2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)專項(xiàng)突破專題08 圓的綜合問題(教師版)

專題08圓的綜合問題【典型例題】1．(2022·廣東花都·九年級(jí)期末)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，弦AD平分∠BAC，過點(diǎn)D作射線AC的垂線，垂足為M，點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：MD是⊙O的切線；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，說明理由；(3)若點(diǎn)E恰好運(yùn)動(dòng)到∠ACB的角平分線上，連接CE并延長，交⊙O于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)P，連接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的長．【答案】(1)證明見解析(2)存在，EC+EM的最小值為SKIPIF1<0，理由見解析(3)6【解析】【分析】(1)連接OD，交BC于點(diǎn)N，通過證明四邊形CNDM為矩形得出SKIPIF1<0，利用切線的判定定理即可得出結(jié)論．(2)過點(diǎn)C作SKIPIF1<0，并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接MF，交AB于點(diǎn)E，連接EC，利用將軍飲馬模型可知此時(shí)EC+EM的值最小，由題意可得FD為圓的直徑，在SKIPIF1<0中，利用勾股定理即可求得結(jié)論．(3)利用角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)可以判定SKIPIF1<0為等腰三角形，證明SKIPIF1<0，利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，解關(guān)于AF的方程即可得出結(jié)論．(1)解：如圖，連接OD，交BC于點(diǎn)N，SKIPIF1<0AB為直徑SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0弦AD平分∠BAC，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形CNDM為矩形SKIPIF1<0SKIPIF1<0OD為圓的半徑SKIPIF1<0MD是⊙O的切線(2)解：在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，EC+EM存在最小值，理由如下：過點(diǎn)C作SKIPIF1<0，并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接MF，交AB于點(diǎn)E，連接EC，則此時(shí)EC+EM的值最小SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0弦AD平分∠BAC，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的度數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0AB是直徑SKIPIF1<0SKIPIF1<0，AB是直徑SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為半圓SKIPIF1<0FD為圓的直徑由(1)知：MD是⊙O的切線SKIPIF1<0由題意得：AB垂直平分FCSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由(1)知：四邊形CNDM為矩形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0SKIPIF1<0EC+EM的最小值為SKIPIF1<0．(3)解：如圖SKIPIF1<0FC平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0AD平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(不合題意，舍去)SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題是一道圓的綜合題，此題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理及其推論，軸對(duì)稱的性質(zhì)，角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，連接半徑OD和利用軸對(duì)稱中的將軍飲馬模型找出EC+EM存在最小值是解題的關(guān)鍵．【專題訓(xùn)練】選擇題1．(2022·浙江新昌·九年級(jí)期末)已知扇形的圓心角為120°，半徑為3cm，則弧長為()A．SKIPIF1<0 B．2πcm C．4cm D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】扇形的弧長=圓形周長×SKIPIF1<0，根據(jù)公式列出算式計(jì)算即可．【詳解】解：扇形的弧長：SKIPIF1<0，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長，掌握扇形的弧長公式是解決本題的關(guān)鍵．2．(2022·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中九年級(jí)期末)如圖，AB是⊙O的直徑，SKIPIF1<0，則∠BAC的度數(shù)為()A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°【答案】A【解析】【分析】連接OC，由SKIPIF1<0可求得∠AOC的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)即可求得∠BAC的度數(shù)．【詳解】如圖，連接OC∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵OA=OC∴SKIPIF1<0故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了弧的關(guān)系與圓心角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是掌握弧的關(guān)系與圓心角的關(guān)系．3．(2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)期末)如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為點(diǎn)E，連接OD、CB、AC，∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的長為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】由題意易得SKIPIF1<0，然后根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可得CE，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD，∴SKIPIF1<0，∵∠DOB＝60°，∴SKIPIF1<0，∵EB＝2，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、垂徑定理及圓周角定理，熟練掌握勾股定理、垂徑定理及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．