現(xiàn)代控制理論第二章

現(xiàn)代控制理論第二章第1頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日

狀態(tài)空間分析法是現(xiàn)代控制理論的主要分析方法，其直接將系統(tǒng)的微分方程或差分方程化為描述系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)關(guān)系的動態(tài)數(shù)學(xué)模型——狀態(tài)方程，運用矩陣方法求解狀態(tài)方程，直接確定其動態(tài)響應(yīng)，研究系統(tǒng)狀態(tài)方程的解法及分析解的性質(zhì)是現(xiàn)代控制理論的主要任務(wù)之一。

本章重點:

討論狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義、性質(zhì)和計算方法，并在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出狀態(tài)方程的求解公式。

第2頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日2.1齊次狀態(tài)方程的解1、線性定常系統(tǒng)的運動1）自由運動：線性定常系統(tǒng)在沒有控制作用，即u＝0時，由初始狀態(tài)引起的運動稱自由運動。齊次狀態(tài)方程的解：2）強迫運動：線性定常系統(tǒng)在控制u作用下的運動，稱為強迫運動。非齊次狀態(tài)方程的解：第3頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日2、齊次狀態(tài)方程的解：指數(shù)函數(shù)一階標量微分方程已知狀態(tài)方程求第4頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日仿照標量微分方程：向量代入微分方程：對求導(dǎo)：兩式相等必有：第5頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日仿照標量微分方程：向量代入第6頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日矩陣指數(shù)函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣描述了狀態(tài)向量由初始狀態(tài)向任意時刻狀態(tài)轉(zhuǎn)移的內(nèi)在特性。第7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足初始狀態(tài)的解是：滿足初始狀態(tài)的解是：線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程：已知：令：則有：1、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的含義線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第8頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日說明1：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必須滿足以下兩個條件：1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣初始條件：2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足狀態(tài)方程本身：說明2：對于線性定常系統(tǒng)來說，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是矩陣指數(shù)函數(shù)本身。說明3：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的物理意義：從時間角度看，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣使狀態(tài)向量隨著時間的推移不斷地作坐標變換，不斷地在狀態(tài)空間中作轉(zhuǎn)移，故稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第9頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)證明：推論：狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有可逆性第10頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日證明：

轉(zhuǎn)移至的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為證明：狀態(tài)轉(zhuǎn)移可以分段進行！第11頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例：已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，求解：性質(zhì)4

性質(zhì)2第12頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日證明：證明：第13頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日證明：非奇異線性變換

非奇異矩陣另一組狀態(tài)變量新的系統(tǒng)矩陣新的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第14頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日3、幾個特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)（1）設(shè)，即A為對角陣且具有互異元素時，有第15頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日（2）若A能通過非奇異變換為對角陣時，即第16頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日則有

（3）設(shè)A為約旦陣，即第17頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日4、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算

直接求解法：根據(jù)定義

標準型法求解：對角線標準型和約當標準型

拉氏反變換法第18頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日求出的解不是解析形式，適合于計算機求解。1）根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義求解：對所有有限的t值來說，這個無窮級數(shù)都是收斂的。第19頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例：求解系統(tǒng)狀態(tài)方程解：第20頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日2）標準型法求解：思路：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)：對A進行非奇異線性變換，得到：得到：有二種標準形式：對角線矩陣、約旦矩陣第21頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日其中：P為使A化為對角線標準型的非奇異變換矩陣。（1）當A的特征值為兩兩相異時：對角線標準型求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的步驟：

1）先求得A陣的特征值。

2）求對應(yīng)于的特征向量，并得到P陣及P的逆陣。

3）代入上式即可得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的值。第22頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日如果A為友矩陣，且有個互異實特征值第23頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日解:1)特征值例：已知矩陣試計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第24頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日2)計算特征向量：

3)構(gòu)造變換陣P：第25頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日

則有：第26頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日（2）當A具有n重特征根：約旦標準型

其中：P為使A化為約當標準型的非奇異變換矩陣。求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的步驟：此時的步驟和對角線標準型情況相同：求特征值、特征向量和變換陣P。需要說明的是：對于所有重特征值，構(gòu)造約當塊，并和非重特征值一起構(gòu)成約當矩陣。根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)，求得。第27頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例已知矩陣試計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解:1)特征值第28頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日2)計算特征向量和廣義特征向量。第29頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日得：3)計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：第30頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日第31頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日3）用拉氏變換法求解：齊次狀態(tài)方程：初始狀態(tài)為：兩邊取拉氏變換得：整理得：拉氏反變換得：兩種方法的關(guān)系？第32頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日兩種方法的關(guān)系？狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第33頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例用拉氏反變換法計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：解：第34頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日則有：第35頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例：求以下矩陣A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[解]：

1）直接算法（略）第36頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日2）用拉氏變換法求解：第37頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日第38頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日3）用標準型法求解：得：，具有互異特征根，用對角線標準型法。且A為友矩陣先求特征值：第39頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日第40頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日2.3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解求一、積分法零初態(tài)響應(yīng)第41頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日初始時刻非零：第42頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日二、拉氏變換法拉氏反變換取拉氏變換第43頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日拉氏變換卷積定理第44頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例：已知系統(tǒng)狀態(tài)方程中試求解該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：積分法第45頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日第46頁，共5