機械工程控制基礎系統(tǒng)數學模型

機械工程控制基礎系統(tǒng)數學模型第1頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五一、數學模型的基本概念1、數學模型數學模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內部各變量之間關系的數學表達式，它揭示了系統(tǒng)結構及其參數與其性能之間的內在關系。靜態(tài)數學模型：靜態(tài)條件（變量各階導數為零）下描述變量之間關系的代數方程。動態(tài)數學模型：描述變量各階導數之間關系的微分方程。第2頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五2、建立數學模型的方法解析法依據系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學規(guī)律列寫出相應的數學關系式，建立模型。人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當的數學模型進行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。數學模型應能反映系統(tǒng)內在的本質特征，同時應對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。實驗法第3頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五3、數學模型的形式時間域：微分方程（一階微分方程組）、差分方程、狀態(tài)方程復數域：傳遞函數、結構圖頻率域：頻率特性二、系統(tǒng)的微分方程1、定義：時域中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數學模型。2、

建立數學模型的一般步驟分析系統(tǒng)工作原理和信號傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；第4頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據各變量遵循的物理學定律，依次列寫出各元件、部件的動態(tài)微分方程；消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關系的微分方程；標準化：右端輸入，左端輸出，導數降冪排列3、

控制系統(tǒng)微分方程的列寫機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)中以各種形式出現的物理現象，都可簡化為質量、彈簧和阻尼三個要素：第5頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五質量mfm(t)參考點x

(t)v

(t)彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)第6頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)第7頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五機械平移系統(tǒng)mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機械平移系統(tǒng)及其力學模型fC(t)靜止（平衡）工作點作為零點，以消除重力的影響第8頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五式中，m、C、K通常均為常數，故機械平移系統(tǒng)可以由二階常系數微分方程描述。顯然，微分方程的系數取決于系統(tǒng)的結構參數，而階次等于系統(tǒng)中獨立儲能元件（慣性質量、彈簧）的數量。第9頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五彈簧－阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)KC彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運動方程為一階常系數微分方程。第10頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五機械旋轉系統(tǒng)Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液體齒輪JJ—旋轉體轉動慣量；K—扭轉剛度系數；C—粘性阻尼系數柔性軸第11頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五第12頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五電氣系統(tǒng)電阻電氣系統(tǒng)三個基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)電容Ci(t)u(t)第13頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五電感Li(t)u(t)第14頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五R-L-C無源電路網絡LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網絡第15頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五一般R、L、C均為常數，上式為二階常系數微分方程。若L=0，則系統(tǒng)簡化為：第16頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五有源電網絡+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：第17頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例：列寫下圖所示機械系統(tǒng)的微分方程解：1)明確系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為f(t),輸出為x(t)2)列寫微分方程，受力分析3)整理可得：第18頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五小結

物理本質不同的系統(tǒng)，可以有相同的數學模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行具有普遍意義的分析研究（信息方法）。

從動態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數學模型相同而物理本質不同的系統(tǒng)其輸出響應相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進行實驗模擬的基礎；

通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨立儲能元（慣性質量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等）的個數；因為系統(tǒng)每增加一個獨立儲能元，其內部就多一層能量（信息）的交換。第19頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五

系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結構及其參數。線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數為常數，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數是時間t的函數，則為線性時變系統(tǒng)；線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：可加性：齊次性：或：第20頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五疊加液體系統(tǒng)節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)設液體不可壓縮，通過節(jié)流閥的液流是湍流。A：箱體截面積；第21頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五上式為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結構形式決定的系數，通流面積不變時，為常數。線性系統(tǒng)微分方程的一般形式第22頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm為由系統(tǒng)結構參數決定的實常數，m≤n。三、非線性數學模型的線性化1、線性化問題的提出

線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性微分方程進行處理。

非線性現象：機械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由于間隙的存在導致的非線性傳輸特性；具有鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關系等。第23頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五2、非線性數學模型的線性化泰勒級數展開法函數y=f(x)在其平衡點（x0,y0）附近的泰勒級數展開式為：略去含有高于一次的增量x=x-x0的項，則：或：y-y0=y=Kx，其中：第24頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；對多變量系統(tǒng)，如：y=f(x1,x2)，同樣可采用泰勒級數展開獲得線性化的增量方程。增量方程：靜態(tài)方程：其中：第25頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五滑動線性化——切線法0xy=f(x)y0x0xy’y非線性關系線性化A線性化增量增量方程為：y

