZACD=90°,ZADC=60°,

Ar

：.tan60°=—,

CD

.".AC=120X^=120A/3(W),

3

答：無人機的高度AC=120鬲;

(2)根據(jù)題意得：￡)E=8x50=400(〃?),

貝I]CE=DE+CD=520(m),

過點8作BFLCE于點F,

則四邊形ABFC為矩形,

.\AB=FC,BF=AC=1200n，

在放ABFE中，NBFE=9Q°,NBEF=37°,

???tan37°=—=0.75,

EF

,》"_120G”(0/\

??EF---------x276.8("0，

0.75

：.AB=FC=CE-EF=520-276.8?243?！?，

答：AB的長度為243〃?.

【點睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì).注意能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直

角三角形是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

5.在QABCD中，DBAD=a,平分/ADC,交對角線AC于點G,交射線于點

E,將線段￡8繞點E順時針旋轉(zhuǎn);a得線段EP.

(1)如圖1,當a=120。時，連接AP,請直接寫出線段和線段AC的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當a=90。時，過點2作3FLEP于點，連接AF,請寫出線段四,AB,

AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

(3)當a=120。時，連接”，若請直接寫出VAPE與ACE>G面積的比值.

【解析】

【分析】

(1)延長PE,交C。于點Q,根據(jù)已知條件證明△APE絲ZVICQ即可；

(2)連接FC,過尸作FMJ.BC交CB的延長線于點M,由“在名△0?/,得4尸=FC,

在心AFMC由三邊關(guān)系利用勾股定理可得；

EG

(3)①當點E在A8上時，證明AAEG~A8G,得一值，VAPE與ACDG的面積分

GD

別與AAEG的面積成比例，可得VAPE與ACOG面積的比值，②當點E在AB的延長線

上時，同①方法可得答案.

【詳解】

解：(1)如圖，延長PE,交CD于點Q,

試卷第10頁，共105頁

由題意，將線段繞點七順時針旋轉(zhuǎn);a,

.?.N8￡P(guān)=60。，

???a=120°,

/.ZB=60°,

??.EQ!IBC,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

二.AD!IBC,

/.EQ//AD,

二?四邊形AEQO是平行四邊形，

*.?DE平分NADC,

ZADE=ZCDE,

QAB//CD,

???ZAED=ZEDC,

:.ZADE=ZAED.

AE=AD,

???四邊形4EQ。是菱形，

AE=EQ,

vZA￡D=ZB￡P(guān)=60°,

??.△AEQ是等邊三角形，

AE=AQ,ZAQE=60°f

???ABI/CD,

?..ZCQE=ZAEQ=60°f

.?.ZAQC=ZAQE+ZEQC=120°,ZAEP=120°,

vEQ//AD,ADIIBC,BE!ICQ,

???四邊形3CQE是平行四邊形，

:.CQ—BE,

?.PE=BE,

PE=CQf

在VAP石和“CQ中，

AE=AQ

<ZAEP=ZAQCt

PE=CQ

AAPE^/\ACQ,

：,AP=AC.

(2)連接尸C,過尸作EM，3c交C3的延長線于點〃，

;a=90°,

???四邊形ABC。是矩形，ZFEB=45°,

,/BF工EP,

/.ZFBE=45°fFB=FE,

ZFBC=AFBE+ZABC=135°,

ZFEA=180°-NBEF=135°

???DE平分NADC,

ZADE=-ZADC=45°

2f

?;ZAED=/PEB=45。,

???AE=AD,

???四邊形A8CO是矩形，

AD=BC,

AE=BC,

在八位和zX/B中，

AE=BC

<NAEF=NCBF,

EF=BF

:./\AFE^/\CBF,

.?.AF=FCf

設(shè)AD=a,AB=b,AF=c,

??FM工BC,

試卷第12頁，共105頁

，NFBM=45。，

/.MF=MB=sinNFBMxFB=—FB,

2

6

BF=sinZFEBxEB=—BE,

2

：,MF=MB=-BE=-(b-d),

22

在此△FMC中,

222

FC=FM+MC9

即cJ(容)2+符

+a)2,

整理得：c2=g(/+b2),

AF2=-(AD2+AB2).

