高數(shù)課件第九章0906簡化

1第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式一、一個方程的情形確定函數(shù),求確定二元隱函數(shù)求復習2二、方程組的情形求設確定了隱函數(shù):問題：3設求

提示:例84第六節(jié)微分法的幾何應用一、一元向量值函數(shù)及其導數(shù)引例:

已知空間曲線的參數(shù)方程:記或記成則的方程就成為向量方程：此方程確定了一個映射：此映射將每一個映成一個向量故稱此映射為一元向量

值函數(shù).一般地，有5為一元向量值函數(shù)（簡稱向量值函數(shù)）,記為定義域自變量因變量定義:

給定數(shù)集D

R,稱映射注意⑴相應地，稱普通的實值函數(shù)為數(shù)量函數(shù)。對上的動點M,即是的終點M

的軌跡,此軌跡稱為向量值函數(shù)的終端曲線

.⑵在中，顯然，6討論向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導數(shù).嚴格定義見P93-4⑶以n

=3的情形為例在中，設的三個分量函數(shù)依次為：則向量值函數(shù)可表示為：或它的極限、連續(xù)和導數(shù)等概念類似于數(shù)量函數(shù)，簡述如下：7極限：連續(xù)：導數(shù)：8在R3中,設的終端曲線為,表示終端曲線在t0處的切向量,其指向與t的增長方向一致.,則設向量值函數(shù)導數(shù)的幾何意義:9由此，若空間曲線的參數(shù)方程:在曲線上點（對應的參數(shù)）處的切向量則為：特別地，若平面曲線L的參數(shù)方程:在曲線上點（對應的參數(shù)）處的切向量則為：10二、空間曲線的切線與法平面設空間曲線的參數(shù)方程為:1.在點M0

的切向量為：因此，曲線在處的切線方程為:過點與其切線垂直的平面，在的法平面.法平面方程為:稱為曲線則11例4

求曲線在點的切線及法平面方程.因為點對應參數(shù)切向量切線方程為:法平面方程為:即:解所以12若空間曲線的方程為:可視為:所以曲線在點處的切線方程為:法平面方程為:曲線的切向量為:2.13例5

求曲線處的切線方程和法平面方程.解取

x

為參數(shù)，的參數(shù)方程為：點對應參數(shù)所以切向量切線方程為：法平面方程為：即則曲線14若空間曲線的方程為:點在該曲線上.確定隱函數(shù):由方程組求出曲線在點處的切向量為:切線方程為:法平面方程為:3.15例6

求曲線在點的切線及法平面方程.方程兩邊對x

求導，得:即所以切線方程為:即法平面方程為:即故解16二、空間曲面的切平面與法線1.

設曲面的方程為:為曲面上一點,xyzo在曲面上過點任作一曲線設其方程為:曲面上，的所有曲線在點稱該平面為曲面在點處的切平面.可以證明：過點處的切線共面。17事實上,曲線在點的切向量為:xyzo即取則有即兩向量垂直.18向量為切平面的法向量.切平面方程為:過點并與其切平面垂直的直線稱為曲面在點的法線.法線方程為:這說明過點的所有曲線在點處的切線都垂直于曲面上過點的所有曲線在處的切線都在同一平面上。即19例7求曲面在點處的切平面及法線方程.設點處，故，所求切平面方程為:即法線方程為:即解課本9-6：8202.

若曲面方程由顯函數(shù)形式給出:則令在點處切平面的法向量為:切平面方程為:法線方程為:21若曲面在點處切平面的一個法向量為:則其向上的法向量（即向量與z軸的夾角為銳角）為假設用表示曲面向上的法向量的方向角，則該法向量的方向余弦為(第二類曲面積分用到)22例8

求旋轉拋物面在點處的切平面及法線方程.解令在點處，所求切平面方程為：法線方程為:另解點處切平面的法向量為:切平面方程為:法線方程為:法向量23例9

求橢球面上平行于平面的切平面方程.已知平面的法向量為：由已知條件知：且解得曲面上切點坐標為：所求切平面方程為：解設則課本9-6：10

24例10

在曲面上求一點，使這點處的法線垂直于平面并寫出這法線的方程.解已知平面的法向量為：設曲面上的點設則所以因為所以，有課本總習題九：14得滿足要求，處法線的方向向量為上的點25所以所求點為故而該點處法線方程為：此時證則所以曲面上一點處的法向量為課本9-6：12

試證曲面上任何點處的切平面在各坐標軸上的截距之和等于例1126它在軸上的截距分別為:即該點處切