圓的歷年中考真題

★例1、已知平行四邊形OADB中，OA=a,OB=b,AB與OD相交于點(diǎn)C,且IBMI=,BCI,ICN丐ICDI,

用T、1表示6標(biāo)、ON,和加。

★例2、求證；G為AABC的重心的充要條件是：GA+GB+GC=0

★例3、已知AD、BE分別是△ABC的邊BC、AC上的中線，AD=7,BE=b^,則辰:=

★例4、①已知等差數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)之和為S,”若M,N,,P三點(diǎn)共線,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且加=a3i6^1+a2而

(直線MP不過點(diǎn)0),則S32等于多少？

②(2006年江西高考)已知等差數(shù)列｛a0｝的前n項(xiàng)之和為Sn渚a=a16X+a2o(>aH=A,B,C三

點(diǎn)共線(該直線不過點(diǎn)O),則S200等于()

A100B101C200D201

★例5、①若二的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,3),(4,7),則汽1=

①已知：=(1,2)E=(X,1),且「+217與2；式平行，則x之值為

②已知；=(3,4),；且1的起點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),終點(diǎn)坐標(biāo)為(x,3x),則1等于

③已知點(diǎn)M(3,-2),N(-5,-1),且謂口苔而，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

④★例1、①已知a=(3,5)b=(2,3),c=(1,-2),求(a?b)?c

⑤②已知二=(3,-1),%=(-1,2),則-3二-21的坐標(biāo)為

③已知|；|=4,|1|=3,(27-31)?(2T+=)=61,求T與1的夾角.

④已知Ia|=2,|b|=9,a,b=-54,求a與b的夾角.

★例2、①已知a=(1,2),b=(x,1)且a+2b與2a-b平行，則x=_____

②已知|二=2,1|=1,T與1的夾角為X,求向量27+3憶與37-憶的夾角的余弦值.(

3

③已知向量a=(cosa,sina),b=(cos(3,sin。)，且a#土b,貝lja+b與a-b的夾角大小是____)

④已知向量T與E的夾角為120°,且|二|=3,I=Vm，則l=_

★例3已知7=(1,2),1=(-3,2),當(dāng)k為何值時(shí),①與；-3了垂直?②+~b與7YT平行,平行時(shí)

它們是同向還是反向？

★例4:①若向量a+3b垂直于向量7a-5b,且向量a-4b垂直于向量7a-2b,求向量a與b的夾角大

小.

②已知向量a=(2,7),b=(x,-3),當(dāng)a與b的夾角為鈍角時(shí)，求出x的取值范圍；若a與b的夾角為銳

角時(shí)，問x的取值范圍又為多少？

~xX-3x3xTC-*,-~*,-~-?

★例5、函a=(cosw，sinj),b=(sink，cos"y),x￡[0,—],①求a?b；②求|a+b|,③設(shè)函數(shù)f(x)=a,b

zzzz2

+J2|a+b|,求出f(x)的最大值和最小值。

jrjr

★例6、已知向量a=(sinO,1),b=(l,cosO)—,①若a±b,求出9之值，②求出|a+b|的最大值。

22

★例7、①已知向量a=(cos。,sin。)，向量b=(V^,T),求|2a-b|的最大值。

②已知向量7=(3,1),向量1=(x,-3),且71b,求出x之值。

③已知|「1=3,|1|=2,且二與1的夾角為60。，當(dāng)m為何值時(shí)，兩向量3二+5k與m；-3k互相垂直？

④已知|:|=3,E|=8,向量；與E的夾角為120°,貝”二+1|之值為多少？

⑤已知|a|=|b|=1,及|3a-2b|=3,求出|3a+b|之值。

⑥已知二，k是非0向量，且滿足=-2k_L7，和則：與[的夾角為多少？(答案：為60)；

⑦已知向量a=(4,-3),|b1=1,且a?b=5,則b=

⑧若向量二與E的夾角為60°,且1=4,舜"(「+2%)?(7-3=)=-72,則向量7的模為多少？(答;

⑨已知點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(3,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足荷?讀=x：則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(答案：

7T

⑩在AABC中，&b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,且a+c=2b,A-C=—,求sinB

3

★例8、已知向量且"l=4,d=3,又(2；-3%)?(2二+1)=61,則〈二，=〉=

★例9、已知兩點(diǎn)M(-1,0),N(1,0),且點(diǎn)P使加?加，PM?PN,而?而成公差小于0的等差數(shù)

