中考數(shù)學(xué)壓軸題（幾何模型30講）

中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題1《一元二次方程的特殊根》

破解策略

1.一元二次方程的有理根

關(guān)于*的一元二次方程a^+灰+。=0（aNO,a,b,c為有理數(shù)）存在有理根的條件

為：4ac是一個有理數(shù)的平方.

解決一元二次方程af+bx+c=O（a#0,a,b,。為有理數(shù)）的有理根問題時，一般

的解題策略有：

（1）利用“判別式的取值范圍”解題

①討論二次項系數(shù)的情況，當(dāng)a/0時，求出判別式；

②根據(jù)已知條件得待定系數(shù)的取值范圍，再求出判別式的取值范圍，篩選出其中為有理

數(shù)的平方的數(shù)；

③求出待定系數(shù)的可能取值，并檢驗.

（2）利用“判別式是一個有理數(shù)的平方”解題

①討論二次項系數(shù)的情況，當(dāng)aNO時，將方程的系數(shù)整數(shù)化，求出判別式；

②將判別式寫成的形式（M為關(guān)于待定系數(shù)的整式，t為整數(shù)），設(shè)〃一￡=

m（卬為非負(fù)有理數(shù)）

③可得（V+加）（Af—277）—t,解此不定方程；

④求出待定系數(shù)的可能取值，并檢驗.

2.一元二次方程的整數(shù)根

對于一元二次方程af+8x+c=0（a#0,a,b,c為有理數(shù)）而言，方程的根為整數(shù)

且必為有理數(shù)，所以有理根存在的條件是整數(shù)根存在的必要條件.

解決方程a/+6x+c=0的整數(shù)根問題，除了利用“判別式的取值范圍”和“判別式是

一個有理數(shù)的平方”來解題外，還可以利用“根與系數(shù)的關(guān)系”和“因式分解”來解決問題.

（1）利用“根與系數(shù)的關(guān)系”解題

①討論二次項系數(shù)的情況，當(dāng)aNO時，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根的和與積；

②將兩根的和與積的代數(shù)式寫成一個整式與一個分式的和的形式（類似于分離常量）；

③由分式的結(jié)果一定為整數(shù)，根據(jù)整除的性質(zhì)得到分式的分母一定是分子的約數(shù)，從而

求出待定系數(shù)的可能取值；

（2）利用“因式分解”解題

①討論二次項系數(shù)的情況，當(dāng)a刈時，將方程化為（mix+m）（nkx+m）=0的形式;

②求出方程的兩根，為=一"和生=—生；

"?]m2

③利用分離常量的方法，將-改變成一個常數(shù)與一個分式的和；

mx嗎

④根據(jù)整除的性質(zhì)，得到分式的分母一定是分子的約數(shù)，從而求出待定系數(shù)的可能取值;

⑤將待定系數(shù)的可能取值代入原方程檢驗并確定結(jié)果.

需要注意的是，要看清楚題中說的是方程有整數(shù)根還是方程的根為整數(shù).

3.分離常量

在利用“根與系數(shù)的關(guān)系”解題和利用“因式分解”解題的過程中都提到了分離常量，

所謂分離常量就是從分式中化出一個常數(shù)，例如：

z-xm-2TW+1-3/n+1313

①-------=------------=------------------=1----------；

m+\in+1m+\m+{m+\

②—m—2—m—1—1—（m+1）111

m+\m+1m+\m+\m+X

/2/n+32m+2+12（m+1）11

⑶--------=-------------=------------1--------=2d--------；

tn+\〃?+1m+\m+\tn+\

—3/%—1—3/72—3+2—3（團(tuán)+1）22

6+1m+\7724-17724-1m+\

例題講解：

例1已知整數(shù)m滿足6<z?7<20,如果關(guān)于x的一元二次方程mx一（2加-1）x+7一2

=0有有理根，求/〃的值及方程的根.

解：若原方程的根為有理數(shù)，

則4=（2/77—1）2—4%（加-2）=4〃?+1應(yīng)為某個有理數(shù)的平方.

已知6<^<20,所以25v4R+1<B1,

而4zz?+1是奇數(shù)，從而4//?+1=49,

得m=12,

所以原方程變?yōu)?2x—23x+10=0,

2s

解得X\=—1X2=—?

34

25

故m=12時，方程有有理根，此時方程的根為Xl=—,X2=—?

34

例2設(shè)勿是不為零的整數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程力/—（%—1）才+1=0有有理根，

求切的值.

解若原方程的根為有理數(shù)，

則4=（勿一1）2—4勿=（加一3）2—8應(yīng)為某個有理數(shù)的平方.

令（777-3）2—8=n（/?>0）,顯然〃也為整數(shù)，

所以（卬-3+〃）（加一3一刀）=8.

由于加一3+〃>/一3一〃，并且（加一3+〃）+（/Z7—3—/?）=2（加一3）是偶數(shù)，

所以加一3+〃和m—3—n同奇偶，

fm?3+n=4-（加一3+〃=-2“門｛m=6叱=0

所以《）八或《），；解得《]，（舍）.

[m-3-n=2[m-3-n=-4[H,=1n2=1

所以當(dāng)卬=6時，方程有兩個有理根，分別為叢=,，x2=~.

