佳木斯市第一中學(xué)2023年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A．74 B．121 C． D．2．已知雙曲線C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn).若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．3．設(shè)雙曲線（a＞0，b＞0）的一個焦點(diǎn)為F（c,0）（c＞0），且離心率等于，若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx＝0截得的弦長為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．4．ΔABC中，如果lgcosA=lgsinA．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形5．已知全集，則集合的子集個數(shù)為（）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．47．設(shè)為非零向量，則“”是“與共線”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)在上的值域是（）A． B． C． D．9．已知（），i為虛數(shù)單位，則（）A． B．3 C．1 D．510．已知定義在上函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，若，則（）A．0 B．1 C．673 D．67411．已知，，則（）A． B． C．3 D．412．已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校為了解家長對學(xué)校食堂的滿意情況，分別從高一、高二年級隨機(jī)抽取了20位家長的滿意度評分，其頻數(shù)分布表如下：滿意度評分分組合計高一1366420高二2655220根據(jù)評分，將家長的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分評分70分70評分90評分90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意假設(shè)兩個年級家長的評價結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從高一、高二年級各隨機(jī)抽取1名家長，記事件：“高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級”，則事件發(fā)生的概率為__________.14．已知，為虛數(shù)單位，且，則=_____.15．已知集合，，則_____________.16．已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，且，若，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線上的任意一點(diǎn)到直線的距離比點(diǎn)到點(diǎn)的距離小1.（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若點(diǎn)是圓上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線斜率的取值范圍.18．（12分）某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分（滿分：分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示．組別頻數(shù)（1）已知此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），請利用正態(tài)分布的知識求；（2）在（1）的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案.（?。┑梅植坏陀诘目梢垣@贈次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈次隨機(jī)話費(fèi)；（ⅱ）每次贈送的隨機(jī)話費(fèi)和相應(yīng)的概率如下表.贈送的隨機(jī)話費(fèi)/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，若，則，，.19．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若滿足，，，求.20．（12分）2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內(nèi)報名人數(shù)便突破60萬，其中青年學(xué)生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學(xué)生志愿者中，按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計在這50萬青年學(xué)生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機(jī)選取個人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)21．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分別是AC，B1C1的中點(diǎn)．求證：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．22．（10分）已知，，動點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線垂直的直線與相交于點(diǎn)，求的最小值及此時直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)，利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為：，進(jìn)而得到其系數(shù)，【詳解】因?yàn)樵?，所以含的?xiàng)為：，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，2、D【解析】

設(shè)，利用余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，由雙曲線的定義可知：因此再由雙曲線的定義可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此雙曲線的漸近線方程為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3、C【解析】

由題得，，又，聯(lián)立解方程組即可得，，進(jìn)而得出雙曲線方程.【詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為，且被圓x2+y2﹣2cx＝0截得的弦長為2，所以②又③由①②③可得：，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，圓的方程的有關(guān)計算，考查了學(xué)生的計算能力.4、B【解析】

化簡得lgcosA＝lgsinCsinB＝﹣lg2，即cosA=sinCsinB=12，結(jié)合0<A<π，可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2，可得lgcosA＝∵0<A<π，∴A=π3，B+C=2π3，∴sinC＝12sinB＝12sin2π3-C＝34cosC+故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

先求B.再求，求得則子集個數(shù)可求【詳解】由題=,則集合,故其子集個數(shù)為故選C【點(diǎn)睛】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算及子集個數(shù)，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題6、D【解析】

