利用COMSOL軟件對圓管聲模態(tài)的頻域模擬

利用COMSOL軟件對圓管聲模態(tài)傳播的模擬劉濟洲(北京航空航天大學能源與動力工程學院，102206，北京)摘要：本文主要介紹利用COMSOL軟件中的頻域線化Euler方程求解器模擬圓形管道內(nèi)聲模態(tài)傳播時的相關(guān)理論和具體參數(shù)設(shè)置方法。在一個簡化的無限長圓形管道內(nèi)，通過在某一截面加載聲模態(tài)條件，模擬了不同聲模態(tài)在無、有平均流動條件下的傳播。其中，核心問題包括圓形管道聲模態(tài)面內(nèi)波數(shù)的求解以及聲模態(tài)邊界條件的加載。本論文介紹的方法可為模態(tài)聲學相關(guān)研究提供借鑒和參考。關(guān)鍵字：管道聲模態(tài)，COMSOL軟件，數(shù)值模擬0引言管道聲模態(tài)理論在航空發(fā)動機聲學、葉輪機聲學等領(lǐng)域均得到廣泛的應(yīng)用。該理論由Tyler和Sofrin于1962年總結(jié)成文［1］,提出了管道內(nèi)線性聲波的一種分解方式，即聲模態(tài)，并給出了聲模態(tài)傳播規(guī)律的分析方法。根據(jù)這一理論，可以快速判斷某一壓氣機或渦輪所產(chǎn)生的噪聲的是否可以傳播，也可以求解出任意聲模態(tài)的具體數(shù)學表達式。COMSOLMultiphysics是一個包含多種物理求解器的商用軟件，其中的聲學模塊可以為廣泛的聲學問題提供解決方案，如：機械振動噪聲、氣動噪聲、水聲、壓電聲學等等。目前，利用COMSOL軟件求解管道聲模態(tài)的教程［2］采用了聲學模塊中的頻域勢流求解器，該方法可以快速準確地求解圓形或者環(huán)形管道截面處的聲模態(tài)面內(nèi)波數(shù)，并可以將得到的聲模態(tài)作為邊界條件，進而模擬該模態(tài)的傳播。但是，該解決方案只能模擬單一聲模態(tài)的傳播，無法得到兩個或者更多模態(tài)同時作用下聲波的傳播結(jié)果。在實際問題中，當需要給出多個模態(tài)共同作用的結(jié)果時，則需要尋找其它的解決方案。其次，在給定模態(tài)強度時，頻域線性勢流方法中用于表征強度的物理量為速度勢，而在多數(shù)聲學問題中，更廣泛地應(yīng)用聲壓、振動速度等聲學概念描述。因此，當該方法與其它方法銜接共同解決聲模態(tài)相關(guān)問題時，在不了解實際換算公式時，需要進行單位間的校準。聲學模塊中的頻域線化Euler方程求解器可以求解存在背景平均流動條件下線性聲波的傳播，十分適用于管道聲模態(tài)的傳播問題。在該方法中，聲模態(tài)可通過加載邊界條件(Prescribedacousticfield)實現(xiàn)，未知數(shù)為波動密度、波動速度和波動壓力，這與一般聲學問題中的未知數(shù)直接對應(yīng)。其次，可以根據(jù)模態(tài)的疊加原理，可同時加載多個聲模態(tài)，從而模擬多個聲模態(tài)同時傳播問題。相比于頻域線性勢流的方法，該解決方案在應(yīng)用時存在以下兩個關(guān)鍵點。第一，求解聲模態(tài)的面內(nèi)和面外波數(shù)；第二，正確加載聲模態(tài)作為邊界條件。由于該解決方案中的聲模態(tài)是通過公式給定的，因此對于確定的幾何構(gòu)型，需要能夠求解其面內(nèi)、面外波數(shù)的求解方法。對于圓形管道，面內(nèi)波數(shù)的求解涉及對貝塞爾函數(shù)根的求解，需要相應(yīng)的求解程序。而對于圓環(huán)形截面管道，其面內(nèi)波數(shù)求解相對更加復雜。在聲模態(tài)理論中，被分解的物理量是壓力，而聲波振動速度和密度通常沒有被考慮。但是，在以邊界條件給定聲場時，需要在確定壓力場的同時給出正確的聲波速度和密度，這需要質(zhì)量和動量方程的輔助。在本文中，詳細介紹了采用頻域線化Euler方程求解器模擬圓形管道中不同聲模態(tài)在有、無平均流動條件下的傳播。著重分析了聲模態(tài)邊界條件的正確加載方式，并給出了計算不同截面形式面內(nèi)波數(shù)的一個外部程序源。1模型的建立計算模型簡圖如圖1所示為一個長度為L二1m，半徑為R二0.1m的圓柱，管道兩側(cè)均布置有PML層作為無反射條件，給定聲源面在z二0m處定義。通過這樣的模型布置，可以模擬聲波在無限長圓形管道內(nèi)的傳播。計算時選擇3維頻域線化Euler方程求解器，在求解器設(shè)置時可以通過給定z方向平均速度值模擬平均流動對聲波傳播的影響。在z—0m處，添加Prescribedacousticfield邊界條件作為聲模態(tài)源截面。PML層指定聲源面 FMI■層L圖1計算模型簡圖2聲模態(tài)求解與邊界條件設(shè)置本小節(jié)介紹采用3維頻域線化Euler方程求解器模擬聲模態(tài)時的兩個關(guān)鍵問題。2.1聲模態(tài)求解根據(jù)管道聲模態(tài)理論，圓形管道內(nèi)某一截面的聲壓可以分解為一系列聲模態(tài)之和。p（r,申,z）=HAJ（卩r）e-噸e-%朋 （】）0 mnmmnmn假設(shè)壁面為硬壁面，則聲壓在壁面處所需滿足的條件為Qp（r,申,z） 0 （2） 二0drr=R根據(jù)這一邊界條件，可以求解出所有聲模態(tài)的面內(nèi)波數(shù)卩。但是具體求解時，由于涉及mnBessel函數(shù)零點的求解，過程相對復雜。為了方便起見，可采用作者提供的分解程序［3］。對于截面為圓環(huán)形的管道，其在聲模態(tài)分解時的基函數(shù)中包含兩類Bessel函數(shù)，并有兩個壁面邊界條件，這將求解面內(nèi)波數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求解Bessel函數(shù)交叉乘積（CrossproductBesselfunction）問題的零點。該問題在許多研究論文中［4］給出了解法和特定幾何的零點值，