23

例3關(guān)于x的一元二次方程r?+5+2）x+r—1=0有且只整數(shù)根，求整數(shù)r的值.

解：當(dāng)r=0時，原方程無整數(shù)根；

當(dāng)rWO時，由根與系數(shù)的關(guān)系可得

,r+22r-1I

X\-\-X2=--------=-11——,X\*X2=-------=11——.

rrrr

因為E,X2都是整數(shù)，

21

所以M+尼和汨均為整數(shù)，從而白，上均為整數(shù).

rr

而廣為整數(shù)，所以T=±l.

當(dāng)丁=一1時，原方程的解不為整數(shù)，不符合條件；

當(dāng)r=l時，原方程的解為為=0,xi——Z.

綜上可得，整數(shù)r=l.

例4在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨將橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱之為“中國結(jié)”，

若二次函數(shù)了=（爐—34+2）/+（2如一44+1）x+始一%（〃為常數(shù)）的圖象與x軸相交得

到兩個不同的“中國結(jié)”，試問：該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一

共包含有多少個“中國結(jié)”？

解：令y=O,即（優(yōu)—3A+2）y+（2A2—4A+1）x+如一k=0,

因式分解，得［（在—1）x+用［（k-2）x+4-1］=0

由題意可得汨，汝均為整數(shù)，所以一匚，,也均為整數(shù),

k-\k-2

設(shè)----=m（m片0,加為整數(shù)），則〃=—+1,

11m-(1-H4-11

--=-------=----=-----/--)--=-1H---

所以1一必=±1,即仍=0（舍），加2=2,

3

從而得到k=-.

2

11Q1

所以二次函數(shù)表達(dá)式為了=一上f一=-上（%+1）2+1

4244

二次函數(shù)圖象如下圖所示，則該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一

共包含6個"中國結(jié)"，分別為：（-3,0）,（—2,0）,（―1,0）,（—1,1）,（0,

0），（1,0）.

進(jìn)階訓(xùn)練

1.已知加為有理數(shù)，問：〃為何值時，關(guān)于x的方程V—4wx+4x+3m2—20+44=0

的根為有理數(shù)？

解：k——-

【提示】若原方程的根為有理數(shù)，則△=4加-6m+4（1—8］應(yīng)為某個有理數(shù)的平方.

所以4（1—k）=9,即k=——.

2.已知關(guān)于x的方程2（2勿-3）入+4加2—14/8=0（心0）有兩個不相等的實(shí)數(shù)

根，若12<〃<40,且方程的兩個根均為整數(shù)，求整數(shù)卬的值.

解：加=24.

【提示】若原方程的根為有理數(shù)，則△=4（2?+l）應(yīng)為某個有理數(shù)的平方，由12<zz;

<40,所以25<2m+l<B1,而2w+l為奇數(shù)，則2m+1=49,即卬=24.

3.已知方程（*—1）f_3（3A-1）x+18=0有正整數(shù)根，求整數(shù)4的值.

解：k=0,1,2,4,5.

【提示】先討論二次項系數(shù)是否為0,當(dāng)A=1時，方程有正整數(shù)根，當(dāng)^一1=0時，

原方程可整理為["+1）A-6][（A-1）x—3]=0,解得荀=工，生=上，而方程

k+ik-1

有正整數(shù)根，所以4=0,1,2,4,5,綜上，k=0,1,2,4,5.

4.求使關(guān)于x的方程（a+1）V—（才+1）x+2/—6=0的根均為整數(shù)的所有整數(shù)a.

解：a=-3,-2,0,1.

【提示】①當(dāng)a=—1時，方程變?yōu)橐?x—4=0,解得x=—2,符合要求；②當(dāng)aW-

1時，設(shè)方程的兩個整數(shù)根為,,小則由根與系數(shù)的關(guān)系可得加+'=巴上=a—1+二一,

。+1。+1

2CT—6Q,［、4

汨?尼=------=2(a—1)--------

。+14+1

2

因為也都是整數(shù)，所以山+至和小?加均為整數(shù)，即上為整數(shù)，所以日=一3,一

Q+1

2,0,1.

經(jīng)檢驗，得到當(dāng)a=-3,—2,0,1時，方程的根均為整數(shù).

專題2《函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系》

破解策略

1.函數(shù)與方程的關(guān)系

(1)關(guān)于x的一元二次方程aV+bx+c=O(HHO)的解＜=＞拋物線/=己/+"+。(a#0)

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；

(2)關(guān)于x的一元二次方程ax+bx-\-c=mx+n(H加的解u＞拋物線y=ax2+bx+c

(aWO)與直線y=〃/x+〃(/WO)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.

2.函數(shù)與不等式的關(guān)系

(1)關(guān)于才的不等式aV+Ax+cOO(aWO)的解集o拋物線/=加+6/+。(aWO)位于

x軸上方的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；

(2)關(guān)于才的不等式薪+Ax+cVO(aWO)的解集o拋物線(aWO)位于

x軸下方的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；

(3)關(guān)于x的不等式aV+6x+c＞加彳+〃(加aWO)的解集o拋物線/=加+"+。(8之。)

位于直線尸勿x+〃(礙0)上方的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；

(4)關(guān)于x的不等式/+6彳+。＜：R汗+/7"aWO)的解集u＞拋物線夕=加+6汗+。(aWO)

位于直線尸勿x+〃(0#0)下方的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.

