高中數(shù)學(xué)-3.2立體幾何中的向量方法（二）教學(xué)課件設(shè)計

立體幾何中的向量方法

（第2課時）試一試(請把正確的答案寫在橫線上)(1)已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角的大小為

.(2)若直線的方向向量為u1=(1,1,1),平面的法向量為u2=(2,2,2),則直線與平面所成角的正弦值為

.(3)若直線l1的方向向量為u1=(1,3,2),直線l2的方向向量為u2=(2,-1,1),則兩直線所成的角的余弦值為

.【解析】(1)cos<m,n>=所以<m,n>=45°.所以二面角為45°或135°.答案:45°或135°(2)因為u1=(1,1,1)與u2=(2,2,2)共線易得直線與平面垂直,則直線與平面所成的角的正弦值為1.答案:1(3)因為u1·u2=(1,3,2)·(2,-1,1)=1,|u1||u2|=則兩直線所成的角的余弦值為|cos<u1,u2>|=答案:解決立體幾何問題的三種方法(1)綜合方法:是以_________作為工具解決問題.(2)向量方法:是利用_____的概念及其運(yùn)算解決問題.(3)坐標(biāo)方法:利用數(shù)及其運(yùn)算來解決問題.坐標(biāo)方法經(jīng)常與向量運(yùn)算結(jié)合.邏輯推理向量

思考：用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”是什么？（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量問題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形）探究任務(wù)一：用向量求線段長度

例1：如圖1：一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這個頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？A1B1C1D1ABCD圖1解：如圖1，設(shè)化為向量問題依據(jù)向量的加法法則，進(jìn)行向量運(yùn)算所以回到圖形問題這個晶體的對角線的長是棱長的倍。探究任務(wù)一：用向量求線段長度

例1：如圖1：一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這個頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？

例1：如圖1：一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這個頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？思考：（1）本題中平行六面體的對角線BD1的長與棱長有什么關(guān)系？

（2）如果一個平行六面體的各條棱長都相等，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于,那么由這個平行六面體的對角線的長可以確定棱長嗎?A1B1C1D1ABCD分析:分析:∴這個平行六面體的對角線的長可以確定棱長。（3）本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少？設(shè)AB=1（提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結(jié)為求兩點(diǎn)間的距離）A1B1C1D1ABCDH

分析：面面距離點(diǎn)面距離解：∴所求的距離是問題：如何求直線A1B1到平面ABCD的距離？探究任務(wù)二：點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面的距離問題：請小結(jié)如何用向量的方法求空間中兩點(diǎn)的距離？點(diǎn)到直線的距離？點(diǎn)到平面的距離？直線到直線的距離？直線到平面的距離？兩平行平面間的距離？點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)線線線點(diǎn)面線面面面1.空間中距離與向量的關(guān)系分類向量求法兩點(diǎn)間的距離設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)為空間中任意兩點(diǎn),則d==_________________________點(diǎn)到平面的距離設(shè)平面α的法向量為n,B?α,A∈α,則B點(diǎn)到平面α的距離d=

探究任務(wù)三：用向量求空間圖形中的角度例2：如圖3，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長為,AB的長為。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。解：如圖，化為向量問題根據(jù)向量的加法法則進(jìn)行向量運(yùn)算于是，得設(shè)向量與的夾角為，就是庫底與水壩所成的二面角。因此ABCD圖3所以回到圖形問題庫底與水壩所成二面角的余弦值為

例2：如圖3，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長為,AB的長為。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。思考：

（1）本題中如果夾角可以測出，而AB未知，其他條件不變，可以計算出AB的長嗎？ABCD圖3分析：∴可算出AB的長。

（2）如果已知一個平行六面體的各棱長和一條對角線的長，并且以同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？

分析：如圖，設(shè)以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的對角線長為，三條棱長分別為各棱間夾角為。A1B1C1D1ABCD

（3）如果已知一個平行六面體的各棱長都等于，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于，那么可以確定這個平行六面體相鄰兩個面夾角的余弦值嗎？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夾角回歸圖形

解：如圖，在平面AB1

內(nèi)過A1

作A1E⊥AB于點(diǎn)E，EF在平面AC內(nèi)作CF⊥AB于F?！嗫纱_定該平行六面體相鄰兩個面夾角的余弦值。典題訓(xùn)練【名師點(diǎn)評】求二面角最常用的方法：(1)分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．(2)分別在二面角的兩個平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足出發(fā)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小．以上兩種方法各有利弊，要善于結(jié)合題目的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń忸}．

課堂小結(jié)空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體