中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)歸納及典型例題分析

中考烝考總象好費(fèi)哥

代數(shù)部分

第一章：實(shí)數(shù)

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：

一、實(shí)數(shù)的分類:

‘正整數(shù)'

整數(shù)■零

有理數(shù)■負(fù)整數(shù)，有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)，正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)，

負(fù)分?jǐn)?shù)

‘正無理數(shù)'

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

,負(fù)無理數(shù)

1、有理數(shù)：任何一個(gè)有理數(shù)總可以寫成?的形式，其中p、g是互質(zhì)的整數(shù)，這是有理數(shù)

q

的重要特征。

2、無理數(shù)：初中遇到的無理數(shù)有三種：開不盡的方根，如、反、V4；特定結(jié)構(gòu)的不限環(huán)

無限小數(shù)，ta1.101001000100001...；特定意義的數(shù)，如小sin45。等。

3、判斷一個(gè)實(shí)數(shù)的數(shù)性不能僅憑表面上的感覺，往往要經(jīng)過整理化簡后才下結(jié)論。

二、實(shí)數(shù)中的幾個(gè)概念

1、相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。

（1）實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是（2）〃和b互為相反數(shù)=a+〃=0

2、倒數(shù)：

（1）實(shí)數(shù)。（"0）的倒數(shù)是,；（2）。和b互為倒數(shù)=ab=l；（3）注意0沒有倒數(shù)

a

3、絕對(duì)值：

（1）一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值有以下三種情況：

a,a>0

|a|-<0,a=0

-a,aY0

（2）實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，從數(shù)軸上看，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，就是數(shù)軸上表示這個(gè)

數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

（3）去掉絕對(duì)值符號(hào)（化簡）必須要對(duì)絕對(duì)值符號(hào)里面的實(shí)數(shù)進(jìn)行數(shù)性（正、負(fù)）確認(rèn)，

再去掉絕對(duì)值符號(hào)。

4、〃次方根

（1）平方根，算術(shù)平方根：設(shè)色0,稱叫a的平方根，叫。的算術(shù)平方根。

（2）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；。的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。

（3）立方根：43叫實(shí)數(shù)a的立方根。

（4）■個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根。

三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線稱為數(shù)軸。原點(diǎn)、正方向、單位長度是數(shù)

軸的三要素。

2、數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，而每一個(gè)實(shí)數(shù)都可

以用數(shù)軸上的唯一的點(diǎn)來表示。實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

四、實(shí)數(shù)大小的比較

1、在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

2、正數(shù)大于0；負(fù)數(shù)小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小。

五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1、加法：

（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取原來的符號(hào)，并把它們的絕對(duì)值相加：

（2）異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。可

使用加法交換律、結(jié)合律。

2、減法：

減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

3、乘法：

（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)取正，異號(hào)取負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。

（2）〃個(gè)實(shí)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,積就為0；若"個(gè)非0的實(shí)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因

數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)。

（3）乘法可使用乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。

4、除法：

（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。

（2）除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

（3）0除以任何數(shù)都等于0,0不能做被除數(shù)。

5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運(yùn)算。

6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：乘方、開方為三級(jí)運(yùn)算，乘、除為二級(jí)運(yùn)算，力口、減是一級(jí)運(yùn)算，如

果沒有括號(hào)，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，不同級(jí)的運(yùn)算，先算高級(jí)的運(yùn)算再算

低級(jí)的運(yùn)算，有括號(hào)的先算括號(hào)里的運(yùn)算。無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算。

六、有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法

1、科學(xué)記數(shù)法:設(shè)N>0,則N=axl0"（其中19V10,”為整數(shù)）。

2、有效數(shù)字：一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字,

叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。精確度的形式有兩種：（1）精確到那一位；（2）保留幾個(gè)有效數(shù)

字F

例題：

例1、已知實(shí)數(shù)。、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且問〉例。

化簡：時(shí)_|〃+4_也_。|

分析：從數(shù)軸上。、。兩點(diǎn)的位置可以看到：a<0,。>0且卜>網(wǎng)

所以可得：解：原式=一〃+〃+/?—匕+。=。

例2、若a=（—|尸，b=—弓）3,。二弓尸，比較小氏0的大小。

分析：a=_g）3Y_1；b=A—LabY0；c>0；所以容易得出：

a<b<c?解：略

例3、若卜―2|與|6+2|互為相反數(shù)，求“+〃的值。

分析：由絕對(duì)值非負(fù)特性,可知|a-2|>0,+2|20,又由題意可知：,一2|+卜+2|=0

所以只能是：a-2=0,b+2=0,即a=2,b=-2,所以。+%=0解：略

例4、已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，〃?的絕對(duì)值是1,求竺2-4+加2的值。

m

解：原式=0—1+1=0

（?\2/?\2

e+-e—

例5、計(jì)算：（1）8網(wǎng)x0.125i"4（2）—幺-----勺

22

解（1）原式=（8x0.125嚴(yán)4=產(chǎn)4=1

代數(shù)部分

第二章：代數(shù)式

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：

一、代數(shù)式

1、代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫代數(shù)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)

