數(shù)學(xué)建模 足球比賽

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十組

第五

足球隊(duì)排名次的方法

摘要

本文探討了依據(jù)我國(guó)12支足球隊(duì)在1988-1989年全國(guó)足球甲級(jí)隊(duì)聯(lián)賽中的成績(jī)，給他們進(jìn)行排列名次的問題。根據(jù)全國(guó)足球甲級(jí)隊(duì)聯(lián)賽的比賽規(guī)則，符合要求的排名方法是多種多樣的，然而都希望實(shí)現(xiàn)盡量公允、盡量確切的排名策略。我們針對(duì)排名的問題，建立了從簡(jiǎn)單到繁雜，從粗糙到較為確切的三個(gè)模型，分別用了平均積分法、圖論的相關(guān)知識(shí)、比分矩陣法以及層次分析法。

模型一：依次計(jì)算出各個(gè)隊(duì)的總積分，依照國(guó)家足球甲級(jí)隊(duì)聯(lián)賽的規(guī)則，可知：獲勝加3分，平局各得一分，失敗就得零分，同時(shí)統(tǒng)計(jì)每一個(gè)隊(duì)進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)，對(duì)總積分/比賽的場(chǎng)數(shù)進(jìn)行排序，所得結(jié)果就可以近似的作為各隊(duì)的排名。

模型二：根據(jù)比賽的數(shù)據(jù)，建立了一個(gè)12?12的數(shù)字矩陣A?(aij)12?12，在合理的假設(shè)條件下，進(jìn)行分析，從而完善矩陣，用C++編程，輸入所得矩陣，求出哈密頓開路的路徑，再結(jié)合模型一的分析，對(duì)其排有名次。

模型三：用三分制計(jì)算對(duì)任意第i隊(duì)與第j隊(duì)（i不等于j）的得分比bij，其中bii=1，得到比分矩陣B?(bij)12?12,求出比分矩陣的最大特征值，并求出相應(yīng)的特征向量。比較分向量的大小，即可求出排名。

模型四：用層次分析法，把平均積分、凈球數(shù)和獲勝場(chǎng)數(shù)與參賽場(chǎng)數(shù)的比值作為準(zhǔn)則層的影響因素，根據(jù)它們的比重關(guān)系，構(gòu)造正互反矩陣(逆稱矩陣)，通過求最大特征值及其特征向量，從而求出排名。

四個(gè)模型的運(yùn)行結(jié)果如下的表所示：名次123456789101112模型模型一T7T3T1模型二T7T3T10模型三T7T3T1模型四T7T3T1T10T2T8T9T8T6T6T6T6T12T12T12T12T5T5T5T5T11T11T11T11T4T4T4T4T9T10T10T2T9T9T1T8T8T2T2四個(gè)模型都能推廣到任意N個(gè)隊(duì)的狀況，對(duì)于不同的模型，數(shù)據(jù)所要求具備的條件是不一樣的。

?0???1??0?0?01、A???1??1?0???????0?0??1??0?0??0A??1??1?0??1??0??0101000110100001000000001010111101111111110011000100110001000100000010101100011110001101000??????0???，得??(4,3,7,0,1,2,7,4,5,5,0,2)1????1?1??0?0??2、其次步：

0000000101001111011111111100111110111100011110001000000000000000101100111000100000000000101000111111011111??1?1??0?0???得??(8,7,22,0,0,1,20,11,11,12,0,1)1??1??1?1??0?0??3、從上述1、2我們還是沒有方法決定T4和T11、T6和T12的輸贏，由抽簽的原則，我們假設(shè)T4敗給了T11，T12敗給了T6，最終完善的矩陣：

?0?0?1?0?0?0A??1?1?0?1?0?0?1010001101000000000101001110111111111110011111011110001111000010000000000000001011001110001000000000001010001110111111011?1?1?0?0?1?1?1?1?1?0?0??4、從題目中的數(shù)據(jù)以及由模型一可得：T3和T7隊(duì)實(shí)力最強(qiáng)，而T4和T11的實(shí)力

