§1曲面論基本方程

作者：王幼寧作者：王幼寧--#-通常，函數(shù)組｛Rjkl｝稱為曲面S的第二類(lèi)Riemann曲率張量的分量組，函數(shù)組｛Rijkl｝稱為曲面S的第一類(lèi)Riemann曲率張量的分量組.它們可rR步，rR步，Rijkl=Rklgmj=-[(rimk)l-(rimi)k+rinkrnm「「inlrnmk]gmj=-(「imPlgmj+(riml)kg向-口/njl+「inl「njk=-3%gmj)l+Lmk(gmj)l+3mlgm)k-Lml(gm)k-T^kTnjl+□1^njk=-3jk)l+Timk(gmj)l+(「ij)k-「Al(gmj)k-「AkEmjl+YTlYmjk=(El)k-(Ejk)l+「mk隈gmj)l-mjl]-Eml[(gm)k-EmjJ；而由第一類(lèi)Christoffel記號(hào)j-2[(gjk)i+(gj)k-(gik).]代入整理，得2[(gmj)l-mjl]=2(gm)-[(gPm+(且網(wǎng))廠(gm)j]=(gmj)l+(gml)jTgjl)m=(gml)j+(gjm)「(gj)m=2「.，，jml從而d.8) Rkl=(「)k-(Ejk)l+5ml一mj，或表示為Rijkl=~2[(gj)ik-(gil)jk-(gjk)il+(gikjl]+rinkgnm「jml-rimlgnm「jmk'由此，利用關(guān)于指標(biāo)的已知的對(duì)稱性直接驗(yàn)算，易得下列性質(zhì).性質(zhì)①Rijkl=Rklij；Rjikl=-Rijkl；Rijlk=-Rijkl；Rijkl+Riklj+Riljk=0?該性質(zhì)表明，函數(shù)組｛Rijkl｝之中有許多平凡元素為零，非平凡的元素只有R1212=一R1221=一R2112=R2121Gauss方程的獨(dú)立性利用Riemann曲率張量的分量組，Gauss方程(1.1)式可等價(jià)變形為-Rijk=(%Rm-%*m)gmlO-Rjkgln=(%ijQkm一%ikQjJgmlglnO-Rinjk=%ij%kn-%ik%jn.直接驗(yàn)證，可知上式右端關(guān)于指標(biāo)滿足Riemann曲率張量分量組關(guān)于指標(biāo)所滿足的同樣的性質(zhì)；故而Gauss方程(1.1)式等價(jià)變形為12個(gè)左、右恒為零的恒等式，以及4個(gè)互相等價(jià)的方程-R1212=%11%22-(012)2=%?

特別當(dāng)參數(shù)網(wǎng)正交時(shí)，g12=0,聯(lián)絡(luò)系數(shù)有由第三章§3例1所示的簡(jiǎn)化形式，代入(1.9)式并整理可得R1212=2[(g22)11+(g11)22]+^1m1「2m2-,im2「2m1=i[G11+E22]+口口久E)+中心⑹-「山的⑷-「皿G)1=1=T[G11+E22]+EGEG-E--G+-E^G：2E2+2G2由此，在正交參數(shù)網(wǎng)下，可直接驗(yàn)算(留作習(xí)題)成立R3對(duì){翳+喀I}三.Gauss絕妙定理Gauss方程(1.10)式改寫(xiě)成Gauss曲率的形式，便得到內(nèi)蘊(yùn)幾何發(fā)展史上具有重要意義的結(jié)果，表述為下列定理．定理(Gauss絕妙定理) 曲面S的Gauss曲率K由第一基本形式完全確定，在第一基本形式系數(shù)表示下即為-RK= J) =g11g22-(gJ.推論1若兩張曲面局部等距對(duì)應(yīng)，則它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)處的Gauss曲率相等．推論2(可展曲面內(nèi)蘊(yùn)特征)若曲面S無(wú)臍點(diǎn)，則有充要條件：S可展oS局部等距對(duì)應(yīng)于平面oS的Gauss曲率K三0.注記①在正交參數(shù)網(wǎng)下，由(1.12)式和(1.11)式可寫(xiě)(1.13)在等溫參數(shù)(u1,u2)下，ds2=p2[(du1)2+(du2)2],p>0，則%-1[^2 %]〃 、(1.14)K=^ +~、」(Inp).(1.14)p2c(u1)2c(u2)2此式說(shuō)明Gauss曲率與Laplace算子有關(guān).在一般參數(shù)(u1,u2)下，較易記憶的有Liouville形式的Gauss方程E,)+(急:-(金2-靠”14|gI2EFE1F1E2F2GG1G2利用Gauss曲率是等距不變量，既有助于鑒別不等距的曲面，也有助于尋求等距曲面之間的等距對(duì)應(yīng)關(guān)系.1.2.3.驗(yàn)證(1.11)式.設(shè)正則曲面S具有第一和第二基本形式I=du2+dV2,H=Mu,V)dudV.試證S是平面.在曲面的正交曲率線網(wǎng)(u1,u2)之下，試證：①Codazzi方程簡(jiǎn)化為｛L2=HE2，N1=HG1.4.5.6.7.②主曲率0,0滿足，(0-0).設(shè)正則曲面S在參數(shù)(u,V)下具有第一和第二基本形式I=u2(du2+dV2),II=九(u,V)du2+N(u,V)dV2■①證明X(u,V)和Mu,V)只依賴于u；②證明由三1.設(shè)正則曲面S具有常平均曲率函數(shù).試證曲面S或者是全臍曲面，或者第一和第二基本形式可以化為在某個(gè)參數(shù)(u,V)下的如下形式：I=從(du2+dv2),I=(1+從H)du2-(1-從H)dv2.設(shè)正則曲面S在參數(shù)(u,v)下的第一和第二基本形式系數(shù)分別都是常值函數(shù).試證曲面S或者是平面，或者是圓柱面.已知下列曲面r(u,v)的第一基本形式I,其中c=const.eR；試求其Gauss曲率.T du2+dV2I(u2+V2+c)2c2I=v2(du2+dv2)；2uI=du2+ecdv2；I=du2+ch2cdV2；I=du2+2cospdudv+dv2,其中①=虱u,v)連續(xù)可微..設(shè)正則曲面S的第一基本形式I是正則曲面S*的第一基本形式I*的一個(gè)常數(shù)倍(此時(shí)稱它們是位似的)，試求S和S*的Riemann曲率張量分量之間的關(guān)系以及Gauss曲率之間的關(guān)系..試證：球面、柱面、馬鞍面相互之間不存在局部等距對(duì)應(yīng)..對(duì)兩張曲面S:r=(ucosv,usinv,Inu)和S*:r*=(u*cosv*,u*sinv*,v*)證明：使S和S*的Gauss曲率對(duì)應(yīng)相等的對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足且只需滿足u*=±u;S和S*之間不存在局部等距對(duì)應(yīng).一一，一、， am+bv2.已知曲面族S(ab):r=(au,bv, 2 )，其中a,b=const.豐0；試證：①S(a,b)的Gauss曲率K(a,b)=ab(1+u2+V2)2；②S(a,b)和SQ,㈤之間存在局部等距對(duì)應(yīng)的充要條件是：ab=由并且或者(|磯|b\)=(囚,|國(guó))，或者(|a|,|b|)=(|以囚)..當(dāng)正則