電力系統(tǒng)遠(yuǎn)動(dòng)原理及技術(shù)

電力系統(tǒng)遠(yuǎn)動(dòng)原理及技術(shù)第1頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一電力系統(tǒng)遠(yuǎn)動(dòng)原理及技術(shù)

第四章遠(yuǎn)動(dòng)信息的信道編譯碼第2頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.1概述

在遠(yuǎn)動(dòng)系統(tǒng)中，遠(yuǎn)動(dòng)裝置采集的信息必須通過通信通道傳輸?shù)秸{(diào)度控制中心才能使用（上行）調(diào)度控制中心下達(dá)到各廠站端的命令同樣也必須通過通信通道才能傳送到各廠站端的遠(yuǎn)動(dòng)裝置（下行）因此通信信道是遠(yuǎn)動(dòng)系統(tǒng)中的重要組成部分。第3頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一1、信道編碼原因：通信信道各種干擾，使遠(yuǎn)動(dòng)信息在傳輸時(shí)，由于干擾而發(fā)生差錯(cuò)，從而降低遠(yuǎn)動(dòng)信息的可靠性。目的：使要傳送的信息有較好的抗干擾能力。信道編碼又稱為抗干擾編碼。措施；在信息進(jìn)入通信線路之前，對它加以改造、保護(hù)形成碼字，使碼字的內(nèi)容結(jié)構(gòu)具有一定的規(guī)律性和相關(guān)性，當(dāng)信息受到干擾后能根據(jù)碼字原有的內(nèi)在規(guī)律性和相關(guān)性，發(fā)現(xiàn)甚至糾正錯(cuò)誤，達(dá)到恢復(fù)原來信息的目的。第4頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一2、信道編碼的方法信道編碼的一般方法：對信源編碼得到的序列，按照某種規(guī)律，添加一定數(shù)量的監(jiān)督碼元，由信息序列和監(jiān)督碼元構(gòu)成一個(gè)有抗干擾能力的碼字，添加監(jiān)督碼元的規(guī)律或規(guī)則不同，就形成了不同的編碼方法。遠(yuǎn)動(dòng)信息的信道編碼常用編碼方法有：奇偶加正反校驗(yàn)碼、BCH碼、等比碼、卷積碼等。目前主要采用的是BCH碼。第5頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一BCH碼名稱由來：三個(gè)人的名字。優(yōu)點(diǎn)：有效糾正多個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤，具有循環(huán)碼的優(yōu)點(diǎn)，編譯碼容易實(shí)現(xiàn)。結(jié)果：國際電工委員會(huì)和我國的遠(yuǎn)動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)都要求用此編碼方式進(jìn)行抗干擾的編碼。第6頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.2信道編碼的基本原則

4.2.1數(shù)字傳輸系統(tǒng)模型第7頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一1、圖4-1數(shù)字通信系統(tǒng)模型信源信源編碼信道編碼調(diào)制器通信解調(diào)器信道譯碼信源譯碼信宿smc干擾rm*s*第8頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一2、信源信源：信源就是指各種參數(shù)，狀態(tài)和命令，可以是開關(guān)的合閘或跳閘狀態(tài)，也可以是電壓、功率等的數(shù)值。信源的輸出可以是連續(xù)變化的模擬信號(hào)，也可以是離散的數(shù)字信號(hào)。第9頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一3、信源編碼（有效性編碼）

信源編碼是將各種形式的信源，經(jīng)變送器，模數(shù)轉(zhuǎn)換電路或其它各種編碼電路變成離散的代碼。

信源編碼原則：一是使代表信源s的碼元數(shù)盡可能少；二是要能能夠從信息序列m重構(gòu)原來的信源s。第10頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一3、信源編碼（例）

以信源是4個(gè)狀態(tài)為例，如果信源編碼采用兩位二進(jìn)制數(shù)的信息序列，則00、01、10、11可分別代表信源的四種狀態(tài)，其二進(jìn)制數(shù)的個(gè)數(shù)最少，且能重構(gòu)原來的四種狀態(tài)。若采用一位或三位二進(jìn)制數(shù)，就不能同時(shí)滿足上述兩點(diǎn)要求。故信源編碼又稱有效性編碼。第11頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4、信道編碼的作用

信道編碼的作用是根據(jù)一定的規(guī)則，在信息序列m中添加一些碼元，將信息序列m變成較原來長的二進(jìn)制數(shù)字序列c，稱為碼字。

信道編碼的目的是提高信息序列m的抗干擾能力。第12頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一5、調(diào)制器的作用

調(diào)制器的作用是將用數(shù)字序列表示的碼字c，變換成適合于傳輸?shù)男盘?hào)形式，送入信道，電力系統(tǒng)遠(yuǎn)動(dòng)裝置中，常采用數(shù)字調(diào)頻或數(shù)字調(diào)相的方法，將碼字c中的每個(gè)碼字“0”或“1”，變成不同的兩種載波頻率或兩種載波相位。第13頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一6、信道的類型電力載波微波散射波光纖通道等第14頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一7、信道中的干擾源

遠(yuǎn)動(dòng)系統(tǒng)中的噪音由雷電、弧光、電火花、天線電臺(tái)頻率干擾、多路通信的跳閘干擾等所引起。

任何遠(yuǎn)動(dòng)系統(tǒng)環(huán)境中，干擾是永遠(yuǎn)存在的，不同的信道具有不同的干擾源，信道編碼就是抗信道干擾的措施之一。第15頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一7、信道中的干擾（3）

