小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

§6.1小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)概述

6.1.1小學(xué)數(shù)學(xué)概念

(-)什么是數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中中的反

映。數(shù)學(xué)的研究對象是客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式。在數(shù)學(xué)中，客觀事物的

顏色、材料、氣味等方面的屬性都被看作非本質(zhì)屬性而被舍棄，只保留它們在形

狀、大小、位置及數(shù)量關(guān)系等方面的共同屬性。在數(shù)學(xué)科學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的含義

都要給出精確的規(guī)定，因而數(shù)學(xué)概念比一般概念更準(zhǔn)確。

小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念，包括：數(shù)的概念、運(yùn)算的概念、量與計(jì)量的概念、

兒何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及統(tǒng)計(jì)初步知識的有關(guān)概念

等。這些概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要內(nèi)容，它們是互相聯(lián)系著的。如只

有明確牢固地掌握數(shù)的概念，才能理解運(yùn)算概念，而運(yùn)算概念的掌握，又能促進(jìn)

數(shù)的整除性概念的形成。

(二)小學(xué)數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的概念，根據(jù)小學(xué)生的接受能力，表現(xiàn)形式各不相同，其

中描述式和定義式是最主要的兩種表示方式。

1.定義式

定義式是用簡明而完整的語言揭示概念的內(nèi)涵或外延的方法，具體的做法是

用原有的概念說明要定義的新概念。這些定義式的概念抓住了一類事物的本質(zhì)特

征，揭示的是一類事物的本質(zhì)屬性。這樣的概念，是在對大量的探究材料的分析、

綜合、比較、分類中，使之從直觀到表象、繼而上升為理性的認(rèn)識。如“有兩條

邊相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知數(shù)的等式叫方程”等等。這樣定義的

概念，條件和結(jié)論十分明顯，便于學(xué)生一下子抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

2.描述式

用一些生動(dòng)、具體的語言對概念進(jìn)行描述，叫做描述式。這種方法與定義式

不同，描述式概念，一般借助于學(xué)生通過感知所建立的表象，選取有代表性的特

例做參照物而建立。如：“我們在數(shù)物體的時(shí)候，用來表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3、

4、5……叫自然數(shù)”；“象1.25、0.726、0.005等都是小數(shù)”等。這樣的概念將隨

著兒童知識的增多和認(rèn)識的深化而日趨完善，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中一般用于以下兩

種情況。

一種是對數(shù)學(xué)中的點(diǎn)、線、體、集合等原始概念都用描述法加以說明。例如,

“直線”這一概念，教材是這樣描述的：拿一條直線，把它拉緊，就成了一條直

線?！捌矫妗本陀谩罢n桌面”、“黑板面”、“湖面”來說明。

另一種是對于一些較難理解的概念，如果用簡練、概括的定義出現(xiàn)不易被小

學(xué)生理解，就改用描述式。例如，對直圓柱和直圓錐的認(rèn)識，由于小學(xué)生還缺乏

運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，不能像中學(xué)生那樣用旋轉(zhuǎn)體來定義，因此只能通過實(shí)物形象地描述

了它們的特征，并沒有以定義的形式揭示它們的本質(zhì)屬性。學(xué)生在觀察、擺拼中，

認(rèn)識到圓柱體的特征是上下兩個(gè)底面是相等的圓，側(cè)面展開的形狀是長方形。

一般來說，在數(shù)學(xué)教材中，小學(xué)低年級的概念采用描述式較多，隨著小學(xué)生

思維能力的逐步發(fā)展，中年級逐步采用定義式，不過有些定義只是初步的，是有

待發(fā)展的。在整個(gè)小學(xué)階段，由于數(shù)學(xué)概念的抽象性與學(xué)生思維的形象性的矛盾,

大部分概念沒有下嚴(yán)格的定義；而是從學(xué)生所了解的實(shí)際事例或已有的知識經(jīng)驗(yàn)

出發(fā)，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學(xué)生認(rèn)識概念的本質(zhì)屬性。對于不容易

理解的概念就暫不給出定義或者采用分階段逐步滲透的辦法來解決。因此，小學(xué)

數(shù)學(xué)概念呈現(xiàn)出兩大特點(diǎn)：一是數(shù)學(xué)概念的直觀性；二是數(shù)學(xué)概念的階段性。在

進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，我們必須注意充分領(lǐng)會(huì)教材的這兩個(gè)特點(diǎn)。

6.1.2小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義

首先，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分。

小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識包括：概念、定律、性質(zhì)、法則、公式等，其中數(shù)學(xué)概

念不僅是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，而且是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。學(xué)生

掌握基礎(chǔ)知識的過程，實(shí)際上就是掌握概念并運(yùn)用概念進(jìn)行判斷、推理的過程。

數(shù)學(xué)中的法則都是建立在一系列概念的基礎(chǔ)上的。事實(shí)證明，如果學(xué)生有了正確、

清晰、完整的數(shù)學(xué)概念，就有助于掌握基礎(chǔ)知識，提高運(yùn)算和解題技能。相反，

如果一個(gè)學(xué)生概念不清，就無法掌握定律、法則和公式。例如，整數(shù)百以內(nèi)的筆

算加法法則為：“相同數(shù)位對齊，從個(gè)位加起，個(gè)位滿十，就向十位進(jìn)一。”要使

學(xué)生理解掌握這個(gè)法則，必須事先使他們弄清“數(shù)位”、“個(gè)位”、“十位”、“個(gè)位

滿十”等的意義，如果對這些概念理解不清，就無法學(xué)習(xí)這一法則。又如，圓的

面積公式要以“圓”、“半徑”、“平方”、“圓周率”等概念為基礎(chǔ)?？傊?/p>

小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些概念對于今后的學(xué)習(xí)而言，都是一些基本的、基礎(chǔ)的知識。小

學(xué)數(shù)學(xué)是一門概念性很強(qiáng)的學(xué)科，也就是說，任何一部分內(nèi)容的教學(xué)，都離不開

概念教學(xué)。

其次，數(shù)學(xué)概念是發(fā)展思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。

概念是思維形式之一，也是判斷和推理的起點(diǎn)，所以概念教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生的

思維能力能起重要作用。沒有正確的概念，就不可能有正確的判斷和推理，更談

不上邏輯思維能力的培養(yǎng)。例如，“含有未知數(shù)的等式叫做方程”，這是一個(gè)判斷。

在這個(gè)判斷中，學(xué)生必須對“未知數(shù)”、“等式”這兒個(gè)概念十分清楚，才能形成

這個(gè)判斷，并以此來推斷出下面的6道題目，哪些是方程。

(1)56+23=79(2)23-x=67(3)x^5=4.5

(4)44X2=88(5)75+x=4(6)9+x=123

在概念教學(xué)過程中，為了使學(xué)生順利地獲取有關(guān)概念，常常要提供豐富的感

性材料讓學(xué)生觀察,在觀察的基礎(chǔ)上通過教師的啟發(fā)引導(dǎo)，對感性材料進(jìn)行比較、

分析、綜合，最后再抽象概括出概念的本質(zhì)屬性。通過一系列的判斷、推理使概

念得到鞏固和運(yùn)用。從而使學(xué)生的初步邏輯思維能力逐步得到提高。

6.1.3數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一般要求

1.使學(xué)生準(zhǔn)確理解概念

理解概念,一要能舉出概念所反映的現(xiàn)實(shí)原型，二要明確概念的內(nèi)涵與外延,

即明確概念所反映的一類事物的共同本質(zhì)屬性，和概念所反映的全體對象，三要

掌握表示概念的詞語或符號。

2.使學(xué)生牢固掌握概念

掌握概念是指要在理解概念的基礎(chǔ)上記住概念，正確區(qū)分概念的肯定例證和

否定例證。能對概念進(jìn)行分類，形成一定的概念系統(tǒng)。

3.使學(xué)生能正確運(yùn)用概念

概念的運(yùn)用主要表現(xiàn)在學(xué)生能在不同的具體情況下，辨認(rèn)出概念的本質(zhì)屬

性，運(yùn)用概念的有關(guān)屬性進(jìn)行判斷推理。

§6.2小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過程與方法

6.2.1小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過程

根據(jù)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理過程及特征，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般也分為三個(gè)階

段：①引入概念，使學(xué)生感知概念，形成表象；②通過分析、抽象和概括，使學(xué)