2

(3)①當E在線段AB上時，如圖

???BE」AB,

2

???PE=BE=AE,

?.DE平分NADC,

ZADE=NCDE,

QABHCD,

???ZAED=ZEDC,

:.ZADE=ZAED,

AE=AD,

:.PE=AD,

???四邊形APED是平行四邊形，S^E=S^DE,

-,-AE//CD,

:./\AEG^^CDG,

EGAE

---=---,

GDCD

???AE=BE=-AB=-CD

22f

?AE_1

"CD~2f

EG1

---=一，

GD2

??5八八面=3S、AEG，

??S&CGD=4s，

??S,'APE?S&C[)G=3:4.

②當石在A8的延長線上時，如圖,

EP

\-BE=-AB,

2

33

...AE=-AB=-CD,

22

-：EP=BE=\AE=^-ADfAD//EP,

33

S1

S-3，

"AADEJ

3

由①可得AO=AE=-C￡),

2

?.?AE//CD,

.-.△AEG^ACDG,

EGAEAG3

——=——=——=-,

GDCDCG2

EG3

..=一,

DE5

.S&ADE=DE=5

S&AEGEG3

.S"G￡』AEY/3丫_9

S“GDVCD)I2J4，

試卷第14頁，共105頁

.=S“APE.S&ADE.=_1*3義2=3

S^CDGS-AD&S&AEGS&CGD3344

35

綜上所述，VAPE與ACZ）G面積的比值為=或=.

44

【點睛】

本題考查了軸對稱的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形相似，勾股

定理，銳角三角函數(shù)，相似比的概念，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，

矩形的性質(zhì)與判定，知識點比較多，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-Y+法+c交x軸于點A和C（1,O）,交y軸

于點3（0,3）,拋物線的對稱軸交x軸于點E,交拋物線于點F.

（1）求拋物線的解析式；

（2）將線段OE繞著點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段。白，旋轉(zhuǎn)角為a（0°<a<90。）,

連接A?,BE：求BE*；A?的最小值.

（3）M為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點N,使得以A,B,M,

N為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點N的橫坐標；若不存在，請說明理

由：

【答案】（1）y=-f_2x+3；（2）叵;（3）存在，N點的橫坐標分別為：2,-1,

3

―1+>f5或-1—

~-2-'

【解析】

【分析】

（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，設(shè)解析式為y=-f+bx+c將C（l,0）,磯0,3）兩

點代入求得b，C的值即可；

(2)胡不歸問題，要求的值，將折線化為直線，構(gòu)造相似三角形將3AE，轉(zhuǎn)

化為工。？，再利用三角形兩邊之和大于第三邊求得最值；

33

(3)分2種情形討論：①48為矩形的一條邊，利用等腰直角三角形三角形的性質(zhì)可以

求得N點的坐標；

②48為矩形的對角線，設(shè)R為A8的中點,RN=gAB,利用兩點距離公式求解方程可得N

點的坐標.

【詳解】

解：(1)Vy=-x2+&x+ciiC(l,O),8(0,3)

.J-l+/?+c=0

Z?=-2,c=3

???拋物線的解析式為：y=—%2_2x+3

(2)在OE上取一點。，使得O￡?=goE,連接BD

,:OD=-OE=-OE'

33

對稱軸x=U=-l.

A￡（-1,0）,OE=\

OE'=OE=1,OA=3

.OE'

—/DOE'=NE'OA

,9~OAOE'3

:.^DOE'^^E'OA

試卷第16頁，共105頁

??.DE'=-AE'

3

BE'+-AE'=BE'+DE'

3

當B,E',。三點在同一點直線上時，BE*DE'最小為BD.

