高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

題目第六章不等式算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)高考要求1了解算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的意義，掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)的定理及其逆定理2能運(yùn)用定理解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題3在用均值定理解決實(shí)際問題時,要理解題意,設(shè)變量時要把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù),建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值知識點(diǎn)歸納1．常用的基本不等式和重要的不等式（1）當(dāng)且僅當(dāng)（2）（3），則（4）2最值定理:設(shè)（1）如積（2）如積即:積定和最小，和定積最大運(yùn)用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等3均值不等式:兩個正數(shù)的均值不等式：三個正數(shù)的均值不等是：n個正數(shù)的均值不等式：4四種均值的關(guān)系：兩個正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系是不等式這部分知識，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用．因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，這對同學(xué)們將所學(xué)數(shù)學(xué)各部分知識融會貫通，起到了很好的促進(jìn)作用．在解決問題時，要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明．不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學(xué)數(shù)學(xué)之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明題型講解例1設(shè)a>0，b>0則下列不等式中不成立的是（）A．a(chǎn)+b+≥2B(a+b)(+)≥4C≥a+bD≥解法一：由于是選擇題，可用特值法，如取a=4,b=1,代入各選項(xiàng)中的不等式，易判斷≥不成立解法二：可逐項(xiàng)使用均值不等式判斷A．a(chǎn)+b+≥2+≥2=2，不等式成立B∵a+b≥2>0,+≥2>0,相乘得:(a+b)(+)≥4成立C∵a2+b2=(a+b)2－2ab≥(a+b)2－2()2=()2又≤≥∴≥a+b成立D∵a+b≥2≤,∴≤=,即≥不成立故選D例2今有一臺壞天平,兩臂長不等,其余均精確,有人說要用它稱物體的重量,只需將物體放在左右托盤各稱一次,則兩次稱量結(jié)果的和的一半就是物體的真實(shí)重量,這種說法對嗎?并說明你的結(jié)論解:不對設(shè)左、右臂長分別是,物體放在左、右托盤稱得重量分別為真實(shí)重量為為G，則由杠桿平衡原理有：，①×②得G2=,∴G=由于，故,由平均值不等式>知說法不對真實(shí)重量是兩次稱量結(jié)果的幾何平均值點(diǎn)評:本小題平均值不等,杠桿平衡原理知識、數(shù)學(xué)化能力及分析問題、解決問題的能力，屬跨學(xué)科（數(shù)學(xué)、物理）的創(chuàng)新問題例3設(shè)x≥0,y≥0,x2+=1,則的最大值為＿＿分析:∵x2+=1是常數(shù),∴x2與的積可能有最大值∴可把x放到根號里面去考慮,注意到x2與1+y2的積,應(yīng)處理成2x2·解法一:∵x≥0,y≥0,x2+=1∴==≤==當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=(即x2=)時,取得最大值解法二:令(0≤≤)則=cos=≤=當(dāng)=,即=時,x=,y=時，取得最大值例4若a>b>0,求的最小值分析:的結(jié)構(gòu)不對稱,關(guān)鍵是的分母(a—b)b,而(a—b)+b=a,故問題突破口已顯然!也可以逐步進(jìn)行：先對b求最小值，然后在對a求最小值解法一:=[(a—b)+b]2+≥[2]2+=4(a—b)b+≥16當(dāng)且僅當(dāng)b=(a—b)且(a—b)b=2,即a=2b=2時取等號,故的最小值為16解法二:=當(dāng)且僅當(dāng)b=(a—b)且,即a=2b=2時取等號,故的最小值為16點(diǎn)評:在運(yùn)用均值不等式求最值時,湊出定值是關(guān)鍵!