或者一個(gè)字母也是代數(shù)式。

2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母,計(jì)算后得到的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。

3、代數(shù)式的分類：

［］赦土］單項(xiàng)式

整式W

加新T有理式.1多項(xiàng)式

代數(shù)式〈

.分式

.無理式

二、整式的有關(guān)概念及運(yùn)算

1、概念

(1)單項(xiàng)式：像X、7、lx2y,這種數(shù)與字母的積叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也

是單項(xiàng)式。

單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)。

(2)多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。

多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中每一個(gè)單項(xiàng)式都叫多項(xiàng)式的項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾

項(xiàng)式。

多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。不含字母

的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)。

升(降)幕排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小(大)到大(小)的順序排

列起來，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升(降)鎏排列。

(3)同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。

2、運(yùn)算

(1)整式的加減：

合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)不變。

去括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變；括

號(hào)前面是“-”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“-”號(hào)去掉，括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。

添括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面是“-”號(hào)，括到括

號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。

整式的加減實(shí)際上就是合并同類項(xiàng)，在運(yùn)算時(shí)，如果遇到括號(hào)，先去括號(hào)，再合并同

類項(xiàng)。

(2)整式的乘除：

箱的運(yùn)算法則：其中機(jī)、〃都是正整數(shù)

同底數(shù)底相乘:am-an=am+n；同底數(shù)底相除:am^an=am-n；騫的乘方:

(臚)"=優(yōu)""積的乘方:(ab)n=anb\

單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對(duì)于相同的字母，用它們的指數(shù)

的和作為這個(gè)字母的指數(shù)：對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的

一個(gè)因式。

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得

的積相加。

單項(xiàng)除單項(xiàng)式：把系數(shù)，同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有

字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)，再把所得的商相加。

乘法公式：

平方差公式：9+6)(。一切=“2—力2；

完全平方公式：(。+匕)2=。2+2"+/，(a-b)2=a2-2ab+b2

三、因式分解

1、因式分解概念：把?個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：ma+mb+me-m(a+h+c)

(2)運(yùn)用公式法：

平方差公式：從=(a+b)g—與；完全平方公式：/±2帥+。2=(“±與2

(3)十字相乘法：x2+(tz+b)x+ab=(x+a)(x+b)

(4)分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提公因式或運(yùn)用公式分解。

(5)運(yùn)用求根公式法：若ax?+Zzr+c=O(a/0)的兩個(gè)根是否、x2,則有：

2

ax+bx+c-a[x--x2)

3、因式分解的一般步驟：

(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；

(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法；

(3)對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

(4)最后考慮用分組分解法。

四、分式

A

1、分式定義：形如一的式子叫分式，其中A、8是整式，且8中含有字母。

B

(1)分式無意義：8=0時(shí)-，分式無意義；8和時(shí);分式有意義。

(2)分式的值為0：A=0,8加時(shí)，分式的值等于0。

(3)分式的約分：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。方法是把

分子、分母因式分解，再約去公因式。

(4)最簡分式：?個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫做最簡分式。分式運(yùn)算的最

終結(jié)果若是分式，一定要化為最簡分式。

(5)通分：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的過程，叫做

分式的通分。

(6)最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次第的積。

(7)有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。

2、分式的基本性質(zhì)：

(1)4=2辿(M是*0的整式)；(2)2=生”(加是N0的整式)

BBMB

(3)分式的變號(hào)法則：分式的分子，分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分

式的值不變。

3、分式的運(yùn)算：

(1)力口、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減，

先把它們通分成同分母的分式再相加減。

(2)乘：先對(duì)各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母乘以分母。

(3)除：除以一個(gè)分式等于乘上它的倒數(shù)式。

(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子JZ(aNO)叫做二次根式。

(1)最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)中不含能開得盡

方的因式的二次根式叫最簡二次根式。

(2)同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二

次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根號(hào)化去叫做分母有理化。

(4)有理化因式：把兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式,

我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式(常用的有理化因式有：〃'與JZ；a4b+c4d

與。新-)

2、二次根式的性質(zhì)：

(1)(V^)2=tz(6Z>0)；(2)y［a^=同=<(；(3)y［ab=y［a?\［h(d>0,

［-a(a<0)

teo)；(4)E=*(a20/20)

3、運(yùn)算：

(1)二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根式。

(2)二次根式的乘法：4a-4b=4ab(介0,應(yīng)0)。

(3)二次根式的除法：=^(a>0,b>0)