生理解和明確概念；③通過例題、習(xí)題使學(xué)生鞏固和應(yīng)用概念。

(-)數(shù)學(xué)概念的引入

數(shù)學(xué)概念的引入，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的第一個(gè)環(huán)節(jié)，也是十分重要的環(huán)節(jié)。概

念引入得當(dāng)，就可以緊緊地圍繞課題，充分地激發(fā)起學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，為

學(xué)生順利地掌握概念起到奠基作用。

引出新概念的過程，是揭示概念的發(fā)生和形成過程，而各個(gè)數(shù)學(xué)概念的發(fā)生

形成過程又不盡相同，有的是現(xiàn)實(shí)模型的直接反映；有的是在已有概念的基礎(chǔ)上

經(jīng)過一次或多次抽象后得到的；有的是從數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要中產(chǎn)生的；有的是

為解決實(shí)際問題的需要而產(chǎn)生的；有的是將思維對象理想化，經(jīng)過推理而得；有

的則是從理論上的存在性或從數(shù)學(xué)對象的結(jié)構(gòu)中構(gòu)造產(chǎn)生的。因此，教學(xué)中必須

根據(jù)各種概念的產(chǎn)生背景，結(jié)合學(xué)生的具體情況，適當(dāng)?shù)剡x取不同的方式去引入

概念。一般來說，數(shù)學(xué)概念的引入可以采用如下幾種方法。

1、以感性材料為基礎(chǔ)引入新概念。

用學(xué)生在日常生活中所接觸到的事物或教材中的實(shí)際問題以及模型、圖形、

圖表等作為感性材料，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、比較、歸納和概括去獲取概念。

例如，要學(xué)習(xí)“平行線”的概念，可以讓學(xué)生辨認(rèn)一些熟悉的實(shí)例，像鐵軌、

門框的上下兩條邊、黑板的上下邊緣等，然后分化出各例的屬性，從中找出共同

的本質(zhì)屬性。鐵軌有屬性：是鐵制的、可以看成是兩條直線、在同一個(gè)平面內(nèi)、

兩條邊可以無限延長、永不相交等。同樣可分析出門框和黑板上下邊的屬性。通

過比較可以發(fā)現(xiàn)，它們的共同屬性是：可以抽象地看成兩條直線；兩條直線在同

一平面內(nèi)；彼此間距離處處相等；兩條直線沒有公共點(diǎn)等，最后抽象出本質(zhì)屬性,

得到平行線的定義。

以感性材料為基礎(chǔ)引入新概念，是用概念形成的方式去進(jìn)行教學(xué)的，因此教

學(xué)中應(yīng)選擇那些能充分顯示被引入概念的特征性質(zhì)的事例，正確引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行

觀察和分析,這樣才能使學(xué)生從事例中歸納和概括出共同的本質(zhì)屬性，形成概念。

2、以新、舊概念之間的關(guān)系引入新概念。

如果新、舊概念之間存在某種關(guān)系，如相容關(guān)系、不相容關(guān)系等，那么新概

念的引入就可以充分地利用這種關(guān)系去進(jìn)行。

例如，學(xué)習(xí)“乘法意義”時(shí)，可以從“加法意義”來引入。又如，學(xué)習(xí)“整

除”概念時(shí)，可以從“除法”中的“除盡”來引入。又如，學(xué)習(xí)“質(zhì)因數(shù)”可以

從“因數(shù)”和“質(zhì)數(shù)”這兩個(gè)概念引入。再如，在學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念時(shí)，可用

約數(shù)概念引入：”請同學(xué)們寫出數(shù)1,2,6,7,8,12,11,15的所有約數(shù)。它

們各有兒個(gè)約數(shù)？你能給出一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，把這些數(shù)進(jìn)行分類嗎？你能找出多種

分類方法嗎？你找出的所有分類方法中，哪一種分類方法是最新的分類方法？”

3、以“問題”的形式引入新概念。

以“問題”的形式引入新概念，這也是概念教學(xué)中常用的方法。-一般來說，

用“問題”引入概念的途徑有兩條：①從現(xiàn)實(shí)生活中的問題引入數(shù)學(xué)概念；②從

數(shù)學(xué)問題或理論本身的發(fā)展需要引入概念。

例如，在學(xué)習(xí)“平均數(shù)”時(shí)，教師可以先向?qū)W生呈現(xiàn)一個(gè)“幼兒園小朋友爭

拿糖果”的生活情境，讓學(xué)生思考，為什么有的小朋友很高興，有的小朋友很不

高興？應(yīng)該怎樣做才能使大家都高興？接下來應(yīng)該怎么做？這個(gè)幼兒園的老師

可能會(huì)怎么做？

4、從概念的發(fā)生過程引入新概念。

數(shù)學(xué)中有些概念是用發(fā)生式定義的，在進(jìn)行這類概念的教學(xué)時(shí)，可以采用演

示活動(dòng)的直觀教具或演示畫圖說明的方法去揭示事物的發(fā)生過程。例如，小數(shù)、

分?jǐn)?shù)等概念都可以這樣引入。這種方法生動(dòng)直觀，體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)和思想,

同時(shí)，引入的過程又自然地、無可辯駁地闡明了這一概念的客觀存在性。

（二）數(shù)學(xué)概念的形成

引入概念，僅是概念教學(xué)的第一步，要使學(xué)生獲得概念，還必須引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)

確地理解概念，明確概念的內(nèi)涵與外延，正確表述概念的本質(zhì)屬性。為此，教學(xué)

中可采用一些具有針對性的方法。

1、對比與類比。

對比概念，可以找出概念間的差異，類比概念，可以發(fā)現(xiàn)概念間的相同或相

似之處。例如，學(xué)習(xí)“整除”概念時(shí)，可以與“除法”中的“除盡”概念進(jìn)行對

比，去比較發(fā)現(xiàn)兩者的不同點(diǎn)。用對比或類比講述新概念，一定要突出新、舊概

念的差異，明確新概念的內(nèi)涵，防止舊概念對學(xué)習(xí)新概念產(chǎn)生的負(fù)遷移作用的影

響。

2、恰當(dāng)運(yùn)用反例。

概念教學(xué)中，除了從正面去揭示概念的內(nèi)涵外，還應(yīng)考慮運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆蠢?/p>

突出概念的本質(zhì)屬性，尤其是讓學(xué)生通過對比正例與反例的差異，對自己出現(xiàn)的

錯(cuò)誤進(jìn)行反思，更利于強(qiáng)化學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的理解。

用反例去突出概念的本質(zhì)屬性，實(shí)質(zhì)是使學(xué)生明確概念的外延從而加深對概

念內(nèi)涵的理解。凡具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對象必屬于該概念的外延集，而

反例的構(gòu)造，就是讓學(xué)生找出不屬于概念外延集的對象，顯然，這是概念教學(xué)中

的一種重要手段。但必須注意，所選的反例應(yīng)當(dāng)恰當(dāng)，防止過難、過偏，造成學(xué)

生的注意力分散，而達(dá)不到突出概念本質(zhì)屬性的目的。

3、合理運(yùn)用變式。

依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或

者感性材料的非本質(zhì)屬性具有較明顯的突出特征，容易形成干擾的信息，而削弱

學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的正確理解。因此，在教學(xué)中應(yīng)注意運(yùn)用變式，從不同角度、

不同方面去反映和刻畫概念的本質(zhì)屬性。一般來說，變式包括圖形變式、式子變

式和字母變式等。

例如，講授“等腰三角形”概念，教師除了用常見的圖形（圖6-1（1））展示外,

還應(yīng)采用變式圖形（圖6-1（2）、（3）、（4））去強(qiáng)化這一概念，因?yàn)槔玫妊切蔚?/p>

性質(zhì)去解題時(shí)，所遇見的圖形往往是后面幾種情形。

（三）數(shù)學(xué)概念的鞏固

為了使學(xué)生牢固地掌握所學(xué)的概念，還必須有概念的鞏固和應(yīng)用過程。教學(xué)

中應(yīng)注意如下兒個(gè)方面。

1、注意及時(shí)復(fù)習(xí)

概念的鞏固是在對概念的理解和應(yīng)用中去完成和實(shí)現(xiàn)的，同時(shí)還必須及時(shí)復(fù)

習(xí)，鞏固離不開必要的復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)的方式可以是對個(gè)別概念進(jìn)行復(fù)述，也可以通

過解決問題去復(fù)習(xí)概念，而更多地則是在概念體系中去復(fù)習(xí)概念。當(dāng)概念教學(xué)到

一定階段時(shí)，特別是在章節(jié)末復(fù)習(xí)、期末復(fù)習(xí)和畢業(yè)總復(fù)習(xí)時(shí)，要重視對所學(xué)概