列，①求點(diǎn)P的軌跡方程；②若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為短，求tan〈贏面〉之值。(答案：

★例10、已知二=(1,-2),1=(1，4，①若二和1的夾角為銳角，求九的取值范圍；②若7和E垂直,

求人之值；③若葭和％的夾角為鈍角，求九的取值范圍；④若；和了同向，求人的值；⑤若「和1

反向，求入的值；⑥若之和1共線，求大的值。

★例11、已知a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,T),t￡R,①若a-tb與c共線，求實(shí)數(shù)t之值。②求

出Ia+tb|的最小值及相應(yīng)的t之值。

四、三角與向量的綜合歸納

?【※題1】①已知a=(l,l)a與a+2b的方向相同，則a-b的取值范圍是(答案:(-1,+8))

—>—?—?—>

②已知非零向量贏與記滿足(一日一+一})?BC=O,且」^----^-=-,則aABC為()

|AB||AC||ABI|AC|2

A鈍角△BRtAC等腰非等邊△D等邊△

③已知6t=(3,1),俞=(-l,2),若布_L能且證〃誦則而=)

④已知向量二=(1,-2),7=(1,九)，若7與7的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)入的取值范圍是()

0【※題2】姻數(shù)f(x)=a?b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,sin2x),①當(dāng)f(x)=l-

旦xe[--,—X；②若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m,n)(lml<])平移后得到函數(shù)y=f(x)

的圖象，求實(shí)數(shù)m,n之值。

★【※題3】①已知tan(a?n)=L則(2sina+cosa)cosa的值為()

2

84

AyByC1DO

②已知a、pe兀)，sin(a+B)=^，sin(B-X)=H，則cos(a+工)=()

2sin2(1)-1兀

③已知f(x)=2tanx-x~x—.則是f(瓦)的值為()

sin/cos/

★【※題4】①設(shè)AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若4b,c成等比數(shù)列，且c=2%則

cosB=()

A}BIC^~D

②已知某正弦函數(shù)y=Asin(3x+(p)的部分圖象如圖示，則f(x)的解析式為________(.J6

③函數(shù)y=sin(2x-1)的圖象是由函數(shù)y=cos2x的圖象經(jīng)過下列哪種平移變換而得到\1/

的(D)A向左平移色個(gè)單位B向右平移也個(gè)單位C向左平移粵個(gè)單倉

66"

D向右平移1三ji個(gè)單位

★【※題5】①設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)f(x)=sin3x的圖象C的一個(gè)對(duì)稱中心，若點(diǎn)P到圖象C的對(duì)稱軸的距

7T

離的最小值是生,則f(x)的最小正周期是(答)

4

②已知函數(shù)f(x)=JWsin」；(>0)的圖象上的一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)都在圓x?+y2=*上，則

f(x)的最小正周期是(答)

37r7T

③已知函數(shù)y=sin(3x+<p)(3>0,0?p<n)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)M(w，O)對(duì)稱，且在［0,上是

單調(diào)函數(shù)，求3和<p的值.()

★【※題6］已知函數(shù)f(x)=A/3SinCOXCOSWX-COS2WX+^(COWO)的最小正周期是Ji，且圖象關(guān)于直線x=—

z6

7T

對(duì)稱,①求出3之值;②若當(dāng)xd［0,—］時(shí)，|a+f(x)l<4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2

★【※題7】①把函數(shù)y=cosx-JWsinx的圖象向左平移m個(gè)單位之后，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

則m的最小值是()A—B—C----D—

6336

TTTT

②若f(x)=asin(x+—)+3sin(x—-)是偶函數(shù),則a=0

44

③把曲線C：y=sin(《-x)cos(xW)向右平移a(a>0)個(gè)單位，得到曲線C',若曲線C'關(guān)于點(diǎn)((，0)

對(duì)稱,則a的最小值是()

★【※題8］受日月引力，海水會(huì)發(fā)生漲落，這種現(xiàn)象叫做潮汐.在通常情況下,船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠

近船塢;卸貨后落潮時(shí)返回海洋.某港口水的深度y(米)是時(shí)間t(0WtW24,單位:時(shí))的函數(shù)，記作y=f(t),

下面是該港口在某季節(jié)每天水深的數(shù)據(jù)：

t(時(shí))03691215182124

y(米)10.013.09.97.010.013.()10.17.010.0

經(jīng)過長期觀察,y=f(t)曲線可以近似地看作函數(shù)y=Asin3t+k的圖象

①根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=f(t)的近似表達(dá)式;②一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離為5m

或5m以上時(shí)，認(rèn)為是安全的(船舶?？繒r(shí)，船底只要不碰海底即可).某船吃水深度(船底離水面的距離)

為6.5m,如果該船想在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港口,問它至多能在港內(nèi)停留多長的時(shí)間(忽略進(jìn)出港口所

需時(shí)間)

?！尽}9】設(shè)4ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,

(I)給出下列兩個(gè)條件:?a,b,c成等差數(shù)列;?a,b,c成等比數(shù)列；

(n)給出下列三個(gè)結(jié)論:①目忘y;@a?cos2(y)+c?cos2(y)=y;01^QSB+shiB^

請(qǐng)你選擇給定的兩個(gè)條件中的一個(gè)做為條件,給定的三個(gè)結(jié)論中的兩個(gè)做為結(jié)論，組建一個(gè)你認(rèn)為正

確的命題,并給出證明.

cot(--0)

sin(e-5兀)2cos(8叮-8)

★例1：化簡:0

tan(3K-0)/八3幾、sin(-0-4n)

tan(0-——)

2

TT7T

②化簡：sin(a-—)+cos(a+—)0

44

③已知冗<a〈2n,cos(a-9n■，求cot(a)的值()

sinxIcosx?tanx

★1、函數(shù)y二H的值域?yàn)?):

Isinx|Icosx||tanx|

A{-2,4}B{-2,0,4}C{-2,0,2,4}D{-4,-2,0,4)

★2、設(shè)函數(shù)f(x)=asin(Jtx+a)+bcos(nx+B),其中a,b,a,。均為非0實(shí)數(shù)，且有f(2003)=l,求f(2004)

之值()

★3、已知sina是方程5x5-6=。的一個(gè)根，求。―尹尚￡吟誓叫尹岑.之值

sm(n+a)sin(2n-a)cot(n-a)

★4、①求sin"^cos.ntan(-^^)之值()

364

※②已知tan(5n+a)=m,則辿尹：H零?之值為多少?()

sin(一a)-cosU1n+a)

jr

sin(--20)

★5、(2006?湖南省?文科?16題?12分)已知J3sin。-----:八、?cos6=l,9G(0,n),求6.

cos(n+0)

777ZTT

★6,(2006?天津?文科,17題*12分)已知tana+cota=5/2,aC(—,—)求cos2a和sin(2a+—)

424

之值。

★7、(2006?安徽?文科?17題?12分)已知a為銳角，且sina=1求①sin；a+sin：a之值;②求

5cosa+cos2a

tan(a-匕)的值。()

4

★8、已知sin(kn+0)=-2cos(kn+0)(kGZ),求下列各式:

4sinO-2cos0sin0+tan0

05cos2O+3sin0cos0;(2)--.八；③tan。(cos0-sin0)

5cos0+3sin6cot*

一、鞏固練習(xí)(2)：

★例1、輔助角公式的應(yīng)用：①Y2sinx±Y3cosx②Linx土立cosx③且sinxil

222222

cosx?sinx±cosx⑤sin9±3mcos0

1o7T1

★例2化簡：1-sin22a-sin2(a-——)-cos*a(為一(sin2a-cos2a)

442

★例3①cosll30cos23°+sinll3°cos67°

l-tanl50sin70+cosl50sin80

③

l+cot75°cos70-sinl50sin8c

★題4、(2006?廣東?15題?14分)已知函數(shù)f(x)=sinx+sin(x+—),x￡R,

2

①求f(x)的最小正周期；②求f(x)的最大值和最小值；③若f(a)=3/4,求sin2a之值。(答

★題5、(2006?陜西?17題?12分)已知已知函數(shù)f(x)=(2x-工)+2sii?(x^p,

61/

(xER)，①求f(x)的最小正周期；②求使f(x)取得最大值的x的集合；

★題6、(2006?湖北?16題?12分)設(shè)向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),x￡R,函數(shù)f(x)=a?(a

