中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題五最值問題

最值問題試試看：與最值有關(guān)的知識(shí)與題目能想起多少？說明：最值問題是指最大最小、最多最少、最長(zhǎng)最短問題，讓我們翻開記憶，按最值問題在課本出現(xiàn)的順序搜索一下：（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）垂線段最短；（3）不等式的最大（?。┙?；（4）二次整式最值；（5）線段和最小差最大；（6）勾股對(duì)稱最短路徑；（7）一次函數(shù)最優(yōu)方案；（8）二次函數(shù)的最值；（9）圓中最長(zhǎng)弦是直徑；（10）圓的最近（遠(yuǎn)）距離－－－以上所列，有的是同一問題、有的是具有包含關(guān)系（如“二次函數(shù)最值”包含了“二次整式最值”）、有的很少出現(xiàn)，為了簡(jiǎn)捷實(shí)用，提升能力、直面中考，通過整理，就以下幾個(gè)問題展開研究：（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）垂線段最短（3）圓中最長(zhǎng)弦是直徑；（4）兩正數(shù)和的最小值（5）不等式一次函數(shù)最優(yōu)方案；（6）二次函數(shù)最值；（7）幾何最值探究一、兩點(diǎn)之間線段最短（一）線段和（PA＋PB）最?。骸皟牲c(diǎn)之間線段最短”與軸對(duì)稱結(jié)合.【通法】求“直線上一點(diǎn)到這條直線同側(cè)兩點(diǎn)的距離和最小”；作其中一點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的線段長(zhǎng)即為該最小距離，該線段與這條直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn).例6－1－1幾何模型（1）如圖6－1－1①，點(diǎn)A、B位于直線m異側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P，使AP＋BP的值最小.你的根據(jù)是.AABmABm圖6－1－1①

圖6－1－1②

（2）如圖6－1－1②，點(diǎn)A、B位于直線m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P，使AP＋BP的值最小.你的根據(jù)是：A：.B：.模型應(yīng)用：（3）如圖6－1－1③，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，則PE＋PB的最小值為.AABCDPEABCDPMNACBDEP圖6－1－1③

圖6－1－1④

圖6－1－1⑤

（4）如圖6－1－1④，已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別為6和8，M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM＋PN的最小值＝.（5）如圖6－1－1⑤，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，CD＝，將△ABC沿直線AD翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)P是直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則△PEB的周長(zhǎng)的最小值是.【規(guī)律】題目背景不對(duì)，但解決問題方法一樣，都是作對(duì)稱點(diǎn)、連線段、求最值.體驗(yàn)與感悟6－1－11.（1）如圖6－1－2①，在等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使PB＋PE的值最小，最小值為.（2）如圖6－1－2②，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PC的最小值是；BBCADEPAOBCDABCEP圖6－1－2①

圖6－1－2②

圖6－1－2③

（3）如圖6－1－2③，點(diǎn)D、E分別是△ABC的AC、AB邊的中點(diǎn)，BC＝6，BC邊上的高為4，P在BC邊上，則△PDE周長(zhǎng)的最小值為.2.（1）如圖6－1－3①，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PC的最小值為.（2）如圖6－1－3②，菱形ABCD中AB＝2，∠A＝120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK＋QK的最小值為.AADCBKPQxPBCAOyACDBMN圖6－1－3①

圖6－1－3②

圖6－1－3③

（3）如圖6－1－3③，銳角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，AD平分∠BAC，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是.3.（1）如圖6－1－4①，∠AOB＝45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO＝10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，則△PQR周長(zhǎng)的最小值是.（2）如圖6－1－4②，點(diǎn)A（a，1）、B（－1，b）都在雙曲線y＝(x<0)上，點(diǎn)P、Q分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形PABQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，PQ在直線的解析式是（）.＝x＝x＋1＝x＋2＝x＋3BBAABOPRQAPQOByxab圖6－1－4①

圖6－1－4②

圖6－1－5

4.如圖6－1－5已知，直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB＝2，試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MN⊥a且AM＋MN＋NB的長(zhǎng)度和最短，則此時(shí)AM＋NB＝（）（二）“小蟲爬行問題”【通法】見“小蟲爬行問題”作展開圖構(gòu)造Rt△，再用勾股定理求之.例6－1－2（1）如圖6－1－6①，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為AC＝2cm，寬BC＝1cm，高AA′＝4cm，一只螞蟻沿長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B′點(diǎn)的最短路徑是多少？【規(guī)律】“小小相加湊一邊時(shí)路徑最短.”ABABCDA′B′C′D′圖6－1－6①