念的整理和系統(tǒng)化，從縱向和橫向找出各概念之間的關(guān)系，形成概念體系。

2、重視應(yīng)用

在概念教學(xué)中，既要引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象，形成概念，又要讓學(xué)生由抽象

到具體，運(yùn)用概念，學(xué)生是否牢固地掌握了某個(gè)概念，不僅在于能否說出這個(gè)概

念的名稱和背誦概念的定義，而且還在于能否正確靈活地應(yīng)用，通過應(yīng)用可以加

深理解，增強(qiáng)記憶，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。

概念的應(yīng)用可以從概念的內(nèi)涵和外延兩方面進(jìn)行。

（1）概念內(nèi)涵的應(yīng)用

①復(fù)述概念的定義或根據(jù)定義填空。

②根據(jù)定義判斷是非或改錯(cuò)。

③根據(jù)定義推理。

④根據(jù)定義計(jì)算。

例4（1）什么叫互質(zhì)數(shù)？答：是互質(zhì)數(shù)。

（2）判斷題:

27和20是互質(zhì)數(shù)（）

34與85是互質(zhì)數(shù)（）

有公約數(shù)1的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)（）

兩個(gè)合數(shù)一定不是互質(zhì)數(shù)（）

（3）鈍角三角形的一個(gè)角是82°,另兩個(gè)角的度數(shù)是互質(zhì)數(shù)，這兩個(gè)角可

能是多少度？

（4）如果P是質(zhì)數(shù)，那么比P小的自然數(shù)都與P互質(zhì)。這句話對嗎？請說

明理由？

2.概念外延的應(yīng)用

（1）舉例

（2）辨認(rèn)肯定例證或否定例證。并說明理由。

（3）按指定的條件從概念的外延中選擇事例。

（4）將概念按不同標(biāo)準(zhǔn)分類。

例5（1）列舉你所見到過的圓柱形物體。

（2）下列圖形中的陰影部分，哪些是扇形？（圖6—2）

圖6—2

（3）分母是9的最簡真分?jǐn)?shù)有_分子是9的假分?jǐn)?shù)中，最小的一個(gè)是

（4）將自然數(shù)2—19按不同標(biāo)準(zhǔn)分成兩類（至少提出3種不同的分法）

概念的應(yīng)用可分為簡單應(yīng)用和綜合應(yīng)用，在初步形成某一新概念后通過簡單

應(yīng)用可以促進(jìn)對新概念的理解，綜合應(yīng)用一般在學(xué)習(xí)了一系列概念后，把這些概

念結(jié)合起來加以應(yīng)用，這種練習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力。

（三）注意辨析

隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生掌握的概念不斷增多，有些概念的文字表述相同，有

些概念內(nèi)涵相近，使得學(xué)生容易產(chǎn)生混淆，如質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)，整除與除盡，體積

與容積等等。因此在概念的鞏固階段，要注意組織學(xué)生運(yùn)用對比的方法，弄清易

混淆概念的區(qū)別和聯(lián)系，以促使概念的精確分化。

例6關(guān)于面積和周長，可組織學(xué)生從下列幾個(gè)方面進(jìn)行對見

（1）什么叫做長方形的周長？什么叫做長方形的面積？

（2）周長和面積常用的計(jì)量單位分別有哪些？

（3）在圖6—3中，A,B兩個(gè)圖形的周長相等嗎？面積相等嗎？

（4）圖6—4中的每一小方格代表一平方厘米，這個(gè)圖的面積是

周長是,剪一刀，然后將它拼成一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的周長

是，面積是O

數(shù)學(xué)概念是用詞或詞組來表達(dá)的，但有些詞語受日常用語的影響，會(huì)給學(xué)生

造成認(rèn)識和理解上的錯(cuò)覺和障礙。如幾何知識中的高”、“底”、“腰”等概念，

從字面上容易使學(xué)生產(chǎn)生“鉛垂方向”與“下方”、“兩側(cè)”的錯(cuò)覺。而“倒數(shù)”

則強(qiáng)化了分子與分母顛倒位置的直觀認(rèn)識，弱化了“兩個(gè)數(shù)的乘積等于1”的本

質(zhì)屬性，因此在教學(xué)時(shí)，要幫助學(xué)生分清一些詞的日常意義和專門的數(shù)學(xué)意義，

正確地理解表示概念的詞語，從而準(zhǔn)確地掌握概念。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)注意的問題

1、把握概念教學(xué)的目標(biāo)，處理好概念教學(xué)的發(fā)展性與階段性之間的矛盾。

概念本身有自己嚴(yán)密的邏輯體系。在一定條件下，一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延是

固定不變的，這是概念的確定性。由于客觀事物的不斷發(fā)展和變化，同時(shí)也由于

人們認(rèn)識的不斷深化，因此，作為人們反映客觀事物本質(zhì)屬性的概念，也是在不

斷發(fā)展和變化的。但是，在小學(xué)階段的概念教學(xué)，考慮到小學(xué)生的接受能力，往

往是分階段進(jìn)行的。如對“數(shù)”這個(gè)概念來說，在不同的階段有不同的要求。開

始只是認(rèn)識1、2、3、……，以后逐漸認(rèn)識了零，隨著學(xué)生年齡的增大，又引進(jìn)

了分?jǐn)?shù)（小數(shù)），以后又逐漸引進(jìn)正、負(fù)數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)，把數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)、

復(fù)數(shù)的范圍等。又如，對“0”的認(rèn)識，開始時(shí)只知道它表示沒有，然后知道又可

以表示該數(shù)位上一個(gè)單位也沒有，還知道“0”可以表示界限等。

因此，數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)性和發(fā)展性與概念教學(xué)的階段性成了教學(xué)中需要解決

的一對矛盾。解決這一矛盾的關(guān)鍵是要切實(shí)把握概念教學(xué)的階段性目標(biāo)。

為了加強(qiáng)概念教學(xué)，教師必須認(rèn)真鉆研教材，掌握小學(xué)數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)，摸

清概念發(fā)展的脈絡(luò)。概念是逐步發(fā)展的，而且諸概念之間是互相聯(lián)系的。不同的

概念具體要求會(huì)有所不同，即使同一概念在不同的學(xué)習(xí)階段要求也有差別。

有許多概念的含義是逐步發(fā)展的，?般先用描述方法給出，以后再下定義。

例如，對分?jǐn)?shù)意義理解的三次飛躍。第一次是在學(xué)習(xí)小數(shù)以前，就讓學(xué)生初步認(rèn)

識了分?jǐn)?shù)，“像上面講的!、->3、2等，都是分?jǐn)?shù)?！蓖ㄟ^大量感性

234455

直觀的認(rèn)識,結(jié)合具體事物描述什么樣的是分?jǐn)?shù),初步理解分?jǐn)?shù)是平均分得到的，

理解誰是誰的幾分之幾。第二次飛躍是由具體到抽象，寸巴單位“1”平均分成若干

份，表示其中的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來表示。從具體事物中抽象出來。然后

概括分?jǐn)?shù)的定義，這只是描述性地給出了分?jǐn)?shù)的概念。這是感性的飛躍。第三次

飛躍是對單位“1”的理解與擴(kuò)展，單位“1”不僅可以表示--個(gè)物體、一個(gè)圖形、

一個(gè)計(jì)量單位，還可以是一個(gè)群體等，最后抽象出，分誰，誰就是單位“1”，這

樣單位“1”與自然數(shù)“1”的區(qū)別就更加明確了。這樣三個(gè)層次不是一蹴而就的，

要展現(xiàn)知識的發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生在知識的發(fā)生發(fā)展過程中去理解分?jǐn)?shù)。

再如長方體和立方體的認(rèn)識在許多教材中是分成兩個(gè)階段進(jìn)行教學(xué)的。在低

年級，先出現(xiàn)長方體和立方體的初步認(rèn)識，通過讓學(xué)生觀察一些實(shí)物及實(shí)物圖，

如裝墨水瓶的紙盒、魔方等。積累一些有關(guān)長方體和立方體的感性認(rèn)識，知道它

們各是什么形狀，知道這些形狀的名稱。然后，通過操作、觀察，了解長方體和

立方體各有兒個(gè)面，每個(gè)面是什么形狀，進(jìn)一步加深對長方體和立方體的感性認(rèn)