+b),①求函數(shù)f(x)的的最大值和最小正周期；②求使不等式f(x)2楙成立的x的取值范圍的集合

★題7、(2006?湖南?16題?12分)如圖，D是直角三角形4ABCA

斜邊BC上的一點(diǎn)，且AB=AD,記NCAD=a,NABC邛，

BV

D

①證明sina+cos2(3=0;②若AC=J?DC,求|3的值。

★題8、(2006?江西?19題?12分)在銳角三角形4ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinA=2A/2/3,①求tan'C^y+sin"》的值；②若a=2,SA?K=,求b的值。

TT

★題9、(2006,浙江?16題?14分)如圖，函數(shù)y=2sin(nx+(p),(xGR)(其中OWcpW—)的圖象

2

與y軸交于點(diǎn)(0,1)；①求勺的值：②設(shè)P為圖象上的最高點(diǎn)，M,N是圖象與x軸的交點(diǎn)，求苒與

用的夾角。

(三)鞏固練習(xí)(3)：

TT

★【※題1】函數(shù)f(x)=tanax(3〉0)的圖象的相鄰兩支截直線y=—所

4

TTTTTT

得的線段長為一,則f(一)之值是0AOB1C-lD-

444

★[※題2]已知a=(cosa,sina),b=(cos0,sinp),且a與b之間滿足關(guān)系:lka+b1=A/3Ia-kbI,其中

k>0,則a?b的最小值是一，此時(shí)a與b的夾角大小為

冗

★【※題3】瞰fi(x)=Asin(3x+(p)(A>0,3>O,l(pl<―)的一段圖象過點(diǎn)。1),

2

—?7T

如圖所示，①求函數(shù)f,(x)的解析式；②將函數(shù)y=t；(x)的圖象按向量a=(—,0)

4

平移，得到函數(shù)y=fz(x)的圖象，求函數(shù)y=f,(x)+fz(x)的最大值,及此時(shí)自變量x

的取值集合.

★【※題4】?①若函數(shù)f(x)=sin3x-J5cos3x在區(qū)間M上的最大值與

最小值的差等于4,則區(qū)間M一定不可能是()

?②設(shè)函數(shù)f(O)=acos20+bsin2e+2acos9,其中a#b#O,0G［0,n］則關(guān)于。的方程f(0)=0的解有()個(gè)

AOB1C2D無數(shù)個(gè)

★【※題5】在三角形ABC中，若晶?BC+BC?CA+CA-AB=-6

①若/C為直角，求c邊的長；②若三角形的周長等于6,試判斷三角形ABC的形狀

7T

★【※題6】函數(shù)依)=人5畝(3*--)(人>0,3>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(口,2),且其單調(diào)遞增區(qū)間的最大長度

3

11

是2口,求出其單調(diào)遞減區(qū)間。(解、A=4,周期為4%則有3=—,從而f(x)=4sin(—x-—),則單調(diào)遞

223

m，5n11JI

減區(qū)間為[亍+41<冗,飛一+4kn](kez)

★【※題7］已知向量m=(，5sinx,cosx),n=(cosx,cosx),p=(2A/3,1),①若m〃p,求sin2x的值;②設(shè)函數(shù)

f(x)=m?n,ZXABC的三邊a,b,c滿足b?=ac,且f(B)=l,試判斷△ABC的形狀

f-1v3ffff->—?

★【※題8］已知a=(萬,方一),04=@-6,08=@+1),若4慶08是以0為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則向

量b=,AAOB面積為

TT

★【※題9】若把函數(shù)的圖象沿向量2=(-§，-2)平移后，得函數(shù)y=cosx的圖象，則原函數(shù)的解析式為

/、7t7V7T

()Ay=cos(x—)+2By=cos(x+—)+2Cy=cos(x—)-2Dy=cos(x+—)-2

★【※題10］設(shè)向量a=(cosx,sinx),b=(45sinx,-sinx),①求函數(shù)f(x)=logKa?b+1)(a>0且aXI)的

單調(diào)遞增區(qū)間；②若a?b。，且(0,工)，求滿足sin(x-0)-sin(x+0)+sin2x=~^—的最小正角。。

222

四、鞏固練習(xí)(4)

