線性代數(shù)練習(xí)冊答案

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第一章行列式

二、三階行列式及n階行列式的定義部分知識概要

內(nèi)容概要：

1.二階行列式的定義：

a11a21a12a22?a11a22?a12a21.

2.三階行列式的定義：

a11D=a21a31a12a22a32a13a23a33

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31.

a11a12a22...an2a1na2n...ann3.n階行列式Dn?a21...an1??p1p2...pn(?1)?(p1p2...pn)a1pa2p...anp

12n（1）n階行列式是n!項(xiàng)的代數(shù)和；（2）每一項(xiàng)為哪一項(xiàng)取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積；（3）當(dāng)p1p2pn是偶排列時(shí),a1pa2p...anp（p1p2pn是1,2,?,n的一個(gè)排列）

12na1pa2p...anp帶正號,當(dāng)p1p2pn是奇排列時(shí),a1pa2p...anp帶負(fù)號.

12n12n常用解題方法及本卷須知：

1.求排列的逆序數(shù)：（按自然數(shù)的從小到大次序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)次序）

1,2,?,n的一個(gè)排列j1j2jn的逆序數(shù)記為??j1j2jn??m1?m2???mn?1.

其中mi(i?1,2,?,n?1)是i前面比i大的數(shù)的個(gè)數(shù).2.確定行列式Dn?aij中的項(xiàng)及符號：

n（1）Dn?aij中的項(xiàng)aijain112j2...ainjn是取自不同行不同列的n個(gè)數(shù)的乘積，因此，行下

j標(biāo)i1,i2,?,in和列下標(biāo)j1,j2,?,jn都沒有重復(fù)數(shù)字；（2）將aijai1122...ainjn中的因子交換順

?(p1p2...pn)序使行下標(biāo)是自然順序，即aijai112j2...ainjn?a1pa2p...anp，該項(xiàng)符號為(?1)12n.

1

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二、三階行列式及n階行列式的定義部分習(xí)題

1.計(jì)算以下二階行列式（1）

23；（2）

cos??sin?；

12（3）a11?b11a12?b12a；21?b21a22?b22

2.計(jì)算以下三階行列式

103（1）?121；(2)23?1

acb（3）bac；cba

sin?cos?4）

a11a12b11a21a?22b21a11a12a130a22a23；0a32a33b12b.

222

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3.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，求以下各排列的逆序數(shù)：（1）3214；（2）614235.（3）12n3?2n?2?5?2n?4???2n?1?2

4.確定i,j，使6元排列2i316j為奇排列.

5.寫出4階行列式中含有a13a21的項(xiàng).

6.按定義計(jì)算以下行列式：

0001a000（1）

00200c00300；（2）

0000d.

40000b00

x1237.求f(x)?0?3x124312x3的展開式中x和x的系數(shù).

x122x

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行列式的性質(zhì)與展開部分知識概要

內(nèi)容概要：

行列式的性質(zhì)

1.行列式D與其轉(zhuǎn)置行列式DT相等(即DT?D).

ri?rjci?cj2.交換行列式的兩行(或列),行列式改變符號（即D??D或D3.行列式中某行(或列)的公因子可以提到行列式符號外面做因子.

1ri?(k?0)k??D）.

（即D?kD1（或D1ci?(k?0)k?kD1）

4.n階行列式D可以按第i行(或列)拆成兩個(gè)行列式D1與D2的和，即D?D1?D2.其中

D的第i行(或列)為D1與D2的第i行(或列)的和；D，D1，D2的其余各行(或列)對應(yīng)元

素則同的完全一樣.

5.把行列式某一行(或列)的元素同乘一數(shù)后加到另一行(或列)的對應(yīng)位置元素上,行列式

ri?krjci?kcj的值不變.（即D?D1或D行列式的展開

?D1）

1.n階行列式D的某行（或列）元素與對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為D.2.行列式的某行（或列）元素與另一行（或列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為0.

即ai1Ak1?ai2Ak2???ainAkn???D(i?k)?0(i?k)

?D(j?t)a1jA1t?a2jA2t???anjAnt???

?0(j?t)常用的解題方法及本卷須知：

行列式的計(jì)算：

1.（1）利用性質(zhì)將行列式化為三角形行列式（三角形行列式的值等于對角線元素之積）.（2）利用依行、依列展開轉(zhuǎn)化為低階行列式的計(jì)算（或給出遞推公式、或利用數(shù)學(xué)歸納法）.（3）化簡與展開同時(shí)進(jìn)行（先化簡，再按零較多的行（或列）展開）.行列式化簡時(shí)注意

1.盡量避免分?jǐn)?shù)運(yùn)算；2.展開時(shí)注意代數(shù)余子式與余子式相差的的符號(?1)

4

i?j.

學(xué)院班級學(xué)號姓名行列式的性質(zhì)與展開部分習(xí)題1.計(jì)算以下行列式：

202319861987198819641965；(2)19661?a1a1a1a21?a2a2a3a31?a3（1）20232023；

3（3）D=-11-3

202360110；10-214）D=-1-1120236112-1.

1005

（

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?????00（5）D?1?????0.

01?????001???

2.證明：

１abc?d（1）D?1bca?d1cda?b?0；

１dab?c

ax?byay?bzaz?bxx（2）ay?bzaz?bxax?by?(a3?b3)yaz?bxax?byay?bzz

yzzx.xy6

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3.計(jì)算n階行列式

abbabbbabb1?a1122?a2??nn(a1a2?an?0).

（1）Dn=b（2）Dn?b；????bbb...a12?n?an

4.利用范德猛行列式計(jì)算：

1111D?123414916.

