數(shù)學(xué)假設(shè)檢驗(yàn)

數(shù)學(xué)假設(shè)檢驗(yàn)第1頁(yè)/共48頁(yè)第7章假設(shè)檢驗(yàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容7.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本問題7.2大樣本情形下的總體均值檢驗(yàn)7.3小樣本情形下的總體均值檢驗(yàn)7.4總體成數(shù)的檢驗(yàn)小結(jié)第2頁(yè)/共48頁(yè)7.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本問題7.1.1小概率原理和假設(shè)檢驗(yàn)的基本做法7.1.2假設(shè)檢驗(yàn)的步驟7.1.3假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤第3頁(yè)/共48頁(yè)參數(shù)估計(jì):總體參數(shù)未知，利用樣本統(tǒng)計(jì)量去推斷總體參數(shù)；假設(shè)檢驗(yàn)：事先對(duì)總體參數(shù)作出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息去檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否成立，并利用檢驗(yàn)的結(jié)果作出某種決策。定義7.1對(duì)總體的概率分布或分布參數(shù)作出某種假設(shè)，然后根據(jù)抽樣得到的樣本觀察值，運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的分析方法，檢驗(yàn)這種假設(shè)是否正確，從而決定接受或拒絕假設(shè)，這樣的統(tǒng)計(jì)推斷過程就是假設(shè)檢驗(yàn)，也稱顯著性檢驗(yàn)。7.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本問題第4頁(yè)/共48頁(yè)7.1.1小概率原理進(jìn)行檢驗(yàn)的基本思想是：概率性質(zhì)的反證法利用假設(shè)檢驗(yàn)進(jìn)行推斷的基本原則是：小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生。小概率原理：如果對(duì)總體的某種假設(shè)是真實(shí)的，那么不利于或不能支持這一假設(shè)的事件A（小概率事件）在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生的；要是在一次試驗(yàn)中A竟然發(fā)生了，就有理由懷疑該假設(shè)的真實(shí)性，拒絕這一假設(shè)。概率不超過0.05的事件當(dāng)作“小概率事件”，有些場(chǎng)合，概率不超過0.1、0.01或者0.001。第5頁(yè)/共48頁(yè)【例7-1】某工廠質(zhì)檢部門規(guī)定該廠產(chǎn)品次品率不超過4%方能出廠，今從1000件產(chǎn)品中抽出10件，經(jīng)檢驗(yàn)有4件次品，問這批產(chǎn)品是否能出廠？解如果假設(shè)這批產(chǎn)品能出廠（即假設(shè)這批產(chǎn)品的次品率P≤0.04），下面一步就是根據(jù)樣本對(duì)這個(gè)假設(shè)作出判斷：是接受還是拒絕？我們進(jìn)行了抽樣，1000件中抽出了10件，有4件次品。則可以計(jì)算出抽10件有4件次品的概率是多少。我們假定0.001是一個(gè)小概率事件，那么抽10件有4件次品是一個(gè)小概率事件

7.1.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本做法第6頁(yè)/共48頁(yè)7.1.2假設(shè)檢驗(yàn)的步驟

1．提出原假設(shè)及備擇假設(shè)原假設(shè)和備擇假設(shè)是互斥的，它們中僅有一個(gè)正確，而且必有一個(gè)成立。；從情理出發(fā)，由于原假設(shè)是作為檢驗(yàn)的前提提出來的，零假設(shè)是受到保護(hù)的假設(shè)，被認(rèn)為是正確的；零假設(shè)表明結(jié)果的差異是隨機(jī)因素引起的。通常將研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，通常用表示。通常將研究者想收集證據(jù)予以反對(duì)的假設(shè)稱為原假設(shè)，通常用表示如果得到矛盾說明備擇假設(shè)正確。第7頁(yè)/共48頁(yè)1．提出原假設(shè)及備擇假設(shè)[例1]根據(jù)若干年級(jí)2000名學(xué)生的資料，某大學(xué)的理科學(xué)生中有1800人通過某計(jì)算機(jī)考試測(cè)驗(yàn)。改革人士認(rèn)為：開設(shè)一種新的數(shù)學(xué)課可以增加通過比例。現(xiàn)抽取一個(gè)2000名學(xué)生的隨機(jī)樣本，讓其學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)課程，如果這批學(xué)生的通過率大于0.9，認(rèn)為引入新的數(shù)學(xué)課程能提高通過率，否則認(rèn)為不能，不普遍開展該新課程。試陳述用來檢驗(yàn)開新課程能否提高通過率的零假設(shè)和備擇假設(shè)。