二次根式運(yùn)算的最終結(jié)果如果是根式，要化成最簡二次根式。

例題：

一、因式分解：

1、提公因式法：

例1、24a2(x-y)+6b2(y-x)

分析：先提公因式，后用平方差公式解：略

［規(guī)律總結(jié)］因式分解本著先提取，后公式等，但應(yīng)把第一個(gè)因式都分解到不能再分解為

止，往往需要對(duì)分解后的每一個(gè)因式進(jìn)行最后的審查，如果還能分解，應(yīng)繼續(xù)分解。

2、十字相乘法：

例2、(1)x4—5x~—36；(2)(x+),)—-4(x+_y)—12

分析：可看成是/和(x+)，)的二次三項(xiàng)式，先用十字相乘法，初步分解。解：略

［規(guī)律總結(jié)］應(yīng)用十字相乘法時(shí)，注意某一項(xiàng)可是單項(xiàng)的一字母，也可是某個(gè)多項(xiàng)式或整

式，有時(shí)還需要連續(xù)用十字相乘法。

3、分組分解法：

例3、x，+2x~-x-2

分析：先分組，第一項(xiàng)和第二項(xiàng)一組，第三、第四項(xiàng)一組，后提取，再公式。解：略

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)分組轉(zhuǎn)化成基本方法因式分組，分組的目的是為了用提公因

式，十字相乘法或公式法解題。

4、求根公式法：

例4、x?+5x+5解：略

二、式的運(yùn)算

巧用公式

例5、計(jì)算：（1一——）2-（1+—1-）2

a-ba-b

分析：運(yùn)用平方差公式因式分解，使分式運(yùn)算簡單化。解：略

［規(guī)律總結(jié)］抓住三個(gè)乘法公式的特征，靈活運(yùn)用，特別要掌握公式的幾種變形，公式的

逆用，掌握運(yùn)用公式的技巧，使運(yùn)算簡便準(zhǔn)確。

2、化簡求值:

例6、先化簡，再求值：5x2-（3x2+5x2）+（4y2+Jxy）,其中x=-ly=l-J5

［規(guī)律總結(jié)］一定要先化到最簡再代入求值，注意去括號(hào)的法則。

3、分式的計(jì)算：

例7、化簡士2+（工一一。一3）

2a—6a—3

a2-9

分析：-a-3可看成—^^解：略

a-3

［規(guī)律總結(jié)］分式計(jì)算過程中：（D除法轉(zhuǎn)化為乘法時(shí)，要倒轉(zhuǎn)分子、分母；（2）注意負(fù)號(hào)

4、根式計(jì)算

例8、已知最簡二次根式J2b+1和J7與是同類二次根式，求b的值。

分析：根據(jù)同類二次根式定義可得：2b+l=7-b。解：略

［規(guī)律總結(jié)］二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算是中考必考內(nèi)容，特別是二次根式的化簡、求值及性

質(zhì)的運(yùn)用是中考的主要考查內(nèi)容。

代數(shù)部分

第三章：方程和方程組

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn):

一、方程有關(guān)概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解，含有一個(gè)未知數(shù)的

方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程變形時(shí)，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

(1)一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=O(其中x是未知數(shù)，匕是已知數(shù)，

(2)一玩一次方程的最簡形式：ax=b(其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，°邦)

(3)解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)和系數(shù)化為k

(4)一元一次方程有唯一的一-個(gè)解。

2、一元二次方程

(1)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=O(其中x是未知數(shù)，“、從c是已知

數(shù)，a找)

(2)一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法

(3)一?元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒有要求，一般不用配方法。

(4)一元二次方程的根的判別式：A=02—4ac

當(dāng)/>0時(shí)o方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)/=0時(shí)0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)/<0時(shí)=方程沒有實(shí)數(shù)根，無解；

當(dāng)/對(duì)時(shí)。方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

(5)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

b

若不,九2是一元二次方程+Z?X+C=0的兩個(gè)根，那么：Xj+x2=——，

a

(6)以兩個(gè)數(shù)為,12為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是：

2

X—（X1+x2）x+=0

三、分式方程

(1)定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

(2)分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。

特殊方法：換元法。

(3)檢驗(yàn)方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡公分母，使最簡公分母不為0的就

是原方程的根；使得最簡公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得

的未知數(shù)的值代入原方程檢驗(yàn)。

四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。

2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無解的過程叫做解方程組

3、一次方程組：

(1)二元一次方程組：

a.x+b,y=c.

