第13講 軸對稱與旋轉(zhuǎn)（壓軸題組）【有答案】-【2022年】中考數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)（知識點·易錯點·題型訓(xùn)練·壓軸題組）

第13講軸對稱與旋轉(zhuǎn)（壓軸題組）1．綜合與實踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在平行四邊形ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將平行四邊形ABCD沿著BF（F為CD的中點）所在直線折疊，如圖②，點C的對應(yīng)點為C′，連接DC′并延長交AB于點G，請判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將?ABCD沿過點B的直線折疊，如圖③，點A的對應(yīng)點為A′，使A′B⊥CD于點H，折痕交AD于點M，連接A′M，交CD于點N．該小組提出一個問題：若此平行四邊形ABCD的面積為20，邊長AB＝5，BC＝2，求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．【答案】（1）EF=BF，理由見解析；（2）AG=BG，理由見解析；（3）．【詳解】解：（1）結(jié)論：EF=BF，理由如下：如圖，過點F作FH∥AD交BE于點H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵F為CD的中點，即DF=CF，∴∴EH=HB，∵BE⊥AD，F(xiàn)H∥AD，∴FH⊥EB，∴EF=BF；（2）結(jié)論：AG=BG，理由如下：連接，

由折疊知識得：，，∵DF=FC，∴，∴，∴，∴∴，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四邊形DFBG是平行四邊形，∴DF=BG，∵，∴，∴AG=GB；（3）如圖，過點D作DJ⊥AB于點J，過點M作MT⊥AB于點T，

∵S平行四邊形ABCD=AB×DJ，∴DJ=，∵BC＝2，∴，在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∵，∴，∵DJ⊥AB，∴∠DJB=∠JBH=∠DHB=90°，∴四邊形DJBH是矩形，∴BH=DJ=4，∴，∵MT⊥AB，DJ⊥AB，∴MT∥DJ，∴△ATM∽△ADJ，∴，∴，設(shè)AT=x，則MT=2x，根據(jù)折疊得：，∴MT=TB=2x，∴3x=5，解得：，∴，∵，∴△ADJ∽△A＇NH，∴，∴，∴NH=2，∴，∴．2．（2021·山東中區(qū)·九年級期末）定義：關(guān)于x軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋物線”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同軸對稱拋物線”為y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）請寫出拋物線y1＝（x﹣1）2﹣2的頂點坐標；及其“同軸對稱拋物線”y2＝﹣（x﹣1）2+2的頂點坐標；（2）求拋物線y＝﹣2x2+4x+3的“同軸對稱拋物線”的解析式．（3）如圖，在平面直角坐標系中，點B是拋物線L：y＝ax2﹣4ax+1上一點，點B的橫坐標為1，過點B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對稱拋物線”于點C，分別作點B、C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點、，連接BC、、、．①當四邊形為正方形時，求a的值．②當拋物線L與其“同軸對稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有11個橫、縱坐標均為整數(shù)的點時，直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）(1，﹣2)，(1，2)；（2）y＝2（x﹣1）2﹣5；（3）①a＝；②≤a≤1或﹣≤a＜﹣【詳解】解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知頂點坐標為（1，﹣2），