4．(2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)期末)如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上．∠OAB＝38°，則∠E的度數(shù)為()A．52° B．38° C．30° D．26°【答案】D【解析】【分析】由OD⊥AB，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出∠AOC的度數(shù)，再利用圓周角定理求出∠E的度數(shù)．【詳解】解：∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵∠OAB＝38°，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的垂徑定理，圓周角定理，熟記定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．5．(2022·安徽潛山·九年級(jí)期末)如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，若點(diǎn)D在⊙O上，則tan∠ADC＝()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】連接AC、BC，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，由tan∠ADC＝tan∠ABC求出答案．【詳解】解：連接AC、BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°,∵∠ABC=∠ADC，∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝SKIPIF1<0，故選：B．．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理：直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，求角的正切值，熟記圓周角定理及角的正切值公式是解題的關(guān)鍵．6．(2022·遼寧·東北育才雙語學(xué)校模擬預(yù)測(cè))如圖，已知⊙O上的兩條弦AC和BC互相垂直于點(diǎn)C，點(diǎn)D在弦BC上，點(diǎn)E在弦AC上，且BD＝AE，連接AD和BE，點(diǎn)P為BE的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為AD中點(diǎn)，射線QP與線段BC交于點(diǎn)N，若∠DQN=15°，DQ＝SKIPIF1<0，則NQ的長為()A．2SKIPIF1<0 B．3 C．2SKIPIF1<0 D．2+SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】連接P點(diǎn)與O點(diǎn)，Q點(diǎn)與O點(diǎn)，根據(jù)中位線定理可知，PO=QO,且PO⊥QO，進(jìn)而可知∠NQO=45°，過Q作QF垂直于BC，通過中位線定理可證∠DQF=30°進(jìn)而可計(jì)算則NQ的長度．【詳解】解：如圖所示，連接P點(diǎn)與O點(diǎn)，Q點(diǎn)與O點(diǎn)，∵點(diǎn)P為BE的中點(diǎn)，O為AB的中點(diǎn)，∴PO∥AE，PO=SKIPIF1<0AE，∵點(diǎn)Q為AD中點(diǎn)，O為AB的中點(diǎn)，∴QO∥BD，QO=SKIPIF1<0BD，∵AC和BC互相垂直，∴PO=QO,且PO⊥QO,∴∠NQO=45°，過Q作QF垂直于BC,則QF∥AC,∴QF⊥OQ，∴∠DQF=90°－∠NQO－∠DON=30°∵DQ＝SKIPIF1<0，且QF⊥BC，∴SKIPIF1<0，∵∠NQF=15°＋30°=45°，∴SKIPIF1<0，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查中位線定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，能夠構(gòu)造適合的輔助線是解決此類題型的關(guān)鍵．二、填空題7．(2021·廣東·可園中學(xué)二模)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A＝110°，則∠BOD＝__°．【答案】140【解析】【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠C的度數(shù)，再由圓周角定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，∴∠BOD＝2∠C＝140°．故答案為：140．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),圓周角與圓心角的關(guān)系定理，熟練掌握兩個(gè)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．(2021·廣東·珠海市紫荊中學(xué)三模)如圖所示，若用半徑為8，圓心角為120°的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面(接縫忽略不計(jì))則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為___．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)扇形弧長與底面圓周長相等，列方程SKIPIF1<0，解方程即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長公式，圓的周長，一元一次方程的解法，掌握扇形的弧長公式，圓的周長，一元一次方程的解法是解題關(guān)鍵．9．(2022·內(nèi)蒙古烏蘭察布·九年級(jí)期末)如圖，AB是⊙O的直徑，C為圓上一點(diǎn)，∠A＝60°，OD⊥BC，D為垂足，且OD＝10，則AB＝_____，BC＝_____．【答案】40SKIPIF1<0【解析】【分析】先證明SKIPIF1<0再證明SKIPIF1<0利用三角形的中位線求解SKIPIF1<0再利用銳角三角函數(shù)求解SKIPIF1<0即可.【詳解】解：SKIPIF1<0AB是⊙O的直徑，SKIPIF1<0SKIPIF1<0OD⊥BC，SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∠A＝60°，SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題考查的是直徑所對(duì)的圓周角是直角，平行線分線段成比例，三角形的中位線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，證明SKIPIF1<0是三角形的中位線是解本題的關(guān)鍵.10．(2022·黑龍江省八五四農(nóng)場(chǎng)學(xué)校九年級(jí)期末)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，連接AD，且AD平分∠BAC．