在RtM。。中，。。=3，OB=3

BD=yJOB2+OD2=「=警

即8斤+!4?最小值為返.

33

（3）情形①如圖，AB為矩形的一條邊時，

y=0

聯(lián)立

y=-x~—2x+3

,[x=-3[x=1

得n'\n

[y=0[y=0

..A(-3,0)Q=3

-,-OB=3

.?.VABO是等腰Rt&,NBAO=45°

分別過A,8兩點作A8的垂線，交y=-f-2x+3于點N，N-

過M，小作N|Q_Ly軸，N/lx軸,

ZQBNt=ZPAN2=45°

△BN|Q,Z\ANj也是等腰直角三角形

設(shè)。8=根，則N|Q="?,所以N|（-，w+3）

代入y=-f-2x+3,解得犯=1,，々=0（不符題意，舍）

AT,（-1,4）

同理，設(shè)"=〃，貝i」PN=〃+3,所以

代入y=-f-2x+3,解得n1=2,%=-3（不符題意，舍）

，M(2,-5)

②AB為矩形的對角線，設(shè)R為A8的中點，則RN=gA8

A(—3,0),B(0,3)

R(-5，三)，AB=辦?+3?=3>/2

RB=-AB=^-

22

?.■RN=-AB

2

：.RN也

2

設(shè)N(X,—X2-2X+3),則

整理得：x(x+3)(/+X-1)=0

解得：x,=0(不符題意，舍)，X2=-3(不符題意，舍),

-l+>/5-1-V5

三二—;—，5二-z—

試卷第18頁，共105頁

2或￥

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函數(shù)

與一次函數(shù)交點，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，平面直角坐標系中兩點距離計算

等知識，能正確做出輔助線，找到相似三角形是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在RtZkABC中，點尸為斜邊8c上一動點，將ZVIBP沿直線"折疊，使得點

8的對應(yīng)點為g，連接4B"CB',BB'，PB'.

(1)如圖①，若尸8'_LAC,證明：Pff=AB'.

(2)如圖②，若4?=AC,BP=3PC,求cos/B'AC的值.

pc

(3)如圖③，若NACB=30。,是否存在點使得/3=C9.若存在，求此時會的

BC

值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析；(2)j；(3)存在，g的值為;或

5DC/4

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得=再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得

ZAB，P=ZABP,PB，=PB,從而可得NCPg=WP,然后根據(jù)平行線的判定可得

AB'HBC,最后根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)即可得證；

(2)設(shè)AC與PB'的交點為點。,過點。作OO_LA8'于點D,設(shè)AB=AC=4a(a>0),

從而可得8c=4缶，先證出ACOP~J'OA,從而可得如=絲=匹=受，設(shè)

OB'OAAB'4

OC=?,O8'=4〃S>0),根據(jù)線段的和差可得OP=3夜a-4404=4”-岳，代入可

求出b=迪“，從而可得0A="a,再在R/VB'OD中，解直角三角形可得

77

血=2而=梟，由此可得4。=當，然后在放△40。中，根據(jù)余弦三角函數(shù)的定

77

義即可得；

(3)如圖(見解析)，設(shè)A8=CB'=2"?("7>0)，從而可得BC=4m,AC=2?n,A8'=2/n,

分①點B'在直線AC的左側(cè)；②點9在直線AC的右側(cè)兩種情況，再分別利用等邊三角

形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】

(1)證明：-.-PB'rAC,ZBAC=90°,

PB'HAB,

；.NCPB'=ZABP,

由折疊的性質(zhì)得：/AB'P=AABP,PB'=PB,

NCPB'=ZAffP,

AB'HBC,

二四邊形是平行四邊形，

又?；PB'=PB,

二平行四邊形A8P?是菱形，

PB'=AB1;