碼字在信道中穿送時(shí)受到干擾的情況，可用錯(cuò)誤圖樣e來表示。如果e中的所有位不全為“0”。則按收碼字r肯定和發(fā)送碼字c不完全相同，即信息在信道中受到了干擾。第16頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一錯(cuò)誤圖樣有了錯(cuò)誤圖樣與接收碼字就可以得到正確的發(fā)送碼字了嗎？錯(cuò)誤圖樣是我們?yōu)榱搜芯啃诺乐械母蓴_而提出的一個(gè)物理模型。錯(cuò)誤圖樣并不真正存在于發(fā)送過程中。錯(cuò)誤圖樣是我們通過信道譯碼糾正了干擾后得到的一個(gè)序列，而不是通過錯(cuò)誤圖樣進(jìn)行譯碼。（先后順序）第17頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一8、信道譯碼信道譯碼就是根據(jù)按收碼字r及信道編碼規(guī)則，檢查或糾正按收碼字r中的錯(cuò)誤碼元，產(chǎn)生出發(fā)送碼字c的估計(jì)值c*，并從c*中還原出信息序列m的估計(jì)值m*。第18頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一9、信源譯碼

信源譯碼是根據(jù)信源編碼規(guī)則，將按受到的信息序列m*轉(zhuǎn)變?yōu)樵旁磗的估計(jì)值s*，并送給顯示系統(tǒng)顯示或執(zhí)行對象執(zhí)行，這里在顯示或執(zhí)行就是我們所說的“信宿”，也稱為“受信者”。第19頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一11提高信息傳輸可靠性的措施

提高信息傳輸可靠性的措施之一，是設(shè)計(jì)出性能良好的信道編碼器和譯碼器。1提高傳輸率。2碼字的抗干擾能力強(qiáng)。第20頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一12、數(shù)字傳輸中的干擾

隨機(jī)干擾：如果干擾對每個(gè)碼元的影響是獨(dú)立的，與前后碼元無關(guān)，這種干擾稱為隨機(jī)干擾。

突發(fā)干擾：如果干擾一旦發(fā)生，不但影響某一個(gè)碼元，而且同時(shí)引起前后某些碼元的錯(cuò)誤，錯(cuò)誤之間具有相關(guān)性，這種干擾稱為突發(fā)干擾。第21頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一13、實(shí)際信道中的干擾

實(shí)際干擾類型：隨機(jī)干擾和突發(fā)干擾并存的通道稱為復(fù)合通道。對應(yīng)措施：對于復(fù)合通道，我們應(yīng)該對它的干擾所產(chǎn)生的錯(cuò)誤進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，掌握其錯(cuò)誤出現(xiàn)的規(guī)律，以便采用一種有針對性的信道編碼方法。第22頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.2.2最大似然譯碼（原理性）

原理性，并非實(shí)際采用的譯碼方式。

研究對象載體：信道中受干擾情況與信道的特性有關(guān)，最簡單而最典型的信道是二進(jìn)制對稱信道，簡稱BSC信道。第23頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一BSC信道的特征按收碼元與發(fā)送碼元相同的概率，為碼元正確按收概率q；（q>0.5）按收碼元與發(fā)送碼元相反的概率，為碼元錯(cuò)誤概率p。(p>0.5)P+Q=1(要么正確，要么錯(cuò)誤)假設(shè)信道對發(fā)送碼元的影響是獨(dú)立的。第24頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.2.2最大似然譯碼（原理）

名稱理解：最相似（量化就是按位計(jì)算條件概率）原理：在按收到碼字后，信道譯碼器對信道編碼器可能輸出的所有碼字c，計(jì)算它們的條件概率。若對可能的發(fā)送碼字條件概率最大，則認(rèn)為碼字就是發(fā)送碼字，可將收到的譯為發(fā)送碼字，這種譯碼方案稱為最大似然譯碼。（對于一個(gè)編碼方案來說，所有的碼子是一個(gè)有限的集合）第25頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.2.2最大似然譯碼（計(jì)算）

條件概率可表達(dá)如下：（4-1）式中，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，第26頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.2.2最大似然譯碼（計(jì)算公式改寫）令為發(fā)送碼字與接收碼字不同的碼元位數(shù)，則（4-1）式可改寫為：（4-2）注意：不具有實(shí)際操作性，只是原理描述第27頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一分析

由于二進(jìn)制對稱信道中P>Q，所以條件概率隨不同碼元個(gè)數(shù)（D）的增大而減小。所以按條件概率最大來尋找發(fā)送碼字，等效于尋找與按收碼字不同的碼元位數(shù)最少的發(fā)送碼字。第28頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.2.2最大似然譯碼（實(shí)質(zhì)）因此，最大似然譯碼就是判斷發(fā)端可能發(fā)送的所有碼字中，哪個(gè)碼字與接接收碼字最相似。與最相似的碼字，兩者之間不同的碼元位數(shù)最小，按（4-2）式算出的條件概率必然最大。（例子）第29頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.2.3最小距離譯碼的檢糾錯(cuò)能力（1）漢明距離

漢明距離（碼距）：是指兩個(gè)碼元位數(shù)相同的碼字之間，對應(yīng)碼元位不相同碼元的數(shù)目。計(jì)算：按位異或后求和或者是模2加。第30頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.2.3最小距離譯碼的檢糾錯(cuò)能力（2）

知道了碼距的概念，我們就知道，對于最大似然譯碼來說，就是找到與接收到的碼字距離最小的碼字，并認(rèn)為此碼字就是發(fā)送端想要發(fā)送的碼字。第31頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一關(guān)于碼距在編碼中的一個(gè)定義

在一種碼的所有碼字的集合當(dāng)中，任意兩個(gè)碼字之間的碼距不一定相同，我們將所有可能的碼字之間的碼距的最小值稱為這個(gè)碼字集合的最小值，記為dmin。第32頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.2.3最小距離譯碼的檢糾錯(cuò)能力（3）漢明重量

漢明重量（碼重）：碼字中非零碼元的個(gè)數(shù)，用w表示。在二進(jìn)制情況下，它就是碼字中1碼元的個(gè)數(shù)，若碼字則其碼重為：

（4-4）第33頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.2.3最小距離譯碼的檢糾錯(cuò)能力（4）

前提：在一個(gè)線性碼中任意兩個(gè)碼字v和u相加，得到的碼字v+u一定在該線性碼中。當(dāng)v和u中對應(yīng)位上的碼元不同時(shí)，在v+u的碼字中對應(yīng)位上的碼元是1，否則為0，由此可得出等式：