例題講解

例1在平面直角坐標(biāo)系x勿中，拋物線尸加v2-2加氏-2(勿關(guān)0)與y軸交于點(diǎn)力，其對稱

軸與x軸交于點(diǎn)B.若該拋物線在一2VxV—1這一段位于直線/：y=—2x+2的上方，并

且在2VxV3這一段位于直線47的下方，求該拋物線的表達(dá)式.

解：如圖，因為拋物線的對稱軸是才=1,且直線/與直線四關(guān)于對稱軸對稱.

所以拋物線在一1Vx＜0這一段位于直線1的下方.

又因為拋物線在一2VxV—1這一段位于直線/的上方，所以拋物線與直線/的一個交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為一L

當(dāng)才=-1時，y=—2X(—1)+2=4,則拋物線過點(diǎn)(一1,4),將(一1,4)代入y=

mx—2mx—29得m+2/?—2=4,則m=2.所以拋物線的表達(dá)式為尸2/—4x—2.

例2已知y=/+"+c(aW0)的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)一IWxWl時，一lWyWl,

且拋物線經(jīng)過點(diǎn)力(1,-1)和點(diǎn)6(—1,1).求a的取值范圍.

解：因為拋物線+Ax+c經(jīng)過力(1,—1)和點(diǎn)8(―1,1),代入得a+6+c=-1,

a-Z?+c=l,

所以a+c=0,Z?=—1,則拋物線尸HA2—x-a,對稱軸為彳=工.

①當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下，且x=」-V0,

2a

如圖可知，當(dāng)」-w—1時符合題意，所以一1wa<0.

2a2

當(dāng)一iCvo時，圖像不符合一1WJ<1的要求，舍去.

2a

②當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，且->0.

2a

如圖可知，當(dāng)時符合題意，所以0<aW1.

2a2

當(dāng)o<_L<i時，圖像不符合一iwzi的要求，舍去.

2a

綜上所述，a的取值范圍是一』Wa<0或0<aW」.

22

例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)ra")和點(diǎn)(Xa,?)給出如下定義：

[~ba<1

則稱點(diǎn)。為點(diǎn)尸的限變點(diǎn).

例如：點(diǎn)(2,3)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,3),點(diǎn)(-2,5)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,-5).

(1)若點(diǎn)P在函數(shù)y=-x+3(-2WxW〃，k>-2)的圖象上，其限變點(diǎn)。的縱坐標(biāo)6,

的取值范圍是<2,求A的取值范圍；

(2)若點(diǎn)P在關(guān)于x的二次函數(shù)y=f-25+/+t的圖象上，其限變點(diǎn)0的縱坐標(biāo)〃的

取值范圍是6'》/或6'<n,其中/>/?.令s=m-n,求s關(guān)于t的函數(shù)解析式及s的取

值范圍.

C_y-|0y->1

解：(1)依題意，y=-x+3(x2-2)圖象上的點(diǎn)夕的限變點(diǎn)必在函數(shù)y=一,一

[x-3-2<x<I

的圖象上.

：.b'W2,即當(dāng)x=l時，b'取最大值2.

當(dāng)〃=-2時，-2=-x+3.

x=5.

當(dāng)b'=-5時，-5=x-3或-5=-x+3.

x=-2或x=8.

：-5W//W2,

由圖象可知，％的取值范圍是5WAW8.

(2)'Jy—x-21%+t2+t—(%-t)J+t,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3t).

若t<l,b'的取值范圍是〃2/或〃<n,與題意不符.

若當(dāng)時，y的最小值為t,即卬=t；

當(dāng)x<\時，y的值小于-[(1-力,+句，即〃=-[(1-力2+句.

s—m-n=f+(1-t)，'+t=/+1.

；.s關(guān)于1的函數(shù)解析式為s=/+l-

當(dāng)力=1時，s取最小值2,

的取值范圍是s》2.

故答案為(石，1)；點(diǎn)8；5WAW8；s22.

進(jìn)階訓(xùn)練

1.若關(guān)于x的一元二次方程/+ax+6=0有兩個不同的實(shí)數(shù)根用，n(m<n),方程f+ax

+6=1有兩個不同的實(shí)數(shù)根p,q(p<?).則加，n,p,g的大小關(guān)系為()

A.m<p<q<nB.p<m<n<qC.m<p<n<qD.p</n<q<n

B

【提示】函數(shù)y=x?+ax+人和函數(shù)尸x'+al+6—1的圖像如圖所示，從而得到

<Q

解：函數(shù)y=d+ax+6如圖所示：

2.在平面直角坐標(biāo)系X。中，p(/?,0)是x軸上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)戶作垂直于x軸的直線，

交一次函數(shù)尸族+6的圖像于點(diǎn)弘交二次函數(shù)y=/-2x-3的圖像于點(diǎn)M若只有當(dāng)一2

<〃<2時，點(diǎn)M位于點(diǎn)川的上方，求這個一次函數(shù)的表達(dá)式.

y=-2x+l

【提示】依據(jù)題意并結(jié)合圖像可知，一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分

別為-2和2,由此可得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為-2和2,由此可得交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,5)和(2,