(2)如圖，設(shè)AC與的交點為點。，過點。作于點￡),

試卷第20頁，共105頁

-,-AB=AC,

.?./?/AABC是等腰三角形，ZABC=Z4CB=45°,

設(shè)AB=AC=4a(a>0),則8c=4&〃，

?;BP=3PC,

BP=342a,PC=>/2a,

由折疊的性質(zhì)得：ZAB'P=AABP=45°,PB'=PB=3y/2a,AB'=AB=4a，

NOCP=NOB'A=45。

在ACOP和/OA中,

NCOP=NB'OA

;.ACOP~AB'OA,

.OC=OP=PC=6a=近

"OB'~OA~AB'~4a~4'

設(shè)OC=-J2h[b>0),則OB'=Ah,OP=3?-4b,OA=4a-近b,

.OP3伍-

"OA~4a-42b~4，

解得6=迪〃，

7

?K4a20

OA=4a-\J2x-----a=—a，

77

在RfVB'OD中,B，D=OB，cosAAB，P=26b=2a,

7

12

AD=AB,-B,D=—a

7f

12

*~~~~aQ

則cosZB'AC=——==-；

OA205

——a

7

(3)?.?NAa5=30°,NBAC=90°,

.-.ZABC=60°,

設(shè)AB=CB'=2m(nt>0),則BC=4m,AC=>JBC2-AB2=28n，

由折疊的性質(zhì)得：NAB'P=ZABP=60°,AB'=：AB=2m,

：.AB^-CB'=2m,

由題意，分以下兩種情況：

①如圖，當點"在直線AC的左側(cè)時，過點B'作8ELAC于點E,

:.CE=；AC=^m（等腰三角形的三線合一），

B'E=yjB'C2-CE2=m=-B'C,

2

在RNFCE中，AB'CE=30°,

ZB'CP=ZSCE+ZACB=300+30°=60°,

又=

:.ZB'AC=ZB'CE=30°,

ZAB'C=180°-ASAC-ZB'CE=120°,

.-.ZCffP=ZAB'C-ZAB'P=120。一60°=60°,

.?.△CQP是等邊三角形，

:.PC=CB'=2m,

PC2m1

——=—=-；

BC4/n2

②如圖，當點8'在直線AC的右側(cè)時，過點8'作8'尸，4c于點產(chǎn),

同理可得：NB'CF=30。,

:.ZB'CF=ZACB,

二點9在8C上，

試卷第22頁，共105頁

由折疊的性質(zhì)得：

在aAA8P中，BP=ABcosZABC=m,

/.PC=BC—BP=3/71,

.pC3m_3

,,正一麗一“

綜上，存在點P,使得鉆=色，此時諼的值為;或

【點睛】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、折疊的性質(zhì)、

等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題(3),正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

8.如圖，為了測量河對岸兩點A,B之間的距離，在河岸這邊取點C,D.測得CD=80m,

ZACD=90°,ZBCD=45°,ZAZ)C=19°17,ZBDC=56°19',設(shè)A,B,C,。在同

一平面內(nèi),求A,B兩點之間的距離.(參考數(shù)據(jù)：tan19017(?0.35,tan56°19Z?1.50.)

【答案】52m

【解析】

【分析】

作BELC。于E,作交C4延長線于凡先證明四邊形CEB尸是正方形，設(shè)

CE=BE-xm,

根據(jù)三角函數(shù)表示出OE,根據(jù)CQ=80m列方程求出CE=BE=48m,進而求出

CF=BF=48m,解直角三角形AC。求出AC,得到AF,根據(jù)勾股定理即可求出A8,問

題得解.

【詳解】

解：如圖，作8￡，(7。于瓦作BFLCA交CA延長線于F.

,：ZFCD=90°,

二四邊形CEB尸是矩形，

-：BELCD,ZBCD=45°,

：.ZBCE=ZCBE=45°f

：.CE=BE,

???矩形CEBF是正方形.