若∠BAC＝60°，⊙O的半徑為2，則陰影部分的面積為_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】連接OD，根據(jù)AD平分∠BAC，OA=OD，推出SKIPIF1<0，得到∠DOB的度數(shù)，勾股定理求出BD，利用SKIPIF1<0求出陰影面積．【詳解】解：連接OD，∵AD平分∠BAC．∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴SKIPIF1<0，∴∠DOB=∠BAC＝60°，∠ODB=∠C＝90°，∴∠B=30°，∴OB=2OD=4，SKIPIF1<0，∴陰影部分的面積=SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】此題考查了扇形面積公式，勾股定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，角平分線的證明，平行線的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明出SKIPIF1<0．11．(2021·天津·耀華中學(xué)九年級(jí)期中)如圖，⊙O的直徑CD為6cm，OA，OB都是⊙O的半徑，∠AOD＝2∠AOB＝60°，點(diǎn)P在直徑CD上移動(dòng)，則AP+BP的最小值為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】如圖，過點(diǎn)B作BE⊥CD，交⊙O于E，連接AE，交CD于P，連接BP，OE，根據(jù)垂徑定理可得CD垂直平分線BE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BP=PE，可得PA+PB=PA+PE，即可得出AE為AP+BP的最小值，根據(jù)∠AOD＝2∠AOB＝60°可得∠BOD=30°，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠DOE=∠BOD=30°，可得∠AOE=90°，根據(jù)CD為直徑可得OA的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AE的長即可得答案．【詳解】如圖，過點(diǎn)B作BE⊥CD，交⊙O于E，連接AE，交CD于P，連接BP，OE，∵CD是⊙O的直徑，BE⊥CD，∴CD垂直平分線BE，∴BP=PE，∴PA+PB=PA+PE，∴AE為AP+BP的最小值，∵∠AOD＝2∠AOB＝60°，∴∠BOD=30°，∵OB=OE，OD⊥BE，∴∠DOE=∠BOD=30°，∴∠AOE=90°，∴△AOE是等腰直角三角形，∵CD=6，∴OA=SKIPIF1<0CD=3，∴AE=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴AP+BP的最小值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，垂直弦的直徑平分弦，且平分這條弦所對(duì)的兩條弧；線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵．12．(2022·廣東白云·九年級(jí)期末)如圖，AB是SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0，BC交SKIPIF1<0于點(diǎn)D，AC交SKIPIF1<0于點(diǎn)E，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0____________°．【答案】22.5【解析】【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=90°，則∠ABE=45°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠ABC=67.5°，再計(jì)算∠ABC-∠ABE即可．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵∠BAC=45°，∴∠ABE=45°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=SKIPIF1<0×(180°-45°)=67.5°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=67.5°-45°=22.5°．故答案為：22.5．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．三、解答題13．(2021·廣東濠江·一模)如圖，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝2BC，點(diǎn)O在邊AB上，且SKIPIF1<0，以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓分別交AB，BC于D，E兩點(diǎn)．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)判斷由D，O，E及切點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)菱形．理由見解析【解析】【分析】(1)作OF⊥AC于F，如圖，由三角函數(shù)可得到∠A=30°，則OA=2OF，再利用BO=SKIPIF1<0AB得到OA=2OB，所以O(shè)F=OB，于是根據(jù)切線的判定方法可判定AC是⊙O的切線；(2)先證明△OFD和△OBE都是等邊三角形得到OD=DF，∠BOE=60°，則可計(jì)算出∠EOF=60°，從而可判定△OEF為等邊三角形，所以EF=OE，則有OD=DF=EF=OE，然后根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形ODFE為菱形．(1)證明：作OF⊥AC于F，如圖，∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA=SKIPIF1<0，∴∠A=30°，∴OA=2OF，∵BO=SKIPIF1<0AB，∴OA=2OB，∴OF=OB，∴AC是⊙O的切線；(2)解：四邊形ODFE為菱形．理由如下：∵∠A=30°，∴∠AOF=∠B=60°，∴△OFD和△OBE都是等邊三角形，∴OD=DF，∠BOE=60°，∴∠EOF=180°-60°-60°=60°，∴△OEF為等邊三角形，∴EF=OE，∴OD=DF=EF=OE，∴四邊形ODFE為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定方法．14．(2022·云南昆明·九年級(jí)期末)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AB與DC的延長線相交于點(diǎn)P，AC平分∠DAB，AD⊥CD于點(diǎn)D．(1)求證：CD是⊙O的切線．(2)若∠BAC＝30°，OA＝4，求陰影部分的面積．(結(jié)果保留根號(hào)及π)【答案】(1)見詳解(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)連接SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，根據(jù)切線的判定判斷即可；(2)由直角三角的性質(zhì)求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由扇形的面積公式可得出答案．