識。再從實(shí)物中抽象出長方體和立方體的圖形(并非透視圖)。但這一階段的教學(xué)

要求只要學(xué)生知道長方體和立方體的名稱，能夠辨認(rèn)和區(qū)分這些形狀即可。僅僅

停留在感性認(rèn)識的層次上。第二階段是在較高年級。教學(xué)時(shí)仍要從實(shí)例引入。教

學(xué)長方體的認(rèn)識時(shí).，先讓學(xué)生收集長方體的物體，教師先說明什么是長方體的面、

棱和頂點(diǎn)，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)面、棱和頂點(diǎn)各自的數(shù)目，量一量棱的長度，算一算各

個(gè)面的大小，比較上下、左右、前后棱和面的關(guān)系和區(qū)別。然后歸納出長方體的

特征。再從長方體的實(shí)例中抽象出長方體的兒何圖形。進(jìn)而可以讓學(xué)生對照實(shí)物,

觀察圖形，弄清楚不改變觀察方向，最多可以看到兒個(gè)面和兒條棱。哪些是看不

見的，圖中是怎樣來表示的。還可以讓學(xué)生想一想，看一看，逐步看懂長方體的

幾何圖形，形成正確的表象。

在把握階段性目標(biāo)時(shí)，應(yīng)注意以下兒點(diǎn)：

(1)在每一個(gè)教學(xué)階段，概念都應(yīng)該是確定的，這樣才不致于造成概念混亂

的現(xiàn)象。有些概念不嚴(yán)格下定義，但也要依據(jù)學(xué)生的接受能力，或者用描述代替

定義，或者用比較通俗易懂的語言揭示概念的本質(zhì)特征。同時(shí)注意與將來的嚴(yán)格

定義不矛盾。

(2)當(dāng)-?個(gè)教學(xué)階段完成以后，應(yīng)根據(jù)具體情況，酌情指出概念是發(fā)展的，

不斷變化的。如：有一位學(xué)生在認(rèn)識了長方體之后，認(rèn)為課本中的任何一張紙的

形狀也是長方體的。說明該學(xué)生對長方體的概念有了更進(jìn)一步的理解，教師應(yīng)加

以肯定。

(3)當(dāng)概念發(fā)展后，教師不但指出原來概念與發(fā)展后概念的聯(lián)系與區(qū)別，以

便學(xué)生掌握，而且還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對有關(guān)概念進(jìn)行研究，注意其發(fā)展變化。如“倍”

的概念，在整數(shù)范圍內(nèi)，通常所指的是，如果把甲量當(dāng)作1份，而乙量有這樣的

幾份，那么乙量就是甲量的幾倍。在引入分?jǐn)?shù)以后，“倍”的概念發(fā)展了，發(fā)展

后的“倍”的概念，就包含了原來的“倍”的概念。如果把甲量當(dāng)作1份，乙量

也可以是甲量的兒分之兒。

因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，要搞清概念之間的順序，了解概念之間的內(nèi)在聯(lián)

系。數(shù)學(xué)概念隨著客觀事物本身的發(fā)展變化和研究的深入不斷地發(fā)展演變。學(xué)生

對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識，也需要隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的程度的提高，由淺入深，逐步深化。

教學(xué)時(shí)既要注意教學(xué)的階段性，不能把后面的要求提到前面，超越學(xué)生的認(rèn)識能

力；又要注意教學(xué)的連續(xù)性，教前面的概念要留有余地，為后繼教學(xué)打下埋伏。

從而處理好掌握概念的階段性與連續(xù)性的關(guān)系。

2、加強(qiáng)直觀教學(xué)，處理好具體與抽象的矛盾

盡管教材中大部分概念沒有下嚴(yán)格的定義，而是從學(xué)生所了解的實(shí)際事例或

已有的知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學(xué)生認(rèn)識概念的本質(zhì)屬

性。對于不容易理解的概念就暫不給出定義或者采用分階段逐步滲透的辦法來解

決。但對于小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)概念還是抽象的。他們形成數(shù)學(xué)概念，-一般都要求

有相應(yīng)的感性經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，而且要經(jīng)歷番把感性材料在腦子里來回往復(fù)，從模

糊到逐漸分明，從許多有一定聯(lián)系的材料中，通過自己操作、思維活動(dòng)逐步建立

起事物一般的表象，分出事物的主要的本質(zhì)特征或?qū)傩?，這是形成概念的基礎(chǔ)。

因此，在教學(xué)中，必須加強(qiáng)直觀，以解決數(shù)學(xué)概念的抽象性與學(xué)生思維形象性之

間的矛盾。

(1)通過演示、操作進(jìn)行具體與抽象的轉(zhuǎn)化

教學(xué)中，對于一些相對抽象的內(nèi)容，盡可能地利用恰當(dāng)?shù)难菔净虿僮魇蛊滢D(zhuǎn)

化為具體內(nèi)容，然后在此基礎(chǔ)上抽象出概念的本質(zhì)屬性。

兒何初步知識，無論是線、面、體的概念還是圖形特征、性質(zhì)的概念都非常

抽象，因此，教學(xué)中更要加強(qiáng)演示、操作，通過讓學(xué)生量一量、摸一摸、擺一擺、

拼一拼來讓學(xué)生體會(huì)這些概念，從而抽象出這些概念。

例如“圓周率”這一概念非常抽象，有的教師在課前，布置每個(gè)學(xué)生用硬紙

制做一個(gè)圓，半徑自定。上課時(shí)，就讓每個(gè)學(xué)生在課堂作業(yè)本上寫出三個(gè)內(nèi)容：

（1）寫出自己做的圓的直徑；（2）滾動(dòng)自己的圓，量出圓滾動(dòng)一周的長度，寫在練

習(xí)本上；（3）計(jì)算圓的周長是直徑的幾倍。全班同學(xué)做完后，要求每個(gè)同學(xué)匯報(bào)

自己計(jì)算的結(jié)果，并把結(jié)果整理成下表。

圓直徑（厘米）圓的周長（厘米）周長是直徑的兒倍

A26.23.1

B39.63.2

C412.63.15

D515.73.14

然后引導(dǎo)學(xué)生分析發(fā)現(xiàn)：不管圓的大小，它的周長總是直徑的3倍多一點(diǎn)。

這時(shí)再揭示：這個(gè)倍數(shù)是個(gè)固定的數(shù)，數(shù)學(xué)上叫做圓周率。再讓學(xué)生任意畫一個(gè)

圓，量出直徑和周長加以驗(yàn)證。這樣，引導(dǎo)學(xué)生把大量的感性材料，加以分析、

綜合、抽象、概括，拋棄事物的非本質(zhì)屬性（如圓的大小、測量時(shí)用的單位等），

抓住事物的本質(zhì)特征（圓的周長總是直徑的3倍多一點(diǎn)），形成了概念。

這樣教師借助于直觀教學(xué)，運(yùn)用學(xué)生原有的一些基礎(chǔ)知識，逐步抽象，環(huán)環(huán)

緊扣，層次清楚。通過實(shí)物演示，使學(xué)生建立表象，從而解決了數(shù)學(xué)知識的抽象

性與兒童思維的形象性的矛盾。

（2）結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際進(jìn)行具體與抽象的轉(zhuǎn)化

教學(xué)中有許多數(shù)量關(guān)系都是從具體生活內(nèi)容中抽象出來的，因此，在教學(xué)中

應(yīng)該充分利用學(xué)生的生活實(shí)際，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行具體與抽象的轉(zhuǎn)化，即把抽

象的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生的具體生活知識，在此基礎(chǔ)上乂將其生活知識抽象為教學(xué)內(nèi)

容。

例如乘法交換律的教學(xué)，往往讓學(xué)生先解答這樣的習(xí)題：一種鋼筆，每盒

10支，每支3元，買2盒鋼筆要多少元?學(xué)生在實(shí)際解答中發(fā)現(xiàn)，這道題可以有

兩種解答思路，一種是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”，算式是

（3X10）X2=60元；另一種是先求出“一共有多少支鋼筆”，再求出“2盒多少

元”，算式是3X（2X10）=60元。乘法分配律的教學(xué)也是讓學(xué)生解答類似的問題,

如：一件上衣50元，一條褲子30元，買這樣的5套衣服需要多少元?這樣借助

于學(xué)生熟悉的生活情景，使抽象的問題變得具體化。

同樣常見數(shù)量關(guān)系中的單價(jià)、總價(jià)與數(shù)量之間的關(guān)系；路程、速度與時(shí)間的

關(guān)系，工作量、工作效率與工作時(shí)間之間的關(guān)系等，都應(yīng)結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，