182764

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克拉默法則部分知識概要內(nèi)容概要：

1.設(shè)n個(gè)變量，n個(gè)方程的線性方程組為

?a11k1?a12k2???a1nkn?b1,??a21x1?a22x2???a2nxn?b2,?

???????????????ax?ax???ax?b.n22nnnn?n11假使該線性方程組的系數(shù)行列式D=aijD1DD2DDnDn0，則方程組有唯一解：

x1?,x2?,?,xn?.

其中Dj(j?1,2,?,n)是D中第j列換成常數(shù)項(xiàng)b1,b2,?,bn其余各列不變得到的行列式，

a11a1j?1a2j?1...anj?1b1b2...bna1j?1a2j?1...anj?1a1na2n...ann即：Dj=

a21...an1,j?1,2,,n.．

?a11x1?a12x2???a1nxn?0,??a21x1?a22x2???a2nxn?0,2.設(shè)齊次線性方程組為?

?????????????ax?ax???ax?0.n22nnn?n11（1）假使系數(shù)行列式D?0，則該齊次線性方程組只有零解；（2）假使該齊次線性方程組有非零解，那么它的系數(shù)行列式D?0．

常用解題方法及本卷須知：

1.用克拉默法則解線性方程組；

2.利用系數(shù)行列式是否為零來判斷齊次線性方程組只有零解或有非零解.注意：

克拉默法則只適合方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)一致，且系數(shù)行列式不為零的線性方程組的求解.

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克拉默法則部分習(xí)題

1.用克拉默法則解線性方程組

ì??bx1-ax2=-2ab（1）??í?-2cx2+3bx3=bc(abc0)；

????cx1+ax3=0

?x1?3x2?2x3?x4?1?（2）?2x1?5x2?3x3?2x4?3??3x.

?1?4x2?8x3?2x4?4??6x1?x2?6x3?4x4?2

2.當(dāng)?為何值時(shí)，齊次線性方程組

??x1?3x2?4x3?0???x1??x2?0

???x2?x3?0(1)僅有零解；(2)有非零解．

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第一章自測題與答案第一章自測題

一.判斷題（每題3分，共15分）

000a3200a2300a14000??a14a23a32a41.()

1.

00a412.在四階行列式D4?aij中，a23的余子式M23與代數(shù)余子式A23互為相反數(shù).()

a11a12a22a32a12a22a324a13a33a13a33130?26611b11b31b12b22b32b13b33a11?b11a31?b31a12?b12a22?b22a32?b32a13?b13a23?b23?0.（）a33?b333.a21a31a11a23?1,b21b23??1,則a21?b21a13a1142122r2?r1a23a22a214a33a32?1.（）a31170?26181148124.a21a31a23?1,則a125.D??26?2?12?06?2.（）

二.填空題（每題4分，共16分）

a11a12a22a32a12a22a32a13a33a13a23?2，則a21a33a21a312a224a122a32a232a13?.a331.已知a21a31a11a23??1，則2a112.已知a21a31a12a22a11a314xa13a23a12a323xx20-a22a11a21a13a23+a23a11a21a12a22=.

a21a12a32a13a33-a22a11a31a13a33+a23=.212x11?11x3.由行列式確定的多項(xiàng)式f（x）?131中x，x的系數(shù)分別為.4310

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1234.231=.312三.計(jì)算以下行列式（各10分，共40分）

2164（a?1）2a2（a?1）21D??1062（b?1）2b2（b?1）21.11011；2.；

（c?1）2c2（c?1）21?2?212（d?1）2d2（d?1）21

ab??a1??a2?an3.Daba2???an2n?ba；4.Da1n?????.

??a1a2?an??ba

四．（10分）設(shè)D?aijn為n階行列式，B??aijn,G?kaijn（k為非零數(shù)）,

1.探討B(tài),D的關(guān)系；2.探討G,D的關(guān)系.

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11?10五.（10分）D?211?2,求1321A21?A22?A23?A24.

?1211

?a1x1?x2?x3?0,六.（7分）設(shè)齊次線性方程組為??x1?bx2?x3?0,

??x1?2bx2?x3?0.用克拉默法則解探討a,b應(yīng)取何值時(shí)，方程組(1)僅有零解；(2)有非零解．

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第一章自測題答案

一．1.錯(cuò)；2.對；3.錯(cuò)；4.錯(cuò)；5.對.二．1.4；2.0,?2；3.8,?6；4.?18.三.1.23；2.0；

3.D2n?a2?b2D2?n?1??a2?b2????n；

4.各列加到第一列上，然后提取公因式

1Dn?(??a1?a2???an)1?1a2a2???a2n????anan?an??c2?a2c1?cn?anc1??n?1(??a1?a2???an).

四．1.B??aijn=(?1)aijnn=(?1)D；2.G?kaij11132?11210111??7.

n?knaijn?kD.

n五.A21?A22?A23?A24?11?1a1b2b11??b(a?1).1六.系數(shù)行列式D?11（1）a?1,b?0；（2）a?1或b?0.

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其次章矩陣及其運(yùn)算

矩陣的運(yùn)算部分知識概要

內(nèi)容概要：

1.矩陣的線性運(yùn)算（1）加法：兩同型矩陣A=(aij)m′n與B=(bij)m′n的和矩陣為A+B=(aij+bij)m′n.

（2）數(shù)乘法：數(shù)k與矩陣A=2.矩陣乘法運(yùn)算

(aij)m′n的數(shù)量乘積矩陣kA=(kaij)m′n.