★【※題1］已知A(3,0),B(0,3),C(cosa,sina),①若AC?BC=T,求sin2a之值

②若欣+6|=布，且aG(0,n),求還與而的夾角

★【※題2］已知f(x)=asin(nx+a)+bsin(nxf),其中a、0、a、b均為非零實(shí)數(shù)，若f(2005)=-1,則f

(2006)之值為()：AOB1C-lD2003

★【※題3］已知向量a=(4cosB,3cos2B-2cosB),b=(sin?(—(B)=a?b

4乙

TT

①若f(B)=2,且0<B<n，求角B;②若對(duì)任意的角BW(0,—),f(B)-m>2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

2

J［JI

★【※題4］已知f(x)=sin(x+—)+sin(x——)+cosx+a(a￡R,a為常數(shù),x￡R);

66

①求函數(shù)f(x)的最小正周期；②若函數(shù)f(x)的最大值為3,求實(shí)數(shù)a之值；

③求函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間.

1+A/2cos(4x--)

4TT

★【※題5］已知函數(shù)f(x)=----------o----------，①若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,一),求函數(shù)f(X)的

4

單調(diào)遞減區(qū)間；②若f(x)=-2,求x之值。

五、鞏固練習(xí)(5)：

1、y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象和性質(zhì)；以及五點(diǎn)做圖法的應(yīng)用。

2^y=Asin(3x+(p),y=Acos(3x+(p)的周期、奇偶性、對(duì)稱軸、單調(diào)性、最值。

7T

3、鞏固練習(xí)：①如果函數(shù)y二sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=-w對(duì)稱，則a=()

AV2B-V2C1D

冗

②求下列函數(shù)的周期：Cy=sinx+cosx;?y=sin(2x+—)cos2x;?產(chǎn)cosax;

8

0y=tanx-cotx;

③求函數(shù)y=cos2x-3cosx+2的最小值(答案為0)

★例1已知函數(shù)y=2sin(3x+(p)(SI<5)的圖象，①求出①、中的值;

②求出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程，對(duì)稱中心的坐標(biāo)，最小正周期。

jrk五TTLJ［JI

解：①3二2,(P=一；②對(duì)稱軸方程為：x=7-+—;對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(一5一-不■,()),最小正周期為

6/6,"

TT

n；★例2、函數(shù)y=3sin(2x+j)的圖象可以看成是把函數(shù)y=3sin2x的圖象經(jīng)過怎樣的平移變化而得到

的？

★例2、設(shè)函數(shù)y=sin'x+J9sinxcosx+a,①求f(x)的遞增區(qū)間：②當(dāng)xd［O,工］時(shí)，f(x)的最小

值為2,求出a的值，并說明此時(shí)經(jīng)過怎樣的變換，f(x)的圖象可變?yōu)閥=sinx的圖象。(答案：a=2)

.44.22

★例3、求函數(shù)心)=.茨'‘os"的最小正周期、最大值、單調(diào)遞增區(qū)間

★例4、已知在△ABCUlsinA(sinB+cosB)?sinC=0,sinB+cos2c=0,求角A、B、C的大小。

★例5、(2006年福建?17題?12分)已知函數(shù)心)=5后父+">\/^5111*,05*+2cos"x,x￡R,①求函數(shù)f

(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；②函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y二sin2x(x￡R)的圖象經(jīng)過怎樣的

變換而得到？

兀

★例6、(2006年山東?17題?12分)已知函數(shù)收)==慶5巾2(3*+中)6>0,3>0,0<冰萬)，且y=f(x)

的最大值為2,其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2,并過點(diǎn)(1,2)；①求s②計(jì)算f(1)+f(2)+…

+f(2008)

★例7、已知A,B,C是AABC的在個(gè)內(nèi)角，向量m=(T,J3),n=(cosA,sinA),且m?n=l;①求角

l+sin2B

A；②若■,求tanC

cos'B-sin'B=-3：

六、鞏固練習(xí)(6)：

冗JI

★例1、平面內(nèi)有兩點(diǎn)A(l,cosx),B(cosx,l),其中xe［，—］，①求向量OA與0B的夾角0的余弦值;

44

②記f(x)=cos0,求f(x)的最小值。

-2-I->

★例2、如圖，點(diǎn)P是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AP=^AB+gAC,則AABP的面積與4ABC的面積之比是.

★3、函數(shù)f(x)=cos(n-x)?lg|x］在區(qū)間［寸，內(nèi)的圖象是

A

★4、將函數(shù)y=si3