設(shè)CE=BE=xm,

在RIA8OE中，

BEx2

DE=-------------=--------------xm,

tanZBDEtan56。19'3

??8=80m,

/.x+—x=80,

3

解得448,

.*.C￡=BE=48m,

???四邊形CEBr是正方形，

???CF=BF=48m,

;在R3ACO中，AC=CD*tanZADC=80xtan19°17r^80x0.35=28m,

：.AF=CF-AC=20m9

工在放△AB/中，ABVAF+BF?=,2()2+482=52m,

???4,B兩點之間的距離是52m.

【點睛】

本題考查了解直角三角形應(yīng)用，理解題意，添加輔助線構(gòu)造正方形和直角三角形是解題

關(guān)鍵.

9.計算求解

(1)計算(；尸—(廂-癡)土石+6tan30。

1.5(20x+10y)=15000

(2)解方程組

1.2(110x+120y)=97200

試卷第24頁，共105頁

……fx=300

【答案】⑴2；(2)\/

[y=400

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)二次根式的運算法則、三角函數(shù)值逐個代入求解即可;

(2)先化簡方程，然后再使用加減消元法求解即可.

【詳解】

解：(1)原式=3-2石+6+1=3-2+1=2,

故答案為：2；

⑵由，戒一忠可知一：]f[l..25((121O0x++1012y0)y=)1=590700200)

2x+y=1000…①

化簡得

llx+12y=810…②

①xl2-②得：13x=3900,

解得x=300,

把x=300代入①得：y=400

_,fx=300

.?.方程組的解為：.

[y=44n0n0

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的解法、二次根式的四則運算法則、特殊角的三角函數(shù)等,

屬于基礎(chǔ)題，運算過程中細心即可求解.

10.閱讀與思考，請閱讀下列科普材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

圖算法

圖算法也叫諾模圖，是根據(jù)幾何原理，將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量，分別編成有

刻度的直線(或曲線)，并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形，可以用來解函

數(shù)式中的未知量.比如想知道10攝氏度相當于多少華氏度，我們可根據(jù)攝氏溫度與華

9

F=-C+32

氏溫度之間的關(guān)系：5得出，當C=10時，尸=50.但是如果你的溫度計上

有華氏溫標刻度，就可以從溫度計上直接讀出答案，這種利用特制的線條進行計算的方

法就是圖算法.

再看一個例子：設(shè)有兩只電阻，分別為5千歐和7.5千歐，問并聯(lián)后的電阻值是多少？

111

—=--1--

我們可以利用公式RN4求得R的值，也可以設(shè)計一種圖算法直接得出結(jié)果：我

們先來畫出一個120°的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位

長度進行刻度，這樣就制好了一張算圖.我們只要把角的兩邊刻著7.5和5的兩點連成

一條直線，這條直線與角平分線的交點的刻度值就是并聯(lián)后的電阻值.

圖算法得出的數(shù)據(jù)大多是近似值，但在大多數(shù)情況下是夠用的，那些需要用同一類公式

進行計算的測量制圖人員，往往更能體會到它的優(yōu)越性.

任務(wù)：

（1）請根據(jù)以上材料簡要說明圖算法的優(yōu)越性；

（2）請用以下兩種方法驗證第二個例子中圖算法的正確性：

人111

①用公式方="+丁計算：當6=7.5,4=5時，R的值為多少；

AA]N

②如圖，在AAOB中，NAQ8=120°,OC是AAOB的角平分線，。4=7.5,08=5,用

你所學(xué)的幾何知識求線段0C的長.

試卷第26頁，共105頁

cB

【答案】（1）圖算法方便；直觀：或不用公式計算即可得出結(jié)果等；（2）①R=3；②OC=3

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意可直接進行求解問題；

（2）①利用公式可直接把N=7.5,4=5代入求解即可；②過點A作40〃CO,交BO

的延長線于點由題意易得Nl=N2=60。，則有N3=N2=60。，ZM=N1=6O。，然

后可得△04〃為等邊三角形，則AM=04=7.5,所以可得,最

后利用相似三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

（1）解：答案不唯一，如：圖算法方便；直觀：或不用公式計算即可得出結(jié)果等.