一般形式：\'(%,。2,61，力，,/,，2不全為0)

a2x+h2y-c2

解法：代入消遠(yuǎn)法和加減消元法

解的個(gè)數(shù)：有唯一的解，或無解，當(dāng)兩個(gè)方程相同時(shí)有無數(shù)的解。

(2)三元一次方程組：

解法：代入消元法和加減消元法

4、二元二次方程組：

(1)定義：由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組以及由兩個(gè)二元二

次方程組成的方程組叫做二元二次方程組。

(2)解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降次，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組。

考點(diǎn)與命題趨向分析

例題：

一、一元二次方程的解法

例1、解下列方程：

(1)；(X+3)2=2：(2)2/+3*=1：(3)4(x+3>=25(x—2-

分析：（1）用直接開方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法解：略

［規(guī)律總結(jié)］如果一元二次方程形如（X+"7）2=>0）,就可以用直接開方法來解：利用公

式法可以解任何一個(gè)有解的一元二次方程，運(yùn)用公式法解一元二次方程時(shí)，一定要把方程

化成一般形式。

例2、解下列方程：

（1）x~—ci（3x—2a+b）=0（x為知數(shù)）；（2）x~+2ax—8c（"=0

分析：（1）先化為一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)于帶字母系數(shù)的方程解法和一般的方程沒有什么區(qū)別，在用公式法時(shí)要注意

判斷△的正負(fù)。

二、分式方程的解法：

例3、解下列方程：

、21,、爐+26x.

（2）——-----1；（2）------+—=5

1—x~x+1xx"+2

分析：（1）用去分母的方法；（2）用換元法解：略

［規(guī)律總結(jié)］一般的分式方程用去分母法來解，一些具有特殊關(guān)系如：有平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系

等的分式方程，可采用換元法來解。

三、根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

例4、已知關(guān)于x的方程：（/7一1）%2+20；1+0+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求p的值。

分析：由題意可得A=0,把各系數(shù)代入A=0中就可求出p,但要先化為般形式。

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)于根的判別式的三種情況要很熟練，還有要特別留意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0

例5、已知°、。是方程--岳-1=0的兩個(gè)根，求下列各式的值：

,11

（1）a~7+b；（2）—+-

ab

分析：先算出a+6和，仍的值，再代入把（1）（2）變形后的式子就可求出解。

［規(guī)律總結(jié)］此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積，再把要求的式子變形成含有兩根之和

和兩根之積的形式，再代入計(jì)算。但要注意檢驗(yàn)一下方程是否有解。

例6、求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別比方程F-x-5=0的兩個(gè)根小3

分析：先出求原方程的兩根之和王和兩根之積為馬再代入求出（王-3）+（4-2）和

（玉-3）（々-3）的值，所求的方程也就容易寫出來。解：略

［規(guī)律總結(jié)］此類題目可以先解出第一方程的兩個(gè)解，但有時(shí)這樣又太復(fù)雜，用根與系數(shù)的關(guān)

系就比較簡單。

三、方程組

例7、解下列方程組:

x+y-2z=1

2x+3y=3

⑴《(2)<2x-y-z=5

x-2y=5

x+y+3z=4

分析：（1）用加減消元法消x較簡單；（2）應(yīng)該先用加減消元法消去y,變成二元一次方程

組，較易求解。解：略

［規(guī)律總結(jié)］加減消元法是最常用的消元方法，消元時(shí)那個(gè)未知數(shù)的系數(shù)最簡單就先消那個(gè)未

知數(shù)。

例8、解下列方程組：

分析：（1）可用代入消遠(yuǎn)法，也可用根與系數(shù)的關(guān)系來求解；（2）要先把第一個(gè)方程因式

分解化成兩個(gè)二元?次方程，再與第二個(gè)方程分別組成兩個(gè)方程組來解。解：略

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)于一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一般用代入消元法，對(duì)

于兩個(gè)二元二次方程組成的方程組，一定要先把其中一個(gè)方程因式分解化為兩個(gè)一次方程

再和第二個(gè)方程組成兩個(gè)方程組來求解。

代數(shù)部分

第四章：列方程（組）解應(yīng)用題

知識(shí)點(diǎn):

一、列方程（組）解應(yīng)用題的?般步驟

1、審題：

2、設(shè)未知數(shù)；

3、找出相等關(guān)系，列方程（組）；

4、解方程（組）；

5、檢驗(yàn)，作答；

二、列方程（組）解應(yīng)用題常見類型題及其等量關(guān)系；

1、工程問題

（1）基本工作量的關(guān)系：工作量=工作效率x工作時(shí)間

（2）常見的等量關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作總量

（3）注意：工程問題常把總工程看作力”，水池注水問題屬于工程問題

2、行程問題

（1）基本量之間的關(guān)系：路程=速度x時(shí)間

（2）常見等量關(guān)系：

相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及問題（設(shè)甲速度快）：

同時(shí)不同地：甲的時(shí)間=乙的時(shí)間；甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相距路程