y'=xtg切線法是泰勒級數法的特例。3、系統(tǒng)線性化微分方程的建立步驟第26頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點；列出各組成元件在工作點附近的增量方程；消除中間變量，得到以增量表示的線性化微分方程；實例：液位系統(tǒng)的線性化節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)解：穩(wěn)態(tài)時：非線性項的泰勒展開為：第27頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五則：由于：注意到：所以：第28頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五實際使用中，常略去增量符號而寫成：此時，上式中H(t)和qi(t)均為平衡工作點的增量。4、線性化處理的注意事項線性化方程的系數與平衡工作點的選擇有關；線性化是有條件的，必須注意線性化方程適用的工作范圍；第29頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五某些典型的本質非線性，如繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點，不能通過泰勒展開進行線性化，只有當它們對系統(tǒng)影響很小時才能忽略不計，否則只能作為非線性問題處理。inout0近似特性曲線真實特性飽和非線性inout0死區(qū)非線性第30頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五inout0繼電器非線性inout0間隙非線性例：液壓伺服機構P31:解：1）明確系統(tǒng)輸入與輸出：輸入為x,輸出為y2)列寫原始微分方程：第31頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五3)非線性函數線性化：4)代入方程，整理可得：第32頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五四、拉氏變換和拉氏反變換1、拉氏變換設函數f(t)(t0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實常數，使得：則函數f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為實數）；第33頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五稱為拉普拉氏積分；F(s)稱為函數f(t)的拉普拉氏變換或象函數，它是一個復變函數；f(t)稱為F(s)的原函數；L為拉氏變換的符號。2、拉氏反變換L－1為拉氏反變換的符號。第34頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五3、幾種典型函數的拉氏變換單位階躍函數1(t)10tf(t)單位階躍函數第35頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五指數函數（a為常數）指數函數0tf(t)1第36頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五正弦函數與余弦函數正弦及余弦函數10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-1由歐拉公式，有：第37頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五從而：同理：第38頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五單位脈沖函數(t)0tf(t)單位脈沖函數1由洛必達法則：所以：第39頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五單位速度函數（斜坡函數）10tf(t)單位速度函數1第40頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五單位加速度函數單位加速度函數0tf(t)函數的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q表直接或通過一定的轉換得到。第41頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五常用拉氏變換表第42頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五5、拉氏變換的主要定理疊加定理齊次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a為常數；疊加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]

a，b為常數；顯然，拉氏變換為線性變換。實微分定理第43頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五證明：由于即：所以：同樣有：第44頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五當f(t)及其各階導數在t=0時刻的值均為零時（零初始條件）：第45頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五積分定理當初始條件為零時：第46頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五證明：同樣：第47頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五當初始條件為零時：延遲定理設當t<0時，f(t)=0，則對任意0，有：函數f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第48頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五位移定理例：初值定理第49頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五證明：其中:第50頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五初值定理建立了函數f(t)在t=0+處的初值與函數sF(s)在s趨于無窮遠處的終值間的關系。終值定理若sF(s)的所有極點位于左半s平面，即：存在。則：第51頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五證明：又由于：即：終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時的初值相同。第52頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五7、求解拉氏反變換的部分分式法部分分式法如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，Fn(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)第53頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五在控制理論中，通常：為了應用上述方法，將F(s)寫成下面的形式：式中，p1，p2，…，pn為方程A(s)=0的根的負值，稱為F(s)的極點；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此時，即可將F(s)展開成部分分式。第54頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五F(s)只含有不同的實數極點式中，Ai為常數，稱為s=-pi極點處的留數。實際常如下計算：第55頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例：求的原函數。解：即：第56頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例求所示象函數的原函數f（t）解：其中：p1＝0、p2＝-2、p3＝-5同理：A2=0.5、A3＝－0.6其反變換為：第57頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五F(s)含有共軛復數極點設共軛復數根p1＝α+jω、p2＝α－jω第58頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例求所示象函數的原函數解：p1＝－1+j2、p2＝－1－j2第59頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五F(s)含有重極點設F(s)存在r重極點-p0，其余極點均不同，則：式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。第60頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五……第61頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五注意到：所以：第62頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例求所示象函數的原函數解：B（s）＝0有p1＝－1的三重根、p2＝0的二重根，所以F（s）可以展開為：從而：第63頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例：求的原函數。解：第64頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五于是：8、應用拉氏變換解線性微分方程求解步驟將微分方程通過拉氏變換變?yōu)閟的代數方程；解代數方程，得到有關變量的拉氏變換表達式；應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。第65頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五原函數（微分方程的解）象函數微分方程象函數的代數方程拉氏反變換拉氏變換解代數方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程第66頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五實例設系統(tǒng)微分方程為：若xi

(t)

=1(t)，初始條件分別為x'o(0)、xo(0)，試求xo(t)。解：對微分方程左邊進行拉氏變換：第67頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五即：對方程右邊進行拉氏變換：從而：第68頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五第69頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五所以：查拉氏變換表得：當初始條件為零時：第70頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五應用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式中，因此，不需要根據初始條件求積分常數的值就可得到微分方程的全解。如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡單地用sn代替dn/dtn得到。由上述實例可見：系統(tǒng)響應可分為兩部分：零狀態(tài)響應和零輸入響應第71頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五五、傳遞函數1、傳遞函數的概念和定義傳遞函數在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。零初始條件：

t<0時，輸入量及其各階導數均為0；輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t<0時，輸出量及其各階導數也均為0；第72頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五傳遞函數求解示例質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數為：第73頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五