（1）m′s矩陣C=(cij)m′s稱為矩陣A=(aik)m′n與B=(bkj)n′s的乘積.其中cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj（i=1,2,L,m;j=1,2,L,s）.

k個(gè)6447448k(2）A=AALA為n階方陣A的k次冪，特別規(guī)定A0=E.

mm-1+L+a1A+a0E（ai為數(shù)）為方陣A的多項(xiàng)式.(3）f(A)=amA+am-1A3.矩陣的轉(zhuǎn)置以A=(aij)m′n的行為列，列為行構(gòu)成的n′Tm矩陣A=(aji)n′m為A的轉(zhuǎn)置矩陣.

TTA是n階方陣，假使A=A，稱A為對稱矩陣；假使A=-A，稱A為反對稱矩陣.

4.方陣的行列式

以n階方陣A的元素構(gòu)成的行列式aij稱為方陣A的行列式.記為A或detA.

n常用解題方法及本卷須知：

利用運(yùn)算定義和運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算.

注意（ⅰ）第一個(gè)矩陣的列數(shù)與其次個(gè)矩陣的行數(shù)相等時(shí)兩矩陣乘積才有意義.

（ⅱ）由于乘法沒有交換律，在進(jìn)行兩個(gè)矩陣乘積時(shí)，矩陣因子的順序不能變.（ⅲ）矩陣的乘法不滿足消去律.即AB=AC且A1O，不一定有B=C；

BA=CA且A1O，不一定有B=C.特別地，AB?O,且A?O，不一定有B?O.

（ⅳ）我們在做多個(gè)矩陣乘積時(shí)經(jīng)常使用乘法結(jié)合律A(BC)=(AB)C.（ⅴ）A,B分別是m創(chuàng)n,ns矩陣，則(AB)=BA.

TTT（ⅵ）只有方陣才定義行列式；矩陣是數(shù)表，行列式是數(shù)值，這是它們之間的本章區(qū)別.

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矩陣的運(yùn)算部分習(xí)題

驏01.已知A=瓏瓏-320鼢?,B鼢驏30102B-X）,求X.，且X+A=（瓏桫4-2-11鼢桫-12122.計(jì)算

（1）a=(1,2,1)T,求aTa，aaT,aaTa及(aaT)101.

?a11a12b1??x?（2）?xy1???a12a22b???2???y.?b1b2c?????1??

??10?（3）A???0?1???，求An.?00???

（4）?cos??sin??n??sin?cos???

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驏??311÷1-1÷3.A=?2÷驏÷?1??21÷?÷???÷,B=??2-10÷÷÷÷,求AB,BA及桫123÷÷??桫101÷AB-BA.÷÷驏?÷00÷4.A=?1?2÷驏2?÷?÷?÷?÷??÷,f(x)=x3-2x+5，求f(A)及f(?÷，B=11÷÷桫3÷?÷?0??桫001÷B)÷÷

5.已知三個(gè)線性替換為

ì??yìz?1=x1-x2+x3???1=y1-y2í?y2=x1+x2+x3，??ìízw1=z1-z2+z32=2y1-y2+y3，??í????y3=x2+3x??3?z=y+y-y???w2=z??1-2z2-z33123求從x1,x2,x3到w1,w2的線性替換.

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6.假使AB=BA,則稱矩陣B與A可交換,求與A可交換的矩陣具有的形式.?a0?0??1A??0a2?0?????????其中當(dāng)i?j時(shí)ai?aj(i,j?1,2,?,n).

?00...a?n?

7.假使A?12?B?E?,證明:A2?A當(dāng)且僅當(dāng)B2?E.

8.設(shè)A,B都是n階對稱矩陣，證明：AB仍是對稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA.

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9.設(shè)n維列向量a滿足aTa=12，B=E+2aaT,C=E-aaT,

證明：1）B是對稱矩陣；2）BC?E.

10.已知A是3階方陣,且A??2,計(jì)算(1)2A；(2)AA；(3)

?AE

O2A.

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可逆矩陣部分知識概要

內(nèi)容概要：

1.設(shè)A是n階方陣,假使存在n階方陣B，使得AB?BA?E，稱A為可逆矩陣，稱B為A的一個(gè)逆矩陣.

2.可逆矩陣的逆矩陣唯一.3.設(shè)A??aij?n?n,稱由以A的第i(i?1,2?,*n,行元素在A中的代數(shù)余子式

Aij(j?1,2,?,n)為第i列元素構(gòu)成的矩陣A?Aji*??n?n為A的伴隨矩陣.

4.設(shè)A是n階方陣，A*是A的伴隨矩陣，則AA?AA?AE.5.n階方陣A是可逆的充分必要條件為A?0.而且A6.可逆矩陣具有如下運(yùn)算性質(zhì)：

（?。〢是n階可逆矩陣，A的逆矩陣A?1也可逆，且?A?1??1*?1?1AA.

*?A；

（ⅱ）A是n階可逆矩陣，k是非零數(shù)，則kA可逆，且?kA??1?k?1A?1；

（ⅲ）A,B都是n階可逆矩陣,那么AB也可逆,且(AB)?1?B?1A?1；（ⅳ）A是n階可逆矩陣,AT也可逆，且?AT??1??A?1?T；

（ⅴ）A是m階可逆矩陣，B,C都是m?n矩陣，且AB?AC,則B?C，

A是n階可逆矩陣，B,C都是m?n矩陣，且BA?CA,則B?C.

常用解題方法及本卷須知：（設(shè)A是n階方陣）

1.利用求可逆矩陣的逆矩陣：A?1?1AA（適用于具體給定的數(shù)字矩陣求逆）

*2.利用定義證明矩陣可逆，或求滿足給定方程的矩陣A的逆矩陣：

找到n階方陣B，使得AB?BA?E，則A可逆，且A?1?B.