（4-5）該式說明：一個(gè)線性碼中，任意兩個(gè)碼字之間的漢明距離正好等于這兩個(gè)碼字相加所得到的另一個(gè)碼字的漢明重量。第34頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一重量與距離的聯(lián)系區(qū)別重量是一個(gè)碼字的運(yùn)算距離是兩個(gè)碼字的運(yùn)算聯(lián)系是公式4-5第35頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一

關(guān)于線性碼的一些結(jié)論

一個(gè)線性碼的所有碼字中，如果某兩個(gè)碼字之間的碼距最小，則它們之間的碼距可以代表該線性碼的最小距離。同時(shí)，這兩個(gè)碼字的和一定為該線性碼字中的另一個(gè)碼字，這個(gè)碼字的重量一定最小。因此，一個(gè)線性碼的最小距離等于它的非零碼字的最小重量。第36頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.2.3最小距離譯碼的檢糾錯(cuò)能力（7）

一種碼的最小距離是衡量這種碼抗干擾能力（檢糾錯(cuò)能力）的重要參數(shù)。對最小距離為dmin的碼，它能糾正的碼字中的錯(cuò)誤碼元的個(gè)數(shù)t和能檢出的碼字中的錯(cuò)誤碼元個(gè)數(shù)l滿足如下關(guān)系式：第37頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.2.3最小距離譯碼的檢糾錯(cuò)能力（8）糾錯(cuò)能力：（4-6）檢錯(cuò)能力：（4-7）同時(shí)檢錯(cuò)和糾錯(cuò)的能力：（4-8）最小碼距與碼的檢、糾錯(cuò)能力之間的關(guān)系，可以用圖形作幾何解釋。第38頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一第39頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一舉例:只傳輸兩個(gè)信息(斷路器分合閘\保護(hù)動(dòng)作未動(dòng)作-------開關(guān)量)

直觀上講，可以只用一位長度的碼字即可。選取0，1分別表示合閘、跳閘顯然，這個(gè)編碼方式下，碼的最小距離為1。即dmin=1。無檢錯(cuò)、糾錯(cuò)能力驗(yàn)證：無論哪個(gè)碼字受到干擾，都將變?yōu)榱硪粋€(gè)碼字，因此接收端無法知道是否受到了干擾。第40頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一如果用兩位長度的碼字即可。選取00，11分別表示合閘、跳閘顯然，這個(gè)編碼方式下，碼的最小距離為2。即dmin=2?？蓹z錯(cuò)1位、無糾錯(cuò)能力驗(yàn)證（檢錯(cuò)）：發(fā)送的碼字00，11只受到1位的干擾，即變?yōu)?1，10，接收端就可以知道此碼字受到了干擾，可以檢出一位干擾造成的錯(cuò)誤。如果受到了2位的干擾，即變?yōu)?1，00，則接收端無法知道此碼字受到了干擾，不能檢錯(cuò)。驗(yàn)證（糾錯(cuò)）：發(fā)送的碼字受到1位的干擾，變?yōu)?1，10，由于受到干擾的碼字與發(fā)送的碼字（00，11）的相似程度相同，因此接收端無法糾正錯(cuò)誤。第41頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一如果用三位長度的碼字即可。選取000，111分別表示合閘、跳閘顯然，這個(gè)編碼方式下，碼的最小距離為3。即dmin=3。可檢錯(cuò)2位、糾錯(cuò)1位驗(yàn)證（檢錯(cuò)）：（受到1位干擾同前）發(fā)送的碼字000，111受到2位的干擾，接收端就可以知道此碼字受到了干擾，可以檢出2位干擾造成的錯(cuò)誤。如果受到了3位的干擾，即變?yōu)?11，000，則接收端無法知道此碼字受到了干擾，不能檢錯(cuò)。驗(yàn)證（糾錯(cuò)）：發(fā)送的碼字受到1位的干擾，如001則可以判斷是000碼字受到了干擾，糾正錯(cuò)誤，譯碼為000第42頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.2.3最小距離譯碼的檢糾錯(cuò)能力（17）抗干擾編碼就是對信源編碼得到的k位信息序列，按照某種規(guī)律添加r位新碼元（稱為監(jiān)督元），達(dá)到增大碼的最小距離的目的。經(jīng)抗干擾編碼后得到的碼字，其碼元位數(shù)（稱碼長），編碼效率。第43頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.2.3最小距離譯碼的檢糾錯(cuò)能力（18）

添加監(jiān)督元的規(guī)律或規(guī)則不同，便形成不同的碼元方法，對編碼方法的選擇原則：一是：要使新選擇的編碼方法能夠檢測出或糾正信道中最可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤圖樣（前述根據(jù)不同的信道選擇不同的編碼方式）；

二要：提高編碼效率，即在保證可靠性的前提下，盡量減少監(jiān)督元的數(shù)目（有側(cè)重性）；三要：使選擇的方法易于實(shí)現(xiàn)（比如，選擇消息序列在前、監(jiān)督序列在后的編碼方式）。第44頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一結(jié)論增加碼字的距離可以增加碼字的抗干擾能力，即增加檢錯(cuò)，糾錯(cuò)的能力。但是增加距離就必須增加監(jiān)督元（附加信息），會(huì)使信息編碼的效率降低。矛盾：兩者是矛盾的，因此，在實(shí)踐中應(yīng)當(dāng)選取適當(dāng)?shù)木幋a方式，適合工程需求。（比如，遠(yuǎn)動(dòng)應(yīng)用的4840碼4032碼等）第45頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.3信道編碼的代數(shù)基礎(chǔ)

