分析第二章第二節(jié)集合的勢

第二章函數(shù)、函數(shù)的極限與函數(shù)的連續(xù)性第二節(jié)集合的勢（集合中元素個數(shù)的計數(shù)法，陣勢，架勢，形勢）一、集之間等勢的概念及性質(zhì)設(shè)A與B是兩個集合，如果存在一個由A到B上的一對一的映射，我們就稱集A與B有相同的勢，或者說A與B等價，用A~B來表示。這就在某些集之間建立了一種關(guān)系。例如正整數(shù)集N*，正偶數(shù)集A，正奇數(shù)集B，顯然有N*~A，N*~B。很明白，剛才定義的關(guān)系具有下列性質(zhì)：自反性：A~A；對稱性：A?B，則B?A；傳遞性：若A~B且B~C，則A?C。二集中元素個數(shù)的計數(shù)法我們給出如下的定義：定義2.8令N*是正整數(shù)的全體，且N{1,2,,n}n如果存在一個正整數(shù)n，使得A?N，那么A叫n做有限集?？占脖徽J為是有限集。如果集a不是有限集,稱A為無限集。若A?N*，則稱A為可數(shù)集(或可列集)。若a既不是有限集，也不是可數(shù)集，則稱A為不可數(shù)集。若A是有限集或者A是可數(shù)集，則稱A是至多可數(shù)的。對于兩個有限集A與B,顯然，A與B有相等的勢的充分必要條件是它們的元素個數(shù)相同。但是，對于無限集而言，“元素個數(shù)相同”這樣的話就變得十分含混。而一一對應(yīng)的概念是明確的、毫不含糊的。在有限集之間，利用一一對應(yīng)可以完全決定出元素個數(shù)的多寡。設(shè)想在一個大禮堂中，恰有2000個座位，在一次演出中所有座位都有觀眾坐著，并且還有人站著，我們立刻知道到場的觀眾多于2000；如果不但沒人站著而且還有位子空著，便知道到場的人數(shù)不足2000。只有當既沒有空著的位子又沒有站著的人的時侯，觀眾的人數(shù)正好是2000。由此可見，集合的勢是有限集中“元素個數(shù)”這一概念的推廣，并且“勢”是一切互相等價的集合中惟一共有的屬性。利用一一對應(yīng)可以完全決定出元素個數(shù)的多寡在社會生活中的智慧閃現(xiàn)。在原始社會或現(xiàn)在一些地方部落，沒有更大數(shù)的概念（也不會數(shù)數(shù)），但他們在大量的物對物的交換中，仍能使交換順利進行他們是用了一個物對另一個物的一次次交換。兩個盲人或在黑暗中的兩個人分東西，他們就用一人取一次的回合方法取下去，照樣能把東西平分了。據(jù)傳說少林寺的塔林中，大大小小的塔密密麻麻分布不均勻，很多人都數(shù)不過來。有一次一個草莽將軍，想要少林寺出人幫助他去打仗，少林寺主持人想知道他是不是有頭腦能成事。主持提了個條件，若將軍能數(shù)出塔的確切數(shù)，就能出人相助。將軍就回去問軍師，軍師出了個主意。讓他的大隊士兵開進搭林，一個士兵抱著一個塔，把塔全部抱完，然后命令抱塔的士兵，全部走出塔林，列隊點人數(shù)，就得到塔的數(shù)。主持一看，這個草莽將軍不簡單有勇有謀，就派廟里和尚去協(xié)助將軍打仗。據(jù)傳說，一個聰明村的十個人去村邊河里一處深水潭洗澡，洗完澡，他們要回去時，清點人數(shù)誰數(shù)都是九個人，他們就急了，認為有人被淹死了，正好有一個外村人路過這里，看到發(fā)生的一切，他們就請這外村人幫忙。外村人說，你們每人都爬到沙地上，用鼻子在沙灘上磨出血，被淹的人就出來了，結(jié)果一數(shù)沙灘上的血跡，正好是十處。建立兩個集合間的一一對應(yīng)，通過一個已知集中元素的個數(shù)，就能找出另一個難找或不好找的集中元素的個數(shù)。據(jù)說盧溝橋上的石獅子數(shù)（大的大，小的小，有的獅子全身爬著，抱著，壓著多個小獅子），蘇州獅子林中的獅子數(shù)，故宮博物院內(nèi)的房間數(shù)，一般人也是很難數(shù)準確的。若用一一對應(yīng)，帖標簽的方法，就能數(shù)出準確的個數(shù)來。大家還會舉出一些有智慧趣味的例子來。阿凡提的故事之一：有一個國的國王，要求阿凡提說出天上星星的個數(shù)。阿凡提說：陛下，天上的星星數(shù)和我牽的毛驢身上的毛一樣多，您數(shù)一數(shù)毛驢身上的毛就行了。俗語：“一個蘿卜一個坑”，亦是一對一，等勢集的具體生活思維實例。、一些集合等勢的證明例1設(shè)Z是整數(shù)的全體，我們來證明：Z是可數(shù)集。我們只需將Z中元素排列為0,1,-1,2,-2,3,-3,直覺告訴我們，這樣的排列方法可以把全部整數(shù)無遺漏又無重復的排列出來。即Z與N*之間存在一個一一對應(yīng)，所以Z是可數(shù)集。對于這個例子，我們甚至可以明確地寫出從N*到Z的一個一一映射：-,當n為偶數(shù)時2f(n)彳2-匚,當n為奇數(shù)時〔2故有Z~N*，Z是可數(shù)集。