-3)將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)表達(dá)式即可

3.在平面直角坐標(biāo)系x加中，二次函數(shù)尸勿/—(2/?+1)*+勿-5的圖像與x軸有兩個公

共點(diǎn)，若加取滿足條件的最小整數(shù)，當(dāng)〃WxWl時，函數(shù)值y的取值范圍是一6WyW4一〃，

求〃的值

n的值為一2

【提示】根據(jù)已知可得加=1.圖像的對稱軸為直線x=±.當(dāng)〃WA<1V士時，函數(shù)值y

22

隨自變量x的增大而減小，所以當(dāng)*=1時，函數(shù)的值為-6,當(dāng)x=〃時，函數(shù)值為4一〃.所

以“2—3〃-4=4—〃，解得〃=—2或〃=4(不符合題意，舍去)，則〃的值為一2

專題3《函數(shù)圖象的公共點(diǎn)》

破解策略

根據(jù)公共點(diǎn)的個數(shù)，求待定系數(shù)的取值范圍的一般步驟為：

（1）畫圖.

（2）確定待定系數(shù)所在位置，明確圖象的變化趨勢.

例如:

①直線尸2x+6.其中待定系數(shù)是。則直線尸2x+6與直線y=2x是平行或重合的；

②直線尸履一1,其中待定系數(shù)是k則直線尸版一1是繞著固定點(diǎn)（0,-7）旋轉(zhuǎn)的；

③拋物線y=a?+5.其中待定系數(shù)是a,則該拋物線的頂點(diǎn)是固定的，開口大小和方向是

變化的；

④拋物線y^x+bx+c,其中待定系數(shù)是b,c.則可將一般式化為頂點(diǎn)式，再將拋物線y

上下左右平移得到.

（3）找臨界點(diǎn)，

例題講解

1o

例1若二次函數(shù)y=-X-的圖象與y軸的交點(diǎn)為A.過點(diǎn)力作直線/〃x軸.將

33

拋物線在y軸左側(cè)部分沿直線/翻折，其余部分保持不變.得到一個新圖象，直線

3

+6與新圖象只有一個公共點(diǎn)夕（旅，火），且求6的取值范圍.

解：當(dāng)直線K=1X+6經(jīng)過點(diǎn)（0,—1）時，得?=—/,

3

當(dāng)直線與原拋物線只有一個交點(diǎn)時，令,V-2x—i='x+b,

333

整理得產(chǎn)一3x—3—36=0.

7

則4=9+4（3+36）=0,即。=一」；

4

1°o

當(dāng)一x-—才一1=7時，解得小=6,在=—4（舍），

33

將（6,7）代入直線得6=5.

3

7

結(jié)合函數(shù)圖象，可得當(dāng)一或6<-'時，直線與新圖象只有一個公共點(diǎn).

例2若二次函數(shù)了=-次+2*+3的圖象與x軸交于力，8兩點(diǎn)，將此圖象在x軸下方的部

分沿x軸翻折?其余部分保持不變，得到一個新圖象.當(dāng)直線y=%x+3與新圖象恰有三個

公共點(diǎn)時，求〃的值.

解：當(dāng)直線尸Ax+3經(jīng)過點(diǎn)4(-1,0)時，得4=3;

當(dāng)直線尸履+3經(jīng)過點(diǎn)6(3,0)時，得〃=一1；

當(dāng)直線與原拋物線只有一個公共點(diǎn)時，令A(yù)x+3=—f+2x+3,則4=(4—2)2=0.即4

=2.

結(jié)合函數(shù)圖象.可得當(dāng)4=-1,2或3時，直線y=4x+3與新圖象恰有三個公共點(diǎn).

例3已知拋物線。y=--(x—力(x—1+4)(常數(shù)t>0)與雙曲線尸-9有個交

2x

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為劉，且滿足4W&W6.通過/位置隨t變化的過程，求出力的取值范圍.

解：如圖，雙曲線在4Wx0<6時.1W%W三,所以/與雙曲線在點(diǎn)C(4,-).Z?(6,1)

22

之間的一段有個交點(diǎn)，圓為拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為(聯(lián)，0).(t-4,0)(t—4〈力，

所以50)在(力-4,0)的右側(cè).

31

由一=——(X—t)Cx—f+4)，x=4.得力=5.方2=7,

22

由1=——(x—t)(x—r+4).x=6,得/3=8—&,右=8+及.

2

因為5V8—&V7V8+拒，所以當(dāng)「=5時，￡右側(cè)過點(diǎn)C；

當(dāng)t=8—8時，￡右側(cè)過點(diǎn)。；

當(dāng)2=7時.￡左側(cè)過點(diǎn)C；

當(dāng)t=8+近時.￡左側(cè)過點(diǎn)〃；

所以或7W1W8+及

例4定義：對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量.x的一個值.當(dāng)xVO時，它們對應(yīng)的函數(shù)

值互為相反數(shù)；當(dāng)才20時，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù),

例如：一次函數(shù)y=-x—1,它的相關(guān)函數(shù)為夕=

Ix-1,x^O.

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(-士1，1).(Q-,1).連結(jié)版M求線段

22

助V與二次函數(shù)y=-f+4x+"的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個公共點(diǎn)時一，〃的取值范圍.