由y2＝﹣（x﹣1）2+2知頂點坐標為（1，2），故答案為：（1，﹣2），（1，2）．（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5，∴“同軸對稱拋物線”的解析式為：y＝2（x﹣1）2﹣5．（3）①當x＝1時，y＝1﹣3a，∴B（1，1﹣3a），∴C（1，3a﹣1），∴BC＝|1﹣3a﹣（3a﹣1）|＝|2﹣6a|，∵拋物線L的對稱軸為直線x＝＝2，∴點B'（3，1﹣3a），∴BB'＝3﹣1＝2，∵四邊形BB'C'C是正方形，∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，解得：a＝0（舍）或a＝．②拋物線L的對稱軸為直線x＝2，頂點坐標為（2，1﹣4a），∵L與“同軸對稱拋物線”關(guān)于x軸對稱，∴整點數(shù)也是關(guān)于x軸對稱出現(xiàn)的，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上的整點可以是3個或5個，L與x軸圍成的區(qū)域內(nèi)整點個數(shù)為4個或3個，（i）當a＞0時，∵L開口向上，與y軸交于點（0，1），∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有3個整點，兩個區(qū)域內(nèi)各有4個整點，∴當x＝1時，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，當x＝2時，﹣3≤1﹣4a＜﹣2，解得：≤a≤1；（ii）當a＜0時，∵L開口向下，與y軸交于點（0，1），∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有5個整點，兩個區(qū)域內(nèi)各有3個整點，∴當x＝2時，1＜1﹣4a≤2，當x＝﹣1時，5a+1＜0，解得：，綜上所述：≤a≤1或﹣≤a＜﹣．3．（2021·江蘇·蘇州市景范中學(xué)校二模）如圖1，在中，，邊，點分別在線段上，將沿直線翻折，點C的對應(yīng)點是點；（1）當分別是邊的中點時，求出的長度；（2）若，點到線段的最短距離是________；（3）如圖2，當點在落在邊上時，①點運動的路程長度是______；②當時，求出的長度．【答案】（1）；（2）；（3）①4；②.【詳解】解：（1）設(shè)MN交于O∵M、N分別為AC、BC的中點∴AM=CM，CN=BN∴MN∥AB（中位線定理），∵，∴MN垂直平分∴，∴且點落在AB上∵∠C=90°∴∵∴（2）如圖2中，過點N作NH⊥AB與H∵，BC=8∴∵∴∵點是在以N為圓心，長為半徑的圓上，∴當點落在線段NH上時，點到線段AB的距離最短∴最短距離；（3）①如圖3-1所示，當點N與B重合時，的值最大，最大值=BC=8，如圖3-2中，當M與A重合時，的值最小，最小值=AB-=AB-AC=4觀察圖形可知，當點落在AB上時，點的運動的路程長度為4

②如圖3-3中，過點M作ME⊥AB于E，過點N作NF⊥AB于F，設(shè)CN=x，則BN=8-x，∵，∴，∵，∴∴∴，∵∴∴由翻折的性質(zhì)得：∴∵∴∴∴∴解得經(jīng)檢驗是分式方程的解∴4．（2021·湖北當陽·一模）如圖，在矩形中，，，點是邊上的點（不與點，重合），將沿折疊，點是點的對應(yīng)點；點是邊上的點，將沿折疊，點是點的對應(yīng)點，且點在直線上．（1）若，求的長；（2）若點是的中點，求的值；（3）當點恰好落在邊上時，求四邊形的面積．【答案】（1）1；（2）或；（3）或【詳解】解：（1）將沿折疊，點是點的對應(yīng)點，∴△AED≌△A1∴，∵將沿折疊，點是點的對應(yīng)點，∴≌，∴，∴，∵，∴，∵，∴≌（AAS），∴，，∵，，∴，，∴；（2）由（1）知，∽，∴，∵點是的中點，∴，∴，∴或，在中，或；（3）連接，交于點，∵點恰好落在邊上，∴是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∵，，∴△AED≌（AAS），∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，設(shè)，，則，，，在中，，∴，∵∽，∴，∴，∴，解得，∴四邊形的面積,綜上：四邊形的面積為或．5．（2021·河北競秀·一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝9，AD＝13，tanA＝，點P在射線AD上運動，連接PB，沿PB將△APB折疊，得△A'PB．