*注意A的第i(i?1,2,?,n)列元素是A的第i(i?1,2,?,n)行元素在A的代數(shù)余子式；

*A的第i(i?1,2,?,n)行元素是A的第i(i?1,2,?,n)列元素在A的代數(shù)余子式.

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可逆矩陣部分習(xí)題

1.求以下矩陣的逆矩陣：（1）A??1?2???sin?????13?；（2）A?cos????sin?cos??；?

?1???1??(3)A??2???2????；(4)????(?1?2??n?0).

?3??????n?

?111??123?2.設(shè)A???100??34???,B?2?,求矩陣X使得AX?B.?1?11?????143??

?1?3.設(shè)A,B滿足ABA?2BA?E,其中A????2???,求B.?1??

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4.設(shè)A是n階方陣,且滿足A2?5A?E?O,利用定義證明:A?3E可逆，并求

?A?3E??1.

5.設(shè)A是n階方陣,且Ak?O（k為正整數(shù)），利用定義證明：E?A可逆，且

?E?A??1?E?A?A2???Ak?1

6.設(shè)A是3階方陣，且A??2,求(1)A?1；（2）A*；（3）A?1?2A*.

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分塊矩陣及其運(yùn)算部分知識概要

內(nèi)容概要：

用若干條橫線和縱線將矩陣分成若干小矩陣，以小矩陣為元素的矩陣表示形式稱為分塊矩陣.我們將這些小塊稱為矩陣的子塊.1加法對兩個(gè)m′n矩陣A=加得到的分塊矩陣；2數(shù)乘法設(shè)A=(aij)m′n,B=(bij)m′n進(jìn)行同樣分塊，則A+B為對應(yīng)塊相

(aij)m′n是一個(gè)m′n矩陣，k是一個(gè)數(shù)，將kA為由k數(shù)乘每個(gè)子塊矩陣

得到的分塊矩陣；

3乘法設(shè)A=(aik)m′n,B=(bkj)n′t，將A,B分塊為驏A11???A21??A=??...???As1?桫A12A22...As2驏A1p÷B11?÷??÷A2p÷B21?÷?÷÷，B=??...÷...÷?÷?÷?Asp÷Bp1?桫B12B22...Bp2驏B1q÷C1?÷??÷B2q÷C2?1÷?÷，則AB=?÷?...÷...÷?÷?÷?Bpq÷Cs1?桫C12C2...Cs2Cq÷÷÷...2Cq÷÷÷÷.

÷÷÷÷...Csq÷1...其中Aik為mi′nk矩陣，Bkj為nk′tj矩陣，Cij=Ai1B1j+Ai2B2j+L+AipBpj.4轉(zhuǎn)置設(shè)A=驏A11???A21??A=??...????As1桫(aij)m′n是一個(gè)m′A12A22...As2n矩陣，將A分塊為

A21A22...A2tTTTT驏A1t÷A11?÷?T?÷A2t÷A?T12÷÷，則A=??÷?...÷...?÷÷?÷?T?Ast÷A1t桫As1÷÷T÷As2÷÷÷÷....÷÷÷T÷Ast÷T常用解題方法及本卷須知：

1.利用分塊矩陣表示矩陣或進(jìn)行矩陣運(yùn)算只是為了表達(dá)簡便.分塊矩陣的運(yùn)算與普通數(shù)字元素的運(yùn)算法則和運(yùn)算律是類似的；

2.第一個(gè)矩陣列的分塊方式與其次個(gè)矩陣行的分塊方式必需一致，即Aik列數(shù)必需等于Bkj的行數(shù)，這時(shí)兩分塊矩陣的乘積才有意義；

3.由于矩陣乘法沒有交換律，作分塊矩陣乘法時(shí)，一定要注意子塊的前后順序不能換.即上面的AikBkj絕對不能寫成BkjAik.

4.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置不僅要將子塊為元素構(gòu)成的矩陣看成普通矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)置，還要將每塊轉(zhuǎn)置.

22

學(xué)院班級學(xué)號姓名

分塊矩陣及其運(yùn)算部分習(xí)題

?1?01.將A???0??1010100100??1??0?1?,B???10???1???1020?100420??0?進(jìn)行適當(dāng)分塊，并計(jì)算A+B,AB,AT.1??0?2.A???A1?O為?n?m??n其中A1為m?n(m?n)矩陣，?,B??B1,B2?,都是n階方陣，

O??零矩陣，B1為n?m(m?n)矩陣，B2為n??n?m?矩陣，求AT,AB及BA.

23

學(xué)院班級學(xué)號姓名

3.設(shè)n階矩陣A和s階矩陣B都可逆，求

?A（1）?O???1?O；（2）?A???1.

?OB??BO?

4.利用分塊矩陣求以下矩陣的逆矩陣?1000??（1）A??2100????002，求A?13?；?0012??