解由題意可得，二次函數(shù)y=—V+4x+〃的相關(guān)函數(shù)為：

Jx2-4x-w=(x-2)2-(n+4),jc<0；

'[-x?+4x+〃=-(x-2)2+(〃+4),x》0.

①當(dāng)相關(guān)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,1)時，如圖，此時〃+4=1.即"=-3;

②當(dāng)相關(guān)函教的圖形經(jīng)過點(diǎn)(0,-1)時，如圖，此時〃=-1;

③當(dāng)相關(guān)函數(shù)的圖形經(jīng)過點(diǎn)(0,1)時，如圖，此時〃=1;

x=2

④當(dāng)相關(guān)函數(shù)的圖形經(jīng)過點(diǎn)（一,，1）時.如圖，此時（-'）2-4X（-1）一〃=1,解

222

得〃=2.

4

結(jié)合函數(shù)圖象，滿足題意的n的取值范圍為一3V〃W—1或1.

4

例5在平面直角坐標(biāo)系不如中，拋物線夕=勿/-2〃/X+2（加WO）與y軸交于點(diǎn)力，其對稱

軸與x軸交于點(diǎn)反點(diǎn)乙〃在x軸上（點(diǎn)。在點(diǎn)〃的左側(cè)）,且點(diǎn)8的距離都為2,若拋物

線與線段勿有兩個公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求〃?的取值范圍.

解：因為拋物線夕=加/-2勿彳+2=/（才-1）一+2—%，所以拋物線的頂點(diǎn)為（1,2—/Z7）,

對稱軸為x=l,點(diǎn)/（0,2）,所以點(diǎn)j的坐標(biāo)為（1,0）,從而點(diǎn)。（一1,0）,D（3,

0）.

①若加＞0,如圖1.

當(dāng)頂點(diǎn)(1,2—加位于X軸下方時，拋物線與切有兩個交點(diǎn).

所以2—0＜0,即加＞2.

②若?＜0,如圖2.

若拋物線經(jīng)過點(diǎn)GD,則m+2/2=0,即〃=—』.

3

當(dāng)后一上時，拋物線與應(yīng)有兩個交點(diǎn).

3

綜上所述，加的取值范圍為勿＞2或后一士.

3

進(jìn)階訓(xùn)練

1.在平面直角坐標(biāo)系道"中，直線y=2x—3與y軸交于點(diǎn)兒點(diǎn)力與點(diǎn)6關(guān)于不軸對稱，

過點(diǎn)8作V軸的垂線1,直線/與直線y=2x-3交于點(diǎn)G如果拋物線y=n^-4nx+5n(n

＞0)與線段況■有唯一公共點(diǎn)，求〃的取值范圍.

【答案】士W〃〈士或“=3.

52

【提示】如圖，根據(jù)題意可得8(0,3),C(3,3),若拋物線經(jīng)過點(diǎn)反則〃=士，止匕時

5

拋物線與線段外有一個公共點(diǎn)；若拋物線經(jīng)過點(diǎn)。，則〃=士，此時拋物線與線段以有兩

2

個公共點(diǎn)；當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在直線/上，則〃=3,此時拋物線與線段回有一個公共點(diǎn)，所以

33

n的取值范圍為一《〃＜一或P=3.

52

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸在拋物線y=2/一%—4上，過點(diǎn)尸作y軸的垂線/,

2

垂足為。(0,d),將拋物線在直線/上方的部分沿直線/翻折，圖象的其余部分保持不變,

得到一個新圖象G.當(dāng)圖象G與直線一2只有兩個公共點(diǎn)時，求d的取值范圍.

2

【答案】—3<d<0.

2

【提示】令直線2與原拋物線的兩交點(diǎn)為4B,則直線/經(jīng)過點(diǎn)46時為臨界狀

2

態(tài)，再結(jié)合圖象，即可得d的取值范圍.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0中，A(1,1),B(2,2),雙曲線尸幺與線段有

公共點(diǎn)，則A的取值范圍是

【答案】1WK4.

【提示】如圖，雙曲線尸與經(jīng)過點(diǎn)45時為滿足題意的兩種臨界狀態(tài)，當(dāng)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)

X

月時，4=1；當(dāng)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)6時，k=4,所以滿足題意的〃的取值范圍為1WAW4.

專題4《圖形的分割與拼接》

破解策略

把一個幾何圖形按某種要求分成幾個圖形，就叫做圖形的分割；反過來，按一定的要求也可

以把幾個圖形拼接成一個完美的圖形，就叫做圖形的拼接.通常，我們會將一個或多個圖形

先分割，再拼接成一種指定的圖形.

常見的圖形的分割與拼接有：

1.三角形分割成兩個等腰三角形

(1)己知：RtA^C,NBAC=9Q°.

作法：取斜邊比的中點(diǎn)〃連結(jié)加.

結(jié)論：△加除口△物腹等腰三角形.

(2)已知：XABC,ABAC^AB,NC=2NB.

作法：在邊比上作一點(diǎn)〃，使得點(diǎn)琳/加勺垂直平分線上，連結(jié)加.

結(jié)論：△的麗△為＜:是等腰三角形.

(3)已知：/\ABC,N4%=3NB.