第8頁(yè)/共48頁(yè)例題分析要證明的是學(xué)習(xí)新課程的學(xué)生的通過率大于沒有學(xué)習(xí)的通過率，即有>0.9，與其對(duì)應(yīng)的結(jié)論是0.9；因此零假設(shè)和備擇假設(shè)的選擇為：

第9頁(yè)/共48頁(yè)零假設(shè)和備擇假設(shè)：[例2]某工廠將產(chǎn)品裝箱，每箱規(guī)定重量50kg。每天開工時(shí)，需檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常。為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否工作正常，隨機(jī)抽取幾箱測(cè)量其重量。分析該問題零假設(shè)和備擇假設(shè)的表述。

解：可能1：=50kg，x

50kg僅僅是包裝機(jī)工作正常情形下純隨機(jī)因素引起的；可能2：50kg，包裝機(jī)工作不正常。按照零假設(shè)認(rèn)為差異是隨機(jī)因素引起，則有第10頁(yè)/共48頁(yè)零假設(shè)和備擇假設(shè)：[例3]某生產(chǎn)過程原來生產(chǎn)成本為每生產(chǎn)一件成品的成本為150元，現(xiàn)引入一種新的方法認(rèn)為可以降低成本。因此需要進(jìn)行研究分析新方法引入的產(chǎn)品成本與原成本相比是否真的降低了，試分析該研究問題的零假設(shè)和備擇假設(shè)該如何選取。解：要證明的是<150元，對(duì)應(yīng)的結(jié)論是150

；因此零假設(shè)和備擇假設(shè)的選擇為：150元<150元第11頁(yè)/共48頁(yè)常見假設(shè)檢驗(yàn)問題的形式常見假設(shè)檢驗(yàn)問題的陳述方式為以下三種之一：第一種形式稱為雙邊假設(shè)檢驗(yàn)問題；后兩種形式成為單邊假設(shè)檢驗(yàn)問題；第二種為右側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)問題，第三種為左側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)問題。第12頁(yè)/共48頁(yè)2．確定適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來的，并據(jù)以對(duì)原假設(shè)和備擇假設(shè)作出決策的某種樣本統(tǒng)計(jì)量，稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。通常檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取為：

根據(jù)樣本計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，如該值與0相差很大，說明零假設(shè)不正確；否則，不能認(rèn)為零假設(shè)不正確?？紤]例2，假設(shè)包裝機(jī)的包裝標(biāo)準(zhǔn)差已知，樣本容量為n，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為第13頁(yè)/共48頁(yè)3．給定顯著性水平，并確定水平的拒絕域顯著性水平：當(dāng)原假設(shè)為正確時(shí)人們卻把它拒絕了的概率，通常用表示。拒絕域：能夠做出拒絕原假設(shè)這一結(jié)論的所有可能樣本的取值范圍拒絕域：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（或樣本統(tǒng)計(jì)量或樣本）取值的集合，當(dāng)根據(jù)樣本觀測(cè)結(jié)果算得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值屬于該集合時(shí)，零假設(shè)應(yīng)被拒絕。拒絕域的邊界點(diǎn)稱為臨界點(diǎn)。首先，給出小概率，即顯著性水平的大?。蝗缓蟾鶕?jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布和顯著性水平的大小，求出臨界值和拒絕域。第14頁(yè)/共48頁(yè)不同檢驗(yàn)問題的拒絕域