通過具體的題目將其抽象出來，然后又利用這些關(guān)系來分析解決問題。這樣的訓(xùn)

練有利于使學(xué)生的思維逐漸向抽象思維過渡，逐步緩解知識的抽象性與學(xué)生思維

的具體形象性的矛盾。

但是，運(yùn)用直觀并不是目的，它只是引起學(xué)生積極思維的i種手段。因此概

念教學(xué)不能只停留在感性認(rèn)識上，在學(xué)生獲得豐富的感性認(rèn)識后，要對所觀察的

事物進(jìn)行抽象概括，揭示概念的本質(zhì)屬性，使認(rèn)識產(chǎn)生飛躍，從感性上升到理性,

形成概念。

3、遵循小學(xué)生學(xué)習(xí)概念的特點(diǎn)，組織合理有序的教學(xué)過程

盡管小學(xué)生獲取概念有概念形成和概念同化這兩種基本形式，各類概念的形

成又有各自的特點(diǎn)，但不管以何種方式獲得概念，一般都會(huì)遵循從“引入一理解

--鞏固-深化”這樣的概念形成路徑。下面就概念教學(xué)中每個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)策略及

應(yīng)注意的問題作--闡述。

（1）概念的引入要注重提供豐富而典型的感性材料

在概念引入的過程中，要注意使學(xué)生建立起清晰的表象。因?yàn)榻⒛芡怀鍪?/p>

物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基礎(chǔ)，因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教

學(xué)中，無論以什么方式引入概念，都應(yīng)考慮如何使小學(xué)生在頭腦中建立起清晰的

表象。概念教學(xué)一開始，應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容運(yùn)用直觀手段向?qū)W生提供豐富而典型的

感性材料，如采用實(shí)物、模型、掛圖，或進(jìn)行演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察，并結(jié)合實(shí)驗(yàn),

讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，以便讓學(xué)生接觸有關(guān)的對象，豐富自己的感性認(rèn)識。

如在一節(jié)教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義的課上，一位教師為了突破單位“1”這一教學(xué)難點(diǎn),

事先向?qū)W生提供了各種操作材料：一根繩子，4只蘋果圖，6只熊貓圖，一張長

方形紙，1米長的線段等，通過比較、歸納出：一個(gè)物體、-個(gè)計(jì)量單位、一個(gè)

整體都可以用單位“1”表示，從而突破理解單位“1”這一難點(diǎn)，為理解分?jǐn)?shù)的意

義奠定了基礎(chǔ)。

但概念引入時(shí)所提供的材料要注意三點(diǎn)：一是所選材料要確切。例如角的認(rèn)

識，小學(xué)里講的角是平面角，可以讓學(xué)生觀察黑板、書面等平面上的角。有的教

師讓學(xué)生觀察教室相鄰兩堵墻所夾的角，那是兩面角，對于小學(xué)教學(xué)要求來說，

就不確切了。二是所選材料要突出所授知識的本質(zhì)特征。例如直角三角形的本質(zhì)

特征是“有一個(gè)角是直角的三角形”，至于這個(gè)直角是三角形中的哪一個(gè)角，直

角三角形的大小、形狀，則是非本質(zhì)的。因此教學(xué)時(shí)應(yīng)出示不同的圖形，使學(xué)生

在不同的圖形中辨認(rèn)其不變的本質(zhì)屬性。

（2）概念的理解要注重正反例證的辨析，突出概念的本質(zhì)屬性

概念的理解是概念教學(xué)的中心環(huán)節(jié)，教師要采取一切手段幫助學(xué)生逐步理解

概念的內(nèi)涵和外延，以便讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握概念。促進(jìn)對概念理解的途

徑有：

1）剖析概念中關(guān)鍵詞語的真實(shí)含義

例如，分?jǐn)?shù)定義中的單位“1”、“平均分”、”表示這樣的一份或兒份的數(shù)”，

學(xué)生只有對這些關(guān)鍵詞語的真實(shí)含義弄清楚了，才會(huì)對分?jǐn)?shù)的概念有了深刻的理

解。再如教學(xué)“整除”概念之后應(yīng)幫助學(xué)生從以下三方面進(jìn)行判斷，一是判斷是

否具有“整除”關(guān)系的兩個(gè)數(shù)都必須是自然數(shù)；二是這兩個(gè)數(shù)相除所得的商是整

數(shù)；三是沒有余數(shù)。對定義的分析是幫助學(xué)生認(rèn)識概念的又一次提高。三角形的

高的定義:“從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對邊作一條垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段

叫做三角形的高，這條邊叫做三角形的底?！边@里的“一個(gè)頂點(diǎn)”、“垂線”、“垂

足”都是一些關(guān)鍵詞語。為了讓學(xué)生理解三角形的高，除了讓學(xué)生理解字而意思

外，往往還需要學(xué)生通過實(shí)際操作，體會(huì)畫“高”的全過程。指出畫“高”的關(guān)

鍵是畫垂線，并注意限制條件：“過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)（可以是任何一個(gè)頂點(diǎn)），

作到它對邊的垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段”。這樣把實(shí)際操作的過程和所畫的

三角形高的圖形與定義所敘述的內(nèi)容對照，使學(xué)生準(zhǔn)確地理解三角形的高的定

義。這實(shí)際上是在數(shù)學(xué)概念建立后，幫助學(xué)生對本質(zhì)屬性進(jìn)行剖析，既將本質(zhì)屬

性再次從定義中分離出來，加以明確。

2）辨析概念的肯定例證和否定例證

學(xué)生能背誦概念并不等于真正理解概念，還要通過實(shí)例突出概念的主要特

征，幫助他們加深對概念的理解。教師不僅要充分運(yùn)用肯定例證來幫助學(xué)生理解

概念的內(nèi)涵，同時(shí)要及時(shí)運(yùn)用否定例證來促進(jìn)學(xué)生對概念的辨析。在概念揭示后

往往要針對教學(xué)要求組織學(xué)生進(jìn)行一些練習(xí)，如教完三角形按角分類后，可以出

示：一個(gè)三角形不是直角三角形，并且有兩個(gè)角是銳角，這個(gè)三角形一定是銳角

三角形。讓學(xué)生進(jìn)行判斷，引起學(xué)生討論來鞏固三角形的分類，以深化對三角形

這一概念的外延的進(jìn)一步認(rèn)識。再如，小數(shù)的性質(zhì)揭示后，可以讓學(xué)生判斷0.40、

0.030、20.020、2.800、10.404、5.0000各數(shù)，哪些“0”可以去掉，哪些“0”不能

去掉?從而加深學(xué)生對小數(shù)性質(zhì)的理解。

3)變換本質(zhì)屬性的敘述或表達(dá)方式

小學(xué)生理解和掌握概念的特點(diǎn)之一往往是：對某一概念的內(nèi)涵不很清楚，也

不全面，把非本質(zhì)的特征作為本質(zhì)的特征。例如，有的學(xué)生誤認(rèn)為，只有水平放

置的長方形才叫長方形，如果斜著放就辨認(rèn)不出來。為此，往往需要變換概念的

敘述或表達(dá)方式，讓學(xué)生從各個(gè)側(cè)面來理解概念。旨在從變式中把握概念的本質(zhì)

屬性,排除非本質(zhì)屬性的干擾。因?yàn)槭挛锏谋举|(zhì)屬性可以運(yùn)用不同的語言來表達(dá),

如果學(xué)生對各種不同的敘述和表達(dá)都能理解和掌握，就說明學(xué)生對概念的理解是

透徹的，是靈活的，不是死記硬背的。

4)對近似的概念及時(shí)加以對比辨析

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，有些概念其含義接近，但本質(zhì)屬性又有區(qū)別。如數(shù)與數(shù)字，

數(shù)位與位數(shù)，奇數(shù)與質(zhì)數(shù)，偶數(shù)與合數(shù)，化簡比與求比值，時(shí)間與時(shí)刻，質(zhì)數(shù)、