為了使用方便，可以采用作者提供的程序［5］。在得到面內(nèi)波數(shù)卩后，還需要計算相應(yīng)的面外波數(shù)k ?？紤]到平均流動不為零的mn z,mn情況，面外波數(shù)可按以下公式求解：卩2+k2=（k-Ma*k} ⑶mn z,mnz,mn其中k為特定頻率下的總波數(shù)，Ma為平均流動Mach數(shù)。2.2聲模態(tài)源截面設(shè)置在得到聲模態(tài)的面內(nèi)、面外波數(shù)后，可以利用公式（1）給出某一個或多個聲模態(tài)的聲壓表達式。但是，需要注意的是，只給出壓力分布并不是一種正確給定聲源的方式。由于管道聲模態(tài)理論中處理對象為壓力場，因此很容易導致對這一概念的疏忽。為了正確給定聲源，在已知壓力場分布條件下，還需要根據(jù)聲波的動量守恒和質(zhì)量守恒方程得到聲波速度和密度與壓力的關(guān)系式。在時域內(nèi)，對于線性聲波有方程：TOC\o"1-5"\h\zdp du （4）=-p-dx 0dtdu dp （5）p=— 0dx dt由于求解器為基于頻率的，因此需要對公式（4）（5）進行Fourier變換，才能得到頻域內(nèi)的表達式：d%dx=—d%dx=—pi?%du%Po忘06)7)在COMSOL中，公式(6)(7)的具體寫法為：%=d(%x)/(—lef.rho0*lef.iomega)xu%=d(p%,y)/(—lef.rho0*lef.iomega) (8)yu%=d(p%,z)/(—lef.rho0*lef.iomega)zp%=lef.rho0*(d(%,x)+d(%,y)+d(%,z))/(—lef.iomega) (9)xyz公式(8)(9)可以直接應(yīng)用于聲源面(Prescribedacousticfield)的定義。3模擬結(jié)果與分析3.1平面波的傳播首先采用平面波驗證方法的正確性。計算中，頻率設(shè)定為343Hz,使得聲波波長正好為管道長度。圖2為管道內(nèi)模擬聲壓的分布，從圖中可以看出，聲波從聲源面z=0m處產(chǎn)生向上游傳播，在z=1m處完成一個周期的傳播。對于幅值，在傳播一個波長后平面波的幅值下降為聲源面處的98%，雖然線化Euler方程求解的聲波在理論上不會出現(xiàn)幅值衰減，但是數(shù)值計算過程中的離散，以及固定壁面條件，都會導致聲波幅值發(fā)生一定衰減。對于該模擬結(jié)果，2%的衰減量在數(shù)值誤差范圍內(nèi)。