5

相對(duì)最弱。

5、從程序的運(yùn)行結(jié)果中選擇以T3和T7開頭的哈密頓開路路徑，結(jié)果如下表所示。表格一：

表格二：

7777777777777777711288888889101010101010299112333310112333910102991129829911210889101029910398829983310339101011833988321321102122321821666666666666666661212121212121212121212121212121212555555555555555551111111111111111111111111111111111444444444444444443333333333377777777777112888910101010299112101128910102998299110889101019882821102128219666666666661212121212121212121212555555555551111111111111111111111444444444446、對(duì)數(shù)據(jù)分析：(1)、從以上兩個(gè)表格得出，T6、T12、T5、T11、T4一定為最

后五名；

(2)、由于T3和T7隊(duì)實(shí)力最強(qiáng)，所以我們參照表格一的結(jié)果，同時(shí)，之所以表格一中T3在T7之前，只是由于題目中的數(shù)據(jù)

6

中，T3與T7比賽時(shí)，前者獲勝了，而綜合題目中的數(shù)據(jù)及模型一，后者的實(shí)力更強(qiáng)一些，所以后者為冠軍，前者為亞軍。(3)、對(duì)T1、T2、T8、T9、T10進(jìn)行排名：結(jié)合向量?與?對(duì)他們排名得T10—T9—T8—T2—T1

7、模型二最終排名：T7—T3—T10—T9—T8—T2—T1—T6—T12—T5—T11—T4模型三：得分矩陣

1、比分矩陣：

?1.0000?0.7823??1.0059??0.2647?0.4967??0.6706B??1.2820??0.7232?0.7561??0.7889??0.3105??0.62091.27820.99423.77772.01321.49130.78001.38281.32271.26753.22081.61061.00000.77782.95551.57501.16670.61031.08181.03480.99162.51981.26001.28571.00003.79992.02501.50000.78461.39091.33051.27503.23971.62000.33840.26321.00000.53290.39480.20650.36600.35010.33550.85260.42630.63490.49381.87651.00000.74080.38750.68690.65690.62961.59990.80000.85710.66672.53321.35001.00000.52310.92730.88690.85002.15981.08001.63861.27454.84292.58081.91171.00001.77271.69541.62494.12902.06470.92440.71892.73191.45581.07840.56411.00000.95640.91662.32921.16470.96650.75172.85641.52221.12760.58981.04561.00000.95842.43541.21781.00840.78432.98041.58831.17650.61541.09101.04341.00002.54101.27060.39690.30871.17290.62500.46300.24220.42930.41060.39351.00000.50000.79360.61732.34561.25000.92590.48430.85860.82120.78701.99981.0000???????????????????

2、我們用matlab軟件可以求出B的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，可

以得到矩陣B的最大特征值為12.0000，其對(duì)應(yīng)的特征向量為：

?0.3718

0.29090.37400.09840.18470.24930.47670.26890.28120.29330.11540.2309?T3、所以我們得出各參賽隊(duì)的排名結(jié)果為：T7—T3—T1—T10—T2—T9—T8—

T6—T12—T5—T11—T4

模型四：層次分析

1、我們根據(jù)題目可以得出各參賽隊(duì)的平均分，凈球數(shù)，參賽隊(duì)贏的場(chǎng)數(shù)與

該對(duì)比賽的場(chǎng)數(shù)之比。

參賽隊(duì)平均分凈勝球贏的場(chǎng)數(shù)與該對(duì)比賽的場(chǎng)數(shù)之比T11.7895810/19T21.400021/3T31.800088/15T40.4737-201/19T50.8889-52/9T61.2000-42/5