?0?2）A??0??1?1025?013??100?，求A?1.?100??24

（學(xué)院班級學(xué)號姓名

其次章自測題與答案

其次章自測題

一判斷題（每題3分，共15分）

1.A是n階方陣，假使A2=A,且A1E,則A=O；（）2.A是n階方陣,則(A+B)(A-B)=A2-B2；（）3.A,B是n階方陣,且A可逆，AX?X?6B，則X=-6B(A-E)-1；（）4.A,B都是n階方陣，則A?B?A?B；（）5.A,B,C都是n階方陣，滿足AB?AC,且A可逆，則B?C.（）二.填空題（每題4分，共20分）

??1???20231.?=（1，1，2）,???2?,則???,??=,(ba)=；

??1???2.已知A????1?則X=.驏1??3.A=?????桫?1?24.設(shè)A???0??0?2336??3??B?，??15??2?34??3X?A）??（2B?X）,，且（?5?-202300÷÷÷÷，f(x)=2x2-x+1，則f(A)=；÷÷÷÷0??0?,則A?1?；1??3?2AOO?3B?；2A*00255.A是3階方陣,B是2階方陣,且A??2,B?1，則三.矩陣計(jì)算（10分）：?1?設(shè)A??0?1?0111??1??1，B?0????0?1???112?.

0??TT2,求（1）AB，BA；（2）（3）.AB?3??

25

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?A四.(10分)已知A，B都是3階方陣,且A??9，AB?3E?O,求B及??OO??2B??1.

五.假使AB=BA,則稱矩陣B與A可交換,求與矩陣A可交換的矩陣具有的形式.（10分）?1?0?A??0??0020000110??0?；0??1?

六.求矩陣A的伴隨矩陣A和逆矩陣A?0?A?1??1?1011??1?0??*?1（10分）.

26

學(xué)院班級學(xué)號姓名

?1?3?七.（8分）設(shè)A?1XA?6A?XA,其中A??0???0??0140?0??0?，求X.??1??7?

八.（7分）設(shè)A是n階方陣,且滿足A2?A?E?O,利用定義證明:A?2E可逆，并求

?A?2E?.

?a11?九.（10分）設(shè)實(shí)矩陣A??a21?a?31a12a22a32a13??Ta23,且AA?O,證明A?O.

?a33???1*試將結(jié)論推廣到A是n階方陣的狀況.

27

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其次章自測題答案

一1.錯(cuò)；2.錯(cuò)；3.錯(cuò)；4.錯(cuò)；5.對.??1?二.1.????1，???2???1??02.X????113?12?1驏?2?-1??2023?20234，(ba)=b(ab)a=?2??????2?-1桫?鼢鼢鼢鼢=鼢鼢鼢鼢驏211桫1-12-1-2÷÷÷4÷；÷÷÷-2÷驏f(1)瓏2?瓏瓏f(A)=；3.瓏?瓏1?瓏瓏桫1?100?1f(-2)f(0)；

??1?24.A?1???0??02A*003?5?10??2A0?；5.

O?1??2????4?3O?3B?2A?3B?23A(?3)2B??144；

?2AA??4AA?1???4??31?2?32.

?1?三.AB??0?1?13?23??1??5；BA?2???3??1???1350??1T??TT?1；AB??BA???1????0?1??23?13??5.??1??四.由AB??3E，有AB?AB??3E，即得B?3.?A??OO??2B??1?AO0b200O2B00c1c2?1??A2B??1??12161.

?b1?0五.B???0??00???1?0?.六.A*??1?0??1??c1??1?111?1*?1；A?1?A.?2?1??七.A??1?EX?6E,X?6A???1?E??3?????2???.1???1八.?A?2E??A?3E???7E,A?2E可逆，?A?2E?T??17?A?3E?.

九.AA?O,所以ATA的任意位置元素為零，利用ATA對角線上元素為零，即得

A?O.

28

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第三章矩陣的初等變換與線性方程組

初等變換與初等矩陣部分知識概要

內(nèi)容概要：

初等變換

1.對調(diào)兩行（或列）；2.以數(shù)k(k?0)乘矩陣某一行（或列）的所有元素；3.把矩陣的某行（或列）所有元素乘一個(gè)數(shù)加到另一行（或列）對應(yīng)位置的元素上.矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形

1.稱具有如下特點(diǎn)m?n矩陣A為行階梯形矩陣：

（ⅰ）A的前r(r?m)行，每行元素均不全為0，后m?r行元素都為零；(ⅱ)第k(1?k?r)行的第一個(gè)非零元素為akj，且滿足j1?j2???jr.

k假使行階梯形矩陣還滿足：（ⅲ）第k(1?k?r)行的第一個(gè)非零元素akj?1，且

kakjk(k?1,2,?,r)所在的jk列的其它元素都為0，就稱A為行最簡形矩陣.

2.任何矩陣都可以經(jīng)過初等行變換化為行階梯形矩陣，進(jìn)而可以化為行最簡形矩陣.

?Er3.任何一個(gè)m?n矩陣A都可以通過初等變換化為??O??m?r??rOr?(n?r)O?m?r???n?r??型矩陣.???初等矩陣

1.由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.

2.設(shè)A一個(gè)m?n矩陣，A左乘一個(gè)m階初等矩陣相當(dāng)于對A作一次相應(yīng)的初等行變換，

A右乘一個(gè)n階初等矩陣相當(dāng)于對A作一次相應(yīng)的初等列變換.

3.A與B等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣P與可逆矩陣Q，使得A?PBQ.4.n階方陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)A可以寫成一些初等矩陣的乘積.5.n階方陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)A可以只用初等行變換化為單位矩陣.

常用解題方法及本卷須知：

1.用初等行變換求可逆矩陣A的逆矩陣的求法：?AE???????E初等行變換初等行變換A?1?.

AB?

?12.用初等行變換求矩陣方程AX?B(A可逆)的求法：?A則X?A?1B即可求得.

B???????E29

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初等變換與初等矩陣部分習(xí)題

1.先用初等行變換化以下矩陣為行最簡形，再用初等列變換將其化為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形?1?1（1）A???2??2132432651??1?5?；（2）A???1?7??3??6?31102?42???1；?4??