(1)證明：連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是半徑，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的切線．(2)解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，平行線的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，扇形的面積，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．(2021·江蘇徐州·九年級(jí)期中)如圖，AB為圓O的直徑，射線AD交圓O于點(diǎn)F，點(diǎn)C為劣弧BF的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，連接AC(1)求證：CE是圓O的切線(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求陰影部分的面積【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)連接BF，證明BF∥CE，連接OC，證明OC⊥CE即可得到結(jié)論；(2)連接OF，求出扇形FOC的面積即可得到陰影部分的面積．(1)解：連接BF，OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90°，即BF⊥AD，∵CE⊥AD，∴BF∥CE，連接OC，∵點(diǎn)C為劣弧BF的中點(diǎn)，∴OC⊥BF，∵BF∥CE，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線；(2)連接OF，CF，∵OA=OC，∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，∵點(diǎn)C為劣弧BF的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴∠FOC=∠BOC=60°，∵OF=OC，∴∠OCF=∠COB，∴CF∥AB，∴S△ACF=S△COF，∴陰影部分的面積=S扇形COF，∵AB=4，∴FO=OC=OB=2，∴S扇形FOC=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，即陰影部分的面積為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定以及扇形面積的求法，熟練掌握切線的判定定理以及扇形面積的求法是解答此題的關(guān)鍵．16．(2021·天津?yàn)I海新·九年級(jí)期末)如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，連接CO，過B作BD∥OC交⊙O于D，連接AD交OC于G，延長AB、CD交于點(diǎn)E．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若BE=4，DE=8，求CD的長．【答案】(1)證明見解析；(2)12．【解析】【分析】(1)根據(jù)圓周角的定義可得SKIPIF1<0，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知SKIPIF1<0，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，進(jìn)而運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；(2)設(shè)⊙O半徑為r，在SKIPIF1<0中，利用勾股定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，再根據(jù)平行線分線段成比例進(jìn)行求解即可．(1)如圖所示，連接OD，SKIPIF1<0AB為⊙O的直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0AC為⊙O的切線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0CD為⊙O的切線；(2)⊙O半徑為r，則在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理,勾股定理及切線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形得到三角形的全等關(guān)系，與此同時(shí)需要利用平行線的性質(zhì)．17．(2022·江蘇江都·九年級(jí)期末)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)A，在l上取一點(diǎn)D使得DA=DC，線段DC，AB的延長線交于點(diǎn)E．(1)求證：直線DC是⊙O的切線；(2)若BC=4，∠CAB=30°，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π)．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)連接OC，由題意得SKIPIF1<0，根據(jù)等邊對(duì)等角得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即可得；(2)根據(jù)三角形的外角定理得SKIPIF1<0，又根據(jù)SKIPIF1<0得SKIPIF1<0是等邊三角形，則SKIPIF1<0，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得SKIPIF1<0，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得SKIPIF1<0，根據(jù)勾股定理得SKIPIF1<0，用三角形OEC的面積減去扇形OCB的面積即可得．(1)證明：如圖所示，連接OC，∵AB是SKIPIF1<0的直徑，直線l與SKIPIF1<0相切于點(diǎn)A，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴直線DC是SKIPIF1<0的切線．(2)解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴陰影部分的面積=SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了切線，三角形的外角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．18．(2022·吉林市第五中學(xué)九年級(jí)期末)如圖，在⊙O中，弦BC垂直于半徑OA，D是優(yōu)弧BC上一點(diǎn)，連接BD、AD、OB、OC．已知∠ADB＝30°．(1)求∠AOC的度數(shù)；(2)若弦BC＝8SKIPIF1<0cm，求圖中扇形BOC的面積(結(jié)果保留π)．【答案】(1)60°(2)SKIPIF1<0cm2【解析】【分析】(1)根據(jù)垂徑定理得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再根據(jù)圓周角定理即可解答；(2)先根據(jù)垂徑定理求出SKIPIF1<0，再運(yùn)用勾股定理求出SKIPIF1<0，然后求得∠BOC，最后運(yùn)用扇形的面積公式計(jì)算即可．