7

T7T8T9T10T11T122.29411.29411.35291.41180.55561.1111252-6-2-7-33122??1/2?1??13/176/177/176/171/92/9?11/33、我們可以寫出矩陣C:C?????1/24、在matlab軟件中，可以求出C的最大特征值為?max=3.0092，特征值?max?0.84680.2565對(duì)應(yīng)的特征向量為????0.4660??0.5396??0.1634，將其歸一化得向量??????0.2970??，???5、我們看出平均分占的比重比較大，所以，當(dāng)我們給參賽隊(duì)進(jìn)行排名的時(shí)

候，我們首先考慮平均分，當(dāng)平均分差不多的時(shí)候，我們?cè)儆?jì)較贏的場(chǎng)

數(shù)與該對(duì)比賽的場(chǎng)數(shù)之比。因此，我們得出各參賽隊(duì)的排名為：T7—T3—T1—T10—T2—T9—T8—T6—T12—T5—T11—T4

五、模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析

模型一：優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單，操作便利

缺點(diǎn)：有其不可改變的不合理性：在計(jì)算比賽得分時(shí)沒有考慮對(duì)手

的強(qiáng)弱。譬如，強(qiáng)隊(duì)勝強(qiáng)隊(duì)得3分，強(qiáng)隊(duì)勝弱隊(duì)同樣得3分，顯然有一定的不合理性。

模型二：優(yōu)點(diǎn)：從運(yùn)行結(jié)果中，短時(shí)間內(nèi)可以分辯出每一隊(duì)大約的實(shí)力范圍，

將他們分出層次來；

缺點(diǎn)：有程序產(chǎn)生的哈密頓開路路徑比較多，還要一一的對(duì)他們分

析，造成較大的時(shí)間繁雜度，同時(shí)也會(huì)有很大的不合理性，由于哈密頓開路單單依靠是否有一場(chǎng)比賽使得一方擊敗另一方，而忽略了整體數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)果的影響。

模型三：優(yōu)點(diǎn)：能夠比較綜合全面的比較各個(gè)分隊(duì)的實(shí)力水平；模型四：優(yōu)點(diǎn)：考慮了多個(gè)因素對(duì)結(jié)果的影響；缺點(diǎn)：模型中存在人為的主觀因素

六、模型檢驗(yàn)

我們采用計(jì)算機(jī)模擬的方法來進(jìn)行模型檢驗(yàn)。具體方法如下：設(shè)有n個(gè)隊(duì)參與比賽，采用隨機(jī)函數(shù)在[0,1]區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生n個(gè)數(shù)，分別記為Mi，表示這n個(gè)球隊(duì)的總體實(shí)力水平，將這n個(gè)數(shù)俺從大到小的順序排列即得到這n各隊(duì)的的排名。

8

根據(jù)產(chǎn)生的n個(gè)數(shù)可產(chǎn)生一組比賽數(shù)據(jù)，對(duì)任意的Ti和Tj，先用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生他們之間的比賽場(chǎng)數(shù)bij(取值為0，1，2，3中的一個(gè))，還有要注意比賽場(chǎng)數(shù)的選取要保證圖的連通性，即對(duì)任意Ti都必需至少和其他球隊(duì)有一場(chǎng)比賽。然后，產(chǎn)生比賽數(shù)據(jù)，不妨設(shè)Ti強(qiáng)于Tj，我們通過查閱資料得到一場(chǎng)比賽中的結(jié)果的概率經(jīng)驗(yàn)公式：?4?

P{Ti獲勝}?0.3?0.7Mi?MP{Tj獲勝}?0.3?0.3Mi?Mj

Mi-MjjP{平局}?1-P{Ti勝}-P{Tj勝}?0.4-0.4

以上三式概率分別記為P1、P2、P3。

根據(jù)以上概率算式以可將[0,1]區(qū)間按上述概率大小分別分成三段用來計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬比賽結(jié)果。最終我們來模擬沒遺產(chǎn)比賽的比分，設(shè)Ti與Tj的第q場(chǎng)比賽的比分為a：b，則

1)Ti獲勝，即隨機(jī)數(shù)X落在[0，P1]內(nèi)時(shí)

b?rand()%3,a?b?1