A′C′螞蟻

蜜蜂

圖6－1－6圖6－1－6②

（2）如圖6－1－6②，圓柱形杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為多少cm?【規(guī)律】“一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)外要用軸對(duì)稱.”體驗(yàn)與感悟6－1－21.（1）如圖6－1－7①，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為15、10、20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，最短距離是（）＋5圖6－1－7②

圖6－1－7圖6－1－7②

圖6－1－7③

圖6－1－7④

ACBDE′G′MH′A′B′B′A′C′O′A′C′155F′20B′圖6－1－7①

（2）6－1－7②，底面半徑為3cm的圓錐的主視圖是個(gè)正三角形，C是母線OB的中點(diǎn)，則從圓錐表面從A到C的最短距離等于cm.（3）6－1－7③,圓柱高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，爬行的最短路程（π取3）是（）cm.D.無法確定（4）如圖6－1－7④，ABCDEFGH是個(gè)無上底長(zhǎng)方體容器，M在容器內(nèi)側(cè)，位于側(cè)棱BF上，已知AB＝5，BF＝9，F(xiàn)M＝3，則從外部的點(diǎn)A到內(nèi)部的點(diǎn)M的最短距離等于.2.如圖6－1－8，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm，3dm，2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只昆蟲想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少dm？圖6－1－8

A圖6－1－8

A′B′2032（三）兩二次根式和的最小值【通法】形如“求＋（其中a，b，m為正常數(shù)）的最小值”的題目，在平面內(nèi)畫出線段AB＝m，使C、D在AB兩側(cè)，并且CA⊥AB，DB⊥AB，CA＝a，BD＝b，則CD長(zhǎng)即為所求.例6－1－3求代數(shù)式＋（0≤x≤4）的最小值.【規(guī)律】先把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，借助勾股定理求最小值.體驗(yàn)與感悟6－1－3求函數(shù)y＝＋（0≤x≤12）的最小值.（四）折疊最值【規(guī)律】折疊背景下的最值問題，考查的是動(dòng)手操作能力、合情推理能力.方法是：（1）在折疊中感受大小變化規(guī)律，（2）通過特殊位置求最值.例6－1－4（1）如圖6－1－9，折疊矩形紙片ABCD，使B點(diǎn)落在AD上一點(diǎn)E處，折痕的兩端點(diǎn)M、N分別在AB、BC上（含端點(diǎn)），且AB＝6，BC＝10，設(shè)AE＝x，則x的取值范圍是.AA′B′C′D′A′B′C′D′圖6－1－9圖6－1－10（2）如圖6－1－10，直角梯形紙片ABCD中，AD∥AB，AB＝8，AD＝CD＝4，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，將△AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P，則P落在直角梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，PD的最小值等于.【規(guī)律】（1）A、E重合時(shí)k最小為0，的兩端點(diǎn)在AB、CD上，不合題意，向下移動(dòng)N到C時(shí)，得x的最小值，繼續(xù)沿BC向B移動(dòng)N，使M上移至A時(shí)，得到滿足條件的x最大值；（2）觀察發(fā)現(xiàn)P在線段DE上時(shí)，PD比P在其它位置時(shí)小，并且DE長(zhǎng)等于DB長(zhǎng)時(shí)的PD最小.體驗(yàn)與感悟6－1－41.動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝5，如圖6－1－11，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng).若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A′在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為.BB′A′D′C′A′B′C′D′圖6－1－11圖6－1－12P′Q′A′F′P′Q′E′2.如圖6－1－12，直角梯形紙片ABCD中，AD⊥AB，AD＝CD＝3，AB＝6.點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，將△AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P，當(dāng)P落在直角梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，PD的最小值為.（五）旋轉(zhuǎn)最值（六）線段差（PA－PB）最大例6－1－6幾何模型：（1）如圖6－1－13①，點(diǎn)A、B位于直線m的同側(cè)，在直線m上一點(diǎn)P，使∣AP－BP∣的值最大.你作圖的根據(jù)是.AABmABm圖6－1－13①

