2023年中考數(shù)學(xué)專題《最值問題》

考向35最值問題（“胡不歸”和“阿氏圓”）【考點(diǎn)梳理】模型一：“胡不歸”問題分析從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.模型展示：如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最小．，記，即求BC+kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．最值解法：在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．模型二：“阿氏圓”問題分析：“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA:PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓．這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。模型展示：如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為圓．（1）角平分線定理：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，則．證明：，，即（2）外角平分線定理：如圖，在△ABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點(diǎn)D，則．證明：在BA延長線上取點(diǎn)E使得AE=AC，連接BD，則△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，則，即．接下來開始證明步驟：如圖，PA：PB=k，作∠APB的角平分線交AB于M點(diǎn)，根據(jù)角平分線定理，，故M點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB的角平分線交AB于定點(diǎn)；作∠APB外角平分線交直線AB于N點(diǎn)，根據(jù)外角平分線定理，，故N點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB外角平分線交直線AB于定點(diǎn)；又∠MPN=90°，定邊對(duì)定角，故P點(diǎn)軌跡是以MN為直徑的圓．模型最值技巧：計(jì)算的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形問題：在圓上找一點(diǎn)P使得的值最小，解決步驟具體如下：①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP，OB②計(jì)算出這兩條線段的長度比③在OB上取一點(diǎn)C，使得，即構(gòu)造△POM∽△BOP，則，④則，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值【題型探究】題型一：胡不歸模型1．如圖，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．122．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為_____．3．拋物線分別交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)線段MN，NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請(qǐng)寫出你的理由；(3)在M，N移動(dòng)的過程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，請(qǐng)寫出理由．題型二;“阿氏圓”模型4．如圖，正方形的邊長為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是______．5．如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為___________．6．如圖1，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸是直線．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是直線下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使四邊形的面積為16，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，過點(diǎn)作交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【必刷好題】一、單選題7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．9．如圖，在中，，，，若是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值（

）A． B． C． D．二、填空題10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為__________．11．如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為______．12．如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過點(diǎn)，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)不含端點(diǎn)，則的最小值為______．13．如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半徑為5的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，CE是圓O的切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則ODCD的最小值為_____．14．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接、，則的最小值是___________．15．如圖，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________．16．如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_______．17．如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是_____．18．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD﹣PC的最大值為_____．三、解答題19．如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)（），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：(2)設(shè)△PMN的周長為，△AEN的周長為，若求m的值．(3)如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為（），連接、，求的最小值．20．如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點(diǎn)D，連接AD．(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)如圖2，點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PA+PC的值最小？求此時(shí)PA+PC的長度．(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點(diǎn)Q為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求∠QAC的正弦值．21．在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，，經(jīng)過點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點(diǎn)，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，的面積為5．(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象下方，求面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求的最小值．參考答案：1．D【分析】過點(diǎn)C作射線，使，再過動(dòng)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F，連接，在中，當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長．【詳解】解：過點(diǎn)C作射線，使，再過動(dòng)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F，連接，如圖所示：在中，，∴，∵＝，∴當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長，此時(shí)，，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為12，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造胡不歸模型，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題．2．4【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB＝2＝＝2BF，通過解直角三角形ABF，進(jìn)一步求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線．3．(1)(2)，見解析(3)有，最小值為【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）在中，，，根據(jù)，有，即可得，問題得解；（3）先求出，即，即有，則的最小值是的最小值，即點(diǎn)D到AC的垂線段DN的長，問題隨之得解．【詳解】（1）把點(diǎn)，代入拋物線中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2），理由是：如圖1，令，則，即，∵，，∴，，，在中，，，∵，∴，∴，∴，∴；（3）在M，N移動(dòng)的過程中，有最小值是，理由如下：由（2）知：，∴，即，∴，∴的最小值是的最小值，即D、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到AC的垂線段DN的長，如圖2，拋物線解析式為：；∴對(duì)稱軸是：，即，∴，在中，，∴，即，∴在M，N移動(dòng)的過程中，有最小值是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形以及垂線段最短等知識(shí)．題目難度不大，細(xì)心作答即可．掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．4．2【分析】解法1，如圖：以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，連接，，連接、，推得，因?yàn)?，求出即可求出答案．解?：如圖：連接、、，在上做點(diǎn)，使，連接，證明，在上做點(diǎn)，使，連接，證明，接著推導(dǎo)出，最后證明，即可求解．【詳解】解法1如圖：以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，連接，，∴，，四邊形正方形，又，在與中，故答案為：2．解法2如圖：連接、、根據(jù)題意正方形的邊長為4，的半徑為2，在上做點(diǎn)，使，則，連接在與中，，則在上做點(diǎn)，使，則，連接在與中，，則如圖所示連接在與中，，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等知識(shí)，難度較大，熟悉以上知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用是解題關(guān)鍵．5．【分析】根據(jù)題意，本題屬于動(dòng)點(diǎn)最值問題-“阿氏圓”模型，首先作于，作于，如圖所示，通過代換，將轉(zhuǎn)化為，得到當(dāng)與相切時(shí)，取得最大值和最小