質(zhì)因數(shù)與互質(zhì)數(shù)，周長與面積，等等。對這類概念，學(xué)生常常容易混淆，必須及

時(shí)把它們加以比較，以避免互相干擾。

如學(xué)習(xí)了“整除”，為了和以前學(xué)的“除盡”加以比較，可以設(shè)計(jì)這樣的練

習(xí)題：下列等式中，哪些是整除，哪些是除盡？

(1)84-2=4(2)48+8=6

(3)30+7=4.......2(4)8+5=1.6

(5)6+0.2=30(6)1.84-3=0.6

引導(dǎo)學(xué)生通過分析、比較，從而得出：第(3)題是有余數(shù)的除法，當(dāng)然不能

說被除數(shù)被除數(shù)整除或除盡，其他各題當(dāng)然能說被除數(shù)被除數(shù)除盡了。其中只有

第(1)、(2)題，被除數(shù)、除數(shù)和商都是自然數(shù)，而且沒有余數(shù)，這兩題既可以說

被除數(shù)被除數(shù)除盡，又能說被除數(shù)被除數(shù)整除。從上面的分析中，讓學(xué)生明白：

整除是除盡的一種特殊情況，除盡包括了整除和一切商是有限小數(shù)的情況。

學(xué)習(xí)了比之后，可以用列表法設(shè)計(jì)比與除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系的習(xí)題，從中

明確“除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，比是一個(gè)關(guān)系式”的區(qū)別。

（3）重視概念的運(yùn)用，發(fā)揮概念的作用

正確、靈活地運(yùn)用概念，就是要求學(xué)生能夠正確、靈活地運(yùn)用概念組成判斷,

進(jìn)行推理、計(jì)算、作圖等，能運(yùn)用概念分析和解決實(shí)際問題。理解概念的目的在

于運(yùn)用，運(yùn)用的途徑有：

1）自舉實(shí)例

這是要求學(xué)生把已經(jīng)初步獲得的概念簡單運(yùn)用于實(shí)際，通過實(shí)例來說明概

念，加深對概念的理解。有經(jīng)驗(yàn)的教師，根據(jù)小學(xué)生對概念的認(rèn)識通常帶有具體

性的特點(diǎn)，在學(xué)生通過分析、綜合、抽象、概括出概念后，總是讓他們自舉例證，

把概念具體化。從具體到抽象又回到具體，符合小學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，使學(xué)生更準(zhǔn)

確把握概念的內(nèi)涵和外延。

例如在學(xué)生初步獲得了真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的概念后，就可以讓學(xué)生分別舉一些

真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的實(shí)例；知道了圓柱的特征后，讓學(xué)生說說日常生活中有哪些物

品的形狀是圓柱形的。

2）運(yùn)用于計(jì)算、作圖等

例如，如學(xué)了乘法的運(yùn)算定律后，就可以讓學(xué)生簡便計(jì)算下面各題。

104X2548X25101X35X2

14X99+1425X32146+9X146

（80+8）X258X（125+50）34X5X2

在掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)后，就要求學(xué)生能熟練地進(jìn)行通分、約分，并說明通

分、約分的依據(jù)。學(xué)習(xí)了小數(shù)的性質(zhì)后，就可以讓學(xué)生把小數(shù)按要求進(jìn)行化簡或

改寫；學(xué)習(xí)了等腰三角形，可設(shè)計(jì)一組操作題；畫一個(gè)等腰三角形；畫一個(gè)頂角

60度的等腰三角形；畫一個(gè)腰長為2厘米的等腰直角三角形。

3）運(yùn)用于生活實(shí)踐

數(shù)學(xué)概念來源于生活，就必然要回到生活實(shí)際中去。教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用概念

去解決數(shù)學(xué)問題，是培養(yǎng)學(xué)生思維，發(fā)展各種數(shù)學(xué)能力的過程。并且，也只有讓

學(xué)生把所學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)概念，拿到生活實(shí)際中去運(yùn)用，才會(huì)使學(xué)到的概念鞏固下

來，進(jìn)而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用技能。為此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)根據(jù)教材內(nèi)

容和學(xué)生實(shí)際，在掌握小學(xué)數(shù)學(xué)教材邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，有意識地深化和發(fā)展學(xué)

生的數(shù)學(xué)概念。

例如在學(xué)習(xí)圓的面積后，一位教師就設(shè)計(jì)了這樣的問題：“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了

圓面積公式，誰能想辦法算一算，學(xué)校操場上白楊樹樹干的橫截面面積?”同學(xué)們

就討論開了，有的說，算圓面積一定要先知道半徑，只有把樹砍下來才能量出半

徑；有的不贊成這樣做，認(rèn)為樹一砍下來就會(huì)死掉。這時(shí)教師進(jìn)一步引導(dǎo)說：“那

么能不能想出不砍樹就能算出橫截面面積的辦法來呢?大家再討論一下?！睂W(xué)生們

渴望得到正確的答案，通過積極思考和爭論，終于找到了好辦法，即先量出樹干

的周長，再算出半徑，然后應(yīng)用面積公式算出大樹橫截面面積。課后許多學(xué)生還

到操場上實(shí)際測量了樹干的周長，算出了橫截面面積。再如，在教學(xué)正比例應(yīng)用

題時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用旗桿高度與影長的關(guān)系，巧妙地算出了旗桿的高度。這

樣通過創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情景，教師適時(shí)點(diǎn)撥，不但啟迪了學(xué)生的思維，而且培養(yǎng)

了學(xué)生學(xué)以致用的興趣和能力，也加深了對所學(xué)概念的理解。

（4）注重概念之間的比較分類，深化概念

小學(xué)數(shù)學(xué)知識的特點(diǎn)是系統(tǒng)性強(qiáng)，前后聯(lián)系密切，但是由于小學(xué)生思維發(fā)展

水平和接受能力的限制，有些知識的教學(xué)往往是分兒節(jié)課或兒個(gè)學(xué)期來完成，這

樣難免在不同程度上削弱知識間的聯(lián)系。對一些有聯(lián)系的概念或法則，在一定階

段應(yīng)進(jìn)行系統(tǒng)的整理，使學(xué)生在頭腦中建立起知識的網(wǎng)絡(luò)，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

尤其是中高年級，可以引導(dǎo)學(xué)生將概念進(jìn)行分類，明確概念間的聯(lián)系和區(qū)別，以

形成概念系統(tǒng)。

6.2.3概念教學(xué)片段舉例

（-）乘法的初步認(rèn)識教學(xué)片段

1.創(chuàng)設(shè)情景，出示課題

師：老師帶來了一些鉛筆準(zhǔn)備獎(jiǎng)給學(xué)習(xí)認(rèn)真的小朋友，如果每人2枝，獎(jiǎng)給

4位小朋友，一共要多少枝?怎樣列式?（板書：2+2+2+2=8）如果獎(jiǎng)給5位小朋友，

一共要多少枝?（板書：2+2+2+2+2=10）我們班46名同學(xué)學(xué)習(xí)都很認(rèn)真，每位小

朋友都獎(jiǎng)勵(lì)2枝，該怎么列式呢?教師一邊板書2+2+2+2……，一邊問：這樣要

寫多少個(gè)“2”?能不能有一種比較簡便的方法來表示呢?這就是今天要學(xué)習(xí)的乘法

（板書課題）。

2.直觀感知，形成表象

(1)教學(xué)乘號。

(2)學(xué)生擺紅花，寫算式。

師：在投影儀上先擺2朵，再擺2朵，最后再擺2朵。問：數(shù)一數(shù)，一共擺

了幾個(gè)2朵?(板書：3個(gè)2)可以用什么方法算?(板書：2+2+2=6)這個(gè)連加算式中

加數(shù)都是2,我們可以把它改寫成乘法算式，寫作：2X3=6,讀做：2乘3；也

可以寫作：3X2=6,讀做：3乘2。(教師示范，再指名讀、全班讀)

(3)學(xué)生擺小圓片，寫算式。

師：請小朋友自己擺一擺小圓片，再寫出算式，行嗎？

要求第一行擺3個(gè)小圓片，第二行也擺3個(gè)小圓片，一共擺了幾個(gè)小圓片一?