圖6－1－13②

AACDOPxy圖6-1-13③

⑵如圖6－1－13②，點(diǎn)A、B位于直線AACDOPxy圖6-1-13③

A：______________________________________________B：_______________________________________模型應(yīng)用⑶如圖6－1－13③，一次函數(shù)y＝－2x＋4的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A，B，D為AB的中點(diǎn)，C、A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出︱PC－PD︱的范圍：___________________．體驗(yàn)與感悟6－1－61．如圖6－1－14，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，1），B（1，2），點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是____________________．2．在⊙O所在的平面上有一點(diǎn)A，它到⊙O的最近距離是3，最遠(yuǎn)距離是7，則⊙O的半徑為________________．3．在A、B均在面積為1的小正方形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)坐標(biāo)系如圖6－1－15，若P是x軸上使得︱PA－PB︱的值最大的點(diǎn)，OP＝__________________.OOxyABBAOyxxyABCO圖6-1-14圖6-1-15圖6-1-164．如圖6－1－16，拋物線y＝ax2＋bx－4a經(jīng)過A(－1,0)、C(0,4)兩點(diǎn)，與x軸交于另一B．⑴拋物線及對(duì)稱軸分別為________________________________;⑵點(diǎn)D所在拋物線的對(duì)稱軸上，求︱DB－DC︱的最大值．提醒：請(qǐng)回顧怎么解決求差的絕對(duì)值最大的題目．二、垂線段最短[9]說明：“垂線段最短”用的多，但人們意識(shí)到用它的少．只要涉及點(diǎn)到線、線到線距離用的都是“垂線段最短”，如高，與圓有關(guān)的位置關(guān)系等．例6－2－1 ⑴如圖6－2－1，⊙O的半徑為5，弦AB＝6，M是AB上任意一點(diǎn)，則線段OM的取值范圍是_______________，寫出它的一個(gè)可能值是______________________．⑵如圖6－2－2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有平行四邊形ADCE中，DE最小值是（ ）A．2 C．4 AABOMABCAECDBOE圖6-2-1圖6-2-2圖6-2-3⑶如圖6－2－3，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ACB＝30°，點(diǎn)E在線段AB上，且BE＝1，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)．將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，如果點(diǎn)E不動(dòng)，則線段EP的最小值為_________________________．例6－2－2 如圖6－2－4，二次函數(shù)y＝ax2＋2ax＋4與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，tan∠CBO＝2．⑴此二次函數(shù)的解析式為：_________________________________________;⑵動(dòng)直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，到與直線AB重合時(shí)終止運(yùn)動(dòng)，直線l與線段BC交于點(diǎn)D，P是線段AD的中點(diǎn)．①直接寫出點(diǎn)P所經(jīng)過的路線長(zhǎng)_________________________________________.②點(diǎn)D與B、C不重合時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，連接PE、PF，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠EPF的大小是否發(fā)生變化？若不變，求∠EPF的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由．③在②的條件下，連接EF，求EF的最小值．AABOPxyCDABOxyC圖6-2-4體驗(yàn)與感悟6－21．如圖6－2－5，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，N為AC的三等分點(diǎn)，三角形邊上的動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程為x，MN2＝y(tǒng)，則y與x的函數(shù)圖象大致是（ ）AABCMNOAxyOBxyOCxyODxy圖6-2-52．如圖6－2－6，O為原點(diǎn)，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，A、B是第一象限內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的兩點(diǎn)，且OA＝OB＝．⑴則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為__________、______________；⑵畫出線段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形，并求出其面積（結(jié)果保留π）．圖6-2-6圖6-2-63．如圖6－2－7①和6－2－7②，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝探究：如圖6－2－7①，AH⊥BC于點(diǎn)H，AH＝____________,AC＝___________，△ABC的面積S△ABC＝___________________．拓展如圖6－2－7②，點(diǎn)D在AC上（可與點(diǎn)A，C重合），分別過點(diǎn)A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)．設(shè)BD＝x，CF＝n（當(dāng)點(diǎn)D與A重合時(shí)，我們認(rèn)為S△ABD＝0）⑴用x，m或n的代數(shù)式表示S△ABD及S△CBD；⑵求（m＋n）與x的函數(shù)關(guān)系式，并求（m＋n）的最大值及最小值；⑶對(duì)給定的一個(gè)x值，有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)D，指出這樣的x的取值范圍．發(fā)現(xiàn)請(qǐng)你確定一條直線，使得A，B，C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最?。ú槐貙懗鲞^程），并寫出最小值．AABCHABCDFE圖6-2-7①圖6-2-7②三、圓中最長(zhǎng)弦是直徑[9]解法歸一：求對(duì)角是直角的雙直角四邊形中對(duì)角線的最小值、或圓中線段最小值時(shí)常用它．例是6－3如圖6－3－1，等腰直角△ABC斜邊長(zhǎng)為4，D為是斜邊AB的中點(diǎn)，直角∠FDE分別交AC、BC于F、E，則線段EF的最小值是_________________．AABCFED圖6-3-1圖6-3-2ABCGHEFO交流分享：EF是△FDE與△FCE公共斜邊，所以E、C、F、D四點(diǎn)在以圖6-3-2ABCGHEFO體驗(yàn)與感悟6－31．如圖6－3－2，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB＝30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交點(diǎn)G、H兩點(diǎn)，若⊙O的半徑為6，則GE＋FH的最大值為_______________________．提醒：請(qǐng)回顧一下這兩題怎么用圓是最長(zhǎng)弦的．四、求兩正數(shù)和的最小值[9]解法歸一：①由（a－b）2≥0得a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立；②對(duì)任意正數(shù)m,n可設(shè)m＝a2、n＝b2(a、b為正數(shù))，則有m＋n＝a2＋b2≥2ab＝2，即m＋n≥2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)等號(hào)成立．這是高中兩個(gè)最重要的不等式．③求兩個(gè)正數(shù)和的最小值時(shí)就用它，并且只有這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)和才取最小值．閱讀理解：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，∵（－）2≥0，∴a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，只有當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：⑴若m＞0，只有m＝____時(shí)m＋有最小值______________；．．