但在定值的過程中,不一定就能湊出定值來,實(shí)際上,分幾步湊也是可以的,只要每步取等號的條件相同便可例5若x>0,y>0,x+y=1,求證:(1+)(1+)≥9分析:x+y常數(shù),xy可有最大值證法一:左邊＝(1+)(1+)=1+++=1++=1+≥1+=9＝右邊(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時取“=”號)證法二：令x=y=,0<<左邊＝(1+)(1+)=(1+)(1+)=1+++·=1+=1+≥1+8=9＝右邊0<2<=時，x=y=時取等號證法三：∵x+y=1∴左邊＝(1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)(2+)=5+2(+)≥5+4=9＝右邊(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時取“=”號)小結(jié)：1平均值定理是證明不等式的重要依據(jù)，其一般形式是：a1a2a3```+an≥(a1a2a3```an均為正實(shí)數(shù))，它的一邊是“和”的形式，另一邊是“積”的形式，要實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化時，常用均值不等式用它來求函數(shù)最值時，注意：一“正”二“定2運(yùn)用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2≥2ab逆用ab≤;≥(a,b>0)逆用為ab≤()2（a,b>0）等還要注意“添拆項(xiàng)”技巧和公式等號成立的條件等3在用均值定理解決實(shí)際問題時,要理解題意,設(shè)變量時要把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù),建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值學(xué)生練習(xí)1設(shè)a、b≥0,a＋b=1,試比較大小：2(填“≥”,“≤”或“=”)答案：≤2比較大?。喝鬭>b>0,則(填“>”,“<”或“=”)答案：>2若x,y∈R+,且x＋y=s,xy=p,則下列命題中正確的是（）A當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，s有最小值2B當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，p有最大值C當(dāng)且僅當(dāng)p為定值時，s有最小值2D若s為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，p有最大值答案：D4若x,y∈R+,x＋y≤4,則下列不等式中成立的是（）A≤B＋≥1C≥2D≥1答案：B提示：＋≥2≥2≥15下列說法中不正確的是（）A由a、b∈R，可得a2＋b2≥2ab≥－(a2＋b2)B對于命題“a、b∈R+≥”,把條件改為a、b均為非負(fù)數(shù)后依然成立C若a>b>0,n∈Z,n>1,則a>bD若a、b、c∈R+，則答案：D提示：≤=6下列不等式中恒成立的是（）Actgθ＋tgθ≥2Bx＋－1≥2C≥2Dxyz≤(x＋y＋z=1)答案：B7當(dāng)x∈R+時可得到不等式x＋≥2,x＋=＋＋≥3,由此可以推廣為x＋≥n＋1,取值p等于（）AnnBn2CnDn答案：A提示：x＋＝＋＋……＋＋≥n＋1，∴p=nn8x、y>0,x＋y=1,且≤a恒成立,則a的最小值為（）A/2B2C2D答案：D提示：≤2=9在區(qū)間(0,+∞)上，當(dāng)x=時，函數(shù)y=＋3x有最小值答案：2；9提示：y=＋3x≥3=9,10函數(shù)y=m2＋的值域?yàn)榇鸢福篬1,+∞)提示：y=m2＋=y=(m2＋1)＋－1≥211已知x、y、z≥0,且x＋y＋z=1,則的最大值為；最小值為答案：；112已知：a＋b＋c=1,a2＋b2＋c2=1,且a>b>c,則a＋b的取值范圍是；a2＋b2的取值范圍是答案：(1,)；(,1)13若a>1,b>1,c>1,ab=10，求證：logac＋logbc≥4lgc,并指出什么時候等號成立答案：a=b=時等號成立提示：a>1,b>1,c>1,ab=10,logac＋logbc=lgc·≥lgc·=4lgc,當(dāng)lga=lgb時,即a=b=時等號成立14若a>0,b>0，且=1,求證：(I)a＋b≥4;(II)對于一切n∈N,(a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1成立提示：(I)=1,a＋b=()(a＋b)=1＋＋＋1≥4,(II)當(dāng)n=1時,左式＝0，右式＝0，∴n=1時成立，假設(shè)n=k時成立，即(