用加法算怎樣列式?能改寫成乘法算式嗎?(根據(jù)學(xué)生回答板書：

3+3=63X2=6或2X3=6

師：如果再擺兩行，那一共又有幾個(gè)3呢?算式該怎么列?(根據(jù)學(xué)生回答板

書：3+3+3+3=123X4=12或4X3=12

(4)看圖形，寫算式。

板書：4+4+4=12,4X3=12或3X4=12

5+5+5=15,5X3=15或3X5=15

3.分析比較，揭示本質(zhì)

(1)師：仔細(xì)觀察黑板上的這些加法算式和乘法算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？引導(dǎo)學(xué)

生得出：這些加法算式的加數(shù)都相同，所以能改寫成乘法算式。求兒個(gè)相同加數(shù)

的和，用乘法計(jì)算比較簡便。

(2)討論下列算式哪些能改寫成乘法算式，哪些不能?為什么？

2+2+33+3+3+35+56+6+6+7

4.多種訓(xùn)練，鞏固和深化新知

⑴看圖列式。

加法算式：乘法算式：

(2)根據(jù)算式，用學(xué)具擺一擺。

2X24X32X5

(3)把前面“導(dǎo)入”中的三道加法算式改寫成乘法算式。

(4)自己寫一個(gè)加法算式，然后改寫成乘法算式。

5.小結(jié)(略)

評析：這節(jié)概念課遵循了概念形成的規(guī)律，依據(jù)感知——表象——概念一

運(yùn)用這么一條途徑。概念的引入能緊緊抓住同數(shù)連加這一已有的知識基礎(chǔ)，又輔

以生動(dòng)形象的直觀教學(xué)手段，可謂雙管齊下。一開始就讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中初步

接觸“相同加數(shù)”，從計(jì)算全班學(xué)生的獎(jiǎng)品總數(shù)而激起學(xué)生學(xué)習(xí)“乘法”的欲望。

接著讓學(xué)生在操作實(shí)踐的過程中，各種感官協(xié)同活動(dòng)，在獲得大量感性材料的基

礎(chǔ)上，形成清晰而豐富的表象，為學(xué)生初步認(rèn)識''乘法”奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。新

課展開以后能及時(shí)對加法算式和乘法算式這些感性材料引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析比較，

抽象概括出本質(zhì)屬性?！扒髢簜€(gè)相同加數(shù)和，用乘法計(jì)算比較簡便”這一結(jié)論是

抽象概括的結(jié)果。教師通過第一層次由學(xué)生擺出了3個(gè)2朵小紅花，列出加法算

式2十2+2=6再引導(dǎo)學(xué)生看算式回答算式中的加數(shù)有什么特點(diǎn)?再讓學(xué)生用正方

形擺出4個(gè)3,用小圓片擺出5個(gè)4,分別列出加法算式，并觀察每個(gè)算式中加

數(shù)的特點(diǎn)。第二層次，教師由三道加法算式引出新的運(yùn)算——乘法，說明3個(gè)2

相加的和，4個(gè)3相加的和。5個(gè)4相加的和，可以用乘法計(jì)算。第三層次，通

過加法和乘法算式的比較，得出用乘法計(jì)算比較簡便。第四層次是抽象出乘法的

意義。在這個(gè)由具體到抽象的過程中，學(xué)生的抽象、概括能力得到了培養(yǎng)。為鞏

固新知設(shè)計(jì)的辨析題中既有肯定例證，也有否定例證，抓住了教學(xué)的難點(diǎn)，突出

了教學(xué)的重點(diǎn)，有利于學(xué)生真正理解乘法的意義，即乘法是求兒個(gè)相同加數(shù)和的

簡便運(yùn)算。最后寫出求46個(gè)學(xué)生的鉛筆總數(shù)的乘法算式，使學(xué)生已有的概念得

到了及時(shí)擴(kuò)展。整節(jié)課學(xué)生都主動(dòng)地投入了整個(gè)教學(xué)過程。

(二)面積單位及其進(jìn)率教學(xué)片段

1.感知1平方分米

(1)學(xué)生觀察：教師在黑板上貼的紙上畫一條1分米長的線段，以這條線段

為邊長，畫一個(gè)正方形。告訴學(xué)生，這個(gè)邊長1分米的正方形的面積是1平方分

米。接著教師用剪刀剪下這1平方分米的正方形紙，貼在黑板上。

(2)學(xué)生操作：剪出一個(gè)1平方分米的正方形，用手摸一摸，閉上眼睛想一想

1平方分米的樣子及大小。

2.感知1平方厘米

(1)師：誰能第一個(gè)剪出1平方厘米的正方形?學(xué)生動(dòng)手剪出了1平方厘米的

正方形后，要求他們說說是怎樣剪的。然后讓學(xué)生用手摸一摸，閉上眼睛想一想

1平方厘米的樣子及大小。

(2)把1平方分米的正方形紙和1平方厘米的正方形紙放在桌面上，看一看，

比一比，閉上眼睛想一想它們的樣子及大小。

3.感知1平方米

師：誰能告訴大家，怎樣剪出1平方米的正方形紙?學(xué)生說完，教師就把事

先剪好的1平方米的正方形紙貼在黑板上，讓學(xué)生看一看，閉上眼睛想一想它的

樣子和大小。

4.討論：什么叫1平方分米、1平方厘米、1平方米？

5.討論：1平方分米、1平方厘米及1平方米的關(guān)系。

(1)要求學(xué)生看著自己桌上的1平方分米和1平方厘米的正方形紙。想一想

怎樣才能測出1平方分米中有多少個(gè)1平方厘米?學(xué)生認(rèn)為動(dòng)手?jǐn)[一擺、畫一畫

就能測出來。開始學(xué)生把兩張正方形紙的一個(gè)頂點(diǎn)對齊，然后沿著1平方厘米的

正方形紙的邊沿把它所占的平面位置畫在了1平方分米的正方形紙上。再挪動(dòng)1

平方厘米的正方形紙，緊挨著畫好的小正方形擺好，再沿邊沿畫出它所占的位置。

再挪動(dòng)正方形……這樣畫了一排，再畫第二排，第二排沒有畫完，有的學(xué)生已經(jīng)

用尺子把1平方分米的正方形每邊平均分成了10份，把對邊上的兩點(diǎn)連結(jié)，畫

出格線，數(shù)一數(shù)，算一算，得出1平方分米=100平方厘米。

(2)提問：怎樣知道1平方米中有多少個(gè)1平方分米?如果沿1平方米的正方

形的邊長擺1平方分米的小正方形，一排能擺幾個(gè)?可以擺多少排?得出：

1平方米=100平方分米。

(3)想一想，算一算，1平方米等于多少平方厘米呢?學(xué)生很快就得出：

1平方米=10000平方厘米。

6.鞏固運(yùn)用

(1)舉例說說1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小。

(2)填上合適的單位名稱。(略)

評析：學(xué)生通過動(dòng)手操作，可以增加對所學(xué)知識的感性認(rèn)識，在操作中獲

得實(shí)物的表象，加深對所學(xué)知識的理解。這里的教學(xué)片段，教師正是出于這樣的

思考，讓學(xué)生通過自己動(dòng)手?jǐn)[一擺，畫一畫，想一想，算一算，真正理解了1

平方米、1平方分米、1平方厘米的意義及它們之間的進(jìn)率，并且印象深刻，記

憶持久。同時(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力。自始至終學(xué)生獲取知識的過程是主動(dòng)

積極的。

（三）質(zhì)數(shù)與合數(shù)教學(xué)片段

1.導(dǎo)入

師：同學(xué)們都有自己的學(xué)號，請把表示你學(xué)號的這個(gè)數(shù)的所有約數(shù)找出來。

（指名反饋，教師根據(jù)29號、2號、26號、16號同學(xué)的發(fā)言，逐一板書這些

數(shù)的約數(shù)。其余同學(xué)互相交流。）

2.分類整理，揭示概念

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察這些數(shù)（手指黑板），能不能把這些數(shù)分分類?同桌可

以互相議一議。

生甲：我把這些數(shù)分成兩類，一類是奇數(shù)，一類是偶數(shù)。奇數(shù)有21、7、29,

偶數(shù)有6、2、26和16o

生乙：我是按約數(shù)的個(gè)數(shù)來分的，7、29、2只有兩個(gè)約數(shù)分為一類，6、16、

21、26有兩個(gè)以上的約數(shù)分為一類。

生丙：我把6、7、2分為一類，這些數(shù)都是一位數(shù)，21、16、29、26分為

一類,這些數(shù)都是兩位數(shù)。

師：還有其他分法嗎?（學(xué)生表示沒有）這些分法都有道理。奇數(shù)、偶數(shù)我們

以前已經(jīng)認(rèn)識了，今天我們著重來研究按約數(shù)個(gè)數(shù)來分的情況。像這樣只有兩個(gè)

約數(shù)的數(shù)，叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)；有兩個(gè)以上約數(shù)的數(shù)叫做合數(shù)。