J___LJ__J_1_7-54-51

(2)①解：當a=7.5,g=5時,

,一耳瓦一云5-7.5x5-3

???R=3.

②解：過點A作AM//CO,交30的延長線于點如圖所示:

OC平分ZAO8,

??.Z1=Z2=-ZAOB=-xl20°=60°,

22

AM//CO,

AZ3=Z2=60°,ZM=Z1=6O°,

AZ3=ZM=60°,

：.OA=OM,

???△04〃為等邊三角形，

：.OM=AM=OA=1.59

VZB=ZB,Z1=ZM,

,PCBO

??忘一麗’

.0C-5

??石一5+7.5‘

:.OC=3.

【點睛】

本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角

形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，。為線段尸8上一點，以。為圓心03長為半徑的。。交所于點A,點C在

。。上，連接尸C,滿足PC2=PA.PB.

(1)求證：PC是。。的切線；

AT

(2)若A8=3PA,求一的值.

BC

【答案】(1)見解析；(2)!

【解析】

【分析】

(1)連接OC,把PC'RVPB轉(zhuǎn)化為比例式，利用三角形相似證明48=90。即可;

(2)利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

(1)證明：連接OC

試卷第28頁，共105頁

:.4PAes#CB

:.NPAC=/PCB,/PCA=/PBC

,:ZPCO=/PCB-NOCB

:.ZPCO=ZPAC-ZOCB

又＜OC=OB

:./OCB=/OBC

:.ZPCO=APAC-ZABC=ZACB

己知。是OO上的點，AB是直徑，

???ZACB=90°,

??.ZPCO=90°

:.AC±POf

???PC是圓的切線；

(2)設(shè)AP=Q,則A8=3a,r=1.5a

：.OC=l.5a

在RtAJY;。中

?；OP=2.5a,OC=1.5。，

???PC=2a

已知)ACs公PCB,

ACPA

~BC~~PC

**1

??一?

BC2

【點睛】

本題考查了切線的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的判定方

法，靈活運用三角形相似的判定證明相似，運用勾股定理計算是解題的關(guān)鍵.

12.某種落地燈如圖1所示，AB為立桿，其高為84cm；8c為支桿，它可繞點8旋轉(zhuǎn)，

其中長為54cm；OE為懸桿，滑動懸桿可調(diào)節(jié)C。的長度.支桿BC與懸桿。“之

間的夾角N3CD為60。.

EEE

C

(1)如圖2,當支桿8c與地面垂直，且CO的長為50cm時，求燈泡懸掛點。距離地

面的高度；

(2)在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿8c繞點B順時針旋轉(zhuǎn)20。，同時調(diào)節(jié)CO的長(如

圖3),此時測得燈泡懸掛點。到地面的距離為90cm,求CD的長.(結(jié)果精確到1cm,

參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.34,cos200-0.94,tan20°?0.36,sin40°?0.64,cos400-0.77,

tan400a0.84)