碼字中的信息元和監(jiān)督元之間按一定的代數(shù)關(guān)系互相約束，這種編碼屬于代數(shù)編碼。

這里只有介紹我們常用到的一些基本的理論。第46頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一元，集的概念（簡單介紹）元，就是元素，可能是數(shù)、點(diǎn)、線、面等集，即集合，是一些元素的集體表示。域，一個(gè)非空域上的元滿足一些特定運(yùn)算規(guī)則，則稱此集為域。例如，有理數(shù)集中包括的元是所有的有理數(shù)，對于加法和乘法運(yùn)算，結(jié)果也在這個(gè)集中。則可以說，有理數(shù)集對于加法和乘法來說是一個(gè)域，有理數(shù)域。下面來看伽羅華域第47頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.3.1伽羅華域及域上多項(xiàng)式（1）設(shè)F式一個(gè)非空集合，在F中定義加法和乘法兩種代數(shù)差異，若F對這兩種運(yùn)算滿足自封，并滿足以下運(yùn)算規(guī)則：第48頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.3.1伽羅華域及域上多項(xiàng)式（2）加法：

·對任意，有

·對任意，有；

·若F中有易個(gè)元素位0，任意，有：；

·對任意，，有；第49頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.3.1伽羅華域及域上多項(xiàng)式（3）乘法：

·對任意，有；

·對任意，有；

·

，存在易元素，具有性質(zhì)；

·

，則，有第50頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.3.1伽羅華域及域上多項(xiàng)式（4）在加法與乘法間滿足分配規(guī)律：，有：，則F對于所規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算式是一個(gè)域。第51頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.3.1伽羅華域及域上多項(xiàng)式（5）如果域F中的元素個(gè)數(shù)無限，稱F為無限域；元素個(gè)數(shù)有限，稱F為有限域，也稱為伽羅華域。具有兩個(gè)元素0和1，且加法和乘法運(yùn)算按模2加模2乘法運(yùn)算的有限域稱為二元域，記為GF（2）。后面的分析都在這個(gè)域上。第52頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.3.1伽羅華域及域上多項(xiàng)式（6）模2加法運(yùn)算規(guī)則是，，，模2乘法運(yùn)算規(guī)則是

1⊙1=1，0⊙0=0，0⊙1=0，1⊙0=0以后為了書寫上的方便，將直接用+和·號(hào)表示和⊙。第53頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一域上多項(xiàng)式的概念（用來表示信息序列）假如一個(gè)多項(xiàng)式的所有系數(shù)和未知數(shù)x是某域上的元素，則稱這個(gè)多項(xiàng)式是該域上的多項(xiàng)式，域上多項(xiàng)式可表示為：（4-9）在GF（2）上的多項(xiàng)式，系數(shù)和未知數(shù)x的取值只能是0或1，對的單項(xiàng)式為，的單項(xiàng)式為。第54頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.3.1伽羅華域及域上多項(xiàng)式（8）

在信道編碼中，經(jīng)常用多項(xiàng)式來代表一個(gè)信息序列或碼字，這種多項(xiàng)式稱為消息多項(xiàng)式。注意：多項(xiàng)式種的x不再有未知數(shù)的概念，只代表系數(shù)所處的位置，而系數(shù)則代表碼元的取值。

例如二進(jìn)制序列1101101，可用二元域上的多項(xiàng)式

來等效地表示，而11000010111可表示為二元域上的多項(xiàng)式

第55頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.3.2二元域上的矢量空間及矩陣為何要研究二元域（計(jì)算機(jī)信息的表示方法）為何要研究其上的矢量空間與矩陣（一種編碼中的碼字有很多個(gè)，每一個(gè)碼字就是一個(gè)序列，序列中的信息是有先后順序的，我們可以當(dāng)成一個(gè)矢量，研究一個(gè)編碼就需要研究其中所有碼字的集合）第56頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.3.2二元域上的矢量空間及矩陣（1）

對于二進(jìn)制序列，可以是0，也可以是1，取值等于二元域GF（2）中的元素，通常稱這個(gè)序列為GF（2）上的n重，n位序列可以構(gòu)成個(gè)不同的n重。所有二進(jìn)制n重的集合稱為GF（2）上的矢量空間，記作，其中的任何一個(gè)n重，稱為矢量，也稱為碼矢。第57頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一矢量運(yùn)算法則（加法、乘法按位）第58頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一矢量運(yùn)算法則一個(gè)二進(jìn)制n重v與GF（2）中任一元素的標(biāo)乘定義為：由于取值為0或1，則的值只有兩種：全0n重，或是原來的n重。第59頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一正交如果矢量空間中兩個(gè)矢量V，U，滿足則稱兩個(gè)矢量正交，反之，稱為非正交矢量第60頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一子空間定義由矢量空間中的部分矢量構(gòu)成的集合稱為的子集，若子集s中包含全0矢量，并且s中任何兩個(gè)矢量的和也在s中，則稱子集s為矢量空間的子空間。第61頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一矢量的線性相關(guān)性全是矢量空間中的k個(gè)矢量，這k個(gè)矢量的線性組合構(gòu)成另一個(gè)矢量：

（4-10）若只有為全0時(shí)，才能得到為全0矢量，則稱是線性無關(guān)的。反之，則稱為線性相關(guān)的。第62頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一舉例（線性相關(guān)）對于4維的一組矢量（1100）（1010）（1011）（1101）如果取各矢量的系數(shù)分別為1，1，1，1，則U=（0000），說明這組矢量是線性相關(guān)的。第63頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一舉例（線性無關(guān)）對于4維的一組矢量（1000）（0100）（0010）（0001）無論取得何種不全為0的系數(shù)組合，U都不可能為全零矢量（0000），說明這組矢量是線性無關(guān)的。第64頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一注意：一組矢量要么是相關(guān)的，否則必然是無關(guān)的。在研究了矢量的相關(guān)性之后，我們來看基底、維數(shù)的概念第65頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.3.2二元域上的矢量空間及矩陣（6）前提：是一組線性無關(guān)的矢量。（保證唯一性）若一個(gè)矢量空間中的每一個(gè)矢量，都等于一組矢量的線性組合，則稱這組矢量張成這個(gè)矢量空間?；祝哼@組張成矢量稱為被張成矢量空間的基底維數(shù)：而基底中矢量的個(gè)數(shù)稱為被張成矢量空間的維數(shù)。第66頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一拓展到矩陣中一個(gè)k行n列的k×n矩陣排列如下：