作法：在邊46上作一點(diǎn)〃，使得點(diǎn)。在6c的垂直平分線上，連結(jié)6D.

結(jié)論：和Zs。腹等腰三角形.

2.三角形分割成多個等腰三角形

(1)已知：任意等腰△46GAB^AC.

①作法：一條垂線+兩條斜邊中線.

結(jié)論：MEAD,XFAD,△魏，△尸以灼為等腰三角形.

A

②作法：一條角平分線+兩條平行線.

結(jié)論：根，△加，/XEBD,△〃比均為等腰三角形.

③作法：兩條角平分線+一條平行線.

結(jié)論：XAEF,/XEBD,/XFCD,△儂均為等腰三角形.

(2)已知：等腰N8=NC=36°.

作法：在6c上取兩點(diǎn)〃E,使得其分別在4?,［曲］垂直平分線上，連結(jié)4?,AE.

結(jié)論：ADAB,MADE,勻為含36°內(nèi)角的等腰三角形，所以可以無限分等腰三角形.

(3)已知：等腰AB^AC,/力=36°.

作法：作N49C的平分線切，交4行點(diǎn)D.

結(jié)論：XDAB,△6C7Z均為含36°內(nèi)角的等腰三角形，所以可以無限分等腰三角形.

A

(4)已知：任意△45C.

作法：一條垂線+兩條斜邊中線.

結(jié)論：△￡4。，△胡〃，叢EBD,△尸C研勻為等腰三角形.

3.三角形的剪拼

(1)剪拼成直角三角形.

作法：取4?,力。的中點(diǎn)〃，E；過〃作8。的垂線，垂足為點(diǎn)尸：過點(diǎn)力作園的平行線，分

別交直線〃尸，EF于點(diǎn)、G,H.

結(jié)論：△人(如為直角三角形.

BF

(2)剪拼成等腰三角形.

作法：取AB、47的中點(diǎn)D、E,連結(jié)膜的垂直平分線內(nèi)G交比1于點(diǎn)G;過點(diǎn)A作K7的平分線,

分別交直線GD、必于點(diǎn)H、I

結(jié)論：為等腰三角形

BG

(3)剪拼成平行四邊形.

作法：取BC、〃1的中點(diǎn)D、E,分別過點(diǎn)A作6c'的平行線，交直線于點(diǎn)F.

結(jié)論：四邊形/如'為平行四邊形.

(4)剪拼成矩形.

①作法：取/從"'的中點(diǎn)。、E,分別過點(diǎn)〃、《作比1的垂線，垂足為尸、G.過點(diǎn)｛作外

的平行線，分別交直線9、GE干點(diǎn)、H、I.

結(jié)論：四邊形版"為矩形.

②作法：取/氏熊的中點(diǎn)4E,分別過點(diǎn)以C作直線應(yīng)1的垂線，垂足為足G.

結(jié)論：四邊形形石為矩形.

③作法：取比;4C的中點(diǎn)〃、E,過點(diǎn)4作勿的平行線，交直線加■于點(diǎn)尸;分別過點(diǎn)4F

作a'的垂線，垂足為G、H

結(jié)論：四邊形4戚為矩形(先將△力叱剪拼成平行四邊形/如■，再將平行四邊形剪拼成矩

形AGHF)

(5)剪拼成正方形(三角形一邊上的高是該邊長的一半).

①作法：取比;A7的中點(diǎn)〃、E,過點(diǎn)力作a1的平行線，交直線應(yīng)于點(diǎn)尸，分別過兒尸

作比1的垂線，垂足為G、H.

結(jié)論：四邊形力跚為正方形.

②作法：取4?、4。的中點(diǎn)以￡,分別過點(diǎn)〃、￡作6c的垂線，垂足為尸、G;過點(diǎn)1作比'

的平行線，分別交直線外、制于點(diǎn)從I

結(jié)論：四邊形始G/為正方形

(6)剪拼成等腰梯形.

作法：作AD=AB交.BC于卓、D,取4C的中點(diǎn)反過點(diǎn)￡作力〃的平行線，交優(yōu)于點(diǎn)凡過點(diǎn)

4作歐的平行線，交直線用于點(diǎn)G.

結(jié)論：四邊形力箝為等腰梯形.

4.矩形的剪拼

(1)剪拼成直角三角形

作法：取4〃中點(diǎn)反連結(jié)四并延長，交直線46于點(diǎn)R

結(jié)論：△/?比是直角三角形.

(2)剪拼成等腰三角形

①作法：延長切至點(diǎn)反使得應(yīng),="，連結(jié)AE.

結(jié)論：△/四為等腰三角形，其中

②作法：取46、CD,4。的中點(diǎn)￡、凡G,連結(jié)您、〃并延長，分別交直線6C于點(diǎn)從I

結(jié)論：〃為等腰三角形，其中GH=GI

③作法：取題的中點(diǎn)￡,向矩形外作4〃的垂線旗，使得￡尸=46,連結(jié)所、FC

結(jié)論：笫為等腰三角形，其中必

④作法：取比、CD、/〃的中點(diǎn)區(qū)F、G,連結(jié)密尸G并延長，分別交直線4?于4L

結(jié)論：為等腰三角形，其中)=6/

L

AD

X

(3)剪拼成菱形.

