用函數(shù)的觀點(diǎn)一元二次方程

用函數(shù)的觀點(diǎn)一元二次方程用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程(1)1．通過探索，使學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系。2．使學(xué)生能夠運(yùn)用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)解決實(shí)際問題，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)。3．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合解題能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想。重點(diǎn)：使學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系，能夠運(yùn)用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)去解決實(shí)際問題是教學(xué)的重點(diǎn)。難點(diǎn)：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合解題能力，滲透數(shù)形結(jié)合的思想是教學(xué)的難點(diǎn)．一、引言在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常會(huì)遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，如拱橋跨度、拱高計(jì)算等，利用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)研究和解決這些問題，具有很現(xiàn)實(shí)的意義。本節(jié)課，請(qǐng)同學(xué)們共同研究，嘗試解決以下幾個(gè)問題。二、探索問題問題1：某公園要建造一個(gè)圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，上面的A處安裝一個(gè)噴頭向外噴水。連噴頭在內(nèi)，柱高為。水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，如圖(1)所示。根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙已知：如圖(2)中所示直角坐標(biāo)系中，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)4之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝－x2＋2x＋(1)噴出的水流距水平面的最大高度是多少(2)如果不計(jì)其他的因素，那么水池至少為多少時(shí)，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)教學(xué)要點(diǎn)1．讓學(xué)生討論、交流，如何將文學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，得出問題(1)就是求函數(shù)y＝－x245＋2x＋最大值，問題(2)就是求如圖(2)B點(diǎn)的橫坐標(biāo)；52．學(xué)生解答，教師巡視指導(dǎo)；3．讓一兩位同學(xué)板演，教師講評(píng)。問題2：一個(gè)涵洞成拋物線形，它的截面如圖(3)所示，現(xiàn)測(cè)得，當(dāng)水面寬AB＝時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離為。這時(shí)，離開水面處，涵洞寬ED是多少是否會(huì)教學(xué)要點(diǎn)1．教師分析：根據(jù)已知條件，要求ED的寬，只要求出FD的長(zhǎng)度。在如圖(3)的直角坐標(biāo)系中，即只要求出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因D點(diǎn)D的縱坐6．對(duì)于問題(3)，教師組織學(xué)生分組討論、交流，各6．對(duì)于問題(3)，教師組織學(xué)生分組討論、交流，各343標(biāo)，所以利用拋物線的函數(shù)關(guān)系式可以進(jìn)一步算出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)。2．讓學(xué)生完成解答，教師巡視指導(dǎo)。3．教師分析存在的問題，書寫解答過程。這時(shí)，涵洞的橫截面所成拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，開口向下，所以可設(shè)它的數(shù)關(guān)系式為：y＝ax2(a＜0)(1)AB因?yàn)锳B與y軸相交于C點(diǎn)，所以CB＝2＝(m)，又OC＝，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是，－。154因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上，將它的坐標(biāo)代人(1)，得－＝a×所以：a＝－4154因此，函數(shù)關(guān)系式是y＝－x2(2)4因?yàn)镺F＝，設(shè)FD＝xm(x＞0)，則點(diǎn)D坐標(biāo)為(x，－。因?yàn)辄c(diǎn)D的坐標(biāo)在拋物線上，將它1112102的坐標(biāo)代人(2)，得411510101022ED＝2FD＝2×x1＝2×5＝510≈5×≈(m)25所以涵洞ED是10m，會(huì)超過1m。5yxx根據(jù)圖象回答下列問題。3(2)當(dāng)x取何值時(shí)，y＝0這里x的取值與方程x2－x－4＝0有什么關(guān)系(3)你能從中得到什么啟發(fā)教學(xué)要點(diǎn)1．先讓學(xué)生回顧函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的畫法，按列表、描點(diǎn)、連線等步驟畫出函數(shù)y34＝x2－x－的圖象。43．教師講評(píng)，并畫出函數(shù)圖象，如圖(4)所示。4．4．教師引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象，回答(1)提出的問13題，得到圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－0)和(5．讓學(xué)生完成(2)的解答。教師巡視指導(dǎo)并講評(píng)。4即為方程x2－x－＝0的解；從“數(shù)”的方面看，當(dāng)二次433函數(shù)y＝x2－x－4的函數(shù)值為0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為方程x2－x－4＝0的解。更一般地，ax2＋bx＋c的函數(shù)值為0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為方程ax2＋bx＋c＝0的解，這一結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。三、試一試13132222x＜時(shí)，y＜0；當(dāng)x＜－或x＞時(shí)，2222(2)能否用含有x的不等式來描述(1)中的問題(能用含有x的不等式采描述(1)中的問3344題，即x2－x－＜0的解集是什么x2－x－＞044想一想：二次函數(shù)與一元二次不等式有什么關(guān)系讓學(xué)生類比二次函數(shù)與一元二次不等式方程的關(guān)系，討論、交流，達(dá)成共識(shí)：(1)從“形”的方面看，二次函數(shù)y＝ax2＋bJ＋c在x軸上方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x軸下方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即為一元二次不等(2)從“數(shù)”的方面看，當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值大于0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值axbxcyaxbxc時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為一元二次不等式ax2＋bc＋c＜0的解。這一結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系。五、小結(jié)：1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲有什么困惑＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情況。六、作業(yè)：x2．已知函數(shù)y＝x2－x－2。(1)先確定其圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再畫出圖象xyy＞0；③y＜0。3．學(xué)校建造一個(gè)圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA。O恰好在水面中心，布置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA任意平面上的拋物線如圖(5)所示，建立直角坐標(biāo)系(如圖(6))，水流噴出的高度y(m)53與水面距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝－x2＋x＋(1)花形柱子OA的高度；(2)若不計(jì)其他因素，水池的半徑至少要