特征值問題和特征向量

特征值問題和特征向量第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日

本章介紹矩陣的特征值、特征向量以及矩陣的對角化問題。

2第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第一節(jié)矩陣的特征值與特征向量定義一、特征值與特征向量的基本概念例如，3第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日一個特征向量只能屬于一個特征值，證明如下：說明1、特征值問題是針對方陣而言的；2、特征向量必須是非零向量；3、特征向量既依賴于矩陣A，又依賴于特征值

?4第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日二、特征值與特征向量的求法即要求齊次線性方程組有非零解，即方程的根就是矩陣A的特征值，相應非零解即為特征向量。記稱為矩陣A的特征多項式，

5第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日稱為矩陣A的特征多項式，

為矩陣A的特征方程。特征方程的根，即為矩陣A的特征值。記6第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日計算矩陣特征值和特征向量的一般步驟如下：7第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日例1設求A的特征值與特征向量。解所以A的特征值為

8第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日相應齊次線性方程組的基礎解系為9第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日相應齊次線性方程組的基礎解系為10第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日相應齊次線性方程組的基礎解系為11第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日例2解所以A的特征值為

設求A的特征值與特征向量。12第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日相應齊次線性方程組的基礎解系為13第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日相應齊次線性方程組的基礎解系為14第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日對角陣、上三角陣、下三角陣，它們的特征值即為主對角元。

15第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日三、特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1證(2)可推廣到多個特征向量.16第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日屬于各個特征值的線性無關的向量合在一起仍線性無關。

性質(zhì)2屬于不同特征值的特征向量線性無關。證略。推廣17第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日性質(zhì)3證從而有相同的特征值.注意:18第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日性質(zhì)4證(2)重復這個過程,可得19第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日性質(zhì)4證(3)20第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日例3多項式證略例如,矩陣A的有一個特征值為2,則

有一個特征值7.例4證冪等矩陣21第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日例5解由性質(zhì)4,

22第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日四、特征多項式的性質(zhì)中出現(xiàn),故有而常數(shù)項等于所以23第23頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日比較系數(shù)得性質(zhì)5推論方陣A可逆的充分必要條件是