2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點專項突破專題06 全等三角形旋轉(zhuǎn)模型(教師版)

專題06全等三角形旋轉(zhuǎn)模型【典型例題】1．(2021·遼寧·蓋州市第四中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點(不與A、C重合)，連結(jié)BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，連結(jié)QP交BC于點E，QP延長線與邊AD交于點F．(1)連結(jié)CQ，求證：AP＝CQ；(2)若正方形的邊長為4，且PC＝3AP，求線段PQ的長．【答案】(1)見解析；(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)由四邊形ABCD是正方形可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由圖形旋轉(zhuǎn)可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而可證SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；(2)如圖所示，由四邊形ABCD是正方形可得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是等腰直角三角形且SKIPIF1<0，由勾股定理可得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，進而推斷出SKIPIF1<0，由勾股定理得，SKIPIF1<0，再由勾股定理可得SKIPIF1<0．【詳解】(1)如圖所示，過點P作SKIPIF1<0交于M，由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形ABCD是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)由(1)知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形ABCD是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0交于M，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【專題訓(xùn)練】選擇題1．(2021·全國·八年級專題練習(xí))如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(點D與A，B不重合)，連結(jié)CD，將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點F，連接BE．當(dāng)AD＝BF時，∠BEF的度數(shù)是()A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD＝CE和∠DCE＝90°，結(jié)合∠ACB＝90°，AC＝BC，可證△ACD≌△BCE，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰△BEF，則可計算出∠BEF的度數(shù)．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°．∴∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∴△ACD≌△BCE．∴∠CBE＝∠A＝45°．∵AD＝BF，∴BE＝BF．∴∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出相等的線段和角，并能準(zhǔn)確判定三角形全等，從而利用全等三角形性質(zhì)解決相應(yīng)的問題．2．(2020·廣東·深圳市龍崗區(qū)布吉中學(xué)八年級期中)在Rt△ABC中，AC=BC，點D為AB中點．∠GDH=90°，∠GDH繞點D旋轉(zhuǎn)，DG，DH分別與邊AC，BC交于E，F(xiàn)兩點．下列結(jié)論：①AE+BF=SKIPIF1<0AB；②AE2+BF2=EF2；③S四邊形CEDF=SKIPIF1<0S△ABC；④△DEF始終為等腰直角三角形．其中正確的是()A．①②④ B．①②③C．①③④ D．①②③④【答案】D【解析】【分析】連接CD根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE=CF，進而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，由勾股定理就可以求出結(jié)論．【詳解】連接CD，∵AC=BC，點D為AB中點，∠ACB=90°，∴AD=CD=BD=SKIPIF1<0AB．∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°．∴∠ADE+∠EDC=90°，∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°，∴∠ADE=∠CDF．在△ADE和△CDF中，SKIPIF1<0∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE=CF，DE=DF，S△ADE=S△CDF．∵AC=BC，∴AC-AE=BC-CF，∴CE=BF．∵AC=AE+CE，∴AC=AE+BF=SKIPIF1<0．∵DE=DF，∠GDH=90°，∴△DEF始終為等腰直角三角形．∵CE2+CF2=EF2，∴AE2+BF2=EF2．∵S四邊形CEDF=S△EDC+S△EDF，∴S四邊形CEDF=S△EDC+S△ADE=SKIPIF1<0S△ABC．∴正確的有①②③④．故選D．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，解題關(guān)鍵是證明△ADE≌△CDF．二、填空題3．(2021·江蘇·連云港市新海實驗中學(xué)三模)如圖，正方形ABCD中，AB=SKIPIF1<0，O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，OE=4，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF，則線段OF長的最小值為_____【答案】SKIPIF1<0．【解析】【分析】連接DO，將線段DO繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DM，連接OF，F(xiàn)M，OM，證明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝4，由條件可得OM＝SKIPIF1<0，根據(jù)OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【詳解】解：如圖，連接DO，將線段DO繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DM，連接OF，F(xiàn)M，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM(SAS)，∴FM＝OE＝4，∵正方形ABCD中，AB＝SKIPIF1<0，O是BC邊的中點，∴OC＝SKIPIF1<0，∴OD＝SKIPIF1<0＝10，∴OM＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵OF+MF≥OM，∴OF≥SKIPIF1<0，∴線段OF長的最小值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和兩點之間距離，熟練掌握并準(zhǔn)確應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．