(1)解：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由圓周角定理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴∠OBE=30°設(shè)OB=2x，則OE=x∴(OB)2=OE2+BE2,即：(2x)2=x2+BE2，解得：x=8∵SKIPIF1<0∴∠BOC=SKIPIF1<0∴扇形BOC的面積為SKIPIF1<0cm2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、解直角三角形、扇形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握垂徑定理和扇形的面積公式是解答本題的關(guān)鍵．19．(2021·北京市師達(dá)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)E在AB上，以AE為直徑的⊙O切BC于點(diǎn)D，連接AD．(1)求證：AD平分∠BAC；(2)若⊙O的半徑為5，sin∠DAC＝SKIPIF1<0，求BD的長．【答案】(1)見解析(2)BD＝SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)連接OD．先依據(jù)平行線的判定定理證明OD∥AC，然后依據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明∠OAD＝∠DAC，于是可證明AD平分∠BAC．(2)連接ED、OD．由題意可知AE＝10．接下來，在△ADA中，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得AD的長，然后在△ADC中，可求得DC和AC的長，由OD∥AC可證明△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的性質(zhì)可列出關(guān)于BD的方程．(1)解：如圖1所示：連接OD．∵BC與圓O相切，∴OD⊥BC．∴∠ODB＝90°．∵∠C＝90°，∴∠C＝∠ODB．∴OD∥AC．∴∠ODA＝∠DAC．∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA．∴∠OAD＝∠DAC．∴AD平分∠BAC．(2)如圖2所示：連接ED．∵⊙O的半徑為5，AE是圓O的直徑，∴AE＝10，∠EDA＝90°．∵∠EAD＝∠CAD，sin∠DAC＝SKIPIF1<0，∴sin∠EAD＝SKIPIF1<0，在Rt△ADE中，DE＝AE×sin∠EAD=SKIPIF1<0×10＝2SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0在Rt△ADC中，DC＝DC×sin∠EAD=SKIPIF1<0×4SKIPIF1<0＝4，∴SKIPIF1<0．∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC．∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：BD＝SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是切線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)，列出關(guān)于BD的方程是解題的關(guān)鍵．20．(2022·湖北·黃石市有色中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，連接AD，過點(diǎn)D作DM⊥AC，垂足為M，AB、MD的延長線交于點(diǎn)N．(1)求證：MN是⊙O的切線；(2)求證：DN2＝BN?(BN+AC)；(3)若BC＝6，cosC＝SKIPIF1<0，求DN的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)連接OD通過內(nèi)錯(cuò)角相等證明OD∥AC，所以O(shè)D⊥MN；(2)通過證明△BDN∽△DAN，得到對(duì)應(yīng)線段成比例，從而得出題中等式；(3)通過△BDN∽△DAN，得到兩三角形相似比為3:4；且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，再通過AN=BN+5建立方程從而解出AN，再解出DN．(1)如圖，連接OD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∵AO＝BO，BD＝CD，∴OD∥AC，∵DM⊥AC，∴OD⊥MN，又∵OD是半徑，∴MN是⊙O的切線；(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，∴∠BAD＝∠CDM，∵∠BDN＝∠CDM，∴∠BAD＝∠BDN，又∵∠N＝∠N，∴△BDN∽△DAN，∴SKIPIF1<0，∴DN2＝BN?AN＝BN?(BN+AB)＝BN?(BN+AC)；(3)∵BC＝6，BD＝CD，∴BD＝CD＝3，∵cosC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴AC＝5，∴AB＝5，∴AD＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝4，∵△BDN∽△DAN，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴BN＝SKIPIF1<0DN，DN＝SKIPIF1<0AN，∴BN＝SKIPIF1<0(SKIPIF1<0AN)＝SKIPIF1<0AN，∵BN+AB＝AN，∴SKIPIF1<0AN+5＝AN∴AN＝SKIPIF1<0，∴DN＝SKIPIF1<0AN＝SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查平行線判定與性質(zhì)、相似三角形判定與性質(zhì)，正確添加輔助線并掌握這些知識(shí)點(diǎn)是本題關(guān)鍵．21．(2021·廣東惠城·九年級(jí)期末)如圖，AB是⊙O的弦，過點(diǎn)O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC，點(diǎn)Q是SKIPIF1<0上的一點(diǎn)．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)已知∠BAO＝25°，求∠AQB的度數(shù)；(3)在(2)的條件下，若OA＝18，求SKIPIF1<0的長．【答案】(1)見解析(2)65°(3)23π【解析】【分析】(1)連接OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB＝∠OBA，∠CPB＝∠PBC，等量代換得到∠APO＝∠CBP，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠CBO＝90°，于是得到結(jié)論；(2)根據(jù)等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)得到∠ABO＝25°，∠APO＝65°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；(3)根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．