（4-11）

第67頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一行空間位于陣列中帶i行和第i列的元素若只取GF（2）中的元素（0或1），則稱G為域GF（2）上的一個(gè)k×n矩陣，矩陣G中每一行是一個(gè)二進(jìn)制n重，每一列是一個(gè)二進(jìn)制k重，若矩陣G的k行是中的k個(gè)線性無關(guān)的n重，則G的所有行的線性組合構(gòu)成的一個(gè)k維子空間，稱它為矩陣G的行空間。第68頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一零化空間對于任何具有k個(gè)線性無關(guān)行的GF（2）上的k×n矩陣，總存在一個(gè)距陣H，

（4-12）

第69頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一零化空間它的n-k行也是線性無關(guān)的，而且K×H矩陣G的任意行與（N-K）×N矩陣H的任意行都正交，即

（4-13）引申:

矩陣G的行空間中的任意矢量v與矩陣H的行空間中的任意矢量n都是正交的.結(jié)論:我們稱為G的行空間是H的零化空間，同樣，H的行空間也是G的零化空間。

第70頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一結(jié)論

前提:由于矩陣G和H之間的這種性質(zhì)

方法:得到了編譯碼的方法

編碼:在線性分組碼的編碼中，用G的行空間中的個(gè)n重作為許用碼字發(fā)送出去.

譯碼:以矩陣H為校驗(yàn)矩陣，檢查按收碼字是否與H的各行正交。第71頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一編譯碼方法提示：由前述，知道尋找到了G就可以解決便宜碼的問題，那么G怎么找？（由定義知道是找到K個(gè)線性無關(guān)的N重）問題：是否可以檢測出所有的干擾？第72頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一各個(gè)概念之間的關(guān)系(N維)矢量空間K維子空間基底矩陣G張成線性組合構(gòu)成包含第73頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一

監(jiān)督碼的增加方法有多種多樣，不同的方法構(gòu)成的碼的特性各不相同。那么線性分組碼的監(jiān)督元增加的方法是？

4.4線性分組碼的編譯碼

linealnormedcode第74頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一碼字個(gè)數(shù)

若碼字中有K位為消息碼元，有R位監(jiān)督碼元，則碼長n=k+r。

K位消息位可能取種不同的取值，因此這樣的碼的碼字?jǐn)?shù)目為個(gè)。第75頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一按照碼字監(jiān)督元的監(jiān)督范圍分類卷積碼：監(jiān)督范圍超出本碼字的消息。分組碼：監(jiān)督范圍未超出本碼字的消息。第76頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一線性分組碼定義若一個(gè)分組碼中的個(gè)碼字，恰好是矢量空間V的一個(gè)K維子空間，稱分組碼為線性分組碼。包含全0碼碼字加法運(yùn)算自封第77頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一問題轉(zhuǎn)換：尋找線性分組碼尋找K維子空間尋找行空間矩陣G尋找K個(gè)線性無關(guān)的N重根據(jù)線性分組碼定義根據(jù)行空間定義根據(jù)G定義得到線性分組碼與消息位線性組合第78頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一注意

如果K個(gè)線性無關(guān)的N重選擇的不同，則生成的線性分組碼不同。第79頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一生成矩陣G的概念根據(jù)式（4—14），選擇K個(gè)線性無關(guān)的n重，以消息碼元為函數(shù)進(jìn)行組合，便生成一個(gè)（n,k）線性分組碼，因此有：第80頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.4.2線性分組碼的生成矩陣(2)寫成分相形式第81頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.4.2線性分組碼的生成矩陣(3)=mG

（4-15）稱G為（n,k）線性分組碼的生成矩陣第82頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一結(jié)論（分析4-15）

一旦生成矩陣G選定，（n,k）線性分組碼也就唯一地確定了。第83頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一舉例：

選取N=6，K=3，因此，在64個(gè)6重中選擇三個(gè)線性無關(guān)的6重。如：100110，010011，001101。則按照與8個(gè)消息組線性組合，可以得到8個(gè)碼字，這8個(gè)碼字構(gòu)成一個(gè)（6，3）線性分組碼。第84頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一消息組（M1，M2，M3）生成碼字000000000001001101010010011011011110100100110101101011110110101111111000第85頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一系統(tǒng)碼定義生成的碼字前k位是消息元，后r(n—k)位是監(jiān)督元，這種形式的碼稱為系統(tǒng)碼，滿足系統(tǒng)碼形式的線性分組碼稱為系統(tǒng)線性分組碼。第86頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一系統(tǒng)線性分組碼生成由前述知道，G一旦確定，則線性分組碼便確定了，很顯然，如果要找系統(tǒng)碼，則需要找到一個(gè)特殊的G，這個(gè)特定的G可以生成的具有系統(tǒng)碼特征的系統(tǒng)線性分組碼。線性分組碼生成矩陣G唯一確定特殊生成矩陣G唯一確定系統(tǒng)線性分組碼具有特定性質(zhì)滿足系統(tǒng)碼性質(zhì)第87頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一系統(tǒng)線性分組碼的生成矩陣如果生成矩陣G的前部分是k*k的單位陣，由它生成的線性分組碼為：

第88頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一將其計(jì)算展開（驗(yàn)證）前K位，很明顯是消息位后N-K位，很明顯是監(jiān)督位，監(jiān)督位是消息位的線性組合滿足系統(tǒng)線性分組碼的定義第89頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一舉例前述的例子，我們選取生成矩陣為

001101010011100110單位陣消息組生成碼字000000000001001101010010011011011110100100110101101011110110101111111000第90頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.4.2線性分組碼的生成矩陣(7)另外，任意一位監(jiān)督元與消息元之間的關(guān)系由下面的一致校驗(yàn)方能確定：

()(4—17)第91頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.4.3線性分組碼的一致校驗(yàn)矩陣(1)