?1(3)A????1??1

1?1?11??；?11???2?4）A??1??4?3?1?11?2?626?912?14???24?.79??30

（

學(xué)院班級學(xué)號姓名

?110??010??1??120?2.A???011???,P?1?100??,P??21??,P?3?010???101?????001?????2?????001??求:(1)P202320231AP3；(2)P2AP1.

3.用初等行變換求以下矩陣的逆矩陣.驏?1-10??1014?÷?（1）A=???1?011÷÷÷1?1???÷?0?桫013÷；（2）A?÷÷??0111??0013??

?010??1?1?4.設(shè)A????111????，B?20??，且AX?B?X，求X??10?1?????5?3??

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學(xué)院班級學(xué)號姓名矩陣的秩部分知識概要

內(nèi)容概要：

1.設(shè)A是一個(gè)m?n矩陣，假使A中存在r階子式不為零，而所有r?1階子式（假使有的話）全為零，我們稱r為矩陣A的秩，記為R(A)或秩?A?.2.矩陣的秩具有如下性質(zhì)：（ⅰ）R(A)=0當(dāng)且僅當(dāng)A=O；（ⅱ）R(A)?R(AT)；

（ⅲ）R(kA)?R(A)，其中k為非零數(shù)；

（ⅳ）n階方陣A的秩R(A)?n的充分必要條件A?0；（ⅴ）n階方陣A可逆的充分必要條件為R(A)?n.3.行階梯形矩陣A的非零行的行數(shù)等于A的秩.4.初等變換不改變矩陣的秩.

5.矩陣P，Q可逆，則R?PAQ??R?A?.

6.設(shè)A是秩為r的m?n矩陣，則存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q,使得

?ErPAQ???OO??.O?常用解題方法與本卷須知：

1.求矩陣A的秩：利用矩陣的初等變換將矩陣A化為階梯形矩陣，階梯數(shù)即為矩陣A的秩.2.假使A是n階方陣，A?0時(shí)R(A)?n.

求元素含有參數(shù)的方陣A的秩時(shí)，先求出A?0時(shí)的參數(shù)取值，此時(shí)R(A)?n；對于使A?0的參數(shù)再特別探討.

注意：1.A的一個(gè)k階子式是一個(gè)行列式；

2.A的秩為r，則A的高于r階的子式（假使有的話）都為零；

3.矩陣的秩就是矩陣非零子式的最高階數(shù).

32

學(xué)院班級學(xué)號姓名

矩陣的秩部分習(xí)題

1.求以下矩陣的秩.?1?1（1）A???2??3101232581??1?4?；（2）A??3?5??1??6?0?121?314??0.??2??

??2.已知A???1??1

11??1??，探討?為何值時(shí)（1）R(A)?1;(2)R(A)?2;(3)R(A)?3.1???33

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?1?3.A??2??1??21111?2a???2，探討a取何值時(shí)，可使(1)R(A)?2;(2)R(A)?3.?2?a?

?A14.設(shè)Ai是mi?ni(i?1,2)矩陣，證明：R?????R(A1)?R(A2).A2?

5.設(shè)A是m?n矩陣，證明：R(A)?1當(dāng)且僅當(dāng)存在m維列向量矩陣?和n維行向量矩陣?T,使得A???T.（提醒：使用A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形）

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線性方程組的解部分知識概要

內(nèi)容概要：

1.線性方程組Ax?b（x是n維列向量）的系數(shù)矩陣為A,增廣矩陣為A?(A則：（ⅰ）線性方程組無解的充分必要條件為R(A)?R(A)；（ⅱ）線性方程組有唯一解的充分必要條件為R(A)?R(A)?n；（ⅲ）線性方程組有無窮多解的充分必要條件為R(A)?R(A)?n.2.齊次線性方程組Ax?0（x是n維列向量）永遠(yuǎn)有零解.（?。〢x?0只有零解的充分必要條件為R(A)?R(A)?n；（ⅱ）Ax?0有非零解的充分必要條件為R(A)?R(A)?n.

3.矩陣方程AX?B（X是n?s矩陣）的系數(shù)矩陣為A,增廣矩陣為A?(A則關(guān)于方程AX?B的解有與1中一致的結(jié)論.

B),b)，

常用解題方法與本卷須知：

1.求解線性方程組Ax?b（x是n維列向量）的步驟：（ⅰ）對A?(Ab)進(jìn)行初等行變換，把A化為行階梯形矩陣B??B1b1?（b1是列向

)?R(B)量）.利用Ax?b與B1x?b1同解有：假使R(B,則Ax?b無解；假使1Ax?b有解.R(B)?R(B，則)12.若R(B1)?R(B)，繼續(xù)初等行變換，將B??B1b1?化為行最簡形矩陣C??C1?1?.

3.假使R(B1)?R(B)?n，Ax?b解唯一，C的最終一列對應(yīng)的元素為方程組的解；假使R(B1)?R(B)?n，解無窮多，將C的每個(gè)臺(tái)階的頭對應(yīng)的未知量用其余未知量（其余的未知量即為自由未知量）表示出來，并令自由未知量取任意常數(shù)c1,c2,?,cn?r，即得含有n?r個(gè)自由參數(shù)的通解.

注意：1.解線性方程組時(shí)，對增廣矩陣的初等行變換實(shí)際上是方程之間的初等變換，因此不能利用對增廣矩陣進(jìn)行初等列變換來解方程組.2.R(A)?R(A)?n時(shí)，C必需是A?(A為方程組的解.