4．(2021·江蘇·九年級專題練習(xí))兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點重合在點O處，AB＝13，CD＝7．保持紙片AOB不動，將紙片COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)a(0SKIPIF1<0αSKIPIF1<090°)，如圖2所示．當(dāng)BD與CD在同一直線上(如圖3)時，則△ABC的面積為____．【答案】30【解析】【分析】設(shè)AO與BC的交點為點G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證△AOC≌△BOD，進而得出△ABC是直角三角形，設(shè)AC＝x，BC=x+7，由勾股定理求出x，再計算△ABC的面積即可．【詳解】解：設(shè)AO與BC的交點為點G，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠DOB，在△AOC和△BOD中，SKIPIF1<0，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠DBO＋∠OGB＝90°，∵∠OGB＝∠AGC，∴∠CAO＋∠AGC＝90°，∴∠ACG＝90°，∴CG⊥AC，設(shè)AC＝x，則BD=AC=x，BC=x+7，∵BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2，SKIPIF1<0,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S=SKIPIF1<0，故答案為：30．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．三、解答題5．(2022·全國·八年級)在SKIPIF1<0ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點(不與B、C重合)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作SKIPIF1<0ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．(1)如圖1，當(dāng)點D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=度；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①如圖2，當(dāng)點在線段BC上移動，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點在直線BC上(線段BC之外)移動，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．【答案】(1)90；(2)SKIPIF1<0，見解析；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度數(shù)；(2)①由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；②分兩種情況，由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵AB=AC，AD=AE，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．理由：①∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．②如圖：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．綜上所述：點D在直線BC上移動，α+β＝180°或α＝β．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性質(zhì)是關(guān)鍵．6．(2021·重慶九龍坡·八年級期中)如圖1，已知△ABC、△ADE都是等邊三角形，點E在直線BC上，F(xiàn)在直線AC上，且FE＝EA，DE與AB相交于點G，連接BD、EF．(1)如圖1，當(dāng)點E在線段BC上時，①求證：∠BAE＝∠BDE；②求證：BD＋CF＝BC．(2)如圖2，如果點E在線段BC的延長線上，其他條件不變，請直接寫出線段BD、CF、BC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)CF＝BC+BD，理由見解析【解析】【分析】(1)①先證明SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0，從而證得∠BAE＝∠BDE；②結(jié)合SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，繼而證明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，結(jié)合圖形即可得到BD＋CF＝BC；(2)先證SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，繼而證明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，結(jié)合圖形即可得到CF＝BC+BD；【詳解】解：①∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，∴SKIPIF1<0=DE，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴∠BAE＝∠BDE②∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，∵∠DBE＝∠DBA+∠ABC=60o+60o=120o,又∠ECF＝180o-∠ACB=180o-60o=120o,∴∠DBE=∠ECF∵FE＝EA∴∠EAC=∠EFA∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴∠EFA=∠BED又∵FE＝EA=DE∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，簡證如下：∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，同理可得：SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，又FE＝EA，∴∠EAC=∠EFA，∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴∠DAB＝∠BED，∴∠EFA＝∠BED，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(2021·山東青島·八年級單元測試)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；(2)猜想論證當(dāng)點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進行證明；(3)拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．【答案】(1)AB⊥BE，AB＝BD+BE；(2)圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見解析；(3)72或2【解析】【分析】(1)首先通過SAS證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出答案；(2)仿照(1)中證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；(3)首先求出BE的長度，然后利用S△AEDSKIPIF1<0?AD?EB即可求解．