⑵若n＞0，只有n＝_____時(shí)n＋有最小值_____________；⑶若x＞0，只有x＝______時(shí)，8x2＋有最小值___________________;例6－4－2 如圖6－4－1，AB為半圓O的直徑，C為半圓上與點(diǎn)A、B不重合的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，AD＝a，DB＝b．請(qǐng)用本題圖驗(yàn)證a＋b≥2,并指出等號(hào)成立時(shí)的條件．BBACDO圖6-4-1交流分享：用相似證CD2＝AD×BD．例6-4-2如圖6－4－2，已知A（－3，0），B（0，－4），P為雙曲線y＝(x＞0)上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D，求四邊形ABCD的面積的最小值，并說明此時(shí)四邊形ABCD的形狀．AABCDPxyO圖6-4-2交流分享：利用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示OD、OC的長(zhǎng)．體驗(yàn)與感悟6－41．公式：對(duì)于任意正數(shù)a、b，總有a＋b≥2，并且只有當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．直接應(yīng)用與變形應(yīng)用⑴已經(jīng)y1＝x（x＞0），y2＝（x＞0），則當(dāng)x＝____________時(shí)，y1＋y2取得最小值___________.⑵已知函數(shù)y＝x＋(a＞0，x＞0)，當(dāng)x＝______________時(shí)，該函數(shù)有最小值_____________．⑶已知函數(shù)y1＝x＋1與函數(shù)y2＝(x＋1)2＋4，當(dāng)x＞－1時(shí)，求的最小值，并指出相應(yīng)的x的值．實(shí)際應(yīng)用已知某汽車的一次運(yùn)輸成本包含以下三個(gè)部分：一是固定費(fèi)用，共360元；二是燃油費(fèi)費(fèi)，每千米為元；三是折舊費(fèi)，它與路程的平方成正比，比例系數(shù)為．設(shè)汽車一次運(yùn)輸?shù)穆烦虨閤千米，求當(dāng)x為多少時(shí)，該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本最低？最低是多少元？提醒：想一下求a＋b的最小值實(shí)際在考查什么？五、不等式、一次函數(shù)最優(yōu)方案[8]見第18單元，一次函數(shù)綜合應(yīng)用六、二次函數(shù)最值[9]解法歸一：“二次整數(shù)ax2＋bx＋c最值”完全可以借助二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c最值解決，解決方案有三：一用配方法，二用頂點(diǎn)公式，三圖象法．（注：a,b,c為常數(shù)，且a≠0）⑴x2－2x＋6的最小值是_______________________;⑵二次函數(shù)y＝－x2＋6x的最大值是______________________．例6－6－2 如圖6－6－1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上任意一點(diǎn)（P不與B、C重合），過點(diǎn)P作AP⊥PE交CD于點(diǎn)Ｅ．設(shè)BP為x，CE為y，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？AABCDEP圖6-6-1交流分享：線段最值可由相似建立二次函數(shù)模型求．例6－6－3 如圖6－6－2，已知拋物線y＝ax2＋bx＋4經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），C（5，0），交縱軸于點(diǎn)A，對(duì)稱軸l與x軸相交于點(diǎn)M．⑴請(qǐng)直接寫出拋物線的解析式，對(duì)稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)_________________________;⑵連接AC，探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積最大？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．AABC415OlyxM圖6-6-2體驗(yàn)與感悟6－61．如圖6－6－3，把一張邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD折疊，使B點(diǎn)落在AD上的E處，折痕為MN，設(shè)AE＝x，問x為何值時(shí)，折起的四邊形MNFE面積最小，并求出這個(gè)最小面積的值．AABCDMNFE圖6-6-32．問題情境：已知矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0）,當(dāng)該矩形的長(zhǎng)為多少時(shí)，它的周長(zhǎng)最??？最小值是多少？數(shù)學(xué)模型：設(shè)該矩形的長(zhǎng)為x,周長(zhǎng)為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝2(x＋)(x＞0)．探索研究：⑴我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，先探索函數(shù)y＝x＋(x＞0)的圖象性質(zhì)．O1O123456-1123456-1xy圖6-6-4x1/41/31/21234y觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì);在求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值時(shí)，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請(qǐng)你用配方法求函數(shù)y＝x＋(x＞0)的最小值．解決問題：⑵用上述方法解決“問題情境“中的問題，直接寫出答案．交流分享：對(duì)任意非負(fù)數(shù)m，可設(shè)m＝t2，其中t＝()2七、幾何探究最值類[8]例6－7－1 請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖6－7－1①，圓柱的高AB和它的底面半徑均為5dm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線．小明設(shè)計(jì)了兩條路線：路線1：走圓柱表面最短路線（即圖6－7－1②側(cè)面展開圖中的線段AC）．路線2：走圓柱高線與度面直徑（即圖6－7－1①中的AB＋BC的長(zhǎng)）AABCDABCD圖6-7-1①圖6-7-1②沿AB剪開攤平此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)設(shè)路線1的長(zhǎng)度為l1，設(shè)路線2的長(zhǎng)度為l2，則l12＝AC2＝AB2＋l22＝(AB＋BC)2，將AB＝5，BC＝10，半圓弧長(zhǎng)5π代入上面的式子得（請(qǐng)你幫小明完成下面的計(jì)算）：l12＝AC2＝；l22＝(AB＋BC)2＝；l12－l22＝.∴l(xiāng)12>l22∴l(xiāng)1>l2∴選擇路線2較短.（1）小明對(duì)上述問題結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1dm,高AB為5dm”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算（請(qǐng)你幫小明完成下面的計(jì)算）：路線1：l12＝AC2＝；路線2：l22＝(AB＋BC)2＝；∵l12l22，∴l(xiāng)1l2（填>或<），所以選擇路線（填1或2）較短.（2）請(qǐng)你幫小明繼續(xù)研究：在一般情況下，當(dāng)圓柱的底面半徑為r，高為h時(shí)，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點(diǎn)的路線最短.體驗(yàn)與感悟6－7－11.在河岸l同側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，A、B到l的距離分別是3km和2km，AB＝akm(a>1)現(xiàn)計(jì)劃在河岸上建一抽水站P向兩個(gè)村莊供水.方案設(shè)計(jì)：某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種管道鋪設(shè)方案：圖6－7－2①是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為d，且d1＝PB＋BA(km)(其中PB⊥l于P點(diǎn))；圖6－7－2②是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為d2,且d2＝PA＋PB(km)(其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于l對(duì)稱，A′B與l交于點(diǎn)P).AABl圖6－7－2①