作法：取比1的中點(diǎn)回向矩形外作a'的垂線比,使得EG=A8,取"的中點(diǎn)E連結(jié)固、

GC、CF、比.

結(jié)論：四邊形式江為菱形

,1D

E

灰7

G

(4)剪拼成正方形

作法：延長"至點(diǎn)區(qū)使得龐=46,以比1為直徑作圓，交胡的延長線于點(diǎn)月?在8c上取

一點(diǎn)。使得BG=BF,過點(diǎn)尸作跖的垂線，過點(diǎn)G作6G的垂線，兩線交于點(diǎn)H

結(jié)論：四邊形比郎為正方形

5.正方形的剪拼

(1)兩個正方形剪拼成一個正方形

作法：連結(jié)過點(diǎn)力作力/!./￡交⑦的延長線于點(diǎn)/;分別以凡/,?為圓心長為半徑

畫弧，交于點(diǎn)〃，連結(jié)以、HE.

結(jié)論：四邊形力￡引為正方形

（2）一個正方形剪拼成兩個正方形

作法：以8為端點(diǎn)在正方形48切內(nèi)部作射線，分別過4a〃作射線的垂線，垂足分別為

E、尺G,再分別過點(diǎn)爪C作加的垂線，垂足分別為從I

結(jié)論：四邊形4氏力和四邊形67七/為正方形.

進(jìn)階訓(xùn)練

1.在比中,NABC=NACB=63。，如圖1,取三邊中點(diǎn)，可以把△/a'分割成四個等

腰三角形，請你在圖2中，用另外四種不同的方法把始分割成四個等腰三角形，并標(biāo)明

分割后的四個等腰三角形的底角的度數(shù)（如果經(jīng)過變換后兩個圖形重合，則視為同一種方法）

答案:

2.小明在研究四邊形的相關(guān)性質(zhì)時發(fā)現(xiàn)，在不改變面積的條件下，一般梯形很難轉(zhuǎn)化為菱

形，但有些特殊的梯形通過分割可以轉(zhuǎn)化為菱形，如圖1,已知在等腰梯形480中，AD//

BC,CD=2AD,ZC=60°.

（1）果將該梯形分割成幾塊，然后可以重新拼成菱形，試在圖1中畫出變化后的圖形；

（2）在完成上述任務(wù)后，他又試著在直角梯形（如圖2,AD//BC,CD=2AD,ZC=60°）

中，將梯形分成幾塊，拼成新的圖形；

①它能拼成一個菱形嗎？如果能，請畫出相應(yīng)的圖形；

②它能拼成一個正方形嗎？如果能，請畫出相應(yīng)的圖形.

答案：（1）能拼成菱形：

（2）能拼成菱形:

能拼成正五邊形

3.下列網(wǎng)格中的六邊形ABCDEF是由一個邊長為6的正方形剪去左上角一個邊長為2的正方

形所得，該六邊形按一定的方法可剪拼成一個正方形.

(1)根據(jù)剪拼前后圖形的面積關(guān)系求出拼成的正方形的邊長;

(2)如圖甲，把六邊形ABCDEF沿EH,8c剪成①，②,③三個部分，請在圖甲中畫出將②，

③與①拼成的正方形，然后標(biāo)出②，③變動后的位置；

(3)在圖乙中畫出一種與圖甲不同位置的兩條剪裁線,并畫出將此六邊形剪拼成的正方形.

圖甲圖乙

1—~~E-----------------------------------tp

in

屋----------------1c

答：⑴4vL

(2)如圖；

\①:①/\!

m________1_____1__________L

0

Bc

(3)如圖：

夕1

F/①③\

?。/一飛》\

B'''C

專題5《等分圖形面積》

破解策略

等分圖形面積的過程中，常用等積變換法，等積變換的基本圖形為:

如圖，點(diǎn)4，4，4在/］上，點(diǎn)6,C在4上，則S^BC==S"8c?

圖形等分面積的常見類型有：

(1)已知：/XABC.

作法：作中線

結(jié)論：直線4。平分△/a1的面積.

(2)已知：平行四邊形4Mz

作法：過對角線交點(diǎn)0作直線.

結(jié)論：過點(diǎn)。的直線平分平行四邊形/時的面積.

(3)已知：梯形四徵，AD//BC.

作法：過中位線"1中點(diǎn)0(或上、下底邊中點(diǎn)連線的的中點(diǎn)0)作直線，且與上、下

底均相交.

結(jié)論：過點(diǎn)。且與上、下底均相交的直線平分梯形/靦的面積.

(4)已知：△49C,尸為/C邊上的定點(diǎn).

作法：作△/SC的中線/〃，連結(jié)劃，過點(diǎn)/作4%如，交優(yōu)于點(diǎn)反

結(jié)論：直線比平分面積.

BED

(5)已知：四邊形/況〃

作法：連結(jié)/C,過點(diǎn)、。作0E〃本,交玄的延長線于點(diǎn)發(fā)連結(jié)4反作△4跖的中線1五.

結(jié)論：直線/尸平分平行四邊形/應(yīng)力的面積.

(6)已知：四邊形48切，點(diǎn)夕為4。上的定點(diǎn).