（1）如圖1，點P在線段AD上，當∠DPA'＝20°時，∠APB＝度；（2）如圖2，當PA'⊥BC時，求線段PA的長度；（3）當點A'落在平行四邊形ABCD的邊所在的直線上時，求線段PA的長度；（4）直接寫出：在點P沿射線AD運動過程中，DA′的最小值是多少？【答案】（1）80或100；（2）線段PA的長度為；（3）線段PA的長度為或9或；（4）DA′的最小值是．【詳解】解：（1）當在直線的右側(cè)時，△APB折疊得到△A'PB，當在直線的左側(cè)時，，故答案為：80或100；（2）如圖，作于，平行四邊形ABCD中，設(shè)，；（3）①當點在上時，；②當點在上時，由折疊可知，四邊形是菱形，；③當點在的延長線上時，綜上所述，線段PA的長度為或9或；（4）如圖，作于，連接，的最小值是．6．（2021·四川·中江縣凱江中學(xué)校九年級期中）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，過點D（）且頂點P的坐標為（﹣1，3）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，若點M是二次函數(shù)圖象上的點，且在直線CD的上方，連接MC，MD．求△MCD面積的最大值及此時點M的坐標；（3）如圖2，設(shè)點Q是拋物線對稱軸上的一點，連接QC，將線段QC繞點Q逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點C的對應(yīng)點為F，連接PF交拋物線于點E，求點E的坐標．【答案】（1）；（2）△MCD面積的最大值為，M的坐標：（3）【詳解】解：（1）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的頂點P的坐標為（﹣1，3），設(shè)二次函數(shù)的解析式為將點代入，得解得二次函數(shù)的解析式為（2）如圖，過點作軸，交直線于點，，令，則設(shè)直線的解析式為則解得直線的解析式為點M是二次函數(shù)圖象上的點，是上的點，設(shè)，則當時，此時，△MCD面積的最大值為（3）設(shè)點，如圖，當時，過點作軸，交軸于點，過點作于點，將線段QC繞點Q逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點C的對應(yīng)點為F，，，,設(shè)直線的解析式為，則解得直線的解析式為解得，②如圖，當時，過點作于點，過點作于點，同理可得，同理可得，直線的解析式為解得，③當時，旋轉(zhuǎn)后的點與點重合，此時過的點的直線由無數(shù)條，不能確定點的坐標，根據(jù)題意舍去；綜上所述，．7．（2021·湖北新洲·九年級期中）問題背景：（1）如圖1，等邊△ABC，點P在△ABC左側(cè)且∠APC＝30°，將△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，畫出圖形．探究思考：（2）在（1）的條件下，求證：PB＝AC；拓展創(chuàng)新：（3）如圖2，等邊△ABC，∠AMC＝60°，AM＝6，CM＝4，直接寫出BM的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2或2．【詳解】（1）解：如圖所示，（2）證明：如圖2，連接PP'，由旋轉(zhuǎn)得，AP'＝AP，∠PAP'＝60°，∠AP'B＝∠APC＝30°，∴△APP'是等邊三角形，∴∠AP'P＝60°，AP＝AP'＝PP'，∴∠PP'B＝60°﹣30°＝30°，∵AP'＝PP'，∠PP'B＝∠AP'B，BP'＝BP'，∴△AP'B≌△PP'B（SAS），∴PB＝AB，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∴PB＝AC．（3）解：當點M在AC的右側(cè)時，如圖3，將△ACM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABG，連接CG，過點B作MH⊥BG，交BG的延長線于點H，設(shè)AG交BC于點T，由旋轉(zhuǎn)得，AG＝AM，∠MAG＝60°，∠AGB＝∠AMC＝60°，BG＝CM＝4，∠ABG＝∠ACM，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∵∠BTG＝∠ATC，∴△BTG∽△ATC，∴，∵∠ATB＝∠CTG，∴△ATB∽△CTG，∴∠BAT＝∠BCG，∠AGC＝∠ABC＝60°，∵∠BAG+∠ABG+∠AGB＝180°，∴∠BCG+∠ACM+∠ACB＝180°，∴點G、C、M三點共線，∵AG＝AM，∠MAG＝60°，∴△AGM是等邊三角形，∴GM＝AM＝6，∵∠AGM＝∠AGB＝60°，∴∠MGH＝60°，∵MH⊥BG，∴GH＝GM＝3，MH＝GM＝3，∴BH＝BG+GH＝4+3＝7，∴BM＝＝2，當點M在AC的左側(cè)時，如圖4，將△ACM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABG，連接BM，同圖3理可證，點G、B、M三點共線，GM＝AM＝6，BG＝CM＝4，∴BM＝GM﹣BG＝6﹣4＝2，綜上所述，BM的長為2或2．