35

b)的行最簡形，C的最終一列對應(yīng)的元素才

學(xué)院班級學(xué)號姓名線性方程組的解部分習(xí)題1.用初等行變換求解以下線性方程組

?2x1?x2?3x3?1,?2x1?x2?3x3?1,??（1）?4x1?2x2?5x3?4,；（2）?4x1?2x2?5x3?4,；

??2x1?x2?4x3?0.

?2x?x?3x?1,（3）?123?4x1?2x2?5x3?4,；??2x1?x2?3x3??1.

??6x1?3x2?8x3?5.?x1?3x2?2x3?x4?1,?4）?2x1?5x2?3x3?2x?4?3,3x2x.

??1?4x2?8x3?4?4,??6x1?x2?6x3?4x4?2.36

（學(xué)院班級學(xué)號姓名

2.用初等行變換求解以下齊次線性方程組

x2?x3?x5?x6?0,?x1?2x2?3x3?4x4?0,????0,?2x1?3x2?4x3?5x4?0,??x1?3x2?x3?x4?3x5（1）?；（2）?

3x?4x?5x?6x?0,x?2x?x?6x?3x?0,2343456?1?1?4x?5x?6x?7x?0.??x?5x?3x?x?x?2x?0.23423456?1?1

3.探討a取何值時(shí)，下面線性方程組：（1）有惟一解；（2）沒有解；（3）有無窮多個(gè)解？并在有解時(shí)求解.

?(a?1)x1?x2?x3?0,??x1?(a?1)x2?x3?3,

?x?x?(a?1)x?a.23?1

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第三章自測題與答案

第三章自測題

一.判斷題（每題3分，共15分）

1.方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)的齊次線性方程組必有非零解.（）2.在秩為r的矩陣中，所有r?1階子式都不為零.（）3.設(shè)A是m?n矩陣，P是m階方陣，Q是n階方陣，R?PAQ??R?A?.（）4.A是m?n矩陣，且m?n，則非齊次線性方程組Ax?b有無窮多解.（）5.A是m?n矩陣，線性方程組AX?b滿足R(A)?R(A(Ab)?n，用初等行變換將

b)化為行階梯形矩陣C，則C的最終一列對應(yīng)的元素為方程組的解.（）

二.填空題（每題4分，共20分）：驏1??01.A=?????0桫?0?2.A??2?4?-110013212-3÷÷÷4÷的行最簡形矩陣為；÷÷÷6÷1??0,則A?1?；?0???13.設(shè)A是n階方陣，A?3,A*是A的伴隨矩陣，則2A?1?4.矩陣的乘積?0?0?0010??1?0??2023?A*?;

?1?0??2023??2520??1???10???1????10100??0?1??2023?；

?A5.A,B,C分別為m?n,s?t,s?n矩陣，R?A??r1,R(B)?r2，R??O?AR??CO???r3，B?O???r4,則r3與r1,r2的關(guān)系為，r4與r1,r2的關(guān)系為.B?三.求以下矩陣的秩（第一題5分，其次題10分，共15分）?3?1.A??1?0?2111124??1??1；2.A??1????k?1???22k?23k???3.?3??

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四.用初等行變換求解以下線性方程組（每題10分，共20分）?x1?x2?2x?x1?2x?3?2x4?1,2?x3?x4?0,1.?2xx?2?x3?54??1,?2x1?2x2?x3?x4?2x1?3x2.?0,?；?3?x4?3,?x1?x2?2x4?0,.

??x1?x2?4x4??1.??x1?x2?x3?6x4?0.

五.(10分)探討a,b取何值時(shí),下面線性方程組有解,并在有解的狀況下求其通解.ì??x1+x2+x3+x4=0,???íx2+2x3+2x4=1,???-xx.2+(a-3)x3-24=b,????3x1+2x2+x3+ax4=-1.

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?2?0六．（10分）設(shè)A???1??1020?300200??0?，且ABA?1?BA?1?6E，求B.0??2?

七.（10分）設(shè)A是秩為1的3階方陣，證明:存在不全為零的數(shù)a1,a2,a3和不全為零的數(shù)?a1b1?b1,b2,b3，使得A?a2b1??ab?31a1b2a2b2a3b2a1b3??a2b3；并求A100

?a3b3??

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第三章自測題答案

一.1.對；2.錯(cuò)；3.對；4.錯(cuò)；5.錯(cuò)

驏1??0二.1.?????0桫010001-8÷÷÷1÷；2.則A?1÷÷÷3÷??0???0?1??32?20?1??2?1*?1?13.(?1)n（利用A?AA?3A,1?；

30???則2A?1?A*??A?1?1?）；4.?1??2023??2250??1??1（利用0???0??1??0010??1左乘A相當(dāng)交換A的2，?0???1?3兩行；0???1?0100??0右乘A相當(dāng)于A的第3列乘?1加到第一列）；?1??5.r3?r1?r2，r4?r1?r2.?1?三.1.R?A??2；（2）r(A)??2?3??x1?x2?四.1.?x3??x4k?1k??2k?1且k??2x1??1????x2?3??k??（k為任意數(shù)）.

??4?x3????x4?1??