3.討論，建立概念

師：再請同學(xué)們仔細(xì)觀察一下：質(zhì)數(shù)有什么特點(diǎn)?合數(shù)有什么特點(diǎn)?有困難的

同學(xué)可以和周圍的同學(xué)商量一下。

生：質(zhì)數(shù)的約數(shù)只有1和它本身兩個(gè)，合數(shù)的約數(shù)除了1和它本身還有別的

約數(shù)。

師：有沒有不同意見?誰再來說一說?看看書上是怎么說的。

4.理解和鞏固概念

師：現(xiàn)在我們知道了什么是質(zhì)數(shù)，什么是合數(shù)，那么除了黑板上的這些數(shù),

你還能舉一些例子嗎?寫在本子上。

生：19、23、27、31、59、61是質(zhì)數(shù)，4、15、20、18、25、10、12、30

是合數(shù)。

師：還有嗎?還有這么多同學(xué)想說，可是黑板只有這么大，怎么辦？

生：用省略號表示。(板書)

師：這兒位同學(xué)舉出的這些數(shù)是不是質(zhì)數(shù)?指板書我們來判斷一下。

生：19、23是質(zhì)數(shù)，27不是質(zhì)數(shù)。

師：27為什么不是質(zhì)數(shù)？

生：因?yàn)?7除了1和它本身以外，還有別的約數(shù)3和9,所以是合數(shù)。(教

師調(diào)整板書)

師：這些都是合數(shù)嗎?(學(xué)生沒有意見)誰能說說12為什么是合數(shù)？

5.運(yùn)用概念

(1)教師從周圍環(huán)境中選取素材，讓學(xué)生進(jìn)行判斷練習(xí)，概括出判斷方法(略)。

(2)討論“1”，得出1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，因?yàn)樗挥幸粋€(gè)約數(shù)。

6.綜合練習(xí)

(1)找一找，黑板上的這些數(shù)中，哪些是奇數(shù)?哪些是偶數(shù)?你發(fā)現(xiàn)了什么?(一

些數(shù)既是奇數(shù)又是合數(shù)，如9、21等；一些數(shù)既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，如2)

師：既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的只有2,其他偶數(shù)有可能是質(zhì)數(shù)嗎?為什么？同桌互

相檢查一下，你找對了嗎？

(2)出示2?50的數(shù)，要求很快找出質(zhì)數(shù)。

反饋時(shí)要求介紹一下你有什么好方法。

(3)把下面各數(shù)寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。

6=()+()8=()+()

10=()+()12=()+()

師：這里的6、8、10、12都是什么數(shù)？

生：是合數(shù)，也都是偶數(shù)。

師：能不能把這些數(shù)寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和?學(xué)生在練習(xí)本上寫。

師：是不是所有不小于6的偶數(shù)都能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和?這是一種猜想，要

證明它可不容易，這就是世界有名的難題“哥德巴赫猜想”，有興趣的同學(xué)課后

可以去查閱有關(guān)資料。

評析：這是一節(jié)比較抽象的概念課，其最大的特點(diǎn)是教師能遵循學(xué)生概念學(xué)

習(xí)的特點(diǎn)展開整個(gè)教學(xué)過程。上課一開始就緊緊抓住“約數(shù)”這一已有的基礎(chǔ)知

識，讓學(xué)生找一找表示自己學(xué)號的數(shù)的約數(shù)，通過觀察、分類，揭示質(zhì)數(shù)、合數(shù)

的概念。再通過進(jìn)一步的觀察、討論，并用自己的語言來說一說什么是質(zhì)數(shù)、合

數(shù)，初步建立概念。在此基礎(chǔ)上，請全體學(xué)生舉例，進(jìn)行判斷，從而檢驗(yàn)并鞏固

了所學(xué)的概念。綜合練習(xí)的組織，在及時(shí)鞏固運(yùn)用新知識的同時(shí)，溝通了與舊知

識的聯(lián)系，讓學(xué)生明確了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)間的區(qū)別和聯(lián)系，使概念系統(tǒng)

化。

除此之外，這節(jié)課還有以下三個(gè)特點(diǎn)：一是教師能真心誠意地把學(xué)生當(dāng)做學(xué)

習(xí)的主體，課堂的主人，發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，讓每個(gè)學(xué)生都積極參與教學(xué)過程，在自

主探索中獲取新知，體驗(yàn)成功。二是注意就地取材，充實(shí)教學(xué)內(nèi)容，使抽象的教

學(xué)內(nèi)容變得生動(dòng)，貼近學(xué)生生活。三是能以知識學(xué)習(xí)為載體，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、

獨(dú)立思考的能力和敢于創(chuàng)新的精神，同時(shí)適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法。

§7.1小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)概述

7.1.1小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的主要內(nèi)容和特點(diǎn)

（-）小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的主要內(nèi)容

小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的主要內(nèi)容為法則、定律、公式等。

在小學(xué)數(shù)學(xué)的規(guī)則學(xué)習(xí)中，按規(guī)則水平分，主要有一級運(yùn)算規(guī)則（加減運(yùn)算）

的學(xué)習(xí)和二級運(yùn)算規(guī)則（乘除運(yùn)算）的學(xué)習(xí)，還有簡單的三級運(yùn)算規(guī)則（主要是

二次或三次乘方運(yùn)算）的學(xué)習(xí)；按涉及對象看，主要是整數(shù)和小數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)

則的學(xué)習(xí)和簡單的乘方運(yùn)算規(guī)則的學(xué)習(xí)，也包含簡單的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算規(guī)則的學(xué)

習(xí)；從運(yùn)算形式看，主要有口算、筆算和估算（有時(shí)也包括珠算）等學(xué)習(xí)；從學(xué)

習(xí)目標(biāo)看，主要有運(yùn)算的規(guī)則理解與掌握以及運(yùn)算技能和運(yùn)算策略的初步形成。

具體地看，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，運(yùn)算規(guī)則的學(xué)習(xí)主要有：（1）四則運(yùn)算（包括整

數(shù)和小數(shù)四則運(yùn)算，簡單的分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算等）；（2）性質(zhì)運(yùn)用（包括分?jǐn)?shù)、小數(shù)

的互化，解答簡易方程，分?jǐn)?shù)、小數(shù)化簡等）；（3）名數(shù)化聚；（4）四則運(yùn)用（包

括簡單兒何形體的面積、體積的求法，各種數(shù)學(xué)問題的解決等）。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的特點(diǎn)

小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則，既要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)密性、邏輯性的特點(diǎn)，又要符合兒童

的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，因而具有以下特點(diǎn)：

1、淡化嚴(yán)格證明，強(qiáng)化合情推理

按照數(shù)學(xué)科學(xué)的要求，數(shù)學(xué)規(guī)則的敘述必須嚴(yán)密、準(zhǔn)確，都要經(jīng)過嚴(yán)格的論證。但

受兒童智力發(fā)展水平利接受能力的限制，許多小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則并不進(jìn)行嚴(yán)格的證明。為了

讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性、邏輯性，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)規(guī)則是有根有據(jù)的，小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則

學(xué)習(xí)一般采用合情推理，用不完全歸納法或類比法導(dǎo)出。往往是先給出具體事例或已有

知識，讓學(xué)生經(jīng)過觀察、實(shí)驗(yàn)、探索，發(fā)現(xiàn)事物之間的關(guān)系或發(fā)展的規(guī)律性，經(jīng)過歸納、

猜測、驗(yàn)證過程，然后用簡練、準(zhǔn)確的語言表達(dá)出來，形成規(guī)則。

2、重要規(guī)則逐步深化

為適應(yīng)小學(xué)生認(rèn)知能力及認(rèn)知規(guī)律，小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要規(guī)則，采用先滲透，

再深化，逐步提高的分段編排方法。例如：加減法運(yùn)算法則分成20以內(nèi)的加減

法，100以內(nèi)的加減法，三位數(shù)、四位數(shù)的加減法三個(gè)階段進(jìn)行教學(xué)；加法、乘

法的運(yùn)算律采用先滲透，再使用，然后歸納成條文的編排方法。

3、有些規(guī)則不給結(jié)語

根據(jù)兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，有些規(guī)則不形成命題的形式，而是通過例題給出。這

樣的規(guī)則稱為“隱規(guī)則”?！半[規(guī)則”也是小學(xué)數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，要求學(xué)

生通過習(xí)題練習(xí)使用，并達(dá)到一定的熟練程度。如減法、除法的運(yùn)算性質(zhì)，教材

中未給出結(jié)語，但要求學(xué)生會(huì)利用它簡化運(yùn)算。

7.1.2各種不同的運(yùn)算規(guī)則