【詳解】解：(1)如圖1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．(2)①如圖2中，結(jié)論：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如圖3中，結(jié)論：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．(3)如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AEDSKIPIF1<0?AD?EBSKIPIF1<012×12＝72．如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AEDSKIPIF1<0?AD?EBSKIPIF1<02×2＝2．【點睛】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)并分情況討論是關(guān)鍵．8．(2021·江蘇·南通市啟秀中學(xué)八年級階段練習(xí))(1)如圖①，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0．請直接寫出線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系：__________；(2)如圖②，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；(3)在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線上的點，且SKIPIF1<0．請畫出圖形(除圖②外)，并直接寫出線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)成立，理由見解析；(3)圖形見解析，SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)延長EB到G，使BG=DF，連接AG．證明△AGE和△AEF全等，則EF=GE，則EF=BE+DF，證明△ABE和△AEF中全等，那么AG=AF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=SKIPIF1<0∠BAD．從而得出EF=GE；(2)思路和作輔助線的方法同(1)；(3)根據(jù)(1)的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．【詳解】(1)延長SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)(SKIPIF1<0)中的結(jié)論仍成立，證明：延長SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0，證明：在SKIPIF1<0上截取SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒有明確的全等三角形時，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)的全等三角形.9．(2021·江西興國·九年級期末)(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點A，D，E在同一直線上，連接BE．則：①∠AEB的度數(shù)為°；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是．(2)拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一直線上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系．(3)探究發(fā)現(xiàn)：圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點A，D，E不在同一直線上時，設(shè)直線AD與BE相交于點O，試在備用圖中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由．【答案】(1)①60；②AD＝BE；(2)a2＋b2＝c2；(3)60°或120°【解析】【分析】(1)由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)；(2)由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠ADC=∠BEC，由勾股定理可求解；(3)由(1)知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知∠AOE=60°．【詳解】解：(1)①如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，SKIPIF1<0，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，故答案為：60；②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，故答案為：AD=BE；(2)∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE=AD，∠ADC=∠BEC，∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，∴AD2+AE2=AB2，∵AD=a，AE=b，AB=c，∴a2+b2=c2；(3)如圖3，由(1)知△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAB=∠CBA=60°，∴∠OAB+∠OBA=120°，∴∠AOE=180°-120°=60°，如圖4，同理求得∠AOB=60°，∴∠AOE=120°，∴∠AOE的度數(shù)是60°或120°．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．10．(2021·遼寧·沈陽市南昌中學(xué)(含：西校區(qū)、光榮中學(xué))八年級期中)在SKIPIF1<0ABC和SKIPIF1<0CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，點D在邊AC上，點E在邊BC上，如圖1將SKIPIF1<0CDE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α≤90°)．(1)連接AD，BE．求證：AD＝BE，AD⊥BE；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，點A，D，E在一條直線上，連接BD，BE，若AD＝2SKIPIF1<0，CD＝1，則BD=；(3)當(dāng)α＝90°時，如圖3，連接AD，BE，延長AD交BE于點F，連接CF，若DF＝1．EF＝SKIPIF1<0．則CF＝．【答案】(1)見解析；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)如圖1中，延長AD交BE的延長線于T，設(shè)AT交BC于J．證明△ACD≌△BCE(SAS)，推出AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，可得結(jié)論．(2)利用勾股定理求出DE，再根據(jù)BE＝AD＝2SKIPIF1<0，AE⊥BE，利用勾股定理求出BD即可．