??0????1????????1?3?????k??（k為任意數(shù)）；2.???1???1???????01???????x1?x2五.a?1,b??1時(shí)，方程組無窮多解??x3??x4???1??1??1????????1?2?2?????k???k??（k,k為任意

1212??0??1??0????????001???????b?1???1??a?1??x1???2?b?1?????x21??；a?1,b??1時(shí)，方程組無解.數(shù)）；a?1時(shí)，方程組有唯一解????a?1?x3???b?1????x?4???a?1??0??41

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六．AB?B?6A，B?6?A?E??1?2?0A?6???1???1020300200??12??00???0???6??2???6012023001200??0?.0??12??1?七.證明：A的秩為1，存在3階可逆矩陣P，Q,使得PAQ?0??0?0000??1????0?0?1,0,0?，?????0???0??a1??1??a1??????1???1P0?a2，?1,0,0?Q??b1,b2,b3?，它們均為非零向量，且A?a2?b1,b2,b3?，

???????0??a??a????3??3??a1?則A??a2?a?3?a1??a2??a?3??a1b1??b1,b2,b3??a2b1?????ab??31???b1???a,a,ab????123?2???b???3??????????99a1b2a2b2a3b2a1b3??a2b3；

?a3b3???a1b1?ab?21?ab?31a1b2a2b2a3b2a1b3??a2b3

?a3b3??A100?a1,a2,a3??k99其中k?a1b1?a2b2?a3b3.

42

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第四章向量組的線性相關(guān)性

向量組及其線性關(guān)系部分知識概要

內(nèi)容概要：

1.?1,?2,?,?s，?是一組n維向量，存在數(shù)k1,k2,?,ks使得??k1?1?k2?2??ks?s，則稱?可由?1,?2,?,?s線性表示；設(shè)?1,?2,?,?r與?1,?2,?,?s是兩組m維向量，假使兩個(gè)向量組能夠相互線性表示，稱這兩個(gè)向量組等價(jià).

2.設(shè)?1,?2,?,?s為一組n維向量，假使齊次線性方程組x1?1?x2?2???xs?s?0有非零解，稱向量組?1,?2,?,?s是線性相關(guān)；假使x1?1?x2?2???xs?s?0有只有零解，稱向量組?1,?2,?,?s是線性無關(guān).

4.等價(jià)定義：設(shè)?1,?2,?,?s(s?2)是一組n維向量，假使其中至少存在一個(gè)向量可以由其余的向量線性表示,稱?1,?2,?,?s線性相關(guān)；假使任何一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示,稱?1,?2,?,?s線性無關(guān).單獨(dú)一個(gè)零向量稱為線性相關(guān)的；單獨(dú)一個(gè)非零向量稱為線性無關(guān)的.

5.向量組?1,?2,?,?t線性相關(guān)，則擴(kuò)展組?1,?2,?,?t,?t?1,?,?s線性相關(guān)；向量組?1,?2,?,?t,?t?1,?,?s線性無關(guān)，則部分組?1,?2,?,?t也線性無關(guān).

常用解題方法與本卷須知：

1.判斷?是否可由?1,?2,?,?s線性表示：令A(yù)???1,?2,?,?s?,?可由?1,?2,?,?s線性表示當(dāng)且僅當(dāng)x1?1?x2?2??xs?s??有解，當(dāng)且僅當(dāng)R(A)?R(A?)；

2.令A(yù)???1,?2,?,?r?，B???1,?2,?,?s?,?1,?2,?,?r與?1,?2,?,?s等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)R(A)?R(AB)?R(B).

3.探討向量組?1,?2,?,?s線性相關(guān)：設(shè)x1?1?x2?2???xs?s?0，解齊次線性方程組

x1?1?x2?2???xs?s?0（*）.（?。┘偈梗?）只有零解，?1,?2,?,?s線性無關(guān)；（ⅱ）

假使（*）有非零解，?1,?2,?,?s線性相關(guān).

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向量組及其線性關(guān)系部分習(xí)題

1.設(shè)?1?(1,0,?1,2)T,?2?(2,0,1,1)T,?3?(2,?1,0,1)T，求向量?，使得?1??2???2???3.

2.設(shè)?1?(1,2,1,2)T,?2?(1,0,3,1)T,?3?(2,?1,0,1)T,??(2,1,?2,2)T,問：?是否能由?1,?2,?3線性表示？如能表示，判斷表示的方法是否唯一？

TT,2?(1,1?k,1)?,3?3.設(shè)??(0,k,k2)T可由?1?(1?k,1,1)?(1,1,?1kT)唯一的線性

表示，求k滿足的條件.

4設(shè)?1,?2,?,?s是一組n維向量，?1??1??2????s,?2??1??2????s?1,

?,?s?1??1??2,?s??1，證明向量組?1,?2,?,?s與向量組?1,?2,?,?s等價(jià).

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5.設(shè)?TT1??1,0,0,3?,?2??2,1,?1,2?,?3?(3,2,a?3,1)T,?T4?(3,2,?2,a),

??(1,1,b?1,?1)T，探討：

（1）a,b為何值時(shí)，?不能由a1,a2,a3線性表示？（2）a,b為何值時(shí)，?能由a1,a2,a3唯一的線性表示？

（3）a,b為何值時(shí)，?能由a1,a2,a3線性表示，但表示方法不唯一？

6.判斷以下向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)？

（1）?T1?(1,1,1,1),?2??1,?1,1,1?T,?T3?(1,1,?1,1),?4?(1,1,1,?1)T；

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（2）?1?(1,1,0,0)T,?2??1,2,3,4?,?3?(?1,0,1,2)T,?4?(1,3,4,6)T.

7.?1,?2,?,?s是一組n維向量，?1??1,?2??1??2,?,?s?1??1??2????s?1,?s??1??2????s，證明：假使?1,?2,?,?s線性無關(guān)，則?1,?2,?,?s也線性無關(guān).

T

*8.設(shè)?1,?2,?3線性無關(guān)，且?1??1?t?2,?2??2?t?3,?3??3?t?1，探討t為何值時(shí)?1,?2,?3線性無關(guān)，t為何值時(shí)?1,?2,?3線性相關(guān).

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向量組的秩與極