圖2聲源為平面波時管道內(nèi)的壓力分布，f二343Hz3.2無流動條件下聲模態(tài)的傳播在驗證了平面波傳播問題之后，將平面波聲源壓力形式改為公式(1)中的表達式，可以模擬聲模態(tài)的傳播問題。3.2.1Cut-on模態(tài)傳播模擬給定頻率為f=2058Hz,此時圓管中(m,n)=(2,1)模態(tài)為cut-on模態(tài)，可以內(nèi)傳播。面內(nèi)波數(shù)卩21=30.54，面外波數(shù)k 二22.10。根據(jù)公式(1)構(gòu)造該模態(tài)的壓力場并通2,1 z,2,1、4為該模態(tài)在管道內(nèi)的聲壓分布圖，可以看到聲壓云圖在每一個截面上均為兩正兩負的花瓣狀，符合周向m二2的模態(tài)條件。其次，給定的聲模態(tài)源在向前傳播時伴隨著一定的旋轉(zhuǎn)。圖3聲源為(m,n)二(2,1)模態(tài)時管道內(nèi)的壓力分布，f二2058Hz

圖4聲源為(m,n)二(2,1)模態(tài)時管道內(nèi)的壓力分布，f二2058Hz3.2.2Cut-off模態(tài)傳播模擬給定頻率為f二343Hz,此時(m,n)二(2,1)模態(tài)為cut-off模態(tài)，不可以在管道內(nèi)傳播。面內(nèi)波數(shù)卩=30.54,面外波數(shù)k二29.89i。從圖5中可以看出，由于理論上該模態(tài)無2,1 z,2,1法在管道內(nèi)傳播，因此聲波從聲源面出發(fā)后幅值在很短距離內(nèi)衰減至零。圖5聲源為(m,n)二(2,1)模態(tài)時管道內(nèi)的壓力分布，f二343Hz3.2.3疊加聲模態(tài)模擬在頻率為f二2058Hz時，根據(jù)計算，發(fā)現(xiàn)有兩個聲模態(tài)(m,n)二(1,1)和(m,n)二(2,1)均可以傳播，這兩個模態(tài)的面內(nèi)波數(shù)分別為卩=18.41和卩=30.54，面外波數(shù)分別為1,12,1k二32.90和k二22.10。在給定聲源時，兩種模態(tài)的幅值均為1Pa,初始相位相同。z,1,1 z,2,1圖6、7中為模擬得到的疊加模態(tài)的聲壓在管道內(nèi)的分布圖。圖6疊加模態(tài)的管道壓力分布，(m,n)二(1,1)和(m,n)二(2,1)，f二2058Hz

圖7疊加模態(tài)的管道壓力分布，(m,n)=(1,1)和(m,n)=(2,1),f=2058Hz3.3有流動條件下聲模態(tài)的傳播針對3.2.1針對3.2.1算例，加入沿z軸正方向的平均流動速度Ma-0.2,模擬了(m,n)=(2,1)模態(tài)在f-2058Hz時的傳播，其中面內(nèi)波數(shù)卩21=30.54，面外波數(shù)k -16.03。圖8、92,1 z,2,1為模擬的管道內(nèi)聲壓分布，相比于圖3，模擬的聲波的波長變大，波數(shù)變小，這是由于平均流動的存在而引起的。圖8圖8聲源為(m,n)-(2,1)模態(tài)時管道內(nèi)的壓力分布，Ma-°?2，f-2058Hz圖9聲源為(m,n)-(2,1)模態(tài)時管道內(nèi)的壓力分布，Ma-°?2，f-2058Hz4結(jié)論本文介紹了如何利用COMSOL聲學模塊中的3維頻域線化Euler方程求解器模擬圓形管道內(nèi)聲模態(tài)傳播，提供了圓形管道以及圓環(huán)形管道面內(nèi)波數(shù)的外部求解源程序，并詳述了聲模態(tài)邊界條件的加載方式。通過對圓形管道內(nèi)平面波、cut-on聲模態(tài)、cut-off聲模態(tài)、疊加模態(tài)以及含平均流動的5類問題的模擬和分析，發(fā)現(xiàn)采用本文介紹的方法能夠得到符合聲學理論認識的結(jié)果。5參考文獻[1]TylerJM,SofrinTG.Axialflowcompressornoisestudies[J].SAETransactions,1962,70:309-332.[2]COMSOL.COMSOLon-linetutorial[OL].[2019-12-9]./model/flow-duct-1371/⑶劉濟洲.圓形截面管道聲模態(tài)分解程序[0L].[2019-12-9]./JizhouLiu-Daren/Duct