(3)如圖3中，過點C作CP⊥BE于P，CQ⊥AF于Q．證明四邊形QCPF是正方形，求出PF的長，可得結(jié)論．【詳解】(1)證明：如圖1中，延長AD交BE的延長線于T，設(shè)AT交BC于J．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，SKIPIF1<0，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∵∠CJA＝∠BJT，∴∠BTJ＝∠ACJ＝90°，∴AD⊥BE．(2)解：如圖2中，∵CD＝CE＝1，∠DCE＝90°，∴DE＝SKIPIF1<0，∵AD＝BE＝2SKIPIF1<0，∠AEB＝90°，∴BD＝SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．(3)如圖3中，過點C作CP⊥BE于P，CQ⊥AF于Q．∵△ACD≌△BCE，CQ⊥AD，CP⊥BE，∴CQ＝CP，∴CF平分∠AFE，∵∠AFE＝90°，∴∠CFP＝∠CFQ＝45°，∵∠CPF＝∠CQF＝90°，∴QC＝QF＝CP＝PF，∴四邊形QCPF是菱形，∵∠PFQ＝90°，∴四邊形QCPF是正方形，∵∠DCE＝∠QCP＝90°，∴∠QCD＝∠PCE，在Rt△CQD和Rt△CPE中，SKIPIF1<0，∴Rt△CQD≌Rt△CPE(HL)，∴DQ＝PE，∴DF+EF＝FQ﹣DQ+PF+PE＝2PF＝1+SKIPIF1<0，∴PF＝SKIPIF1<0，∴CF＝SKIPIF1<0PF＝SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)與幾何圖形綜合題，全等三角形的判定及性質(zhì)，正方形的判定及性質(zhì)，勾股定理，正確掌握各知識點，綜合的推理能力是解題的關(guān)鍵．11．(2021·山東中區(qū)·九年級期末)SKIPIF1<0ABC為等邊三角形，AB＝8，D、E、F分別是BC、AB、AC的中點，連接EF、CE，分別取EF、CE的中點M、N，連接MN、DN．(1)如圖1，MN與DN的數(shù)量關(guān)系是，∠DNM＝；(2)如圖2，將SKIPIF1<0AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，①當(dāng)0°＜α＜90°時，(1)中的結(jié)論是否依然成立？說明理由；②連接BN，在SKIPIF1<0AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段BN最大時，求SKIPIF1<0ADN的面積．【答案】(1)MN＝DN，120°；(2)①成立，見解析；②4SKIPIF1<0+6【解析】【分析】(1)利用三角形中位線定理以及等邊三角形的性質(zhì)即可解決問題．(2)①如圖2中，連接BE，CF，延長BE交CF的延長線于點T．證明△BAE≌△CAF(SAS)，可得結(jié)論．②當(dāng)點N在BJ的延長線上時，BN的值最大，如圖3﹣2中，過點N作NH⊥AD于H，設(shè)BJ交AD于K，連接AN．想辦法求出AD，NH即可解決問題．【詳解】解：(1)如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∵EM＝MF，EN＝NC，BD＝DC，∴MN∥FC，DN∥BE，MN＝SKIPIF1<0CF，DN＝SKIPIF1<0BE，∵AE＝EB，AF＝CF，∴BE＝CF，EF＝SKIPIF1<0BC＝SKIPIF1<0AC＝CF，∴MN＝DN，∵CA＝CB，AE＝BE，∴CE⊥AB，∠ACE＝∠BCE＝SKIPIF1<0∠ACB＝SKIPIF1<0×60°＝30°，∴∠CEB＝90°，∵DN∥BE，MN∥CF，∴∠END＝90°，∠ENM＝∠ECF＝30°，∴∠DNM＝90°+30°＝120°．故答案為：MN＝DN，120°．(2)①成立．理由：如圖2中，連接BE，CF，延長BE交CF的延長線于點T，設(shè)AF交BT于點O．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，∵∠AOB＝∠COT，∴∠T＝∠BAO＝60°，∴∠EBC+∠TCB＝120°，∵EM＝MF，EN＝NC，BD＝DC，∴MN∥FC，DN∥BE，MN＝SKIPIF1<0CF，DN＝SKIPIF1<0BE，∴MN＝DN，∠NDC＝∠EBC，∠ENM＝∠ECT，∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠DCN+∠ECF＝∠TBC+∠TCB＝120°．②(3)如圖3﹣1中，取AC的中點，連接BJ，BN．∵AJ＝CJ，EN＝NC，∴JN＝SKIPIF1<0AE＝SKIPIF1<0，∵BJ＝AD＝2，∴BN≤BJ+JN，∴BN≤4SKIPIF1<0+2，∴當(dāng)點N在BJ的延長線上時，BN的值最大，如圖3﹣2中，過點N作NH⊥AD于H，設(shè)BJ交AD于K，連接AN．∵KJ＝AJ?tan30°＝SKIPIF1<0，JN＝2，∴KN＝SKIPIF1<0+2，在Rt△HKN中，∠NHK＝90°，∠NKH＝60°，∴HN＝NK?sin60°＝(SKIPIF1<0+2)×SKIPIF1<0＝2+SKIPIF1<0，∴S△ADN＝SKIPIF1<0?AD?NH＝SKIPIF1<0×4SKIPIF1<0×(2+SKIPIF1<0)＝4SKIPIF1<0+6．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．12．(2021·山西朔州·八年級期末)綜合與實踐問題情境：一次數(shù)學(xué)課上，老師出示了課本中的一道復(fù)習(xí)題：如圖，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等邊三角形，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．初步探究：(1)試判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；深入探究：(3)如圖2，四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0都是正方形，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，試判斷四邊形SKIPIF1<0的形狀，并說明理由；拓展延伸：(4)如圖3，四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0都是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，若四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，請直接寫出SKIPIF1<0的長．【答案】(1)SKIPIF1<0；見解析；(2)見解析；(3)平行四邊形，見解析；(4)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)利用等邊三角形性質(zhì)證明SKIPIF1<0即可得出結(jié)論；(2)全等三角形和等邊三角形性質(zhì)可證SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，再根據(jù)一組對邊平行而且相等的四邊形是平行四邊形即可解答；(3)根據(jù)正方形性質(zhì)證明SKIPIF1<0，進而證明SKIPIF1<0，即可解答；(4)由SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，進而可證SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0是等腰直角三角形，從而求出SKIPIF1<0．【詳解】解：(1)SKIPIF1<0．理由如下：∵SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．