華師八上第十四章勾股定理知識歸納邢進(jìn)文

【同步教育信息】一.本周教學(xué)內(nèi)容：勾股定理［教學(xué)目標(biāo)］1.了解勾股定理的證明，掌握勾股定理的內(nèi)容，初步會用它進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明。2.通過勾股定理的應(yīng)用，培養(yǎng)方程的思想和邏輯推理能力。3.了解勾股定理的證明，培養(yǎng)學(xué)生的愛國情懷。二.重點(diǎn)、難點(diǎn)： 勾股定理的應(yīng)用。三.教學(xué)過程設(shè)計(jì)：（一）勾股定理的證明 發(fā)現(xiàn)勾股定理的是畢達(dá)哥拉斯（約公元前580～公元前500年），他是一個(gè)哲學(xué)家，也是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)家。 我國西周開國時(shí)期的商高（公元前1120年）就發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理。因而，西方的發(fā)現(xiàn)比我國要遲好幾百年。由于古書中記有“勾廣三，股修四，徑隅五”，因此我國把這個(gè)定理簡稱為勾股定理。我國古代數(shù)學(xué)家利用割補(bǔ)、拼接圖形計(jì)算面積的思路提供了很多種證明方法。（二）勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么。 勾股定理的應(yīng)用方法： （1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°， 又∵AB＞0， （2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°， 又∵AC＞0，【典型例題】例1.（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，求c。 （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝40，c＝41，求b。 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°， 又∵c＞0， （2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°， 又∵b＞0，例2.已知直角三角形的兩邊長，求第三邊的長。 解：（1）若AB、BC均為直角邊 （2）若BC為斜邊 例3.（1）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC：AB＝___________； （2）如圖所示，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則BC：AC：AB＝___________；若AB＝8，則AC＝___________；又若CD⊥AB，則CD＝___________。 （3）等邊△ABC的邊長為a，則高AD＝___________，___________。 解：（1） （2） （3） 通過此題總結(jié)幾個(gè)基本圖形中的常用結(jié)論： ①等腰直角三角形三邊比為 ②含30°角的直角三角形三邊之比為 ③邊長為a的等邊三角形的高為，面積為例4.求下圖所示（單位mm）矩形零件上兩孔中心A和B的距離（精確到）。 解： 例5.作長為的線段 分析：由勾股定理、直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。 作法：如圖所示 （1）作直角邊為1（單位長）的等腰直角△ACB，使AB為斜邊。 （2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角，斜邊為。 （3）順次這樣作下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、、的長度就是。 以上作法根據(jù)勾股定理均可證明為正確的。 取單位長時(shí)可自定。一般習(xí)慣用國際標(biāo)準(zhǔn)的單位，如1cm、1m等，我們作圖時(shí)只要取定一個(gè)長為單位即可。例6.如圖所示，，∠DAC＝90°，求BD的長。 解：作AE⊥BC于E 設(shè)BD為x，則 又 將上式代入，得： 即 解得：例7.如圖所示，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＞BC。 求證： 分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理。 Rt△ACD中， Rt△BCD中， （2）利用代數(shù)中的恒等變形技巧進(jìn)行整理： 例8.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，BC＝1，求△ABC的面積。 提示：添加輔助線——BA的中垂線DE交BA于D，交AC于E，連結(jié)BE，構(gòu)造出含30°角的直角三角形BCE，同時(shí)利用勾股定理解決?；蛑苯釉凇螦BC內(nèi)作∠ABE＝15°，交CA邊于E?！灸M試題】（答題時(shí)間：30分鐘）1.判斷題： 等腰直角三角形中，斜邊是任一直角邊的倍。（）2.等邊三角形邊長為10，求它的高和面積。3.已知：如圖，隔湖有兩點(diǎn)A、B，從與BA方向成直角的BC方向上的點(diǎn)C，測得CA＝50m，CB＝40m。求AB。4.已知一個(gè)工件尺寸如圖（單位mm），計(jì)算的長（精確到）5.如圖（單位mm），車床齒輪箱殼要鉆兩個(gè)圓孔，兩孔中心的距離AB是134mm，兩孔中心的水平距離BC是77mm，計(jì)算兩孔中心的垂直距離AC（精確到）。6.要修一個(gè)育苗棚（如圖），棚寬a＝3m，高b＝，長d＝10m。求覆蓋在頂上的塑料薄膜需多少m2（精確到）?7.想一想，如圖，分別以直角三角形三邊為直徑作三個(gè)半圓，這三個(gè)半圓的面積之間有什么關(guān)系？為什么？8.如圖所示，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝8。求AC邊的長。9.計(jì)算題： 如圖，△ABC，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝，求AD的長。10.證明題：已知：△ABC的三個(gè)角度數(shù)的比∠A：∠B：∠C＝1：2：3。求證：

【試題答案】1.略 2.3.30m 4.5. 6.7.以直角三角形兩直角邊為直徑的兩個(gè)半圓的面積之和等于以該直角三角形斜邊為直徑作的半圓的面積，利用勾股定理證明。8.分析：添加輔助線——作CD⊥AB于D，構(gòu)造含45°，30°角的直角三角形列方程解決問題。 答案：9.解：∵AB＝AC，∠C＝30° ∴∠C＝∠B＝30° 又∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90° ∴∠DAC＝∠C＝30° ∴設(shè)DC＝AD＝xcm ∴BD＝2xcm ∴AD的長為10.證明：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3 ∴∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60° ∴c＝2a 【勵(lì)志故事】三只小鐘一只新組裝好的小鐘放在了兩只舊鐘當(dāng)中。兩只舊鐘“滴答”、“滴答”一分一秒地走著。其中一只舊鐘對小鐘說：“來吧，你也該工作了?？墒俏矣悬c(diǎn)擔(dān)心，你走完三千二百萬次以后，恐怕便吃不消了。”“天哪！三千二百萬次。”小鐘吃驚不已?！耙易鲞@么大