例2證明(0,1)與[0,1]

有相同的勢。證明我們作出以下的由[0,1]到(0,1)上的映射：12,%=°時nn，nn，當“=N*時1N*時x,當x豐0,且x豐—N*時n不難驗證/：[0,1]T(°」)是一個一一映射，故(0,1)與[0,1]有相同的勢。從以上的兩個例子看出，這兩個無限集都與它們的某個真子集有相同的勢。這種現(xiàn)象在有限集的情形是決不會發(fā)生的。例證明(°，1)與R=(-g,+8)有相同的勢。證明作映射1f(x)=tan“(x-2),xe(0,1),顯然f:(0,1)T(Y),+8)是一個一—映射，故(0,1)與R二(-),+))有相同的勢。例證明［0，1］與［a,b］有相同的勢；(0,1)與(a,b)有相同的勢。(其中a,b均有限，且a<b)證明構(gòu)造映射f(x)=a+(b一a)x,xe(0,1),顯然f:［0,1］t［a,b］是一個一一映射；f:(0,1)t(a,b)是一個一一映射，故［°，1］與［a,b］有相同的勢；(0,1)與(a,b)有相同的勢。、可數(shù)集的性質(zhì)定理2.1一個可數(shù)集A的每一個無限子集是可數(shù)集。證明設(shè)EuA并且E是無限集。集A是可數(shù)的，因此可以將A中元素排列成a,a,…，a,…12n按照如下方式構(gòu)造數(shù)列{ki}：令ik是最小的正整數(shù)使得aeE。1k1當k,k,…,k (s>2)當1 2 s-1 選疋之后，令k是大于s-1的最小正s整數(shù)使得aeE。這樣，便得到ks了一個映射f:ETN*。具體地說f(a)=n,neN*okn這就證明了所需的結(jié)論。粗略地說，這個定理表明，可數(shù)集代表著“最小的”無限勢，

因為沒有不可數(shù)的集能作為一個可數(shù)集的子集。定理2.2設(shè){E},n=1,2,3,…，是n一列至多可數(shù)集，令S=0En那么S是至多可數(shù)集。證明設(shè)對于ngN*,E={x,x，?…,x，…}n n1 n2nk考慮如下的無窮陣列：x,x,x,1112x,x,2122x,x,3132x,x,4142??????x,x,1314x,x,2324x,x,3334x,x4344,其中的第n行由E的元素組成。n這個陣列包含著S=0E中的所有n元素。按照箭頭所指示的那樣，這些元素可以排成一行：x;x1121x;x1121,x12;x,x31 22，X13；…當兩個集合Ei與Ej有公共的元ij素時，這些元素在一行中會重復出現(xiàn)。我們順著從左到右的方向順次的看下去，對那些有重復的元素只保留第一次遇見的那一個，剔除其它相同的元素。這樣做過之后，仍然得到并集S=0E。nn=1由此可知， S是至多可數(shù)的。、有理數(shù)集的可數(shù)性定理2.3R中的全體有理數(shù)Q是可數(shù)的。證明因為對任何有理數(shù)reQQ，存在整數(shù)p，正整數(shù)q,使得q。令E={p:peZ},q=1,2,3,…，qq顯然E={L:peZ}是可數(shù)的;qq

顯然有Q=0E,q=1q由定理2.2，Q=0E是可數(shù)的。q=q=1q或者用重復一下定理2.2的證明過程的方法。）六、實數(shù)集的不可數(shù)性及證明定理2.4[0,1]上的全體實數(shù)是不可數(shù)的。證明用反證法。假若[0,1]上的全體實數(shù)是可數(shù)的，假設(shè)有某種方法把[0,1]之間的全體實數(shù)無遺漏地排成一行x,x,…,x,…12n把區(qū)間[0,1]三等分。在分成的三個閉區(qū)間1[°的三個閉區(qū)間1[°，3]，12[3'3][3,1]中必有一個閉區(qū)間不含x「取定不含x1的小閉區(qū)間并將其記為I1;接著，將I1分成相等的三份，從中可以確定出一個更小的閉區(qū)間，記作12，其中不含X2（當然也不含X1）。如此繼續(xù)下去，得到一個閉區(qū)間套I=[0,1]二I二I二…二I二…，012nx,x,…,x其中In不含1 2n(n=1,2,3,…)。由于II由于II1=nn=1,2,3,…)，根據(jù)閉區(qū)間套定理，有門I={x*}n=1這個x*e[0」]。因為x*屬于一切Inn(n1,2,3,…),所以x*不能等xx???x?…于1 2…n…中的任何一個。這說明上述排列并未窮盡[01]上的所有實數(shù)，由此得出矛盾的。這表明我們的假設(shè)不能成立