(1)證明：連接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠PBC，∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP，∵OC⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠OAP+∠APO＝90°，∴∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠CBO＝90°，∴BC是⊙O的切線；(2)解：∵∠BAO＝25°，∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，∴∠AQB＝SKIPIF1<0(∠AOP+∠POB)＝SKIPIF1<0×130°＝65°；(3)解：由(2)得，∠AQB＝65°，∴∠AOB＝130°，∴SKIPIF1<0的長＝SKIPIF1<0的長＝SKIPIF1<0＝23π．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，弧長的計(jì)算，圓周角定理，熟練正確切線的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22．(2021·廣東禪城·二模)如圖1，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作⊙O的切線，與AC的延長線相交于點(diǎn)D，E是BD的中點(diǎn)，分別延長AB、CE相交于點(diǎn)P；(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)如圖2，若CH⊥AB于H，連接AE與交CH于N，求證：N是HC的中點(diǎn)；(3)在(2)的條件下，若BE＝EN，且BH＝2，求⊙O的半徑．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3【解析】【分析】(1)E是斜邊BD的中點(diǎn)，則EC＝EB＝ED，得到∠EBO＝∠ECO，而BD是圓O的切線，故∠ECO＝90°，進(jìn)而求解；(2)根據(jù)CH⊥AB，SKIPIF1<0可得BD∥HC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可證明△BEA∽△HNA，△BDA∽△HCA，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等量代換得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據(jù)點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即可得；(3)證明四邊形BEGH為矩形，則EG＝BH＝2，證明△ENG∽△ANH，則SKIPIF1<0，即可求解．(1)解：連接OC、BC，∵AB是圓的直徑，故∠BCA＝90°，在Rt△BCD中，點(diǎn)E是斜邊BD的中點(diǎn)，則EC＝EB＝ED，故∠EBC＝∠ECB，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BEO＝∠ECO，∵BD是圓O的切線，∴∠EBO＝90°，∵∠ECO＝∠EBO＝90°，∵CO是圓的半徑，故PC是⊙O的切線；(2)解：∵CH⊥AB，SKIPIF1<0，∴∠CHO＝∠EBO＝90°，∴BD∥HC，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴△BEA∽△HNA，△BDA∽△HCA，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵E是BD的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即點(diǎn)N是HC的中點(diǎn)；(3)解：設(shè)圓的半徑為R，由(1)得：BE、EC都是圓O的切線，∴BE＝EC＝EN，過點(diǎn)E作EG⊥HC于點(diǎn)G，∴NG＝SKIPIF1<0NC，∴∠EGH＝∠CHB＝∠EBO＝90°＝∠CHA，∴四邊形BEGH為矩形，∴EG＝BH＝2，∵∠ENG＝∠ANH，∴△ENG∽△ANH，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得R＝3，即圓的半徑為3．【點(diǎn)睛】本題考查了圓，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．23．(2021·廣東韶關(guān)·一模)如圖，AC為⊙O的直徑，B為AC延長線上一點(diǎn)，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD為⊙O的弦，連接BD，連接DO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接BE交⊙O于點(diǎn)M．(1)求證：直線BD是⊙O的切線；(2)求⊙O的半徑OD的長；(3)求線段BM的長．【答案】(1)見解析(2)1；(3)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求得∠ODB＝90°，按照切線的判定定理可得答案；(2)利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半及圓的半徑相等可得答案；(3)先由勾股定理求得BE的長，再連接DM，利用有兩個(gè)角相等的三角形相似可判定△BMD∽△BDE，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得比例式，從而求得答案．(1)證明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠BAD＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，∵OD為⊙O的半徑，∴直線BD是⊙O的切線；(2)∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°，∴OD＝SKIPIF1<0OB，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半徑OD的長為1；(3)∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝SKIPIF1<0，∴BE＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，如圖，連接DM，∵DE為⊙O的直徑，∴∠DME＝90°，∴∠DMB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠DME，又∵∠DBM＝∠EBD，∴△BMD∽△BDE，∴SKIPIF1<0，∴BM＝SKIPIF1<0．∴線段BM的長為SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)，三角形相似的判定是解題的關(guān)鍵．24．(2022·廣東潮安·九年級(jí)期末)如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D為AB邊上的一點(diǎn)，以AD為直徑的SKIPIF1<0交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作SKIPIF1<0于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)H，過點(diǎn)E的弦EP交AB于點(diǎn)Q(EP不是直徑)，點(diǎn)Q為弦EP的中點(diǎn)，連結(jié)BP，BP恰好為SKIPIF1<0的切線．(1)求證：BC是SKIPIF1<0的切線；(2)求證：AE平分SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0