如圖所示：過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于，交軸于，則，設(shè)，，則，利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示：過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于，交軸于，則，設(shè)，，則，當(dāng)，即時等號成立.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.7、A【解析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若，則與共線，且方向相同，充分性；當(dāng)與共線，方向相反時，，故不必要.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.8、D【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，求得結(jié)果.【詳解】解：把函數(shù)圖象向右平移個單位長度后，可得的圖象；再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，，，函數(shù).在上，，，故，即的值域是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．9、C【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡得答案.【詳解】由，得，解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由題知為奇函數(shù)，且可得函數(shù)的周期為3，分別求出知函數(shù)在一個周期內(nèi)的和是0，利用函數(shù)周期性對所求式子進(jìn)行化簡可得.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故；因?yàn)?，故，可知函?shù)的周期為3；在中，令，故，故函數(shù)在一個周期內(nèi)的函數(shù)值和為0，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．11、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的特征，求出和，再利用復(fù)數(shù)的模公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，解得則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查相等復(fù)數(shù)的特征和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當(dāng)直線過點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為3；當(dāng)直線過點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點(diǎn)：線性規(guī)劃.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.42【解析】

高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級有三種情況，分別求出三種情況的概率，再利用加法公式即可.【詳解】由已知，高一家長滿意等級為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高二家長滿意等級為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級有三種情況：1.高一家長滿意，高二家長不滿意，其概率為；2.高一家長非常滿意，高二家長不滿意，其概率為；3.高一家長非常滿意，高二家長滿意，其概率為.由加法公式，知事件發(fā)生的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中檔題.14、4【解析】

解：利用復(fù)數(shù)相等，可知由有．15、【解析】

由集合和集合求出交集即可.【詳解】解：集合，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，且，可得，解得，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，所以，所以，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)題意可得點(diǎn)的軌跡方程滿足的等式，化簡即可求得動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)出切線的斜率分別為，切點(diǎn)，，點(diǎn)，則可得過點(diǎn)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立拋物線方程并化簡，由相切時可得兩條切線斜率關(guān)系；由拋物線方程求得導(dǎo)函數(shù)，并由導(dǎo)數(shù)的幾何意義并代入拋物線方程表示出，可求得，結(jié)合點(diǎn)滿足的方程可得的取值范圍，即可求得的范圍.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，∵點(diǎn)到直線的距離等于，∴，化簡得，∴動點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）由題意可知，的斜率都存在，分別設(shè)為，切點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立，化簡可得，∴，即，∴，.由，求得導(dǎo)函數(shù)，∴，，，∴，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，由圓的性質(zhì)可得，∴，即直線斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)軌跡方程的求法，直線與拋物線相切的性質(zhì)及應(yīng)用，導(dǎo)函數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，點(diǎn)和圓位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.18、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表，利用公式計算出平均數(shù)的值，再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將、表示為，，利用題中所給數(shù)據(jù)，以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對稱性，求出對應(yīng)的概率；（2）根據(jù)題意，高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為，再結(jié)合得元、元的概率，分析得出話費(fèi)的可能數(shù)據(jù)都有哪些，再利用公式求得對應(yīng)的概率，進(jìn)而得出分布列，之后利用離散型隨機(jī)變量的分布列求出其數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意可得，易知，，，；（2）根據(jù)題意，可得出隨機(jī)變量的可能取值有、、、元，，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的計算，涉及到平均數(shù)的求法、正態(tài)分布概率的計算以及離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望，在解題時要弄清楚隨機(jī)變量所滿足的分布列類型，結(jié)合相應(yīng)公式計算對應(yīng)事件的概率，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）；（2）【解析】

（1）化簡得到，取，解得答案.（2），解得，根據(jù)余弦定理得到，再用一次余弦定理解得答案.【詳解】（1）.取，解得.（2）,因?yàn)?，故?根據(jù)余弦定理：，..【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，余弦定理，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.20、(Ⅰ)萬；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)比例關(guān)系直接計算得到答案.(Ⅱ)的可能取值為，計算概率得到分布列，再計算數(shù)學(xué)期望得到答案.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，解得答案.【詳解】(Ⅰ)樣本中女生英語成績在分以上的有人，故人數(shù)為：萬人.(Ⅱ)8名男生中，測試成績在70分以上的有人，的可能取值為：.，，.故分布列為：.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，故.故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了樣本估計總體，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.21、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

（1）利用平行四邊形的方法，證明平面.（2）通過證明平