同地不同時(shí)：甲的時(shí)間=乙的時(shí)間-時(shí)間差；甲的路程=乙的路程

3、水中航行問題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；

逆流速度=船在靜水中的速度-水流速度

4、增長率問題：

常見等量關(guān)系：增長后的量=原來的量+增長的量；增長的量=原來的量xQ+增長率）；

5、數(shù)字問題：

基本量之間的關(guān)系：三位數(shù)=個(gè)位上的數(shù)+十位上的數(shù)X10+百位上的數(shù)xlOO

三、列方程解應(yīng)用題的常用方法

1、譯式法：就是將題目中的關(guān)鍵性語言或數(shù)量及各數(shù)量間的關(guān)系譯成代數(shù)式，然后根

據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系找出等量關(guān)系。

2、線示法：就是用同一直線上的線段表示應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)線段長度的

內(nèi)在聯(lián)系，找出等量關(guān)系。

3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種量之間的關(guān)系。

4、圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，它可以使量與量之間的關(guān)系更為直觀，

這種方法能幫助我們更好地理解題意。

例題：

例1、甲、乙兩組工人合作完成一項(xiàng)工程，合作5天后，甲組另有任務(wù)，由乙組再

單獨(dú)工作1天就可完成，若單獨(dú)完成這項(xiàng)工程乙組比甲組多用2天，求甲、乙兩組單獨(dú)完

成這項(xiàng)工程各需兒天？

分析：設(shè)工作總量為1,設(shè)甲組單獨(dú)完成工程需要x天，則乙組完成工程需要(x+2)天，

等量關(guān)系是甲組5天的工作量+乙組6天的工作量=工作總量解：略

例2、某部隊(duì)奉命派甲連跑步前往90千米外的A地，1小時(shí)45分后，因任務(wù)需要，又

增派乙連乘車前往支援，己知乙連比甲連每小時(shí)快28千米，恰好在全程的L處追上甲連。

3

求乙連的行進(jìn)速度及追上甲連的時(shí)間

分析：設(shè)乙連的速度為v千米/小時(shí)，追上甲連的時(shí)間為f小時(shí)，則甲連的速度為(v-28)

7

千米/小時(shí)，這時(shí)乙連行了?+1)小時(shí)，其等量關(guān)系為：甲走的路程=乙走的路程=30

例3、某工廠原計(jì)劃在規(guī)定期限內(nèi)生產(chǎn)通訊設(shè)備60臺(tái)支援抗洪，由于改進(jìn)了操作技術(shù);

每天生產(chǎn)的分?jǐn)?shù)比原計(jì)劃多50%,結(jié)果提前2天完成任務(wù)，求改進(jìn)操作技術(shù)后每天生產(chǎn)通

訊設(shè)備多少臺(tái)？

分析：設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)通訊設(shè)備x臺(tái)，則改進(jìn)操作技術(shù)后每天生產(chǎn)x(1+0.5)臺(tái)，

等量關(guān)系為：原計(jì)劃所用時(shí)間-改進(jìn)技術(shù)后所用時(shí)間=2天解：略

例4、某商廈今年一月份銷售額為60萬元，二月份由于種種原因，經(jīng)營不善，銷售額

下降10%,以后經(jīng)加強(qiáng)管理，又使月銷售額上升，到四月份銷售額增加到96萬元，求三、

四月份平均每月增長的百分率是多少？

分析：設(shè)三、四月份平均每月增長率為x%,二月份的銷售額為60(1-10%)萬元，三

月份的銷售額為二月份的(1+x)倍,四月份的銷售額又是三月份的(1+x)倍，所以四月

份的銷售額為二月份的(l+x)2倍，等量關(guān)系為：四月份銷售額為=96萬元。解：略

例5、一年期定期儲(chǔ)蓄年利率為2.25%,所得利息要交納20%的利息稅，例如存入一年

期100元，到期儲(chǔ)戶納稅后所得到利息的計(jì)算公式為：

稅后利息=100x2.25%-100x2.25%x20%=100x2.25%(1-20%)

已知某儲(chǔ)戶存下一筆-年期定期儲(chǔ)蓄到期納稅后得到利息是450元，問該儲(chǔ)戶存入了

多少本金？

分析：設(shè)存入X元本金，則一年期定期儲(chǔ)蓄到期納稅后利息為2.25%（l-20%）x元，方程

容易得出。

例6、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，

增加盈利，減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕档统杀敬胧?，?jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每

降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件。若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)

多少元？

分析：設(shè)每件襯衫應(yīng)該降價(jià)x元，則每件襯衫的利潤為（40/）元，平均每天的銷售量

為（20+2r）件，由關(guān)系式：

總利潤=每件的利潤x售出商品的叫量，可列出方程解：略

代數(shù)部分

第五章：不等式及不等式組

知識(shí)點(diǎn)：

?、不等式與不等式的性質(zhì)

1、不等式：表示不等關(guān)系的式子。（表示不等關(guān)系的常用符號(hào)：<,>）。

2、不等式的性質(zhì)：

（/）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不改變，如從c為

實(shí)數(shù)=>a+c>b+c

（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，如a>b,c>0=>ac

>bco

（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，如〃>江cV0=>ac

<hc.