R-L-C無源電路網絡的傳遞函數所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：第74頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五幾點結論傳遞函數是復數s域中的系統(tǒng)數學模型，其參數僅取決于系統(tǒng)本身的結構及參數，與系統(tǒng)的輸入形式無關。若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數G(s)決定，即傳遞函數表征了系統(tǒng)內在的固有動態(tài)特性。傳遞函數通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的輸入－輸出特性來描述系統(tǒng)的內部特性。第75頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五傳遞函數的一般形式考慮線性定常系統(tǒng)當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數的一般形式：第76頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五令：則：N(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。2、特征方程、零點和極點特征方程式中，K稱為系統(tǒng)的放大系數或增益。當s=0時：G(0)=bm/an=K第77頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五從微分方程的角度看，此時相當于所有的導數項都為零。因此K反應了系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。零點和極點將G(s)寫成下面的形式：

N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj

(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數的極點；決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應曲線的收斂性，即穩(wěn)定性式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數的零點；影響瞬態(tài)響應曲線的形狀，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性第78頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五系統(tǒng)傳遞函數的極點就是系統(tǒng)的特征根。零點和極點的數值完全取決于系統(tǒng)的結構參數。零、極點分布圖

將傳遞函數的零、極點表示在復平面上的圖形稱為傳遞函數的零、極點分布圖。圖中，零點用“O”表示，極點用“×”表示。G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點分布圖012312-1-2-3-1-2j第79頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五3、傳遞函數的幾點說明傳遞函數是一種以系統(tǒng)參數表示的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關系式；傳遞函數的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；傳遞函數是s的復變函數。傳遞函數中的各項系數和相應微分方程中的各項系數對應相等，完全取決于系統(tǒng)結構參數；傳遞函數是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點處于相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律；第80頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五傳遞函數只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關系，無法描述系統(tǒng)內部中間變量的變化情況。一個傳遞函數只能表示一個輸入對一個輸出的關系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。4、脈沖響應函數初始條件為0時，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應的拉氏變換為：即：g(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應函數（權函數）。系統(tǒng)的脈沖響應函數與傳遞函數包含關于系統(tǒng)動態(tài)特性的相同信息。第81頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五5、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數環(huán)節(jié)具有某種確定信息傳遞關系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)。經常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。

任何復雜的系統(tǒng)總可歸結為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。典型環(huán)節(jié)示例比例環(huán)節(jié)輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關系。第82頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五其運動方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)—分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K—比例系數，等于輸出量與輸入量之比。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動副R2R1ui(t)uo(t)運算放大器第83頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五慣性環(huán)節(jié)凡運動方程為一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數為：T—時間常數，表征環(huán)節(jié)的慣性，和環(huán)節(jié)結構參數有關式中，K—環(huán)節(jié)增益（放大系數）；第84頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五如：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)KC第85頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五微分環(huán)節(jié)輸出量正比于輸入量的微分。運動方程為：傳遞函數為：式中，—微分環(huán)節(jié)的時間常數在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)不獨立存在，而是和其它環(huán)節(jié)一起出現。第86頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五RCui(t)uo(t)i(t)無源微分網絡無源微分網絡顯然，無源微分網絡包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當|Ts|<<1時，才近似為微分環(huán)節(jié)。除了上述純微分環(huán)節(jié)外，還有一類一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數為：第87頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導數，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢，從而給系統(tǒng)以有關輸入變化趨勢的預告。因此，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。積分環(huán)節(jié)輸出量正比于輸入量對時間的積分。運動方程為：傳遞函數為：式中，T—積分環(huán)節(jié)的時間常數。第88頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五積分環(huán)節(jié)特點：輸出量取決于輸入量對時間的積累過程。且具有記憶功能；具有明顯的滯后作用。積分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。如當輸入量為常值A時，由于：輸出量須經過時間T才能達到輸入量在t=0時的值A。第89頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五如：有源積分網絡+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a第90頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五液壓缸Aqi(t)xo(t)第91頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五振蕩環(huán)節(jié)含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉換，從而導致輸出帶有振蕩的性質，運動方程為：傳遞函數：式中，T—振蕩環(huán)節(jié)的時間常數

—阻尼比，對于振蕩環(huán)節(jié)，0<<1

K—比例系數第92頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數的另一常用標準形式為（K=1）：n稱為無阻尼固有頻率。如：質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)傳遞函數：式中，第93頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五當時，為振蕩環(huán)節(jié)。二階微分環(huán)節(jié)式中，—時間常數