作法：連結(jié)月?，PC.忤AE//PB,DF//PC,分別交直線比1于點(diǎn)發(fā)F,連結(jié)用,PF,作

△際的中線PG.

結(jié)論：直線用平分四邊形46繆的面積.

(7)已知：五邊形4BCDE.

作法：連結(jié)力C,AD,作BF"AC,EG//AD,分別交直線切于點(diǎn)凡G,連結(jié)IEAG,作

△/朋的中線4〃

H

結(jié)論：直線/〃平分五邊形/故應(yīng)的面積.

進(jìn)階訓(xùn)練

1.如圖，己知五邊形/微力各定點(diǎn)坐標(biāo)為1(3,4),8(0,2),0(0,0),<7(4,0),

〃(4,2),請你構(gòu)造一條經(jīng)過頂點(diǎn)/的直線，將五邊形平分為面積相等的兩部分，

并求出該直線的表達(dá)式.

答：如圖:

Q

直線的表達(dá)式為y=：x-4.

【提示】連結(jié)/0,作陰〃4。交x軸于點(diǎn)M,連結(jié)力C,作ZW〃然交x軸于點(diǎn)M取腑中點(diǎn)

F,則直線力廠將五邊形兒就?分為面積相等的兩部分.作4ax軸于點(diǎn)〃，則△BMOsdAOH,

可得點(diǎn)，%的坐標(biāo).同理可得點(diǎn)/V的坐標(biāo).從而求得點(diǎn)尸的坐標(biāo).確定直線力尸的表達(dá)式.

2.過四邊形46繆的一個頂點(diǎn)畫一條直線，把四邊形/成力的面積分成1：2的兩部分.

答：如圖:

【提示】連結(jié)/G過點(diǎn)。作〃￡〃4c交6c的延長線于點(diǎn)￡,取跳'的一個三等分點(diǎn)6或G,

則直線4=1或4G即為所求.

3.設(shè)曠是一個平面圖形，如果用直尺和圓規(guī)經(jīng)過有限步作圖（簡稱尺規(guī)作圖），畫出一個

正方形與“，的面積相等（簡稱等積），那么這樣的等積轉(zhuǎn)化稱為“，的“化方”.

（1）閱讀填空

如圖1,已知矩形4四9,延長"到點(diǎn)反使DE=DC,以4￡為直徑作半圓，延長切交半圓

于點(diǎn)〃，以掰為邊作正方形加加A則正方形力詡與矩形力時等積.

HG

圖1

理由：連結(jié)47,EH.

因為46為直徑，所以/加e=90°,

所以/血￡'+/儂=90。.

因為血L/&所以NADH=NEDH=9Q：

所以NAHA/HED,所以.

所以42=也，即?！?=AD.DE

DHDE

因為DE=DC,

所以DH2=,即正方形以次/與矩形ABCD等積

（2）操作實(shí)踐

平行四邊形的“化方”思路是：先把平行四邊形轉(zhuǎn)化為等積的矩形，再把矩形轉(zhuǎn)化為等積的

正方形.

如圖2,請作出與平行四邊形46切等積的正方形（不要求寫出具體作法，保留作圖痕跡）.

（3）解決問題

三角形的“化方”思路是：先把三角形轉(zhuǎn)化為等積的（填寫圖形名稱），再轉(zhuǎn)化

為等積的正方形.

如圖3,1的頂點(diǎn)再正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請作出與比等積的正方形（不要求寫具

體作法，保留作圖痕跡，不通過計算△］比面積作圖）.

3.（1）IXHDE-,AD?DC；

（2）作圖如下：

BB,C,

(3)矩形；作圖如下:

GH

(4)作圖如下:

②延長4?至點(diǎn)色使得OE=DG；

③以為直徑作半圓；

④延長Ci。交半圓于點(diǎn)〃；

⑤以ZW為邊向右作正方形DFGH.

則正方形加■。/與平行四邊形ABCD等積.

(3)作法：

①作△4町的中位線MN；

②分別過點(diǎn)8,。作拗'的垂線，垂足分別為反D；

③延長8c至點(diǎn)尸，使得CF=C0；

④以跖為直徑作半圓；

⑤延長小交半圓于點(diǎn)G；

⑥以偌為邊向右作正方形CGHI.

則正方形與△/比■等積.

（4）作法：

①連結(jié)BD,過點(diǎn)A作?AE//BD交CD的延長線于點(diǎn)氏

②作△皈的中位線MN；

③分別過點(diǎn)反，作的垂線，垂足分別為凡G;

④延長BC至點(diǎn)、〃使得CH=CG；

⑤以掰為直徑作半圓；

⑥延長宓交半圓于點(diǎn)I;

〃邊形（〃>3）的“化方”思路之一是：把村邊形轉(zhuǎn)化，為等積的“1邊形.…一直至轉(zhuǎn)化

為等積的三角形，從而實(shí)現(xiàn)化方.

如圖4,四邊形1以力的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請作出與四邊形等積的正方形（不

專題6《軸對稱之最短路徑》

破解策略

用軸對稱思想解決線段最值問題是常用的方法，本質(zhì)是利用三角形三邊關(guān)系解決問

題.常見的題型有：

1.已知：在直線/同惻有A.6兩點(diǎn).在/上找一點(diǎn)只使得加葉外最