雙邊檢驗(yàn)問題的拒絕域：左邊檢驗(yàn)問題的拒絕域：右邊檢驗(yàn)問題的拒絕域：第15頁(yè)/共48頁(yè)4．計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值實(shí)際抽樣，并將樣本觀察值代入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中，求得其具體值。5．作出決策依（1）、（2）、（3）步建立的具體檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，用第（4）步提供的統(tǒng)計(jì)量的觀察值作出統(tǒng)計(jì)決策。若樣本統(tǒng)計(jì)量的值落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)；反之，接受原假設(shè)。第16頁(yè)/共48頁(yè)決策表(()

真

假接受正確決策

II類錯(cuò)誤)拒絕

I類錯(cuò)誤

正確決策第17頁(yè)/共48頁(yè)7.1.3假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤第一類錯(cuò)誤：零假設(shè)為真，而根據(jù)樣本做出拒絕零假設(shè)的推斷。第二類錯(cuò)誤：零假設(shè)為假，而根據(jù)樣本做出接受零假設(shè)的判斷。因?yàn)檎鎸?shí)情況未知，所以兩類錯(cuò)誤不可避免；要減小其中的一種錯(cuò)誤，通常只能通過增加另一種錯(cuò)誤的方法做到；要使兩類錯(cuò)誤的概率同時(shí)減小，只能增加樣本量，但實(shí)際中成本往往不允許。第18頁(yè)/共48頁(yè)兩類錯(cuò)誤的概率雖然兩類錯(cuò)誤不可避免，但可以控制犯兩類錯(cuò)誤的概率。Neyman-Pearson控制第一類錯(cuò)誤概率的原則：控制第一類錯(cuò)誤的概率不超過某個(gè)小概率水平，在滿足該條件的要求下使犯第二類錯(cuò)誤的概率盡量小。通常取為0.01,0.05,0.1。把允許犯第一類錯(cuò)誤的最大概率稱為顯著性水平。第19頁(yè)/共48頁(yè)計(jì)算步驟

根據(jù)實(shí)際問題提出一對(duì)假設(shè)；構(gòu)造某個(gè)適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并確定其在零假設(shè)成立時(shí)的分布；根據(jù)觀測(cè)的樣本計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；根據(jù)犯第一類錯(cuò)誤的損失規(guī)定顯著性水平；由確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值，并進(jìn)而給出拒絕域；下結(jié)論：如果根據(jù)樣本算得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落于拒絕域，則拒絕零假設(shè)。第20頁(yè)/共48頁(yè)【例7-2】某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖，包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從正態(tài)分布。當(dāng)機(jī)器正常時(shí)，其均值為0.5公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為0.015公斤。某日開工后，為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常，隨機(jī)抽取它所包裝的糖9袋，稱得凈重為（公斤）：0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512問機(jī)器是否正常？解以和分別表示這一天袋裝糖重總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。我們提出假設(shè)：

利用已知樣本作出判斷是接受原假設(shè)（即拒絕備擇假設(shè)），還是拒絕原假設(shè)（即接受備擇假設(shè)），如果作出的判斷是接受原假設(shè)，即認(rèn)為機(jī)器工作是正常的，否則，則認(rèn)為是不正常的。

第21頁(yè)/共48頁(yè)由于檢驗(yàn)涉及到總體均值，我們可以考慮借助樣本均值來進(jìn)行判斷給出一個(gè)較小的數(shù)我們可適當(dāng)選定一正數(shù)

第22頁(yè)/共48頁(yè)由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位點(diǎn)定義得，若觀察值滿足,則拒絕而若,則接受。