—阻尼比，對于二階微分環(huán)節(jié)，0<<1

K—比例系數運動方程：傳遞函數：第94頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五延遲環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；運動方程：傳遞函數：式中，為純延遲時間。延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0～時間內,沒有輸出，但t=之后，輸出完全等于輸入。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：第95頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五ALvhi(t)ho(t)軋制鋼板厚度測量小結環(huán)節(jié)是根據微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件；第96頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運動特性共同組成；同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。六、系統(tǒng)傳遞函數方框圖1、系統(tǒng)傳遞函數方框圖系統(tǒng)傳遞函數方框圖是系統(tǒng)數學模型的圖解形式。可以形象直觀地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。注意：即使描述系統(tǒng)的數學關系式相同，其方框圖也不一定相同。第97頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五方框圖的結構要素信號線帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記信號的時間函數或象函數。X(s),x(t)信號線信號引出點（線）表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。

同一信號線上引出的信號，其性質、大小完全一樣。

引出線X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)第98頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五函數方框(環(huán)節(jié))G(s)X1(s)X2(s)函數方框函數方框具有運算功能，即：X2(s)=G(s)X1(s)傳遞函數的圖解表示。求和點（比較點、綜合點）信號之間代數加減運算的圖解。用符號“”及相應的信號箭頭表示，每個箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號。第99頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五相鄰求和點可以互換、合并、分解，即滿足代數運算的交換律、結合律和分配律。X1(s)X2(s)X1(s)X2(s)ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。第100頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五求和點函數方框函數方框引出線Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框圖示例任何系統(tǒng)都可以由信號線、函數方框、信號引出點及求和點組成的方框圖來表示。第101頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五系統(tǒng)方框圖的建立步驟建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號的因果關系（輸入/輸出）。對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部件的方框圖。按照信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依次將各部件的方框圖連接起來，得到系統(tǒng)的方框圖。第102頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五示例RCui(t)uo(t)i(t)無源RC電路網絡無源RC網絡拉氏變換得：第103頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五從而可得系統(tǒng)各方框單元及其方框圖。Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)(a)Uo(s)I(s)(b)Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)無源RC電路網絡系統(tǒng)方框圖第104頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五系統(tǒng)方框圖的簡化方框圖的運算法則串聯連接G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s)...G(s)=G1(s)G2(s)···Gn(s)Xi(s)Xo(s)第105頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五并聯連接Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)++Gn(s)...Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+

+Gn(s)第106頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五反饋連接G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)第107頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五方框圖的等效變換法則求和點的移動G(s)ABC±求和點后移G(s)ABCG(s)±G(s)ABC±G(s)ABC±求和點前移第108頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五引出點的移動引出點前移G(s)ACC引出點后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA第109頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五一般系統(tǒng)方框圖簡化方法：1)明確系統(tǒng)的輸入和輸出。對于多輸入多輸出系統(tǒng)，針對每個輸入及其引起的輸出分別進行化簡；2)若系統(tǒng)傳遞函數方框圖內無交叉回路，則根據環(huán)節(jié)串聯，并聯和反饋連接的等效從里到外進行簡化；3)若系統(tǒng)傳遞函數方框圖內有交叉回路，則根據相加點、分支點等移動規(guī)則消除交叉回路，然后按每2）步進行化簡；注意：分支點和相加點之間不能相互移動。第110頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例：求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數。H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)BH2(s)A解：1、A點前移；H1(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)Xo(s)H2(s)G3(s)第111頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五2、消去H2(s)G3(s)反饋回路H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)H3(s)Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s)

反饋回路第112頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五Xi(s)Xo(s)4、消去H3(s)

反饋回路例：系統(tǒng)傳遞函數方框圖簡化第113頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五第114頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例：系統(tǒng)傳遞函數方框圖簡化第115頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五2、梅遜公式

在相加點，對反饋信號為相加時取負號，對反饋信號為相減時取正號。條件：1）整個方框圖只有一條前向通道；2）各局部回路存在公共的傳遞函數方框。第116頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例：系統(tǒng)傳遞函數方框圖簡化第117頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五7、控制系統(tǒng)的傳遞函數考慮擾動的閉環(huán)控制系統(tǒng)G1(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G2(s)N(s)++Xi(s)到Xo(s)的信號傳遞通路稱為前向通道；Xo(s)到B(s)的信號傳遞通路稱為反饋通道；第118頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數也可定義為反饋信號B(s)和偏差信號

(s)之間的傳遞函數，即：將閉環(huán)控制系統(tǒng)主反饋通道的輸出斷開，即H(s)的輸出通道斷開，此時，前向通道傳遞函數與反饋通道傳遞函數的乘積G1(s)G2(s)H(s)稱為該閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數。記為GK(s)。第119頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五

xi(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數令n(t)=0，此時在輸入