空間距離求解轉(zhuǎn)化策略 - 職業(yè)教育

空間距離求解轉(zhuǎn)化策略-職業(yè)教育導讀：其求解的根本思想辦法是轉(zhuǎn)化為求兩點間的距離?？臻g距離，空間距離求解轉(zhuǎn)化策略。關(guān)鍵詞：空間距離，轉(zhuǎn)化空間中的距離包括點點，點面，線線，線面，面面六種。其求法是教材的重要內(nèi)容，也是歷年高考考查的重點，其求解的根本思想辦法是轉(zhuǎn)化為求兩點間的距離。特別是異面直線間的距離和點到平面的距離計算是立體幾何中的一個非常重要內(nèi)容，學生在遇到此類距離計算時，由于空間想象力等自身原因無法構(gòu)造出距離，或者無法尋找到與距離相關(guān)的一些聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。結(jié)果往往是無從下筆嚴重影響考試成績。事實上，一般距離都可轉(zhuǎn)化成點線距離，進而轉(zhuǎn)化成兩點間的距離，最后都把它們放在平面三角形中來解決。因此距離的轉(zhuǎn)化就成了師生共同的難點。

為此，筆者將多年來的教學經(jīng)驗總結(jié)此文，以其拋磚引玉。

事實上，距離轉(zhuǎn)化一般有如下形式：

其中比擬困難的是最后一步。本文通過舉例來表明距離計算中的一些轉(zhuǎn)化策略。

〈1〉異面直線距離的轉(zhuǎn)化

例1如圖1所示：已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是邊AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求異面直線BD與GE的距離。

解連結(jié)BD，由E、F分別為AB、AD的中點，知EFBD，EF面GEF，

BD∥平面GEF。

故BD與GE的距離為線BD到平面GEF的距離，連接AC交BD于O，交EF于H。

因GC⊥平面ABCD，EF平面ABCD，故GC⊥EF。又EF⊥HC，且GCHC=C那么EF⊥平面GHC，而EF平面GEF,故平面GEF⊥平面GHC,.且平面GEF平面GHC=HG所以過點O作OK⊥GH，那么OK⊥面GEF，

BD到面GEF的距離即為點O到線GH的距離OK，在Rt△HKO中，

因正方形ABCD的邊長為4故AC=4,OH=,HC=3,又GC=2且

HG=(3)+2=22

故HG=,

即異面直線BD與CE的距離為

總結(jié):

圖1圖2

例2已知異面線段AB=a，CD=b，所成角為θ，4點A、B、C、D構(gòu)成四面體的體積為V，求異面線段AB到CD的距離。

解如圖2，過B作BECD，連AE，那么∠ABE=θ或π－θ。

由CD∥BE，那么CD∥面ABE。

CD到AB的距離轉(zhuǎn)化為CD到面ABE的距離。大全，空間距離。

設點C到面ABE的距離為d，那么d為CD到AB的距離。

由等積性:V=V=V=V注意到V==ab.d=V

那么d=

總結(jié)CD到AB的距離CD到面ABE的距離點C到面ABE的距離。大全，空間距離。

2點面距離的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化

面面距離，線面距離，異面直線距離都轉(zhuǎn)化為點面距離。因此點面距離如何構(gòu)造、計算，轉(zhuǎn)化就成為問題求解的關(guān)鍵。點面距離通常有三種求法：利用兩平面垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為點線距離計算。當垂足位置不容易確定時，可考慮利用等體積法來求解。大全，空間距離。還可用坐標向量法

利用兩平面垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為點線距離計算。

例3已知正三棱錐ABC-A1B1C1的每條棱長為a，過AB1的作平行于BC1的平面M，求點A1到平面M的距離。

解如圖3，延長CB到D，使BD=BC，連結(jié)AD，由BDB1C1，那么BC1∥DB1，從而BC1∥面ADB1，即M為面ADB1。

圖3

設F、H分別為A1C1、AC的中點，B1FBHAD，

B1F∥AD。

連AF，那么面M即為ADB1F。

故A1到面M的距離即為A1到面ADB1F的距離。

∵B1F⊥面ACC1A1，

面M⊥面ACC1A1。

過A1作A1G⊥AF交AF于G，那么A1G為點A1到面M的距離。

在Rt△AFA1中，AF=a,AA=a,∠FAA=90°再由AAAF=AFAG不難計算出

A1G=。

總結(jié)利用B1DBC1作平面M，并再利用B1FAD，得到平面M與平面ACC1A1的交線AF，再注意到面M⊥面ACC1A1，點A1到面M的距離轉(zhuǎn)化為點A1到線AF的距離。

用等體積法求點到平面的距離

例4：如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，

點E在棱AB上移動．

求：當E為AB的中點時,求點E到面ACD1的距離；

解：設點Ｅ到平面ＡＣD1的距離為h，在ΔＡＣD1中，ＡD1＝，

ＡＣ＝ＣD1＝，故＝＝，而＝＝．∵h=．

這里點E到面ACD1的距離不好找故用等體積法解更方便

坐標向量法求點到平面的距離

所謂坐標向量法，就是建立適當?shù)目臻g直角坐標系(本文所建立的都是右手直角坐標系)，把向量用坐標來表示，用向量的坐標形式進行向量的運算，運用坐標法時，必須首先找出三個基向量，并且這三個基向量兩兩垂直,由此建立空間直角坐標系.進而可出求點到面的距離。這是新教材的一大特色。更是近年來高考的熱點之一。

例5：如圖已知正三棱柱的棱長為2，底面邊長為1，是的中點.CN=求：當時，求點到平面的距離.

解：以，分別為軸、軸，垂直于

，的為軸建立空間直角坐標系，那么有：

、，那么，

設向量與平面垂直，那么有

取

向量在上的射影長即為到平面的距離，設為，于是

從以上可以看出，在構(gòu)造點到平面的距離時須結(jié)合具體的空間圖形特征，選擇恰當?shù)霓k法，充沛發(fā)揮空間圖形的想象力，就一定能克服此類空間距離求解的思維障礙。特別是用坐標向量法求點到平面的距離時不但須要建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，以便簡化運算。還須具備很