注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，一定要養(yǎng)成好的習(xí)慣、就是先確

定該數(shù)的數(shù)性（正數(shù)，零，負(fù)數(shù)）再確定不等號(hào)方向是否改變，不能像應(yīng)用等式的性質(zhì)那

樣隨便，以防出錯(cuò)。

3、任意兩個(gè)實(shí)數(shù)4,人的大小關(guān)系（三種）：

（1）a—b>0<=>a>b

(2)a-b=00a=b

（3）a-b<0<^>a<b

4、（1）a>b>0o\［a>4b

（2）a>b>00a2<b2

二、不等式（組）的解、解集、解不等式

1、能使一個(gè)不等式（組）成立的未知數(shù)的一個(gè)值叫做這個(gè)不等式（組）的一個(gè)解。

不等式的所有解的集合，叫做這個(gè)不等式的解集。

不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集。

2.求不等式（組）的解集的過程叫做解不等式（組）。

三、不等式（組）的類型及解法

1、一元一次不等式：

（/）概念：含有一個(gè)未知數(shù)并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次

不等式。

（2）解法：與解一元一次方程類似，但要特別注意當(dāng)不等式的兩邊同乘以（或除以）

一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向要改變。

2、?元一次不等式組：

（/）概念：含有相同未知數(shù)的兒個(gè)一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元?次

不等式組。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共部分。

注：求不等式組的解集一般借助數(shù)軸求解較方便。

例題：

方法1：利用不等式的基本性質(zhì)

1、判斷正誤：

（1）若a>b,c為實(shí)數(shù)，則此2>灰；2；

（2）若此2>兒2,則

分析：在（/）中，若c=0,則碇2=反2；在㈡）中，因?yàn)椤?gt;“，所以。CM，否則

應(yīng)有比2=反2故〃>人解：略

［規(guī)律總結(jié)］將不等式正確變形的關(guān)鍵是牢記不等式的三條基本性質(zhì)，不等式的兩邊

都乘以或除以含有字母的式子時(shí)，要對(duì)字母進(jìn)行討論。

方法2：特殊值法

例2、若a<b<0,那么下列各式成立的是()

11aa

A、一<一B、ab<0C、—<1。、—>1

abbb

分析：使用直接解法解答常常費(fèi)時(shí)間，又因?yàn)榇鸢冈谝话闱闆r下成立，當(dāng)然特殊情況

也成立，因此采用特殊值法。

解：根據(jù)的條件，可取a=-2,6=-/,代入檢驗(yàn)，易知@>1,所以選。

b

［規(guī)律總結(jié)］此種方法常用于解選擇題，學(xué)生知識(shí)有限，不能直接解答時(shí)使用特殊值法,

既快，又能找到符合條件的答案。

方法3：類比法

例3、解下列一元一次不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來。

Y—1Y-1

(1)8-2(x+2)<4x-2；(2)1----->2------

23

分析：解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程類似，主要步驟有去分母，去括號(hào)、

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，把系數(shù)化成1,需要注意的是，不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)

數(shù)，不等號(hào)要改變方向。解：略

［規(guī)律總結(jié)］解一元一次不等式與解?元一次方程的步驟類似，但要注意當(dāng)不等式的兩

邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向必須改變，類比法解題，使學(xué)生容易理解新

知識(shí)和掌握新知識(shí)。

方法4：數(shù)形結(jié)合法

2(x+8)<10-4(x-3)

例4、求不等式組：Jx+16X+7的非負(fù)整數(shù)解

------------<1

I23

分析：要求一個(gè)不等式組的非負(fù)整數(shù)解，就應(yīng)先求出不等式組的解集，再從解集中找

出其中的非負(fù)整數(shù)解。解：略

方法5：逆向思考法

例5、已知關(guān)于x的不等式伍一2)x>10-a的解集是x>3,求a的值。

分析：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為x>3,與原不等式的不等號(hào)同向，所以有a-2>0,

即原不等式的解集為X〉吐g,史二巴=3解此方程求出。的值。解：略

a—2a—2

［規(guī)律總結(jié)］此題先解字母不等式，后著眼已知的解集，探求成立的條件，此種類型題都

采用逆向思考法來解。

代數(shù)部分

第六章：函數(shù)及其圖像

知識(shí)點(diǎn)：

一、平面直角坐標(biāo)系

1、平面內(nèi)有公共原點(diǎn)且互相垂直的兩條數(shù)軸，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系。在平面直角坐標(biāo)