前述：（對任何矩陣G，總存在矩陣H，使得G的行空間中的任意一個(gè)矢量和矩陣H的任一行正交）編碼：對于某個(gè)生成矩陣G，可以得到碼字。譯碼：對于某個(gè)碼字，若H與碼字正交，認(rèn)為正確，否則認(rèn)為受到了干擾。

結(jié)論：對某一個(gè)編碼來說，需要知道G和H，Z這樣就可以完成編譯碼工作了。第92頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一一致校驗(yàn)矩陣H的確定

因此在確定了G之后，需要確定H，為正確譯碼提供依據(jù)。其關(guān)系是：注意G和H的維數(shù)，很顯然，由G就可以得到H第93頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一由生成矩陣G得到一致校驗(yàn)矩陣H100……p11p12…p1(n-k)

010……p21p22…p2(n-k)………..……………..00……pn1pn2…pk(n-k)G=(4-（18)第94頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一由生成矩陣G得到一致校驗(yàn)矩陣H(4—19)第95頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一舉例：還是（6，3）碼100110010011001101101100110010011001

GH第96頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.4.4接收碼字的伴隨式

由一致校驗(yàn)矩陣H的定義可以知道，碼字和H有下式成立：（00…0）（4-22）第97頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一定義伴隨式（考慮到錯(cuò)誤圖樣）

接收碼字R為發(fā)送碼字e和錯(cuò)誤圖樣e的模之和，即：

R=c+e(4-23)

我們定義它為接收碼字的伴隨式S:S=RHT

(4-24)第98頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.4.4接收碼字的伴隨式（4）若錯(cuò)誤圖樣e=(00….0),則R=C，

S=RHT=CHT=（00…0）。當(dāng)E≠(00…0)時(shí)，

S=RHT=(c+e)HT=CHT+eHT=eHT

此時(shí)，只要錯(cuò)誤圖樣E不等于線性分組碼中的碼字總有S=eHT≠（00….0）。第99頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一接收碼字的伴隨式計(jì)算結(jié)果分析

當(dāng)錯(cuò)誤圖樣E和發(fā)送端的某一發(fā)送碼字相同時(shí)，會(huì)使S=eHT=0，出現(xiàn)錯(cuò)誤判斷結(jié)果。

為什么？按照定義e=c

所以，eHT=cHT=0

因此，任何一種編碼方法都不可能檢測和糾正所有可能的錯(cuò)誤。第100頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.5循環(huán)碼的編譯碼原理

循環(huán)碼是線性分組碼的一重要子類，在遠(yuǎn)動(dòng)裝置中被廣泛的應(yīng)用。舉例，CDT規(guī)約中用的（48，40）碼（40，32碼）都是循環(huán)碼。

為何多用循環(huán)碼？（循環(huán)碼有些便于工程實(shí)際的性質(zhì)）第101頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一循環(huán)碼是線性分組碼的子類

如果一個(gè)（N，K）線性分組碼，它的2K個(gè)碼字中的任一碼字的任何次循環(huán)移位，得到的任然是這個(gè)線性分組碼中的碼字，這個(gè)線性分組碼稱為循環(huán)碼。在工程實(shí)際中，移位是很容易實(shí)現(xiàn)的，不論怎樣的CPU：

1、一定有移位指令（軟件）

2、一定有某個(gè)寄存器可以記錄溢出位（硬件）第102頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.5.1循環(huán)碼的基本概念（2）碼字C用碼多項(xiàng)式表示，如下：（4-25）乘以x并除以（xn+1）求其余式第103頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一

4.5.1循環(huán)碼的基本概念（3）余式恰是碼字c循環(huán)移位一次后碼字c（1）對應(yīng)的碼多項(xiàng)式c（1）（x）?？梢妼⒀h(huán)碼的碼字c循環(huán)左移一位，相當(dāng)于將該碼字的碼多項(xiàng)式c（x）乘以x并除以（xn+1）后所得的余式。加兩個(gè)CN-1第104頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.5.1循環(huán)碼的基本概念（4）同理可證，將碼字c循環(huán)左移i次，相當(dāng)于將碼多項(xiàng)式c（x）乘以xi并除以（xn+1）后所得余式，該余式為：（4-27）由于xn+1=0mod（xn+1）或xn=1mod（xn+1）所以用xn+1為模作除法的物理意義就是在首尾相連的n級(jí)循環(huán)移位寄存器中作循環(huán)移位，將最高的溢出（次數(shù)=n的位）循環(huán)反饋至最低位上。第105頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一為什么工程實(shí)際中需要？這些特性使循環(huán)碼編碼的實(shí)現(xiàn)伴隨式的計(jì)算得以簡化（譯碼）。1.在一個(gè)（n，k）循環(huán)碼中，有一個(gè)并且只有一個(gè)n-k次碼的多項(xiàng)式g（x），即（4-28）（n，k）循環(huán)碼中的每一個(gè)碼多項(xiàng)式c（x）都是g（x）的倍式，并且每個(gè)為g(x)倍式的次數(shù)小于或等于（n-1）次的多項(xiàng)式，一定是一個(gè)碼多項(xiàng)式。(充分必要等價(jià)命題)第106頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)一代數(shù)表示由這一特性可知，（n，k）循環(huán)碼中的每個(gè)碼多項(xiàng)式c（x）都可表示成：（4-29）對消息m（x）的編碼相當(dāng)于用消息m（x）乘以g（x）。結(jié)論:所以多項(xiàng)式g（x）確定了由2k個(gè)消息生成的2k個(gè)碼字。我們稱多項(xiàng)式g（x）為循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式。第107頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一與線性分組碼對比生成矩陣生成多項(xiàng)式校驗(yàn)矩陣余式第108頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.5.1循環(huán)碼的基本概念（7）2.（n，k）循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g（x）是xn+1的一個(gè)因式，即（4-30）3.若g（x）是一個(gè)n-k次多項(xiàng)式，且是xn+1的因式，則g（x）生成一個(gè)（n，k）循環(huán)碼。第109頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)分析