故答案為：2或2．8．（2021·重慶八中九年級期中）在△ABC中，CA＝CB，CA⊥CB，點D是射線AC上一動點，連接BD，將BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得ED，連接CE．（1）如圖1，當點D在線段AC上時，若DE＝，BC＝3，求△ABD的周長；（2）如圖2，點D在AC延長線上，作點C關(guān)于AB邊的對稱點F，連接FE，F(xiàn)D，將FD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得GD，連接AG，求證：AG＝CE；（3）如圖3，點D在AC延長線上運動過程中，延長EC交AG于H，當BH最大時，直接寫出的值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【詳解】（1）解：如圖1，在Rt△BCD中，BC＝3，BD＝DE＝，∴CD＝1，∴AD＝AC﹣CD＝BC﹣AD＝3﹣1＝2，∵CA＝CB，CA⊥CB，∴AB＝＝3，∴△ABD的周長是：3+2；（2）證明：如圖2，連接BG交EF于N，連接CF交AB于M，AB與EF交于點P，DF與BG交于O，∵∠BDE＝∠GDF＝90°，∴∠BDE+∠ADF＝∠GDF+∠ADF，即：∠BDG＝∠FDE，∵DE＝BD，DG＝DF，∴△BDG≌△EDF（SAS），∴BG＝EF，∴∠BGD＝∠DFE，∵∠DOG＝∠FOB，∴∠BNP＝∠ONF＝∠GDO＝90°，∵∠BPN＝∠MPF，∴∠CFE＝∠ABG，∵CF＝2CM＝2AM＝AB，∴△GAB≌△ECF（SAS），∴AG＝CE；（3）如圖3，由（2）得，△GAD≌△ECF，∴∠GAB＝∠ECF，∴∠GAB﹣∠CAB＝∠ECF﹣∠BCM，∴∠CAB＝∠BCM＝45°，∴∠GAC＝∠ECB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠ECB＝90°，∴∠ACH+∠GAC＝90°，∴∠AHC＝90°，∴點H在以AC為直徑的⊙I運動，如圖4，當BH過I時，BH最大，不妨設(shè)半徑AI＝CI＝HI＝1，∴BC＝AC＝2，∴IB＝＝，作HT⊥AC于T，作EK⊥AD于K，∴∠HTI＝∠ACB＝90°，∴HT∥BC，∴△HTI∽△BCI，∴＝＝，∴＝＝，∴HT＝，TI＝，∵∠BCD＝∠BDE＝∠K＝90°，BD＝DE，由“一線三等角”得，△BCD≌△DKE，∴CD＝EK，BC＝DK＝2，∵tan∠KCE＝tan∠HCT，∴＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝．9．（2021·河南汝陽·九年級期中）如圖1，矩形AEGH的頂點E、H在矩形ABCD的邊上，且AD：AB＝AH：AE＝1：2．（1）請直接寫出HD：GC：EB的結(jié)果（不必寫計算過程）；（2）如圖2，矩形AEGH繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度，此時HD：GC：EB的結(jié)果與（1）的結(jié)果有變化嗎？如有變化，寫出變化后結(jié)果并說明理由；若無變化，請說明理由．【答案】（1）HD：GC：EB＝1：：2；（2）無變化，見解析【詳解】解：（1）如圖1，作GF⊥CD于點F，連接AG，則∠DFG＝∠GFC＝90°，∵四邊形AEGH和四邊形ABCD都是矩形，∴∠D＝∠AHG＝∠EGH＝90°，AB＝DC，AE＝HG，∴∠DHG＝180°﹣∠AHG＝90°，∴四邊形DFGH是矩形，∴HG＝DF，HD＝GF，∠FGH＝90°，∴，∴，∴＝，∴＝，整理得＝，∵∠GFC＝∠AHG，∴△GFC∽△AHG，∴∠FGC＝∠HAG，∴∠FGC+∠HGA＝∠HAG+∠HGA＝90°，∴∠FGC+∠HGA+∠FGH＝180°，∴點A、G、C在同一條直線上，∴點G在矩形ABCD的對角線AC上，由＝得＝＝＝，∴FC＝2GF，∴