系內(nèi)的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)之間建立了-一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

2、不同位置點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：

(1)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)有如下特征：

點(diǎn)尸(x,y)在第一象限ox>0,y>0；

點(diǎn)尸(x,y)在第二象限=x<0,>1>0；

點(diǎn)P(x,y)在第三象限=x<0,y<0；

點(diǎn)P(x,y)在第四象限=x>0,y<0o

(2)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)有如下特征：

點(diǎn)P(x,y)在x軸上為0,x為任意實(shí)數(shù)。

點(diǎn)尸(x,y)在y軸上Ox為0,y為任意實(shí)數(shù)。

3.點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)的幾何意義：

(1)點(diǎn)尸(x,y)到x軸的距離是lyl；

(2)點(diǎn)—G,y)到y(tǒng)袖的距離是Ixl；

(3)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離是+原

4.關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：

(1)點(diǎn)尸(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是《(a,—A)；

(2)點(diǎn)尸(a,6)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是外(-a,份；

(3)點(diǎn)P(a,h)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是P3(—a—b)；

二、函數(shù)的概念

1、常量和變量：在某一變化過程中可以取不同數(shù)值的量叫做變量；保持?jǐn)?shù)值不變的量

叫做常量。

2、函數(shù)：一般地，設(shè)在某一變化過程中有兩個(gè)變量x和y,如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y

都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。

(1)臼變量取值范圍的確是：

①解析式是只含有一個(gè)自變量的整式的函數(shù)，自變量取值范圍是全體實(shí)數(shù)。

②解析式是只含有一個(gè)自變量的分式的函數(shù)，自變量取值范圍是使分母不為。的實(shí)數(shù)。

③解析式是只含有一個(gè)自變量的偶次根式的函數(shù)，自變量取值范圍是使被開方數(shù)非負(fù)

的實(shí)數(shù)。

注意：在確定函數(shù)中自變量的取值范圍時(shí)，如果遇到實(shí)際問題，還必須使實(shí)際問題有

意義。

(2)函數(shù)值：給自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)值所求得的函數(shù)的對(duì)應(yīng)值。

(3)函數(shù)的表示方法：①解析法；②列表法；③圖像法

(4)由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖像，一般步驟是：①列表；②描點(diǎn)；③連線

三、幾種特殊的函數(shù)

1、一次函數(shù)

自變量的

函數(shù)解析式圖像

取值范圍

2

正比例y=kx全體

函數(shù)(k#0)實(shí)數(shù)

①當(dāng)

k>0時(shí)y

隨

X的增大而

增

大

②

當(dāng)k<0時(shí)y

ttX的增大而

減

小

y=kx

一次全體

+b

函數(shù)實(shí)數(shù)

(kf0)

直線位置與hb的關(guān)系：

(1)k>0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為銳角;

(2)k<0直線向上的方向與犬軸的正方向所形成的夾角為鈍角;

(3)b>0直線與y軸交點(diǎn)在x軸的匕

(4)b=0宜線過原點(diǎn)；

(5)6V0直線與y軸交點(diǎn)在x軸的下方；

2、二次函數(shù)

函數(shù)解析式自交t的

取值范圍

Jv

X

(1)—敖式:產(chǎn)a^+bx+c

(a#0)

體

(2)頂煮式:產(chǎn)a(x-m)?+n全

二次

教

頂點(diǎn)為(m,n)實(shí)

由數(shù)

(3)兩根式：f

y=a(x-X])(x-x?)與

X軸兩交點(diǎn)：(X|,O)(X2,O)a>0a<0

L>0-y<0

**2a2a

拋物線位置與a,b,，的關(guān)系:

a>0=開口向上

(1)“決定拋物線的開口方向<

a<00開口向下

(2)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置：

c>Ou>圖像與y軸交點(diǎn)在x軸上方；c=Ou>圖像過原點(diǎn)；c<0=圖像與y軸交點(diǎn)在x

軸下方；

(3)a,8決定拋物線對(duì)稱軸的位置：a,b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)：。=0,對(duì)稱軸是

y軸；a,。異號(hào)。對(duì)■稱軸在y軸右側(cè)；

3、反比例函數(shù):

4、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對(duì)照表:

函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)

解析式y(tǒng)=kx(k*0)￥二5(丘0)

圖像直線，經(jīng)過原點(diǎn)雙曲強(qiáng)，與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)

自變量取值范圍全體實(shí)數(shù)工，0的一切實(shí)數(shù)

當(dāng)人>0時(shí)，在一、三象限；

圖像的位置當(dāng)A>0時(shí)，在一、三象限；

當(dāng)人<0時(shí)，在二、四象限。當(dāng)R<0時(shí)，在二、四象限。

性質(zhì)當(dāng)4>0時(shí),夕隨％增大而增大；當(dāng)A>0時(shí)，y隨力增大而減小；

當(dāng)A<0時(shí)，y隨力的增大而減小。當(dāng)A<0吼,隨力嚕大而增支。

例題：

例1、正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象都經(jīng)過點(diǎn)P(加，4點(diǎn)曲點(diǎn)P到x軸的距離是到

y軸的距離2倍.