特性1可以生成一個(gè)NK循環(huán)碼,必須首先找到生成多項(xiàng)式g（x），它的次數(shù)為n-k。特性2給出了尋找g（x）的方法。碼字生成:最后以這個(gè)n-k次的因式為生成多項(xiàng)式，用它分別乘以2k個(gè)不同的消息，便可得到（n，k）循環(huán)碼的2k個(gè)碼字。對比一般線性分組碼,容易了第110頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一例以（7,4）循環(huán)碼為例，其生成過程如下：首先分解，找出次的因式。因?yàn)?，所以要找的生成多?xiàng)式。對消息多項(xiàng)式，取m3m2m1m0為十六種不同的序列，完成運(yùn)算運(yùn)算結(jié)果即為（7.4）循環(huán)碼的十六個(gè)碼字。第111頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一(N,K)循環(huán)碼的不唯一性

當(dāng)我們從式子xn+1中分解n-k次的因式時(shí)，有時(shí)分解方法不是唯一的，這時(shí)要找的生成多項(xiàng)式也就不是唯一的。如果用不同的生成多項(xiàng)式對2k個(gè)消息編碼可以得到不同的碼字，從而形成碼字不同而碼長和消息位相同的多個(gè)（n，k）循環(huán)碼。仍以（7.4）循環(huán)碼為例，由于

若選擇可生成（7.4）循環(huán)碼。第112頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一再引入系統(tǒng)性質(zhì)

循環(huán)碼分為非系統(tǒng)循環(huán)碼和系統(tǒng)循環(huán)碼。實(shí)現(xiàn)非系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼只要根據(jù)碼長n和消息位k選定生成多項(xiàng)式g（x），再完成m（x）g（x）的乘法運(yùn)算，便得到消息多項(xiàng)式m（x）對應(yīng)的循環(huán)碼的碼多項(xiàng)式c（x）。在信道譯碼時(shí)，要從非系統(tǒng)循環(huán)碼的碼字中得到消息位，不十分方便。因此，這種碼使用較少，一般多采用系統(tǒng)循環(huán)碼。第113頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一其編碼方法（n，k）系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼過程是：首先把消息多項(xiàng)式m（x）乘以xn-k，得到xn-km（x）；然后以生成多項(xiàng)式g（x）去除xn-km（x），如果商為q（x），余式為r（x），則xn-km（x）=q（x）g（x）+r（x）；最后用r（x）模2加xn-km（x），便得到所需的系統(tǒng)循環(huán)碼碼字c（x）=xn-km（x）+r（x）。即系統(tǒng)循環(huán)碼是一種消息位在前，監(jiān)督位在后的結(jié)構(gòu)。第114頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一其編碼方法驗(yàn)證

當(dāng)我們把m（x）乘以xn-k時(shí)，消息多項(xiàng)式的變化是：

（4-31）對多項(xiàng)式中的消息位mi，原來是xi的系數(shù)，乘xn-k后變成了xi+n-k的系數(shù)，x增加了n-k次。由于消息多項(xiàng)式中x的次數(shù)代表消息元的位置，這樣做等于把k個(gè)消息元的位置往前移動(dòng)了n-k位，且沒有改變消息元的取值。同時(shí)在消息元的后面空出了n-k個(gè)零位，以便補(bǔ)充監(jiān)督元。第115頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一其編碼方法驗(yàn)證

用g（x）去除xn-km（x）時(shí)，得到等式

（4-32）只要在等式兩邊同時(shí)模2加余式r（x）得到：（4-33）第116頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一其編碼方法驗(yàn)證

明顯看出，式（4-33）左邊的多項(xiàng)式是生成多項(xiàng)式g的倍式，且次數(shù)小于或等于n-1次。根據(jù)前面敘述的循環(huán)碼的特性1，它一定是（n，k）循環(huán)碼的碼多項(xiàng)式。又因?yàn)閤n-km（x）的最低次項(xiàng)是m0xn-k，余式r（x）的最高次項(xiàng)是rn-k-1xn-k-1，所以式（4-33）左邊的多項(xiàng)式可寫成：（4-34）第117頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.5.2系統(tǒng)循環(huán)碼的編譯碼原理(6)

式（4-34）右邊的多項(xiàng)式對應(yīng)的n位序列（mk-1mk-2

···m1m0rn-k-1

···r1r0），前k位是消息位，后（n-k）位是余式的系數(shù)，于是這n位序列構(gòu)成系統(tǒng)碼結(jié)構(gòu)的碼字。因此，我們得到的是一個(gè)系統(tǒng)循環(huán)碼的碼字：（4-35）第118頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一譯碼

用生成多項(xiàng)式去除接收碼字，檢查余式是否為零（也就是檢查接受碼字是否是生成多項(xiàng)式的倍式）。余式為零，認(rèn)為接收碼字是發(fā)送碼字；余式不為零，認(rèn)為接收碼字是不發(fā)送碼字。第119頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一編碼舉例

仍以（7.4）碼為例，設(shè)生成多項(xiàng)式，對消息進(jìn)行系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼，其過程如下：第120頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.5.2系統(tǒng)循環(huán)碼的編譯碼原理(9)

由

得：所以

=（1111111）當(dāng)消息取十六種不同的值時(shí)，按同樣方法生成的十六個(gè)系統(tǒng)循環(huán)碼碼字。第121頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一與循環(huán)碼相比編碼復(fù)雜了些譯碼簡單多了(一致校驗(yàn)、信息提取)第122頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.5.3縮短循環(huán)碼(1)

生成碼長為n，消息位為k的循環(huán)碼，依靠從中分解出一個(gè)n-k次的因式作生成多項(xiàng)式。如果對于我們要求的碼長n`和消息位k`，在因式分解式中，不存在n`-k`的因式，則可用縮短循環(huán)碼來產(chǎn)生我們需要的（n`，k`）碼。第123頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一（48，40）碼就是縮短循環(huán)碼，由（127，120）碼來，（127，120）（127，119）（48，40）增余刪信縮短第124頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一