【答案】(1)點。距離地面113厘米；(2)C短長為58厘米

【解析】

【分析】

(1)過點。作。尸，交BC于尸，利用60。三角函數(shù)可求FC,根據(jù)線段和差

E4=AB+BC-CF求即可；

(2)過點C作CG垂直于地面于點G,過點5作8NLCG交CG于點N,過點。作

DMLCG交CG于點M,可證四邊形ABGN為矩形，利用三角函數(shù)先求

CN=BCxcos20°?50.76(cm),利用MG與CN的重疊部分求MN=6(cm),然后求出

CM,利用三角函數(shù)即可求出CD

【詳解】

解：(1)過點。作DFLBC交BC于尸，

VZFC￡)=60°,ZCFD=90°

FC=CDxcos60°,

試卷第30頁，共105頁

=25(cm),

.?.￡4=A8+BC—b=84+54—25=113(cm),

答：點。距離地面113厘米；

圖2

(2)過點C作CG垂直于地面于點G,

過點、B作BN工CG交CG于點、N,

過點。作。MLCG交CG于點

???NBAG=NAGN=NBNG=90。,

???四邊形ABGN為短形,

???A8=GN=84(cm),

VBC=54(cm),將支桿3c繞點5順時針旋轉(zhuǎn)20°,

AZBCN=20°fZMCD=ZBCD-ZBCN=40°,

CN=BCxcos20°,

=54x0.94,

=50.76(cm),

：.CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm),

???MN=CN+MG-CG=50.76+90-134.76=6(cm),

*.*MN=6(cm),

?,.CM=CN-MN=44.76(cm),

;CM=44.76(cm),

ACD=CM-cos40°,

=44.76-0.77,

?58(cm),

答：CO長為58厘米.

圖3

【點睛】

本題考查解直角三角形應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，掌握銳角三角函數(shù)的定義，矩形判定

與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.【推理】

如圖1,在正方形ABC。中，點E是上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在

點尸處，連結(jié)BE,CF,延長CF交AO于點G.

(1)求證：AfiCE^XCDG.

【運用】

(2)如圖2,在【推理】條件下，延長所交AZ)于點若挈=金，CE=9,求線

Hr5

段。E的長.

【拓展】

(3)將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF,延長CF,交直線于G,

試卷第32頁，共105頁

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)4sA證明△BCE空CDG；

(2)由(1)得CE=DG=9,由折疊得/3CF=N8FC,進一步證明“尸=HG,由勾

股定理得HF2+FE2=DH2+DE2，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可;

(3)如圖，連結(jié)分點”在力點左邊和點”在。點右邊兩種情況，利用相似三角

形的判定與性質(zhì)得出DE的長，再由勾股定理得“尸2+房2=。42+。爐，代入相關(guān)數(shù)

據(jù)求解即可.

【詳解】

(1)如圖，由J5CE折疊得到,

;.BELCF,

ZECF+ZBEC=90°.

又???四邊形A8CQ是正方形,

..N￡)=N3CE=90°,

.-.ZECF+ZCGD=90°,

:.NBEC=NCGD,

又；正方形A8C2

BC=CD,,

.△BCE之△CQG(A4S).

AGHD

由（1）得/XBCE空CDG,

：,CE=DG=9,

由折疊得8c=8/，CE=FE=9,

：./BCF=NBFC.

???四邊形AHC。是正方形，

/.AD//BC,

.?.ZBCG=ZHGF,

又?.,/BFC=4HFG,

:?/HFG=/HGF,

:,HF=HG.

HD4

—二一，DG=9,

HF5

，HD=4,HF=HG=5.

?/ZD=ZHFE=90°

：.HF2+FE2=DH2+DE2F

.-.52+92=42+DE2,

:.DE=3>/i0(。七=一3質(zhì)舍去).

(3)如圖,連結(jié)如E,

試卷第34頁，共105頁

,,HD4mDE

由已知---=一可設(shè)￡)”=4〃z,HG=5m,可令A(yù)---=x,

HF5EC

①當點”在。點左邊時，如圖,

同（2）可得，HF=HG,

:.DG=9m,

由折疊得

/.ZECF4-ZBEC=90°,

又???N￡>=90。,

:.ZECF+ZCGD=90°,

...4BEC=/CGD,

又?.?々?！辏?"=90。，

:./XCDGs^BCE,

DGCD

~CE~~BC

生=絲=3

BCBC

9mk

CE=T

:.CE=—=FE,

k

cl9mx

DE=------

k

?.?ZD=NHFE=90。，

2222

.\HF+FE=DH+DE9

/.(5/n)2+=(4/71)2+9mx

~~k~

一口3舍去）.

:.x=

DE

~EC

②當點H在。點右邊時，如圖,

同理得=「.ZX；："?,

同理可得△6CEs/\CDG,

可得。e='=隹，DE=—,

kk

HF2+F