⑴求點(diǎn)尸的坐標(biāo).；

⑵求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式。

分析：由點(diǎn)2到》軸的距離是到)，軸的距離2倍可知：2m1=4,易求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再

利用待定系數(shù)法可求出這正、反比例函數(shù)的解析式。解：略

例2、已知a,b是常數(shù)，且y+b與x+a成正比例.求證：y是x的一一次函數(shù).

分析：應(yīng)寫出y+b與x+a成正比例的表達(dá)式，然后判斷所得結(jié)果是否符合一次函數(shù)定義.

證明：由已知，有y+b=k(x+a),其中存0.

整理，得y=kx+(ka-b).①

因?yàn)殡H0且ka—h是常數(shù)，故y=kx+(?a—b)是x的一次函數(shù)式.

例3、填空：如果直線方程ax+by+c=O中，a<0,b<0且bc<0,則此直線經(jīng)過第

象限.

分析：先把a(bǔ)x+by+c=O化為---x.因?yàn)閍<0,h<0,所以一)0,〈0，又bc<0,

bbbb

即￡<0,故一￡>0.相當(dāng)于在一次函數(shù)產(chǎn)依+/中，k=--<0,/=-->0,此直線與y

bbbb

軸的交點(diǎn)(0，—￡)在x軸上方.且此直線的向上方向與x軸正方向所成角是鈍角，所以此宣

b

線過第一、二、四象限.

例4、把反比例函數(shù)y=—與二次函數(shù))，=履2伙網(wǎng))畫在同一個(gè)坐標(biāo)系里，正確的是().

x

答：選(Q).這兩個(gè)函數(shù)式中的k的正、負(fù)號(hào)應(yīng)相同(圖13—110).

圖13-110

例5、畫出二次函數(shù)y=f-6x+7的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題：

(1)當(dāng)x=-l,1,3時(shí)y的值是多少？

(2)當(dāng)y=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的x值是多少？

(3)當(dāng)x>3時(shí)，隨x值的增大y的值怎樣變化？

(4)當(dāng)x的值由3增加1時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值增加多少？

分析：要畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象，首先用配方法把)=x2-6x+7變形為y=(x-3)2-2,

確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后列表、描點(diǎn)、畫圖.解：圖象略.

例6、拖拉機(jī)開始工作時(shí)，油箱有油45升，如果每小時(shí)耗油6升.

(1)求油箱中的余油量。(升)與工作時(shí)間r(時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)畫出函數(shù)的圖象.

答：⑴0=45-6/.

(2)圖象略.注意：這是實(shí)際問題，圖象只能由自變量f的取值范圍0SZS7.5決定是

一條線段，而不是直線.

代數(shù)部分

第七章：統(tǒng)計(jì)初步

知識(shí)點(diǎn)：

一、總體和樣本：

在統(tǒng)計(jì)時(shí)，我們把所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，其中每一考察對(duì)象叫做個(gè)體。從

總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量。

二、反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的特征數(shù)

1、平均數(shù)

-1

(1)花,工2，》3,…，X”的平均數(shù)，X=—(X]+》2+…+X”)

n

(2)加權(quán)平均數(shù)：如果”個(gè)數(shù)據(jù)中，花出現(xiàn)力次，々出現(xiàn)人次，……，與出現(xiàn)/次

-1

(這里力+&+…+/=〃)，則x=-(xifl+x2f2+-+xkfk)

n

(3)平均數(shù)的簡化計(jì)算：

當(dāng)一組數(shù)據(jù)內(nèi),與，…,X”中各數(shù)據(jù)的數(shù)值較大，并且都與常數(shù)。接近時(shí)，設(shè)

X,-a,x2-a,x3-a,--,xn-a的平均數(shù)為x'則:x-x'+a?

2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)接從小到大的順序排列，處在最中間位置上的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)

據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)中位數(shù)就是處在中間位置上兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

3、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)

可能不止一個(gè)。

三、反映數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的特征數(shù)：

1、方差：

x-x222

1yl七至C2_(i)+(x2-x)+---+(x?-x)

(/)&,x?,x2,???,X"的方差，S——

n

（2）簡化計(jì)算公式：S2=.+/+…+X”_—X2（匹M2，/,…，與為較小的整數(shù)

n

時(shí)用這個(gè)公式要比較方便）

（3）記》],工2，了3,…，x”的方差為S