第23頁(yè)/共48頁(yè)7.2大樣本情形下的總體均值檢驗(yàn)7.2.1雙側(cè)檢驗(yàn)（總體方差已知）7.2.2單側(cè)檢驗(yàn)（總體方差已知）7.2.3總體方差未知的假設(shè)檢驗(yàn)第24頁(yè)/共48頁(yè)7.2.1雙側(cè)檢驗(yàn)（總體方差已知）根據(jù)樣本容量的大小不同和總體方差已知與否，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布也將具有不同的形式，本節(jié)主要討論大樣本（一般要求樣本容量≥30）情形下總體均值的檢驗(yàn)。定義7.8當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值位于其抽樣分布的任何一側(cè)范圍內(nèi)拒絕原假設(shè)，也就是說抽樣分布的左右兩側(cè)共同構(gòu)成了拒絕域，這樣的假設(shè)檢驗(yàn)為雙側(cè)檢驗(yàn)（two-tailedtest）。

第25頁(yè)/共48頁(yè)方差2已知情形構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域：（顯著性水平）

雙邊檢驗(yàn)：

圖7-2決策規(guī)則第26頁(yè)/共48頁(yè)例4上海市某公共汽車站的調(diào)查顯示：過去每20秒平均到達(dá)0.95名乘客。最近該汽車站將車輛進(jìn)行了更新，管理者希望知道這種變化是否對(duì)到達(dá)乘客的數(shù)量有影響。統(tǒng)計(jì)了某天230個(gè)20秒內(nèi)到達(dá)的乘客數(shù)據(jù)，結(jié)果得每20秒平均到達(dá)的乘客數(shù)為1.02人，標(biāo)準(zhǔn)差為0.5人。在0.05的顯著性水平下檢驗(yàn)假設(shè)。解：

2.12>1.96，所以顯著證據(jù)表明到達(dá)乘客數(shù)有變化。第27頁(yè)/共48頁(yè)假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的聯(lián)系例4中，每20秒平均到達(dá)的乘客數(shù)的置信度為0.95的區(qū)間為(0.885,1.015)，它不包含零假設(shè)值1.02。求解水平的檢驗(yàn)問題，就是求解置信度1-的區(qū)間估計(jì)問題。給出區(qū)間估計(jì)，就是給出檢驗(yàn)問題的接受域，于是拒絕域立得。

第28頁(yè)/共48頁(yè)7.2.2單側(cè)檢驗(yàn)（總體方差已知）定義7.9當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值位于其抽樣分布的某一側(cè)范圍內(nèi)拒絕原假設(shè)，也就是說抽樣分布的某一側(cè)構(gòu)成了拒絕域，這樣的假設(shè)檢驗(yàn)為單側(cè)檢驗(yàn)（one-tailedtest）。當(dāng)時(shí)，拒絕原假設(shè)；當(dāng)時(shí)，接受原假設(shè)。當(dāng)時(shí)，拒絕原假設(shè)；當(dāng)時(shí)，接受原假設(shè)。左側(cè)檢驗(yàn)：拒絕域右側(cè)檢驗(yàn)：拒絕域第29頁(yè)/共48頁(yè)圖7-3左側(cè)檢驗(yàn)和右側(cè)檢驗(yàn)決策規(guī)則第30頁(yè)/共48頁(yè)例5右側(cè)檢驗(yàn)問題電視機(jī)顯像管批量生產(chǎn)的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)為平均燃燒壽命1200h，標(biāo)準(zhǔn)差300h。某電視機(jī)廠稱他們生產(chǎn)的顯像管質(zhì)量大大超過規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)。為了進(jìn)行驗(yàn)證，隨機(jī)抽取100件測(cè)得平均壽命1245h。能否認(rèn)為該廠顯像管質(zhì)量顯著高于規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)？解：1.5<1.64，所以沒有顯著證據(jù)證明質(zhì)量高于規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)。第31頁(yè)/共48頁(yè)例6右側(cè)檢驗(yàn)問題某廠生產(chǎn)出一種減肥藥，其在宣傳廣告中聲稱：在其進(jìn)行的試驗(yàn)中，參加者一周體重至少平均減輕8公斤。隨機(jī)抽取40位使用該減肥藥者，結(jié)果得他們平均減輕了7公斤，檢驗(yàn)該廠的減肥藥是否達(dá)到其宣傳效果。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差為3.2公斤。解：-1.98<1.64，所以顯著證據(jù)表明沒有達(dá)到宣傳效果。第32頁(yè)/共48頁(yè)幾點(diǎn)注釋：注1：拒絕或接受零假設(shè)與有關(guān)，越大，犯第一類錯(cuò)誤的概率越大，越容易拒絕零假設(shè)。