(2)由①知SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形．(3)四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形．理由如下：∵四邊形SKIPIF1<0與四邊形SKIPIF1<0均為正方形∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形．(4)SKIPIF1<0．過程如下：∵在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，又∵四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0都是菱形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題是旋轉(zhuǎn)綜合題，主要考查了全等三角形判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、以及正三角形、正方形、菱形等圖形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是關(guān)鍵特殊多邊形性質(zhì)通過特殊角度的計算得出角相等，由此證明三角形全等．13．(2021·重慶巴蜀中學(xué)七年級期末)如圖，△CAB與△CDE為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，連接AD、BE．(1)如圖1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，則∠DEB的度數(shù)為________度；(2)如圖2，若A、D、E三點共線，AE與BC交于點F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面積；(3)如圖3，BE與AC的延長線交于點G，若CD⊥AD，延長CD與AB交于點N，在BC上有一點M且BM＝CG，連接NM，請猜想CN、NM、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．【答案】(1)27；(2)SKIPIF1<0；(3)BG=MN+CN，證明見解析．【解析】【分析】(1)證明△ACD≌△BCE得∠CEB=∠ADC，∠CAD=∠CBE，再求出∠ACD，由三角形內(nèi)角和定理可解決問題；(2)過C作CG⊥DE于點G，由()1)可證△ACD≌△BCE得BE=AD=3，證明△CGF≌△BEF得CG=3，EF=SKIPIF1<0，根據(jù)三角形面積公式可計算出結(jié)果；(3)過點C作CF//AB交BG于點F，證明四邊形CNBF是平行四邊形得CN=BF，CF=BN，證明SKIPIF1<0得GF=MN，進一步可得結(jié)論．【詳解】解：(1)∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴SKIPIF1<0∵,SKIPIF1<0∴△ACD≌△BCE∴∠CEB=∠ADC，∠CAD=∠CBE=28°∵∠DCB=10°∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-10°=80°∴∠BCE=80°∴∠CEB=180°-∠CBE-∠BCE=72°∴∠DEB=∠CEB-∠CED=72°-45°=27°；故答案為27；(2)過C作CG⊥DE于點G，如圖，∵△DCE是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0,∠CGE=90°由(1)同理可證明：△ACD≌△BCE∴BE=AD=3，∠CEB=∠CDA=180°-45°=135°∴∠GEB=∠CEB-∠CED=135°-45°=90°=∠CGF∵CF=BF，∠CFG=∠EFB∴△CGF≌△BEF∴GF=EF=SKIPIF1<0，GC=BE=AD=3∵CG=GE∴GF=EF=SKIPIF1<0∵∠CGF=90°∴SKIPIF1<0(3)過點C作CF//AB交BG于點F，∴∠GCF=∠CAB=∠CBA=45°由(1)同理可得，△ACD≌△BCE∴∠BEC=∠ADC∵AD⊥CD∴∠ADC=90°∴∠BEC=90°=∠DCE∴CN//BF∵CF//BN∴四邊形CNBF是平行四邊形∴CN=BF，CF=BN在△BMN和△CGF中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴GF=MN∴BG=GF+BF=MN+CN【點睛】本題考查三角形綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．14．(2021·內(nèi)蒙古固陽·八年級期末)在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是射線SKIPIF1<0上一動點，以SKIPIF1<0為邊向右側(cè)作等邊SKIPIF1<0．(1)如圖1，當(dāng)點SKIPIF1<0在菱形SKIPIF1<0內(nèi)部或邊上時，連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系是______，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系是________；(2)當(dāng)點SKIPIF1<0在菱形SKIPIF1<0外部時(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．(請結(jié)合圖2的情況予以證明或說理．)(3)如圖3，當(dāng)點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0的延長線上時，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積．【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；(2)成立，見解析；(3)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)①連接AC，證明△ABP≌△ACE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得BP=CE；②根據(jù)菱形對角線平分對角可得SKIPIF1<0，再根據(jù)△ABP≌△ACE，可得SKIPIF1<0，繼而可推導(dǎo)得出SKIPIF1<0，即可證得CE⊥AD；(2)(1)中的結(jié)論：BP=CE，CE⊥AD仍然成立，利用(1)的方法進行證明即可；(3)連接AC交BD于點O，連接CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得SKIPIF1<0，再利用勾股定理求出CE的長，AP長，由△APE是等邊三角形，求得PH，EH的長，再根據(jù)SKIPIF1<0，進行計算即可得．【詳解】(1)①BP=CE，理由如下：連接AC，∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△APE是等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE；②CE⊥AD，∵菱形對角線平分對角，∴SKIPIF1<0，∵△ABP≌△ACE，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴CF⊥AD，即CE⊥AD；(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，理由如下：連接SKIPIF1<0，∵菱形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0