ABl圖6－7－2②

ABl圖6－7－2③

PCCKPA′A′P觀察與計(jì)算：（1）在方案一中，d1＝km(用含a的式子表示)；（2）在方案二中，組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算d2的長(zhǎng)，作了如圖6－7－2③的輔助線，請(qǐng)你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算，d2＝km(用含a的式子表示).探索歸納：（1）①當(dāng)a＝4時(shí)，比較大小：d1d2（填“>”或“＝”或“<”）；②當(dāng)a＝6時(shí)比較大小：d1d2（填“>”或“＝”或“<”）；請(qǐng)你就a（當(dāng)a>1時(shí)）的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二？【總結(jié)】以上兩題是打破學(xué)生的思維定勢(shì)、訓(xùn)練學(xué)生思考全面性的經(jīng)典好題.例6－7－2動(dòng)手操作（1）如圖6－7－3①，把矩形AA′B′B卷成以AB為高的圓柱形，則點(diǎn)A與重合，點(diǎn)B與重合.AA′B′A′B′A′B′A′B′圖6－7－3①

圖6－7－3②

圖6－7－3③

探究與發(fā)現(xiàn)（2）如圖6－7－3②所示，若圓柱的底面周長(zhǎng)是30cm，高是40cm，從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部B處作裝飾，則這條絲線的最小長(zhǎng)度是cm；（絲線的粗細(xì)忽略不計(jì)）（3）若用絲線從圖