注2：拒絕或接受零假設(shè)與樣本量有關(guān)，大樣本更容易拒絕零假設(shè)，而小樣本更容易接受零假設(shè)。注3：計(jì)算時(shí)只對(duì)零假設(shè)的臨界值0控制了第一類錯(cuò)誤的概率為，對(duì)其它零假設(shè)值，都有第一類錯(cuò)誤的概率不超過。第33頁(yè)/共48頁(yè)7.2.3總體方差未知的假設(shè)檢驗(yàn)大樣本，總體方差未知的情形下，不論總體是否服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量依然服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。故采用Z檢驗(yàn)法，只是在計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z時(shí)，以樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差，其余方法相同。雙邊檢驗(yàn)：左側(cè)檢驗(yàn)：右側(cè)檢驗(yàn)：拒絕域：（顯著性水平）

構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量第34頁(yè)/共48頁(yè)7.3小樣本情形下的總體均值檢驗(yàn)方差2未知構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域：（顯著性水平）

雙邊檢驗(yàn)：左側(cè)檢驗(yàn)：右側(cè)檢驗(yàn)：第35頁(yè)/共48頁(yè)例7

平均說來，一個(gè)有丈夫和兩個(gè)孩子的家庭主婦每周用于與家庭有關(guān)活動(dòng)的時(shí)間不超過55h。抽取8個(gè)家庭主婦的每周工作時(shí)間作為樣本，得到數(shù)據(jù)：58，52，64，63，59，62，62，55。有婦聯(lián)組織認(rèn)為每周平均工作時(shí)間超過55小時(shí)，你的結(jié)論是什么？解：2.94>1.89，所以顯著證據(jù)表明每周平均工作時(shí)間超過55h。第36頁(yè)/共48頁(yè)例8

經(jīng)驗(yàn)表明，一個(gè)矩形的寬與長(zhǎng)之比等于0.618的時(shí)候會(huì)給人們良好的感覺。某工藝廠生產(chǎn)的矩形工藝品框架的寬與長(zhǎng)要求也按這一比例設(shè)計(jì)，假定其總體服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機(jī)抽取了20個(gè)杠架測(cè)得比值分別如表7-4所示，在顯著性水平時(shí)能否認(rèn)為該廠生產(chǎn)的工藝品框架寬與長(zhǎng)的平均比例為0.618?0.6990.7490.6540.6700.6120.6720.6150.6060.6900.6280.6680.6110.6060.6090.6010.5330.5700.8440.5760.933表7-420個(gè)杠架寬與長(zhǎng)的比值第37頁(yè)/共48頁(yè)解根據(jù)題意建立原假設(shè)和備擇假設(shè)為：

選擇t為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，拒絕域?yàn)?/p>

由數(shù)據(jù)可以計(jì)算出20個(gè)杠架的平均比值為0.658，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為0.09327,那么檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，沒有落入拒絕域，所以，不能拒絕原假設(shè)，

或第38頁(yè)/共48頁(yè)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域：（顯著性水平）

雙邊檢驗(yàn)：左側(cè)檢驗(yàn)：右側(cè)檢驗(yàn)：7.3小樣本情形下的總體均值檢驗(yàn)方差2已知第39頁(yè)/共48頁(yè)例9：雙邊檢驗(yàn)問題

某廠生產(chǎn)的鐵絲抗拉力服從正態(tài)分布，其平均抗拉力為570kg，標(biāo)準(zhǔn)差為8kg。由于更換原材料，標(biāo)準(zhǔn)差不會(huì)變，但不知其抗拉力是否不變，從中抽取10個(gè)樣品，得平均抗拉力