為了理解縮短循環(huán)碼，我們先觀察一個(gè)（7.4）系統(tǒng)循環(huán)碼的十六個(gè)碼字：

c=m3m2m1m0r2r1r00000xxx0001xxx0010xxx0011xxx0100xxx0101xxx0110xxx0111xxx1000xxx1001xxx1010xxx1011xxx1100xxx1101xxx1110xxx1111xxx第125頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.5.3縮短循環(huán)碼(3)

在2k=24=16個(gè)碼字中，有的碼字消息最高位m3=0。由于對消息編碼時(shí)，消息中高位的零在計(jì)算中不起作用，所以它不影響余式。如果我們刪去這8個(gè)碼字最高位的零，可以得到8個(gè)碼長為6的碼字，構(gòu)成一個(gè)（6.3）碼。1、這個(gè)碼的監(jiān)督元位數(shù)和原來的（7.4）碼相同。2、可以用原來（7.4）碼的生成多項(xiàng)式g（x），按同樣的系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼方法來生成。稱這個(gè)（6.3）碼為原來（7.4）系統(tǒng)循環(huán)碼的縮短循環(huán)碼。第126頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.5.3縮短循環(huán)碼(4)

同理在16個(gè)碼字中，有1/4的碼字（2k-2=4）前兩位消息為零。當(dāng)刪去這4個(gè)消息的前兩位零時(shí)，得到4個(gè)碼長為5的碼字，構(gòu)成一個(gè)（5.2）碼。也稱為原（7.4）系統(tǒng)循環(huán)碼的縮短循環(huán)碼。它的碼長和消息位同時(shí)減少了二位，是（n-2，k-2）碼。第127頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一一般定義

一般來講，在任何一個(gè)給定的（n，k）系統(tǒng)循環(huán)碼的2k個(gè)碼字中，一定存在個(gè)前η位為零的碼字。如果刪去這個(gè)碼字中前面η位零，可得個(gè)長為（n-η）的碼字，由他們構(gòu)成的（n-η，k-η）線性系統(tǒng)碼，稱為原（n，

k）系統(tǒng)循環(huán)碼的縮短循環(huán)碼。第128頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一縮短循環(huán)碼的實(shí)質(zhì)由于縮短循環(huán)碼只取了原系統(tǒng)循環(huán)碼中的部分碼字，并刪去了碼字前面的零，故縮短循環(huán)碼的碼字不再滿足任一碼字的任何次循環(huán)仍是這個(gè)碼中的碼字，所以它已不是循環(huán)碼。第129頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一那為什么還要用縮短循環(huán)碼？

縮短循環(huán)碼刪去的是原系統(tǒng)循環(huán)碼碼字前面的零，它不影響由消息生成碼字時(shí)的運(yùn)算過程和運(yùn)算結(jié)果，所以縮短循環(huán)碼可采用原系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼電路、檢糾錯(cuò)譯碼電路及編譯碼算法。它的檢糾錯(cuò)能力不低于原來的（n，k）系統(tǒng)循環(huán)碼。第130頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一縮短循環(huán)碼的生成

前面我們要生成的（n`，k`）碼，如果在xn`+1中不能分解出（n`-k`）次的因式，可以另外找出一個(gè)n，使n>n`，并使其在xn+1中存在（n`-k`）次的因式g（x）。另n=n`+η，我們可以先用g（x）生成一個(gè)碼長為n的碼。因?yàn)間（x）為（n`-k`）次的因式，它生成的碼監(jiān)督元必為n`-k`位，故消息位。

生成（n`，k`）碼不能分解出（n`-k`）次的因式找不到g生成（N，K）碼（N=n`+η

）、（K=k`+η

）增加碼長縮短成（n`，k`）碼第131頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.6.1軟件表算法一(1)(n,k）系統(tǒng)循環(huán)碼對消息多項(xiàng)式m(x)的編碼就是求m(x)的監(jiān)督元，即求m(x)除以g(x)所得到的算式，可以表示為

(4-36)

（4-37）第132頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.6.1軟件表算法一(2)

設(shè)消息多項(xiàng)式m(x)，它對應(yīng)的消息序列為m=,按長度n—k將消息序列分段，有m=(),其中都是長度等于n—k的消息段，最后一個(gè)消息段位，這時(shí)消息多項(xiàng)式可以寫成

m(x)=(4-38)第133頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.6.1軟件表算法一(3)其中為第i段消息的多項(xiàng)式，即

必須注意的是每個(gè)分段的多項(xiàng)式的次數(shù)和原多項(xiàng)式在原消息序列中的多項(xiàng)式的次數(shù)相同。第134頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.6.1軟件表算法一(4)對m(x)編碼時(shí)，求余式的除法運(yùn)算是；

(4-39)第135頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.6.1軟件表算法一(5)將（4-39）式各開得到的第一項(xiàng)是：

=(4-40)其中運(yùn)算為求多項(xiàng)式的次數(shù)的運(yùn)算。第136頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.6.1軟件表算法一(6)將（4-39）式展開的第二項(xiàng)是

（4-41）第137頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.6.1軟件表算法一(7)將（4-40）式中的第二項(xiàng)與（4-41）相加得

(4-42)第138頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.6.1軟件表算法一(8)

以此類推，（4-39）式的第i項(xiàng)是

(4-43)第139頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.6.1軟件表算法一(9)將（4-39）式第（i-1）相中含有余式的相，同（4-43）式相加得：

(4-44)第140頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.6.1軟件表算法一(10)（4-39）式第p項(xiàng)與（p－1）項(xiàng)中含有余式的項(xiàng)相加得：

（4-45）第141頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.6.1軟件表算法一(11)可見，（4-39）式的展開式之和是：第142頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.6.1軟件表算法一(12)=(4-46)

第143頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.6.1軟件表算法(13)其中

第144頁，共158頁，2023年，2月20日，星期一4.6.1軟件表算法一(14)

由（4-46）式可以得到，系統(tǒng)循環(huán)碼編碼時(shí)，